İntegral Alma Kuralları
Önceki bölümde gördüğümüz üzere integral işlemi türevin ters işlemidir, dolayısıyla bir \( f \) fonksiyonunun integralini alırken amaç türevi \( f \) olan fonksiyonu bulmaktır. Buna göre belirli bir integral alma kuralının ispatı olarak integral işleminin sonucunun türevinin orijinal fonksiyonu verip vermediği kontrol edilebilir.
Aşağıdaki integral alma kuralları belirsiz integral için veriliyor olsa da belirli integralde de kullanılabilir.
Sabit Fonksiyonun İntegrali
Sabit fonksiyonun integrali doğrusal fonksiyondur.
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int {k\ dx} = kx + C \)
\( \displaystyle\int {5\ dx} = 5x + C \)
\( \displaystyle\int {-\pi\ dx} = -\pi x + C \)
Kuvvet Fonksiyonunun İntegrali
Bir kuvvet fonksiyonunun integrali alınırken üsse 1 eklenir ve ifade yeni üsse bölünür.
\( n \in \mathbb{R} - \{ -1 \} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int {x^n\ dx} = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \)
Pozitif Tam Sayı Üs
Bu kural pozitif tam sayı üslü kuvvet fonksiyonlarına aşağıdaki şekilde uygulanabilir.
\( \displaystyle\int {x^2\ dx} = \dfrac{x^3}{3} + C \)
\( \displaystyle\int {(5x^3 - 3x)\ dx} = \dfrac{5x^4}{4} - \dfrac{3x^2}{2} + C \)
\( \displaystyle\int {-99x^{99}\ dx} = -\dfrac{99x^{100}}{100} + C \)
Negatif Tam Sayı Üs
\( n \ne -1 \) olmak üzere, bu kural negatif tam sayı üslü kuvvet fonksiyonlarına benzer şekilde uygulanabilir.
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{x^3}\ dx} = \displaystyle\int {x^{-3}\ dx} \)
\( = \dfrac{x^{-3 + 1}}{-3 + 1} + C = -\dfrac{1}{2x^2} + C \)
\( n = -1 \) olduğu duruma karşılık gelen \( \frac{1}{x} \) fonksiyonunun integralini üstel ve logaritmik fonksiyonların integrali bölümünde inceleyeceğiz.
Pozitif Rasyonel Üs
Bu kural pozitif rasyonel sayı üslü kuvvet fonksiyonlarına benzer şekilde uygulanabilir.
\( \displaystyle\int {\sqrt{x}\ dx} = \displaystyle\int {x^{\frac{1}{2}}\ dx} \)
\( = \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C = \dfrac{2}{3}\sqrt{x^3} + C \)
\( \displaystyle\int {2\sqrt[5]{x^3}\ dx} = \displaystyle\int {2x^{\frac{3}{5}}\ dx} \)
\( = \dfrac{2 \cdot 5}{8}x^{\frac{8}{5}} + C = \dfrac{5}{4}\sqrt[5]{x^8} + C \)
Negatif Rasyonel Üs
Bu kural negatif rasyonel sayı üslü kuvvet fonksiyonlarına benzer şekilde uygulanabilir.
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ dx} = \displaystyle\int {x^{-\frac{1}{2}}\ dx} \)
\( = \dfrac{1}{-\frac{1}{2} + 1}x^{-\frac{1}{2} + 1} + C = 2\sqrt{x} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{7}{\sqrt[3]{x^4}}\ dx} = \displaystyle\int {7x^{-\frac{4}{3}}\ dx} \)
\( = \dfrac{7}{-\frac{4}{3} + 1}x^{-\frac{4}{3} + 1} + C = -\dfrac{21}{\sqrt[3]{x}} + C \)
Bir fonksiyonun integralini almak için kullanılan (bu bölümde çoğunu inceleyeceğimiz) pek çok yöntem vardır, bununla birlikte bazı fonksiyonların integrali bu temel yöntemler kullanılarak alınamaz ve daha ileri yöntemlere (Taylor serileri, nümerik yöntemler vb.) ihtiyaç duyulur. İntegrali bu bölümde inceleyeceğimiz bu temel yöntemlerle alınamayan fonksiyonlara aşağıdaki fonksiyonlar örnek olarak verilebilir.
