Değişken Değiştirme Yöntemi

(a) seçeneği:

\( \displaystyle\int {(2x + 3)^2\ dx} \)

Üssü alınan ifadeye değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 2x + 3 \)

\( du = 2\ dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{du}{2} = dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {u^2\ \frac{du}{2}} \)

\( = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int {u^2\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{u^3}{3} + C \)

\( = \dfrac{u^3}{6} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{(2x + 3)^3}{6} + C \)

(b) seçeneği:

\( \displaystyle\int {18(3x + 1)^5\ dx} \)

Üssü alınan ifadeye değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 3x + 1 \)

\( du = 3\ dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{du}{3} = dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {18u^5\ \frac{du}{3}} \)

\( = 6\displaystyle\int {u^5\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = 6 \cdot \dfrac{u^{6}}{6} + C \)

\( = u^6 + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = (3x + 1)^6 + C \)

(c) seçeneği:

\( \displaystyle\int {15(9x + 1)^9\ dx} \)

Üssü alınan ifadeye değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 9x + 1 \)

\( du = 9\ dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{du}{9} = dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {15u^9\ \frac{du}{9}} \)

\( = \dfrac{5}{3}\displaystyle\int {u^9\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{u^{10}}{10} + C \)

\( = \dfrac{u^{10}}{6} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{(9x + 1)^{10}}{6} + C \)

(a) seçeneği:

\( \displaystyle\int {15x^2(5x^3 + 4)^5\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 5x^3 + 4 \)

\( du = 15x^2\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {u^5\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{u^6}{6} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{(5x^3 + 4)^6}{6} + C \)

(b) seçeneği:

\( \displaystyle\int {2x^3(x^4 + 1)^4\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = x^4 + 1 \)

\( du = 4x^3\ dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{du}{4} = x^3\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {2u^4\ \frac{du}{4}} \)

\( = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int {u^4\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{u^5}{5} + C \)

\( = \dfrac{u^5}{10} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{(x^4 + 1)^5}{10} + C \)

(c) seçeneği:

\( \displaystyle\int {3x^5(x^6 + 11)^7\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = x^6 + 11 \)

\( du = 6x^5\ dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{du}{6} = x^5\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {3u^7\ \frac{du}{6}} = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int {u^7\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{u^8}{8} + C \)

\( = \dfrac{u^8}{16} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{(x^6 + 11)^8}{16} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 7x^2 - 5x + 3 \)

\( du = (14x - 5)\ dx \)

\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.

\( u(0) = 7(0)^2 - 5(0) + 3 = 3 \)

\( u(1) = 7(1)^2 - 5(1) + 3 = 5 \)

Verilen ifadede bu değişkenleri ve sınır değerlerini yerine koyalım.

\( \displaystyle\int_0^1 (7x^2 - 5x + 3)^2(14x - 5)\ dx = \displaystyle\int_3^5 u^2\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{u^3}{3}|_3^5 \)

\( = \dfrac{5^3}{3} - \dfrac{3^3}{3} = \dfrac{98}{3} \) bulunur.

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 4 - x^2 \)

\( du = -2x\ dx \)

\( \Longrightarrow -\dfrac{du}{2} = x\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int {x\sqrt{4 - x^2}\ dx} = \displaystyle\int {\sqrt{u}\left( -\dfrac{du}{2} \right)} \)

\( = -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int {u^{\frac{1}{2}}\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2\sqrt{u^3}}{3} + C \)

\( = -\dfrac{1}{3}\sqrt{u^3} + C \)

\( u \) değişkeninin \( x \) karşılığını yazalım.

\( = -\dfrac{1}{3}\sqrt{(4 - x^2)^3} + C \) bulunur.

(a) seçeneği:

\( \displaystyle\int {\dfrac{4x}{(x^2 - 1)^3}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = x^2 - 1 \)

\( du = 2x\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {\dfrac{2}{u^3}\ du} \)

\( = \displaystyle\int {2u^{-3}\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{2u^{-2}}{-2} + C \)

\( = -\dfrac{1}{u^2} + C \)

\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.

\( = -\dfrac{1}{(x^2 - 1)^2} + C \)

(b) seçeneği:

\( \displaystyle\int {\dfrac{10x^2}{(5x^3 - 7)^6}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 5x^3 - 7 \)

\( du = 15x^2\ dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{du}{15} = x^2\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {\dfrac{10}{u^6}\ \dfrac{du}{15}} \)

\( = \dfrac{2}{3}\displaystyle\int {\dfrac{1}{u^6}\ du} \)

\( = \dfrac{2}{3}\displaystyle\int {u^{-6}\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{u^{-5}}{-5} + C \)

\( = -\dfrac{2}{15u^5} + C \)

\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.

\( = -\dfrac{2}{15(5x^3 - 7)^5} + C \)

(c) seçeneği:

\( \displaystyle\int {\dfrac{x^{100}}{(x^{101} + 6)^5}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = x^{101} + 6 \)

\( du = 101x^{100}\ dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{du}{101} = x^{100}\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{u^5}\ \dfrac{du}{101}} \)

\( = \dfrac{1}{101}\displaystyle\int {u^{-5}\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{1}{101} \cdot \dfrac{u^{-4}}{-4} + C \)

\( = -\dfrac{1}{404u^4} + C \)

\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.

