Bir Fonksiyonun Ortalama Değeri
Belirli integralin bir diğer uygulaması bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değerinin bulunmasıdır. Örneğin hız fonksiyonu verilen bir aracın bir zaman aralığındaki ortalama hızı bu yöntemle hesaplanabilir.
Sonlu sayıda sayının ortalamasını bulmak için sayıların toplamı sayı adedine bölünür. Örneğin 5 öğrencinin bir sınavdan aldıkları notların ortalaması aşağıdaki formülle bulunabilir.
\( \dfrac{71 + 52 + 93 + 86 + 68}{5} = 74 \)
Ancak bu yöntem aşağıdaki gibi sürekli olan ve sonsuz sayıda noktadan oluşan bir fonksiyonun bir aralıktaki ortalama değerini (\( f_{ort} \)) bulmak için kullanılamaz.
Gerçek ortalama değerini vermeyecek olsa da, bu noktada yaklaşık bir değer elde etmek için alan hesaplamasında kullandığımız Riemann toplamı yöntemini kullanabiliriz.
Bunun için önce \( [a, b] \) aralığını genişlikleri eşit 8 alt aralığa bölelim ve her aralıkta seçeceğimiz bir \( x_i^* \) noktası için \( f(x_i^*) \) fonksiyon değerini hesaplayalım. Bu 8 değerin ortalaması, fonksiyonun bu aralıktaki ortalama değeri için bir yaklaşık değer olarak kullanılabilir.
\( [a, b] \) aralığındaki gerçek ortalama değer \( f_{ort} \), yaklaşık ortalama değer \( \overline{f_{ort}} \) olmak üzere,
\( \overline{f_{ort}} = \dfrac{f(x_1^*) + f(x_2^*) + \ldots + f(x_8^*)}{8} \)
\( f_{ort} \approx \overline{f_{ort}} \)
Riemann toplamı bölümünde gördüğümüz gibi, \( [a, b] \) aralığının bölündüğü alt aralık sayısı artırıldığında yaklaşık değerin gerçek ortalama değerine yaklaşmasını bekleyebiliriz.
\( [a, b] \) aralığının bölündüğü alt aralık sayısı \( n \), sabit aralık genişlikleri \( \Delta x = \frac{b - a}{n} \) olmak üzere,
\( \overline{f_{ort}} = \dfrac{f(x_1^*) + f(x_2^*) + \ldots + f(x_n^*)}{n} \)
Fonksiyon değerlerinin toplamını toplam sembolü şeklinde yazalım.
\( = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)} \)
\( \Delta x \) formülünden \( n \) değerini yerine koyalım.
\( = \dfrac{\Delta x}{b - a}\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)} \)
\( \Delta x \) sabit olduğu için toplam sembolü içine alabiliriz.
\( = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)\Delta x} \)
Buna göre farklı \( n \) değerleri için yaklaşık ortalama değer yukarıdaki formülle hesaplanabilir. \( n \) büyüdükçe, yani \( \Delta x \) aralıkları daraldıkça hesaplanan yaklaşık değer de gerçek değere gitgide yaklaşır. Bu yaklaşık değerin \( n \) sonsuza giderken limiti ise fonksiyonun bu aralıktaki gerçek ortalama değerini verir.
\( f_{ort} = \lim\limits_{n \to \infty} \overline{f_{ort}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)\Delta x} \)
\( = \dfrac{1}{b - a}\lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)\Delta x} \)
\( n \) sonsuza giderken bu limit ifadesi aynı zamanda integrale giriş bölümünde yaptığımız belirli integral tanımıdır.
\( f \) fonksiyonu \( [a, b] \) aralığında sürekli olmak üzere,
\( f_{ort} = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
değeri \( f \) fonksiyonunun \( [a, b] \) aralığındaki ortalama değerini verir.
Bu formüle göre; bir fonksiyonun bir aralıktaki ortalama değeri, fonksiyonun bu aralıkta \( x \) ekseni ile arasında kalan alanın aralık genişliğine oranına eşittir.
\( f_{ort} = \dfrac{A}{b - a} \)
Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değerini hesaplamayı bir örnek üzerinde gösterelim.
\( f(x) = -x^3 + 6x^2 - 10x + 8 \)
Yukarıda denklemi ve grafiği verilen fonksiyonun \( [0, 4] \) aralığındaki ortalama değerini bulalım.
Ortalama değer formülünü yazalım.