\( \displaystyle\int {e^{x^2}\ dx}, \displaystyle\int {e^{-x^2}\ dx} \)
\( \displaystyle\int {e^{\frac{1}{x}}\ dx} \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{e^x}{x}\ dx} \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{\ln{x}}\ dx} \)
\( \displaystyle\int {\sin{x^2}\ dx}, \displaystyle\int {\cos{x^2}\ dx} \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{\sin{x}}{x}\ dx}, \displaystyle\int {\dfrac{\cos{x}}{x}\ dx} \)
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
(a) \( \displaystyle\int (x^3 + 6x^2 - 7)\ dx \)
(b) \( \displaystyle\int (4x^5 + 3x^2 + 7x)\ dx \)
(c) \( \displaystyle\int \left( \dfrac{1}{6}x^6 + \dfrac{1}{5}x^5 + \dfrac{1}{4}x^4 \right)\ dx \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \displaystyle\int (x^3 + 6x^2 - 7)\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{6}{3}x^3 - 7x + C \)
\( = \dfrac{1}{4}x^4 + 2x^3 - 7x + C \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\int (4x^5 + 3x^2 + 7x)\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{4}{6}x^6 + \dfrac{3}{3}x^3 + \dfrac{7}{2}x^2 + C \)
\( = \dfrac{2}{3}x^6 + x^3 + \dfrac{7}{2}x^2 + C \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\int \left( \dfrac{1}{6}x^6 + \dfrac{1}{5}x^5 + \dfrac{1}{4}x^4 \right)\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{42}x^7 + \dfrac{1}{30}x^6 + \dfrac{1}{20}x^5 + C \)
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
(a) \( \displaystyle\int (3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x})\ dx \)
(b) \( \displaystyle\int (\sqrt{x^3} - 5\sqrt[3]{x^2})\ dx \)
(c) \( \displaystyle\int (2\sqrt{x^7} + 9\sqrt[5]{x^4})\ dx \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \displaystyle\int (3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x})\ dx \)
Köklü ifadeleri üslü ifade olarak yazalım.
\( = \displaystyle\int (3x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{3}})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{3}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} - \dfrac{2}{\frac{4}{3}}x^{\frac{4}{3}} + C \)
\( = 2\sqrt{x^3} - \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{x^4} + C \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\int (\sqrt{x^3} - 5\sqrt[3]{x^2})\ dx \)
Köklü ifadeleri üslü ifade olarak yazalım.
\( = \displaystyle\int (x^{\frac{3}{2}} - 5x^{\frac{2}{3}})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}} - \dfrac{5}{\frac{5}{3}}x^{\frac{5}{3}} + C \)
\( = \dfrac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} - 3x^{\frac{5}{3}} + C \)
\( = \dfrac{2}{5}\sqrt{x^5} - 3\sqrt[3]{x^5} + C \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\int (2\sqrt{x^7} + 9\sqrt[5]{x^4})\ dx \)
Köklü ifadeleri üslü ifade olarak yazalım.