\( = -\dfrac{1}{404(x^{101} + 6)^4} + C \)

(a) seçeneği:

\( \displaystyle\int {\dfrac{2}{\sqrt{10x + 3}}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 10x + 3 \)

\( du = 10\ dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{du}{10} = dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {\dfrac{2}{\sqrt{u}} \cdot\ \frac{du}{10}} \)

\( = \frac{1}{5}\displaystyle\int {u^{-\frac{1}{2}}\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C \)

\( = \dfrac{2\sqrt{u}}{5} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{2\sqrt{10x + 3}}{5} + C \)

(b) seçeneği:

\( \displaystyle\int {\dfrac{80}{\sqrt{(1 - 4x)^3}}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 1 - 4x \)

\( du = -4\ dx \)

\( \Longrightarrow -\dfrac{du}{4} = dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {\dfrac{80}{\sqrt{u^3}} \cdot \dfrac{-du}{4}} \)

\( = -20\displaystyle\int {u^{-\frac{3}{2}}\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = -20 \cdot \dfrac{u^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} + C \)

\( = \dfrac{40}{\sqrt{u}} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{40}{\sqrt{1 - 4x}} + C \)

(c) seçeneği:

\( \displaystyle\int {14\sqrt[5]{(4 - \frac{1}{2}x)^4}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 4 - \dfrac{1}{2}x \)

\( du = -\dfrac{1}{2}\ dx \)

\( \Longrightarrow -2\ du = dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = 14\displaystyle\int {\sqrt[5]{u^4}\ (-2du)} \)

\( = -28\displaystyle\int {u^{\frac{4}{5}}\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = -28 \cdot \dfrac{u^{\frac{9}{5}}}{\frac{9}{5}} + C \)

\( = -\dfrac{140\sqrt[5]{u^9}}{9} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = -\dfrac{140\sqrt[5]{(4 - \frac{1}{2}x)^9}}{9} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = e^{3x} + 3x^2 \)

\( du = (3e^{3x} + 6x)\ dx \)

\( \Longrightarrow (e^{3x} + 2x)\ dx = \dfrac{1}{3}\ du \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int (e^{3x} + 3x^2)^2(e^{3x} + 2x)\ dx = \displaystyle\int \dfrac{1}{3}u^2\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{u^3}{9} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{(e^{3x} + 3x^2)^3}{9} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 2\sqrt{x} + 4 \)

\( du = \dfrac{1}{\sqrt{x}}\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{(2\sqrt{x} + 4)^5}{\sqrt{x}}\ dx} = \displaystyle\int {u^5\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{u^6}{6} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{(2\sqrt{x} + 4)^6}{6} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = x^3 \)

\( du = 3x^2\ dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{du}{3} = x^2\ dx \)

\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.

\( u(0) = 0^3 = 0 \)

\( u(1) = 1^3 = 1 \)

Verilen ifadede bu değişkenleri ve sınır değerlerini yerine koyalım.

\( \displaystyle\int_0^1 {\dfrac{x^2}{e^{x^3}}\ dx} = \displaystyle\int_0^1 {\dfrac{1}{e^u} \cdot \dfrac{du}{3}} \)

\( = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^1 {e^{-u}\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \left( -\dfrac{1}{3e^u} \right)\Bigg|_0^1 \)

\( = \left( -\dfrac{1}{3e^1} \right) - \left( -\dfrac{1}{3e^0} \right) \)

\( = -\dfrac{1}{3e} + \dfrac{1}{3} \) bulunur.

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 1 - x^2 \)

\( du = -2x\ dx \)

\( \Longrightarrow -du = 2x\ dx \)

\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.

\( u(0) = 1 - 0^2 = 1 \)

\( u(\frac{1}{2}) = 1 - (\frac{1}{2})^2 = \dfrac{3}{4} \)

Verilen ifadede bu değişkenleri ve sınır değerlerini yerine koyalım.

\( \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{2x}{\sqrt{1 - x^2}}\ dx} = \displaystyle\int_1^{\frac{3}{4}} {\dfrac{1}{\sqrt{u}}(-du)} \)

\( = -\displaystyle\int_1^{\frac{3}{4}} {u^{-\frac{1}{2}}\ du} \)

İntegralin sınır değerlerini kendi aralarında yer değiştirelim.

\( = \displaystyle\int_{\frac{3}{4}}^1 {u^{-\frac{1}{2}}\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (2\sqrt{u})|_{\frac{3}{4}}^1 \)

Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.

\( = 2\sqrt{1} - 2\sqrt{\dfrac{3}{4}} \)

\( = 2 - 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

\( = 2 - \sqrt{3} \) bulunur.

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = x - 2 \)

\( \Longrightarrow x = u + 2 \)

\( du = dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int x(x - 2)^7\ dx = \displaystyle\int (u + 2)u^7\ du \)

\( = \displaystyle\int (u^8 + 2u^7)\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{u^9}{9} + \dfrac{u^8}{4} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{(x - 2)^9}{9} + \dfrac{(x - 2)^8}{4} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.