\( f_{ort} = \dfrac{1}{4 - 0}\displaystyle\int_0^4 {(-x^3 + 6x^2 - 10x + 8)\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{4} \left( -\dfrac{x^4}{4} + 2x^3 - 5x^2 + 8x \right)|_0^4 \)
\( = \dfrac{1}{4} \left[ \left( -\dfrac{4^4}{4} + 2(4)^3 - 5(4)^2 + 8(4) \right) - \left( -\dfrac{0^4}{4} + 2(0)^3 - 5(0)^2 + 8(0) \right) \right] \)
\( = \dfrac{1}{4}[(-64 + 128 - 80 + 32) - (-0 + 0 - 0 + 0)] \)
\( = 4 \)
Tek fonksiyonların \( [-a, a] \) şeklinde \( y \) eksenine göre simetrik iki nokta arasında belirli integral değerleri sıfır olduğu için böyle bir aralıktaki ortalama değerleri de sıfırdır.
İntegral için Ortalama Değer Teoremi
İntegral için ortalama değer teoremine göre, kapalı bir aralıkta sürekli bir fonksiyon bu aralıkta en az bir noktada bu aralıktaki ortalama değerini alır.
\( f \) fonksiyonu \( [a, b] \) aralığında sürekli olmak üzere,
\( f(c) = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
eşitliğini sağlayan en az bir \( c \in [a, b] \) noktası vardır.
İSPATI GÖSTER
\( f \) fonksiyonunun \( [a, b] \) kapalı aralığında sürekli olduğunu varsayalım.
Türev bölümünde gördüğümüz uç değer teoremine göre, \( [a, b] \) aralığında tanımlı ve sürekli bir \( f \) fonksiyonu, bu aralıkta en az bir kez mutlak minimum ve en az bir kez mutlak maksimum değeri alır.
Bu değerlere sırasıyla \( m \) ve \( M \) diyelim.
\( x \in [a, b] \) olmak üzere,
\( m = \min{f} \le f(x) \le M = \max{f} \)
Belirli integralin özellikleri bölümünde gördüğümüz karşılaştırma teoremine göre, \( f \) fonksiyonu \( [a, b] \) aralığında \( m \) ve \( M \) değerleri arasında kalıyorsa bu aralıktaki belirli integrali de yükseklikleri bu iki değer olan iki dikdörtgenin alanları arasında kalır.
\( m(b - a) \le \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \le M(b - a) \)
Bu eşitsizliğin taraflarını \( b - a \) ifadesine bölelim.
\( m \le \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \le M \)
Süreklilik konusunda gördüğümüz ara değer teoremine göre, \( [a, b] \) kapalı aralığında sürekli \( f \) fonksiyonu için aşağıdaki koşulu sağlayan en az bir \( c \in [a, b] \) noktası bulunabilir.
\( m \le f(c) = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \le M \)
Bu teoremin gerçek hayat uygulamalarına aşağıdaki gibi birkaç örnek verilebilir.
- Bir konumda sıcaklık gün boyunca zamana göre sürekli değişmektedir. Günlük ortalama sıcaklık 18,3°C ise, integral için ortalama değer teoremine göre termometre gün içinde en az bir kez 18,3°C değerini göstermiştir.
- Bir aracın yolculuk boyunca hızı zamana göre sürekli değişmektedir. Yolculuk boyunca ortalama hızı 103 km/sa ise, integral için ortalama değer teoremine göre hız göstergesi yolculuk sırasında en az bir kez 103 km/sa değerini göstermiştir.
- Bir yürüyüş parkurunun deniz seviyesinden yüksekliği yol boyunca sürekli değişmektedir. Parkurun ortalama yüksekliği 345 metre ise, integral için ortalama değer teoremine göre parkur üzerinde deniz seviyesinden yüksekliği 345 metre olan en az bir nokta vardır.
\( f(x) = 3x^3 - x^2 \) fonksiyonunun \( [-1, 2] \) aralığındaki ortalama değerini bulunuz.
Çözümü GösterOrtalama değer formülünü yazalım.