\( = \displaystyle\int (2x^{\frac{7}{2}} + 9x^{\frac{4}{5}})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{2}{\frac{9}{2}}x^{\frac{9}{2}} + \dfrac{9}{\frac{9}{5}}x^{\frac{9}{5}} + C \)
\( = \dfrac{4}{9}x^{\frac{9}{2}} + 5x^{\frac{9}{5}} + C \)
\( = \dfrac{4}{9}\sqrt{x^9} + 5\sqrt[5]{x^9} + C \)
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
(a) \( \displaystyle\int_{1}^{2}{x^{\pi-1}\ dx} \)
(b) \( \displaystyle\int_{2}^{3}{ex^{e-1}\ dx} \)
(c) \( \displaystyle\int_{0}^{1}{x^{\pi^2}\ dx} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \displaystyle\int_{1}^{2}{x^{\pi-1}\ dx} \)
\( = \dfrac{x^\pi}{\pi}|_1^2 \)
\( = \dfrac{2^\pi}{\pi} - \dfrac{1^\pi}{\pi} \)
\( = \dfrac{2^\pi - 1}{\pi} \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\int_{2}^{3}{ex^{e-1}\ dx} \)
\( = \dfrac{ex^e}{e}|_2^3 \)
\( = x^e|_2^3 \)
\( = 3^e - 2^e \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\int_{0}^{1}{x^{\pi^2}\ dx} \)
\( = \dfrac{x^{\pi^2 + 1}}{\pi^2 + 1}|_0^1 \)
\( = \dfrac{1^{\pi^2 + 1}}{\pi^2 + 1} - \dfrac{0^{\pi^2 + 1}}{\pi^2 + 1} \)
\( = \dfrac{1}{\pi^2 + 1} \)
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
(a) \( \displaystyle\int \left( 2x + \dfrac{3}{x} \right)^2\ dx \)
(b) \( \displaystyle\int (3x + 2)^3\ dx \)
(c) \( \displaystyle\int (x^2 + 3x)^2\ dx \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \displaystyle\int \left( 2x + \dfrac{3}{x} \right)^2\ dx \)
Parantez karesi ifadesinin açılımını yazalım.
\( = \displaystyle\int {\left( 4x^2 + 12 + \dfrac{9}{x^2} \right)\ dx} \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{4}{3}x^3 + 12x + 9\left( -\dfrac{1}{x} \right) + C \)
\( = \dfrac{4}{3}x^3 + 12x - \dfrac{9}{x} + C \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\int (3x + 2)^3\ dx \)
Parantez küpü ifadesinin açılımını yazalım.
\( = \displaystyle\int (27x^3 + 54x^2 + 36x + 8)\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{27}{4}x^4 + \dfrac{54}{3}x^3 + \dfrac{36}{2}x^2 + 8x + C \)
\( = \dfrac{27}{4}x^4 + 18x^3 + 18x^2 + 8x + C \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\int (x^2 + 3x)^2\ dx \)
Parantez karesi ifadesinin açılımını yazalım.
\( = \displaystyle\int {(x^4 + 6x^3 + 9x^2)\ dx} \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{5}x^5 + \dfrac{6}{4}x^4 + \dfrac{9}{3}x^3 + C \)
\( = \dfrac{1}{5}x^5 + \dfrac{3}{2}x^4 + 3x^3 + C \)
\( \displaystyle\int_1^k {(2x - 4)\ dx} = 0 \)
eşitliğini sağlayan tüm \( k \) reel sayı değerlerini bulunuz.
Çözümü Gösterİfadenin integralini alalım.
\( (x^2 - 4x)|_1^k = 0 \)
\( (k^2 - 4k) - (1^2 - 4(1)) = 0 \)
\( k^2 - 4k - (-3) = 0 \)
\( k^2 - 4k + 3 = 0 \)
\( (k - 3)(k - 1) = 0 \)
Buna göre denklemi sağlayan \( k \) değerleri aşağıdaki gibi bulunur.
\( k \in \{ 1, 3 \} \)
\( \displaystyle\int_a^b 8x\ dx = 36 \) ve \( a - b = 9 \) olduğuna göre, \( a + b \) kaçtır?
Çözümü Gösterİfadenin integralini alalım.
\( \displaystyle\int_a^b 8x\ dx = (4x^2)_a^b \)
\( = 4b^2 - 4a^2 = 4(b - a)(b + a) = 36 \)
\( 4(-9)(a + b) = 36 \)
\( a + b = -1 \) bulunur.