\( u = \cos{x} \)

\( du = -\sin{x}\ dx \)

\( \Longrightarrow -du = \sin{x}\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int {6e^{2\cos{x}}\sin{x}\ dx} = \displaystyle\int {6e^{2u}\ (-du)} \)

\( = -6\displaystyle\int {e^{2u}\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (-6) \cdot \dfrac{1}{2}e^{2u} + C \)

\( = -3e^{2u} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = -3e^{2\cos{x}} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 4x - 1 \)

\( \Longrightarrow 4x = u + 1 \)

\( du = 4\ dx \)

\( \Longrightarrow dx = \dfrac{1}{4}\ du \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int \dfrac{4x}{4x - 1}\ dx \)

\( = \displaystyle\int \dfrac{u + 1}{u} \cdot \dfrac{1}{4}\ du \)

\( = \displaystyle\int \left( \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4u} \right)\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{u}{4} + \dfrac{\ln\lvert {u} \rvert}{4} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{4x - 1}{4} + \dfrac{\ln{\lvert {4x - 1} \rvert}}{4} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 1 - 2x \)

\( \Longrightarrow x = \dfrac{1 - u}{2} \)

\( du = -2\ dx \)

\( \Longrightarrow dx = -\dfrac{1}{2}\ du \)

\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.

\( u(0) = 1 - 2(0) = 1 \)

\( u(\frac{1}{4}) = 1 - 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \)

Verilen ifadede bu değişkenleri ve sınır değerlerini yerine koyalım.

\( \displaystyle\int_0^{\frac{1}{4}} \dfrac{4x}{(1 - 2x)^2}\ dx = \displaystyle\int_1^{\frac{1}{2}} \dfrac{4(1 - u)}{u^2 \cdot 2} \cdot (-\dfrac{1}{2})\ du \)

\( = -\displaystyle\int_1^{\frac{1}{2}} \dfrac{1 - u}{u^2}\ du \)

İntegralin sınır değerlerini kendi aralarında yer değiştirelim.

\( = \displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1 \dfrac{1 - u}{u^2}\ du \)

\( = \displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1 \left( \dfrac{1}{u^2} - \dfrac{1}{u} \right)\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \left( -\dfrac{1}{u} - \ln{\abs{u}} \right)|_{\frac{1}{2}}^1 \)

\( = \left( -\dfrac{1}{1} - \ln{1} \right) - \left( -\dfrac{1}{\frac{1}{2}} - \ln{\dfrac{1}{2}} \right) \)

\( = 1 - \ln{2} \) bulunur.

Belirtilen şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( x = u^6 \)

\( \Longrightarrow u = \sqrt[6]{x} \)

\( dx = 6u^5\ du \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int \dfrac{\sqrt[3]{u^6} + u^6}{\sqrt{u^6}} 6u^5\ du \)

\( = 6\displaystyle\int \dfrac{u^2 + u^6}{u^3}u^5\ du \)

\( = 6\displaystyle\int (u^4 + u^8)\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{6u^5}{5} + \dfrac{2u^9}{3} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{6\sqrt[6]{x^5}}{5} + \dfrac{2\sqrt[6]{x^9}}{3} + C \)

\( = \dfrac{6\sqrt[6]{x^5}}{5} + \dfrac{2\sqrt[2]{x^3}}{3} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = e^{5x} + 7 \)

\( du = 5e^{5x}\ dx \)

\( \Longrightarrow e^{5x}\ dx = \dfrac{du}{5} \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{40e^{5x}}{e^{5x} + 7}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{40}{u} \cdot \dfrac{du}{5}} \)

\( = \displaystyle\int {\dfrac{8}{u}\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = 8\ln{\abs{u}} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = 8\ln{\abs{e^{5x} + 7}} + C \)

Mutlak değer içindeki ifade her \( x \) için pozitiftir.

\( = 8\ln(e^{5x} + 7) + C \)

(a) seçeneği:

\( \displaystyle\int {\dfrac{\cos{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \sqrt{x} \)

\( du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\ dx \)

\( \Longrightarrow 2\underbrace{\sqrt{x}}_\text{u}\ du = dx \)

\( \Longrightarrow 2u\ du = dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {\dfrac{\cos{u}}{2u}2u\ du} \)

\( = \displaystyle\int {\cos{u}\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = \sin{u} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \sin{\sqrt{x}} + C \)

(b) seçeneği:

\( \displaystyle\int {\dfrac{\cos{x}}{\sqrt{\sin^5{x}}}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \sin{x} \)

\( du = \cos{x}\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sqrt{u^5}}\ du} \)

\( = \displaystyle\int {u^{-\frac{5}{2}}\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{u^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}} + C \)

\( = -\dfrac{2}{3\sqrt{u^3}} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = -\dfrac{2}{3\sqrt{\sin^3{x}}} + C \)

(c) seçeneği:

\( \displaystyle\int {\cos{x}\sqrt{\sin^3{x}}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \sin{x} \)

\( du = \cos{x}\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {\sqrt{u^3}\ du} \)

\( = \displaystyle\int {u^{\frac{3}{2}}\ du} \)

Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C \)

\( = \dfrac{2\sqrt{u^5}}{5} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{2\sqrt{\sin^5{x}}}{5} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 3x + 1 \)

\( \Longrightarrow x = \dfrac{u - 1}{3} \)

\( du = 3\ dx \)

\( \Longrightarrow dx = \dfrac{du}{3} \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{9x}{(3x + 1)^3}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{9(u - 1)}{u^3 \cdot 3} \cdot \dfrac{du}{3}} \)

\( = \displaystyle\int {\dfrac{u - 1}{u^3}\ du} \)