\( f_{ort} = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
\( = \dfrac{1}{2 - (-1)}\displaystyle\int_{-1}^2 {(3x^3 - x^2)\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{3}\left( \dfrac{3x^4}{4} - \dfrac{x^3}{3} \right)\Bigg|_{-1}^2 \)
\( = \dfrac{1}{3}\left[ \left( \dfrac{3(2)^4}{4} - \dfrac{2^3}{3} \right) - \left( \dfrac{3(-1)^4}{4} - \dfrac{(-1)^3}{3} \right) \right] \)
\( = \dfrac{1}{3}\left[ \left( 12 - \dfrac{8}{3} \right) - \left( \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{3} \right) \right] \)
\( = \dfrac{1}{3}\left( \dfrac{28}{3} - \dfrac{13}{12} \right) \)
\( = \dfrac{11}{4} \) bulunur.
\( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun \( [0, 9] \) aralığındaki ortalama değerini bulunuz.
Çözümü GösterOrtalama değer formülünü yazalım.
\( f_{ort} = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
\( = \dfrac{1}{9 - 0}\displaystyle\int_0^9 {\sqrt{x}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{9}\left( \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right)\Bigg|_0^9 \)
\( = \dfrac{2}{27}\left( \sqrt{x^3}\right )\Bigg|_0^9 \)
\( = \dfrac{2}{27}(\sqrt{9^3} - \sqrt{0^3}) \)
\( = 2 \) bulunur.
\( f(x) = \sin{x} \) fonksiyonunun \( [0, \pi] \) aralığındaki ortalama değerini bulunuz.
Çözümü GösterOrtalama değer formülünü yazalım.
\( f_{ort} = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
\( = \dfrac{1}{\pi - 0}\displaystyle\int_0^{\pi} \sin{x}\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{\pi}(-\cos{x})|_0^{\pi} \)
\( = \dfrac{1}{\pi}(-\cos{\pi} + \cos{0}) \)
\( = \dfrac{1}{\pi}(1 + 1) \)
\( = \dfrac{2}{\pi} \) bulunur.
\( f(x) = \dfrac{1}{x} \) fonksiyonunun \( [1, e] \) aralığındaki ortalama değerini bulunuz.
Çözümü Göster\( f \) rasyonel fonksiyonu \( [1, e] \) aralığında herhangi bir tanımsızlık içermez, dolayısıyla süreklidir.
Ortalama değer formülünü yazalım.
\( f_{ort} = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
\( = \dfrac{1}{e - 1}\displaystyle\int_1^e {\dfrac{1}{x}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{e - 1}(\ln{\abs{x}})|_1^e \)
\( = \dfrac{1}{e - 1}(\ln{e} - \ln{1}) \)
\( = \dfrac{1}{e - 1}(1 - 0) \)
\( = \dfrac{1}{e - 1} \) bulunur.
\( f(x) = x\sqrt{x^2 + 9} \) fonksiyonunun \( [0, 4] \) aralığındaki ortalama değerini bulunuz.
Çözümü GösterOrtalama değer formülünü yazalım.
\( f_{ort} = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
\( = \dfrac{1}{4 - 0}\displaystyle\int_0^4 {x\sqrt{x^2 + 9}\ dx} \)
İntegral içindeki köklü ifadeye değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = x^2 + 9 \)
\( du = 2x\ dx \)
\( \Longrightarrow x\ dx = \dfrac{du}{2} \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(0) = 0^2 + 9 = 9 \)
\( u(4) = 4^2 + 9 = 25 \)
Verilen ifadede bu değişkenleri ve sınır değerlerini yerine koyalım.
\( = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_9^{25} {\sqrt{u} \cdot \dfrac{du}{2}} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{8}\left( \dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right)\Bigg|_9^{25} \)
\( = \dfrac{1}{12}(\sqrt{25^3} - \sqrt{9^3}) \)
\( = \dfrac{1}{12}(125 - 27) \)
\( = \dfrac{49}{6} \) bulunur.
\( y = 4x - x^2 \) eğrisinin koordinat düzleminin birinci bölgesinde kalan kısmının ortalama değerini bulunuz.
Çözümü GösterEğrinin birinci bölgede kalan kısmını bulmak için fonksiyonun \( x \) eksenini kestiği noktaları bulalım.
\( 4x - x^2 = 0 \)
\( x(4 - x) = 0 \)
Buna göre fonksiyon \( x \) eksenini \( x = 0 \) ve \( x = 4 \) apsisli noktalarda keser.
Negatif başkatsayılı parabolün kolları aşağı yönlü olduğu için parabol \( (0, 4) \) aralığında pozitif değer alır, yani grafiği koordinat düzleminin birinci bölgesinde yer alır.