\( \displaystyle\int {\left( 3 + \dfrac{1}{2x} \right)\sqrt{x}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( \displaystyle\int {\left( 3 + \dfrac{1}{2x} \right)\sqrt{x}\ dx} \)
Köklü ifadeyi üslü ifade olarak yazalım.
\( = \displaystyle\int {\left( 3 + \dfrac{1}{2}x^{-1} \right)x^{\frac{1}{2}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int \left( 3x^{\frac{1}{2}} + \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \right)\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{3x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \dfrac{x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot \frac{1}{2}} + C \)
\( = 2x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + C \)
\( = 2\sqrt{x^3} + \sqrt{x} + C \)
\( \displaystyle\int \dfrac{(2x^3 - 1)(x + 3)}{x^3}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterPaydaki parantezleri dağıtalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{2x^4 + 6x^3 - x - 3}{x^3}\ dx \)
İfadeyi ayrı kesirlere ayıralım.
\( = \displaystyle\int \left( \dfrac{2x^4}{x^3} + \dfrac{6x^3}{x^3} - \dfrac{x}{x^3} - \dfrac{3}{x^3} \right)\ dx \)
\( = \displaystyle\int \left( 2x + 6 - \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{3}{x^3} \right)\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = x^2 + 6x + \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{2x^2} + C \)
\( \displaystyle\int \dfrac{(2x + 1)^3}{\sqrt{x}}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterPaydaki ifadenin açılımını yazalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{(2x)^3 + 3(2x)^2 + 3(2x) + 1}{\sqrt{x}}\ dx \)
\( = \displaystyle\int \dfrac{8x^3 + 12x^2 + 6x + 1}{\sqrt{x}}\ dx \)
İfadeyi ayrı kesirlere ayıralım.
\( = \displaystyle\int \left( \dfrac{8x^3}{\sqrt{x}} + \dfrac{12x^2}{\sqrt{x}} + \dfrac{6x}{\sqrt{x}} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)\ dx \)
Kesirlerin pay ve paydalarını sadeleştirelim.
\( = \displaystyle\int (8x^{\frac{5}{2}} + 12x^{\frac{3}{2}} + 6x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{8}{\frac{7}{2}}x^{\frac{7}{2}} + \dfrac{12}{\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}} + \dfrac{6}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} + C \)
\( = \dfrac{16}{7}\sqrt{x^7} + \dfrac{24}{5}\sqrt{x^5} + 4\sqrt{x^3} + 2\sqrt{x} + C \)
\( \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^3 - 1}{x^2 + x + 1}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \) özdeşliğini kullanalım.
\( \displaystyle\int_0^1 \dfrac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1}\ dx \)
Pay ve paydadaki ifadeler sadeleşir.
\( = \displaystyle\int_0^1 (x - 1)\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \left( \dfrac{1}{2}x^2 - x \right)_0^1 \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = \left( \dfrac{1}{2}1^2 - 1 \right) - \left( \dfrac{1}{2}0^2 - 0 \right) \)
\( = -\dfrac{1}{2} \) bulunur.
\( f \) bir polinom fonksiyonu olmak üzere,
\( P'(x)P(x)\displaystyle\int P(x)\ dx \) ifadesi 12. dereceden bir polinom olduğuna göre, \( der[P(x)] \) kaçtır?
Çözümü Göster\( P(x) \) polinomunun derecesine \( a \) diyelim.
Bir polinomun türevi alındığında derecesi 1 azalır, integrali alındığında derecesi 1 artar.
\( der[P'(x)] = a - 1 \)
\( der\left[ \displaystyle\int P(x)\ dx \right] = a + 1 \)
Polinomların çarpımının derecesi polinomların derecelerinin toplamına eşittir.