\( = \displaystyle\int \left( \dfrac{1}{u^2} - \dfrac{1}{u^3} \right)\ du \)

\( = \displaystyle\int (u^{-2} - u^{-3})\ du \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = \dfrac{u^{-1}}{-1} - \dfrac{u^{-2}}{-2} + C \)

\( = -\dfrac{1}{u} + \dfrac{1}{2u^2} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = -\dfrac{1}{3x + 1} + \dfrac{1}{2(3x + 1)^2} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \sqrt{x + 3} \)

\( \Longrightarrow x = u^2 - 3 \)

\( du = \dfrac{dx}{2\sqrt{x + 3}} \)

\( \Longrightarrow dx = 2\sqrt{x + 3}\ du \)

\( \Longrightarrow dx = 2u\ du \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int {5x\sqrt{x + 3}\ dx} = \displaystyle\int {5(u^2 - 3)u \cdot\ 2u\ du} \)

\( = 10\displaystyle\int (u^4 - 3u^2)\ du \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = 10\left( \dfrac{u^5}{5} - \dfrac{3u^3}{3} \right) + C \)

\( = 2u^5 - 10u^3 + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = 2(\sqrt{x + 3})^5 - 10(\sqrt{x + 3})^3 + C \)

\( = 2\sqrt{(x + 3)^5} - 10\sqrt{(x + 3)^3} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = x + 2 \)

\( \Longrightarrow x = u - 2 \)

\( du = dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int \dfrac{3x}{\sqrt{x + 2}}\ dx = \displaystyle\int \dfrac{3(u - 2)}{\sqrt{u}}\ du \)

\( = \displaystyle\int \dfrac{3u - 6}{\sqrt{u}}\ du \)

\( = \displaystyle\int \left( 3\sqrt{u} - \dfrac{6}{\sqrt{u}} \right)\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = 2\sqrt{u^3} - 12\sqrt{u} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = 2\sqrt{(x + 2)^3} - 12\sqrt{x + 2} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \log{x} \)

\( du = \dfrac{1}{\ln{10} \cdot x}\ dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{dx}{x} = \ln{10}\ du \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int \dfrac{\log{x}}{x}\ dx = \displaystyle\int u \ln{10}\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{u^2}{2} \cdot \ln{10} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{(\log{x})^2}{2} \cdot \ln{10} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 1 + e^x \)

\( \Longrightarrow e^x = u - 1 \)

\( du = e^x\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int {(e^x - 2)(1 + e^x)^6e^x\ dx} = \displaystyle\int {(u - 3)u^6\ du} \)

\( = \displaystyle\int {(u^7 - 3u^6)\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{1}{8}u^8 - \dfrac{3}{7}u^7 + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{1}{8}(1 + e^x)^8 - \dfrac{3}{7}(1 + e^x)^7 + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \ln{x} \)

\( du = \dfrac{1}{x}\ dx \)

\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.

\( u(1) = \ln{1} = 0 \)

\( u(5) = \ln{5} \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int_1^5 \dfrac{\ln{x}}{5x}\ dx = \displaystyle\int_0^{\ln{5}} \dfrac{u}{5}\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \left( \dfrac{u^2}{10} \right)|_0^{\ln{5}} \)

\( = \dfrac{(\ln{5})^2}{10} - \dfrac{0^2}{10} \)

\( = \dfrac{(\ln{5})^2}{10} \) bulunur.

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 1 - \cos{x} \)

\( \Longrightarrow \cos{x} = 1 - u \)

\( du = \sin{x}\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int \sin{x}\cos{x}\sqrt{1 - \cos{x}}\ dx = \displaystyle\int (1 - u)\sqrt{u}\ du \)

\( = \displaystyle\int (\sqrt{u} - u\sqrt{u})\ du \)

\( = \displaystyle\int (u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}})\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{2}{3}u^\frac{3}{2} - \dfrac{2}{5}u^\frac{5}{2} + C \)

\( = \dfrac{2}{3}\sqrt{u^3} - \dfrac{2}{5}\sqrt{u^5} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{2}{3}\sqrt{(1 - \cos{x})^3} - \dfrac{2}{5}\sqrt{(1 - \cos{x})^5} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \ln{x} \)

\( du = \dfrac{1}{x}\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{x\ln{x}}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{1}{u}\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \ln{\abs{u}} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \ln{\abs{\ln{x}}} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = f(x) \)

\( du = f'(x)\ dx \)

\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.

\( u(1) = f(1) = 0 \)

\( u(2) = f(2) = 2 \)

Verilen ifadede bu değişkenleri ve sınır değerlerini yerine koyalım.

\( \displaystyle\int_1^2 2f^3(x)f'(x)\ dx = \displaystyle\int_0^2 2u^3\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \left( \dfrac{u^4}{2} \right)|_0^2 \)

\( = \dfrac{2^4}{2} - \dfrac{0^4}{2} = 8 \) bulunur.

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \sqrt{x} + 1 \)

\( \Longrightarrow x = (u - 1)^2 \)

\( du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\ dx \)

\( \Longrightarrow dx = 2(u - 1)\ du \)

\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.

\( u(4) = \sqrt{4} + 1 = 3 \)

\( u(64) = \sqrt{64} + 1 = 9 \)

Verilen ifadede bu değişkenleri ve sınır değerlerini yerine koyalım.