Ortalama değer formülünü yazalım.
\( f_{ort} = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
\( = \dfrac{1}{4 - 0}\displaystyle\int_0^4 {(4x - x^2)\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{4}\left( 2x^2 - \dfrac{x^3}{3} \right)\Bigg|_0^4 \)
\( = \dfrac{1}{4}\left[ \left( 2(4)^2 - \dfrac{4^3}{3} \right) - \left( 2(0)^2 - \dfrac{0^3}{3} \right) \right] \)
\( = \dfrac{1}{4}\left( 32 - \dfrac{64}{3} \right) \)
\( = \dfrac{8}{3} \) bulunur.
\( f(x) = \cot{x} \) fonksiyonunun \( [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}] \) aralığındaki ortalama değerini bulunuz.
Çözümü GösterOrtalama değer formülünü yazalım.
\( f_{ort} = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
\( = \dfrac{1}{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}}\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} {\cot{x}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{4}{\pi}(\ln{\abs{\sin{x}}})|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \)
\( = \dfrac{4}{\pi} \left( \ln{\abs{\sin{\dfrac{\pi}{2}}}} - \ln{\abs{\sin{\dfrac{\pi}{4}}}} \right) \)
\( = \dfrac{4}{\pi} \left( \ln{1} - \ln{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \right) \)
\( = \dfrac{4}{\pi}\ln{\dfrac{2}{\sqrt{2}}} \)
\( = \dfrac{4}{\pi}\ln{\sqrt{2}} \)
\( = \dfrac{2}{\pi}\ln{2} \) bulunur.
Kenar uzunlukları 2 m ile 5 m arasında olan tüm karelerin ortalama alanı nedir?
Çözümü GösterBir kenarı \( x \) birim olan karenin alanını bir fonksiyon olarak yazalım.
\( f(x) = x^2 \)
Ortalama değer formülünü yazalım.
\( f_{ort} = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
\( f \) fonksiyonunun \( [2, 5] \) aralığındaki ortalama değerini bulalım.
\( = \dfrac{1}{5 - 2}\displaystyle\int_2^5 {x^2\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{3}\left( \dfrac{x^3}{3} \right)|_2^5 \)
\( = \dfrac{1}{3}\left( \dfrac{125}{3} - \dfrac{8}{3} \right) \)
\( = \dfrac{117}{9} = 13 \) bulunur.
\( f: [-2, 2] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \sqrt{4 - x^2} \) fonksiyonunun ortalama değerini ve bu ortalama değeri aldığı noktaları bulunuz.
Çözümü GösterOrtalama değer formülünü yazalım.
\( f_{ort} = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
\( = \dfrac{1}{2 - (-2)}\displaystyle\int_{-2}^2 {\sqrt{4 - x^2}\ dx} \)
\( y = \sqrt{4 - x^2} \Longrightarrow x^2 + y^2 = 4 \)
İntegrali alınan fonksiyon merkezi orijinde ve yarıçapı 2 birim olan çemberin \( x \) ekseninin üstünde kalan kısmını belirtir.
Belirli integralin sınırları \( [-2, 2] \) aralığı olduğundan, bu integral birinci ve ikinci bölgelerde bulunan yarım dairenin alanını verir.
Dairenin alanı formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int_{-2}^2 {\sqrt{4 - x^2}\ dx} = \dfrac{\pi \cdot 2^2}{2} = 2\pi \)
Elde edilen alan değerini ortalama değer formülünde yerine yazalım.
\( f_{ort} = \dfrac{1}{4} \cdot 2\pi = \dfrac{\pi}{2} \)
Fonksiyonun bu ortalama değeri hangi \( c \in [-2, 2] \) noktalarında aldığını bulmak için fonksiyonu \( f_{ort} \) değerine eşitleyelim.
\( f(c) = f_{ort} \)
\( \sqrt{4 - c^2} = \dfrac{\pi}{2} \)
Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım.
\( 4 - c^2 = \dfrac{\pi^2}{4} \)
\( c^2 = 4 - \dfrac{\pi^2}{4} \)
\( c^2 = \dfrac{16 - \pi^2}{4} \)
\( c = \pm \dfrac{\sqrt{16 - \pi^2}}{2} \approx \pm 1,23\ldots \)
Her iki değer de \( c \in [-2, 2] \) aralığında olduğundan fonksiyon bu iki noktada da \( [-2, 2] \) aralığındaki ortalama değeri alır.