\( \displaystyle\int_4^{64} \dfrac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}\ dx = \displaystyle\int_3^9 \dfrac{1}{2(u - 1)u}2(u - 1)\ du \)

\( = \displaystyle\int_3^9 \dfrac{1}{u}\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (\ln{\abs{u}})|_3^9 \)

\( = \ln{9} - \ln{3} \)

\( = 2\ln{3} - \ln{3} = \ln{3} \) bulunur.

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = x + 1 \)

\( \Longrightarrow x = u - 1 \)

\( \Longrightarrow x^2 = u^2 - 2u + 1 \)

\( du = dx \)

\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.

\( u(0) = 0 + 1 = 1 \)

\( u(3) = 3 + 1 = 4 \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int_0^3 \dfrac{5x^2}{\sqrt{x + 1}}\ dx = \displaystyle\int_1^4 \dfrac{5(u^2 - 2u + 1)}{\sqrt{u}}\ du \)

\( = \displaystyle\int_1^4 \left( 5\sqrt{u^3} - 10\sqrt{u} + \dfrac{5}{\sqrt{u}} \right)\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \left( 2\sqrt{u^5} - \dfrac{20\sqrt{u^3}}{3} + 10\sqrt{u} \right)|_1^4 \)

\( = \left( 2\sqrt{4^5} - \dfrac{20\sqrt{4^3}}{3} + 10\sqrt{4} \right) - \left( 2\sqrt{1^5} - \dfrac{20\sqrt{1^3}}{3} + 10\sqrt{1} \right) \)

\( = \left( 64 - \dfrac{160}{3} + 20 \right) - \left( 2 - \dfrac{20}{3} + 10 \right) \)

\( = \dfrac{76}{3} \) bulunur.

Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) \)

\( \displaystyle\int 2\cos^3(2x)\sin(2x)\cos(2x)\ dx \)

\( = \displaystyle\int 2\cos^4(2x)\sin(2x)\ dx \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \cos(2x) \)

\( du = -2\sin(2x)\ dx \)

\( \Longrightarrow 2\sin(2x)\ dx = -du \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = -\displaystyle\int u^4\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = -\dfrac{1}{5}u^5 + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = -\dfrac{1}{5}\cos^5(2x) + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 3x \)

\( du = 3\ dx \)

\( \Longrightarrow dx = \dfrac{1}{3}\ du \)

\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.

\( u(1) = 3(1) = 3 \)

\( u(3) = 3(3) = 9 \)

Verilen ifadede bu değişkenleri ve sınır değerlerini yerine koyalım.

\( \displaystyle\int_1^3 f(3x)\ dx = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_3^9 f(u)\ du = 6 \)

\( \displaystyle\int_3^9 f(u)\ du = 18 \)

İntegral değişkenini \( x = u \) olarak değiştirmemiz integral değerini değiştirmez.

\( \displaystyle\int_3^9 f(x)\ dx = 18 \)

Birinci parantez içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( \displaystyle\int {(x + 2)(x - 1)(x - 1)^7\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {(x + 2)(x - 1)^8\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = x - 1 \)

\( \Longrightarrow x = u + 1 \)

\( du = dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {(u + 3)u^8\ du} \)

\( = \displaystyle\int {(u^9 + 3u^8)\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{u^{10}}{10} + \dfrac{u^9}{3} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{(x - 1)^{10}}{10} + \dfrac{(x - 1)^9}{3} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \sqrt[3]{x^2} \)

\( du = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}\ dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\ dx = \dfrac{3}{2}\ du \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int \dfrac{2^{\sqrt[3]{x^2}}}{\sqrt[3]{x}}\ dx = \displaystyle\int \dfrac{3 \cdot 2^u}{2}\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{3 \cdot 2^u}{2\ln{2}} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{3 \cdot 2^{\sqrt[3]{x^2}}}{2\ln{2}} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 4x - 5 \)

\( \Longrightarrow x = \dfrac{u + 5}{4} \)

\( \Longrightarrow x^2 = \dfrac{u^2 + 10u + 25}{16} \)

\( du = 4\ dx \)

\( \Longrightarrow dx = \dfrac{1}{4}\ du \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int \dfrac{8x^2}{4x - 5}\ dx \)

\( = \displaystyle\int \dfrac{8 \cdot \frac{u^2 + 10u + 25}{16}}{u} \cdot \dfrac{1}{4}\ du \)

\( = \displaystyle\int \dfrac{u^2 + 10u + 25}{8u}\ du \)

\( = \displaystyle\int \left( \dfrac{u}{8} + \dfrac{5}{4} + \dfrac{25}{8u} \right)\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{u^2}{16} + \dfrac{5u}{4} + \dfrac{25\ln{\lvert u \rvert}}{8} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{(4x - 5)^2}{16} + \dfrac{5(4x - 5)}{4} + \dfrac{25\ln{\lvert 4x - 5 \rvert}}{8} + C \)

İntegrali alınan ifadenin payını ve paydasını \( e^{2x} \) ile çarpalım.

\( \displaystyle\int \dfrac{3e^{2x}}{e^{2x} + 1}\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( u = e^{2x} + 1 \)

\( du = 2e^{2x}\ dx \)

\( \Longrightarrow e^{2x}\ dx = \dfrac{1}{2}\ du \)

\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.

\( = \displaystyle\int \dfrac{3}{2u}\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{3\ln{\abs{u}}}{2} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{3\ln{\abs{e^{2x} + 1}}}{2} + C \)

(a) seçeneği:

\( \displaystyle\int {\dfrac{e^x}{\sqrt{16 - e^{2x}}}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = e^x \)

\( du = e^x\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sqrt{16 - u^2}}\ du} \)

\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sqrt{4^2 - u^2}}\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}} = \arcsin{\frac{x}{a}} + C \)

\( = \arcsin{\dfrac{u}{4}} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \arcsin{\dfrac{e^x}{4}} + C \)

(b) seçeneği:

\( \displaystyle\int {\dfrac{4x^3}{1 + x^8}\ dx} \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( = \displaystyle\int {\dfrac{4x^3}{1 + (x^4)^2}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = x^4 \)

\( du = 4x^3\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{1 + u^2}\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{dx}{a^2 + x^2}} = \dfrac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}} + C \)

\( = \arctan{u} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \arctan{x^4} + C \)

(c) seçeneği:

\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{2x\sqrt{4x^2 - 36}}\ dx} \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{2x\sqrt{(2x)^2 - 36}}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 2x \)

\( du = 2\ dx \)

\( \Longrightarrow dx = \dfrac{du}{2} \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{2u\sqrt{u^2 - 36}}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{2u\sqrt{u^2 - 6^2}}\ dx} \)

İfadenin integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{dx}{x\sqrt{x^2 - a^2}}} = \dfrac{1}{a}\arcsec{\frac{x}{a}} + C \)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{6}\arcsec{\dfrac{u}{6}} + C \)

\( = \dfrac{1}{12}\arcsec{\dfrac{u}{6}} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{1}{12}\arcsec{\dfrac{2x}{6}} + C \)

\( = \dfrac{1}{12}\arcsec{\dfrac{x}{3}} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \sqrt[3]{x} \)

\( du = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\ dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\ dx = 3\ du \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int \dfrac{f'(\sqrt[3]{x})}{\sqrt[3]{x^2}}\ dx = \displaystyle\int 3f'(u)\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = 3f(u) + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = 3f(\sqrt[3]{x}) + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \sqrt[3]{x} \)

\( du = d(\sqrt[3]{x}) \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int \sqrt[3]{x}\ d(\sqrt[3]{x}) = \displaystyle\int u\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{u^2}{2} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{(\sqrt[3]{x})^2}{2} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = x + a - b \)

\( du = dx \)

\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.

\( u(2a) = 2a + a - b = 3a - b \)

\( u(b) = b + a - b = a \)

Verilen ifadede bu değişkenleri ve sınır değerlerini yerine koyalım.

\( \displaystyle\int_{2a}^b f(x + a - b)\ dx = \displaystyle\int_{3a - b}^a f(u)\ du = 15 \)

Elde ettiğimiz ifade soruda değeri istenen ifadenin sınır değerleri yer değiştirmiş formudur.

\( \displaystyle\int_{a}^{3a - b} f(x)\ dx = -15 \)

İntegrali düzenleyelim.

\( \displaystyle\int \cos^3{x}\ dx = \displaystyle\int \cos^2{x}\cos{x}\ dx \)

Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( = \displaystyle\int (1 - \sin^2{x})\cos{x}\ dx \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \sin{x} \)

\( du = \cos{x}\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int (1 - \sin^2{x})\cos{x}\ dx = \displaystyle\int (1 - u^2)\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = u - \dfrac{u^3}{3} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \sin{x} - \dfrac{\sin^3{x}}{3} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.

\( u = \cos{x} - \sin{x} \)

\( du = (- \sin{x} - \cos{x})dx \)

\( \Longrightarrow -du = (\sin{x} + \cos{x})dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{\sin{x} + \cos{x}}{\cos{x} - \sin{x}}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{1}{u}\ (-du)} \)

\( = -\displaystyle\int {\dfrac{1}{u}\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = -\ln{\abs{u}} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = -\ln{\abs{\cos{x} - \sin{x}}} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 3x \)

\( du = 3\ dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{du}{3} = dx \)

\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.

\( u(1) = 3 \cdot 1 = 3 \)

\( u(4) = 3 \cdot 4 = 12 \)

Verilen ifadede bu değişkenleri ve sınır değerlerini yerine koyalım.

\( \displaystyle\int_1^4 {f(3x)\ dx} = \displaystyle\int_3^{12} {f(u) \cdot \dfrac{du}{3}} \)

\( = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_3^{12} {f(u)\ du} \)

Kalkülüsün ikinci temel teoremine göre, bir \( f \) fonksiyonunun integrali olan \( F \) fonksiyonu biliniyorsa \( f \) fonksiyonunun \( [a, b] \) aralığındaki belirli integrali \( F \) fonksiyonunun bu aralığın uç noktalarındaki değerlerinin farkına eşittir.

\( \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \)

\( \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_3^{12} {f(u)\ du} = \dfrac{1}{3}(F(12) - F(3)) \)

\( = \dfrac{F(12) - F(3)}{3} \) olarak bulunur.