\( f(x) = \displaystyle\int_0^x (3t^2 - 12t + 9)\ dt \) fonksiyonunun \( [0, 4] \) kapalı aralığında kaç farklı noktada anlık değişim oranı, bu aralıktaki ortalama değişim oranına eşit olur?
Çözümü GösterFonksiyonun \( x = 0 \) ve \( x = 4 \) noktalarındaki değerini bulalım.
\( f(0) = \displaystyle\int_0^0 {(3t^2 - 12t + 9)\ dt} = 0 \)
\( f(4) = \displaystyle\int_0^4 {(3t^2 - 12t + 9)\ dt} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (t^3 - 6t^2 + 9t)|_0^4 = 4 \)
\( x \in [0, 4] \) aralığındaki ortalama değişim oranı, bu aralıkta \( y \)'deki değişimin \( x \)'teki değişime oranına eşittir.
Ortalama değişim oranı \( = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \)
\( = \dfrac{4 - 0}{4 - 0} = 1 \)
Fonksiyonun anlık değişim oranını (türevini) bulalım.
\( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)
Anlık değişim oranı ile ortalama değişim oranını eşitleyelim.
\( 3x^2 - 12x + 9 = 1 \)
\( 3x^2 - 12x + 8 = 0 \)
Bu denklemin köklerinin varlığını ve aralığını diskriminant yardımıyla inceleyelim.
Denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 3, \quad b = -12, \quad c = 8 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = (-12)^2 - 4(3)(8) = 48 \gt 0 \)
\( \Delta \gt 0 \) olduğu için denklemin iki farklı reel kökü vardır.
Kök bulma formülü ile denklemin köklerini bulalım.
\( x_1 = \dfrac{12 + \sqrt{48}}{6} = 2 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \approx 0,85 \)
\( x_2 = \dfrac{12 - \sqrt{48}}{6} = 2 - \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \approx 3,15 \)
Bulunan kök değerlerinin ikisi de \( [0, 4] \) kapalı aralığındadır.
Buna göre verilen aralıkta anlık değişim oranı 2 farklı noktada aynı aralıktaki ortalama değişim oranına eşit olur.
\( f \) fonksiyonu \( [2, 6] \) kapalı aralığında sürekli ve kesin azalan olduğuna göre,
I. \( \displaystyle\int_2^6 {f(x)\ dx} \lt 4f(2) \)
II. \( \displaystyle\int_2^6 {f(x)\ dx} \gt 4f(6) \)
III. \( \displaystyle\int_2^6 {f(x)\ dx} = 4f(c) \) şartını sağlayan en az bir \( c \in [2, 6] \) noktası vardır.
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
Çözümü GösterBelirli integral için karşılaştırma teoremini hatırlayalım.
Bir \( f \) fonksiyonu \( [a, b] \) aralığında \( m \) ve \( M \) değerlerinin arasında kalıyorsa bu aralıktaki belirli integrali de yükseklikleri bu iki değer olan iki dikdörtgenin alanları arasında kalır.
\( [a, b] \) aralığında \( m \le f(x) \le M \) ise,
\( m(b - a) \le \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \le M(b - a) \)
\( f \) fonksiyonu \( [2, 6] \) kapalı aralığında kesin azalan olduğundan, fonksiyon bu aralıktaki en büyük değerini sol uç noktada, en küçük değerini de sağ uç noktada alır.
\( f(6) \lt f(x) \lt f(2) \)
\( f(6)(6 - 2) \lt \displaystyle\int_2^6 {f(x)\ dx} \lt f(2)(6 - 2) \)
\( 4f(6) \lt \displaystyle\int_2^6 {f(x)\ dx} \lt 4f(2) \)
Elde edilen bu eşitsizliğe göre I ve II. öncüller her zaman doğrudur.
İntegral için ortalama değer teoremine göre, \( [2, 6] \) aralığında sürekli \( f \) fonksiyonu en az bir \( c \in [2, 6] \) noktasında fonksiyonun bu aralıktaki ortalama değerini alır.
\( f(c) = \dfrac{1}{6 - 2} \displaystyle\int_2^6 {f(x)\ dx} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( \displaystyle\int_2^6 {f(x)\ dx} = 4f(c) \)
Buna göre III. öncül de her zaman doğrudur.
Sonuç olarak üç öncül de her zaman doğrudur.