Köklü ifadeleri üslü ifade olarak yazalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{3\sqrt{1 + \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \ dx} = 3\displaystyle\int {x^{-\frac{1}{2}}(1 + x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 1 + x^{\frac{1}{2}} \)

\( du = \dfrac{x^{-\frac{1}{2}}\ dx}{2} \)

\( \Longrightarrow x^{-\frac{1}{2}}\ dx = 2\ du \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = 3\displaystyle\int {u^{\frac{1}{2}}\ 2\ du} \)

\( = 6\displaystyle\int {u^{\frac{1}{2}}\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{6u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C \)

\( = 4u^{\frac{3}{2}} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = 4(1 + x^{\frac{1}{2}})^{\frac{3}{2}} + C \)

\( = 4\sqrt{(1 + \sqrt{x})^3} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = e^{\sqrt[3]{x^2}} \)

\( du = \dfrac{2e^{\sqrt[3]{x^2}}}{3\sqrt[3]{x}}\ dx \)

\( \Longrightarrow \dfrac{e^{\sqrt[3]{x^2}}}{\sqrt[3]{x}}\ dx = \dfrac{3}{2}\ du \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int \dfrac{e^{\sqrt[3]{x^2}}\sin(e^{\sqrt[3]{x^2}})}{\sqrt[3]{x}}\ dx = \displaystyle\int \dfrac{3}{2}\sin{u}\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = -\dfrac{3}{2}\cos{u} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = -\dfrac{3}{2}\cos{e^{\sqrt[3]{x^2}}} + C \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( \displaystyle\int \sqrt{x + \dfrac{1}{x}} \cdot \dfrac{x^2 - 1}{x^2}\ dx \)

\( = \displaystyle\int \sqrt{x + \dfrac{1}{x}} \cdot \left( 1 - \dfrac{1}{x^2} \right)\ dx \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = x + \dfrac{1}{x} \)

\( du = \left( 1 - \dfrac{1}{x^2} \right)\ dx \)

\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.

\( = \displaystyle\int \sqrt{u}\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{2\sqrt{u^3}}{3} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{2\sqrt{(x + \frac{1}{x})^3}}{3} + C \)

Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \sin(2x) = 2\sin{x}\cos{x} \)

\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} {5(2\sin{x}\cos{x})(1 + \sin{x})^4\ dx} \)

\( = 10\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} {\sin{x}\cos{x}(1 + \sin{x})^4\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.

\( u = 1 + \sin{x} \)

\( \Longrightarrow \sin{x}= u - 1 \)

\( du = \cos{x}\ dx \)

\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.

\( u(0) = 1 + \sin{0} = 1 \)

\( u(\frac{\pi}{2}) = 1 + \sin{\frac{\pi}{2}} = 2 \)

Son ifadede bu değişkenleri ve sınır değerlerini yerine koyalım.

\( = 10\displaystyle\int_1^2 {(u - 1)u^4\ du} \)

\( = 10\displaystyle\int_1^2 (u^5 - u^4)\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = 10\left( \dfrac{u^6}{6} - \dfrac{u^5}{5} \right)|_1^2 \)

\( = 10\left[ \left( \dfrac{2^6}{6} - \dfrac{2^5}{5} \right) - \left( \dfrac{1^6}{6} - \dfrac{1^5}{5} \right) \right] \)

\( = 10 \cdot \dfrac{129}{30} = 43 \) bulunur.

\( \displaystyle\int -\dfrac{\cos^3{x}}{\sin^5{x}}\ dx \)

\( \dfrac{\cos^3{x}}{\sin^3{x}} = \cot^3{x} \) yazalım.

\( = \displaystyle\int -\dfrac{\cot^3{x}}{\sin^2{x}}\ dx \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \cot{x} \)

\( du = -\dfrac{1}{\sin^2{x}}\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int u^3\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{u^4}{4} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{\cot^4{x}}{4} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 5 + \sqrt{x^3} \)

\( du = \dfrac{3\sqrt{x}}{2}\ dx \)

\( \Longrightarrow \sqrt{x}\ dx = \dfrac{2}{3}\ du \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int \sqrt{x} \cdot \sqrt[5]{5 + \sqrt{x^3}}\ dx = \displaystyle\int \dfrac{2\sqrt[5]{u}}{3}\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{2u^{\frac{6}{5}}}{3 \cdot \frac{6}{5}} + C \)

\( = \dfrac{5\sqrt[5]{u^6}}{9} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{5\sqrt[5]{(5 + \sqrt{x^3})^6}}{9} + C \)

İfadenin integralini almak için değişken değiştirme yöntemini uygulayalım.

\( u = \sqrt{x} \)

\( \Longrightarrow u^2 = x \)

\( du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\ dx \)

\( \Longrightarrow 2u\ du = dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int \dfrac{\sqrt{x}}{x - 4}\ dx = \displaystyle\int \dfrac{2u^2}{u^2 - 4}\ du \)

Elde ettiğimiz ifadeyi basit kesirlere ayırma yöntemi ile basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.

\( = \displaystyle\int (2 - \dfrac{2}{u + 2} + \dfrac{2}{u - 2})\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = 2u - 2\ln{\abs{u + 2}} + 2\ln{\abs{u - 2}} + C \)

\( = 2u - 2\ln{\dfrac{\abs{u + 2}}{\abs{u - 2}}} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = 2\sqrt{x} - 2\ln{\dfrac{\abs{\sqrt{x} + 2}}{\abs{\sqrt{x} - 2}}} + C \)

İntegrali düzenleyelim.

\( \displaystyle\int \csc^4{x}\ dx = \displaystyle\int \csc^2{x}\csc^2{x}\ dx \)

Pisagor özdeşliğini kullanalım.

\( = \displaystyle\int (1 + \cot^2{x})\csc^2{x}\ dx \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \cot{x} \)

\( du = -\csc^2{x}\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int (1 + \cot^2{x})\csc^2{x}\ dx = \displaystyle\int -(1 + u^2)\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = -u - \dfrac{u^3}{3} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = -\cot{x} - \dfrac{\cot^3{x}}{3} + C \)

Sekant ifadesinin iki kuvvetini ayıralım.

\( \displaystyle\int {\sec^6{x}\ dx} = \displaystyle\int {\sec^4{x}\sec^2{x}\ dx} \)

Pisagor özdeşliği ile \( \sec^4{x} \) ifadesini \( \tan^2{x} \) cinsinden yazalım.

\( \sec^2{x} = \tan^2{x} + 1 \)

\( = \displaystyle\int {(\tan^2{x} + 1)^2\sec^2{x}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \tan{x} \)

\( du = \sec^2{x}\ dx \)

Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int {(u^2 + 1)^2\ du} \)

\( = \displaystyle\int (u^4 + 2u^2 + 1)\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{u^5}{5} + \dfrac{2u^3}{3} + u + C \)

\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.

\( = \dfrac{\tan^5{x}}{5} + \dfrac{2\tan^3{x}}{3} + \tan{x} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = x^{\frac{1}{4}} \)

\( \Longrightarrow x = u^4 \)

\( du = \dfrac{dx}{4x^{\frac{3}{4}}} \)

\( \Longrightarrow dx = 4x^{\frac{3}{4}}\ du \)

\( \Longrightarrow dx = 4u^3\ du \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{2}{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{4}}}\ dx} = 2\displaystyle\int {\dfrac{1}{u^2 - u}\ 4u^3\ du} \)

\( = 8\displaystyle\int {\dfrac{u^3}{u^2 - u}\ du} \)

\( = 8\displaystyle\int {\dfrac{u^2}{u - 1}\ du} \)

İfadeyi daha sade hale getirmek için paya 1 ekleyip çıkaralım.

\( = 8\displaystyle\int {\dfrac{u^2 - 1 + 1}{u - 1}\ du} \)

\( = 8\displaystyle\int {\dfrac{(u - 1)(u + 1) + 1}{u - 1}\ du} \)

\( = 8\displaystyle\int \left( u + 1 + \dfrac{1}{u - 1} \right)\ du \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = 8\left( \dfrac{u^2}{2} + u + \ln{\abs{u - 1}} \right) + C \)

\( = 4u^2 + 8u + 8\ln{\abs{u - 1}} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = 4x^{\frac{1}{2}} + 8x^{\frac{1}{4}} + 8\ln{\abs{x^{\frac{1}{4}} - 1}} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( t = \sqrt{x} \)

\( \Longrightarrow x = t^2 \)

\( 2t\ dt = dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( \displaystyle\int {3^{\sqrt{x}}\ dx} = \displaystyle\int {3^t\ 2t\ dt} \)

\( = 2\displaystyle\int {t\ 3^t\ dt} \)

İfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.

\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.

\( u = t \)

\( dv = 3^t\ dt \)

Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.

\( du = dt \)

\( v = \dfrac{3^t}{\ln{3}} \)

Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.

\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)

\( 2\displaystyle\int {t\ 3^t\ dt} = 2\left( t\cdot \dfrac{3^t}{\ln{3}} - \displaystyle\int {\dfrac{3^t}{\ln{3}}\ dt} \right) \)

Son terimin integralini alalım.

\( = 2\left( \dfrac{t\ 3^t}{\ln{3}} - \dfrac{1}{\ln{3}} \cdot \dfrac{3^t}{\ln{3}} + C \right) \)

\( = 2\left( \dfrac{t\ 3^t}{\ln{3}} - \dfrac{3^t}{(\ln{3})^2} + C \right) \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{2\sqrt{x}\ 3^{\sqrt{x}}}{\ln{3}} - \dfrac{2 \cdot 3^{\sqrt{x}}}{(\ln{3})^2} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \sqrt{\sqrt{x} + 1} \)

\( \Longrightarrow u^2 = \sqrt{x} + 1 \)

\( \Longrightarrow u^2 - 1 = \sqrt{x} \)

\( 2u\ du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\ dx \)

Sınır değerlerini \( u \) cinsinden yazalım.

\( u(0) = \sqrt{\sqrt{0} + 1} = 1 \)

\( u(9) = \sqrt{\sqrt{9} + 1} = 2 \)

Verilen ifadenin payını ve paydasını \( 2\sqrt{x} \) ile çarpalım.

\( \displaystyle\int_0^9 \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{\sqrt{x} + 1} \cdot 2 \sqrt{x}}\ dx \)

Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.

\( = \displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{2 (u^2 - 1)}{u} \cdot 2u \ du \)

\( = \displaystyle\int_{1}^{2} 4 (u^2 - 1)\ du \)

\( = 4\displaystyle\int_{1}^{2} (u^2 - 1)\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = 4\left( \dfrac{u^3}{3} - u \right)|_1^2 \)

\( = 4\left[ \left( \dfrac{2^3}{3} - 2 \right) - \left( \dfrac{1^3}{3} - 1 \right) \right] \)

\( = \dfrac{16}{3} \) bulunur.