\( (a - 1) + a + (a + 1) = 12 \)
\( a = der[P(x)] = 4 \) bulunur.
\( \dfrac{d}{dx} \left( \displaystyle\int_{2x}^{x^2} (u^2 + u)\ du \right) \) ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterÖnce parantez içindeki belirli integralin değerini bulalım.
\( \displaystyle\int_{2x}^{x^2} (u^2 + u)\ du \)
\( = \left( \dfrac{u^3}{3} + \dfrac{u^2}{2} \right)|_{2x}^{x^2} \)
\( = \left( \dfrac{(x^2)^3}{3} + \dfrac{(x^2)^2}{2} \right) - \left( \dfrac{(2x)^3}{3} + \dfrac{(2x)^2}{2} \right) \)
\( = \dfrac{x^6}{3} + \dfrac{x^4}{2} - \dfrac{8x^3}{3} - 2x^2 \)
Şimdi bu ifadenin \( x \) değişkenine göre türevini alalım.
\( \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{x^6}{3} + \dfrac{x^4}{2} - \dfrac{8x^3}{3} - 2x^2 \right) \)
\( = \dfrac{6x^5}{3} + \dfrac{4x^3}{2} - \dfrac{24x^2}{3} - 4x \)
\( = 2x^5 + 2x^3 - 8x^2 - 4x \)
Türev fonksiyonu \( f'(x) = 2x - \frac{3}{2x^2} \) olan ve \( f(2) = 4 \) eşitliğini sağlayan \( f(x) \) fonksiyonunun katsayılar toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonunu bulmak için \( f' \) fonksiyonunun integralini alalım.
\( f(x) = \displaystyle\int \left( 2x - \dfrac{3}{2x^2} \right)\ dx \)
\( = x^2 + \dfrac{3}{2x} + C \)
\( C \) integral sabitinin değerini bulmak için \( f(2) \) değerini kullanalım.
\( f(2) = 4 \)
\( 2^2 + \dfrac{3}{2 \cdot 2} + C = 4 \)
\( C = -\dfrac{3}{4} \)
Buna göre \( f(x) \) fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = x^2 + \dfrac{3}{2x} - \dfrac{3}{4} \)
Fonksiyonun katsayılar toplamı \( 1 + \frac{3}{2} - \frac{3}{4} = \frac{7}{4} \) olarak bulunur.
\( f \) fonksiyonunun her noktada teğetinin eğimi o noktanın apsisinin 2 katına eşittir.
\( f(-3) = 5 \) olduğuna göre, \( f(4) \) kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyonun her noktada teğetinin eğimi o noktanın apsisinin 2 katına eşit ise türev fonksiyonu aşağıdaki gibi olur.
\( f'(x) = 2x \)
\( f \) fonksiyonunu bulmak için \( f' \) fonksiyonunun integralini alalım.
\( f(x) = \displaystyle\int 2x\ dx = x^2 + C \)
\( C \) integral sabitinin değerini bulmak için \( f(-3) \) değerini kullanalım.
\( f(-3) = 5 \)
\( (-3)^2 + C = 5 \)
\( C = -4 \)
Buna göre \( f(x) \) fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = x^2 - 4 \)
\( f(4) \) değerini bulmak için \( x = 4 \) yazalım.
\( f(4) = 4^2 - 4 = 12 \) bulunur.
\( (1, 5) \) noktasından geçen \( f \) fonksiyonunun her noktadaki eğimi o noktanın apsisinin 3 katının 1 eksiğine eşittir.
Buna göre \( f(2) \) kaçtır?
Çözümü GösterSorudaki verilere göre \( f(1) = 5 \) ve \( f'(x) = 3x - 1 \) olur.
\( f \) fonksiyonunu bulmak için \( f' \) fonksiyonunun integralini alalım.
\( f(x) = \displaystyle\int (3x - 1)\ dx \)
\( = \dfrac{3x^2}{2} - x + C \)
\( C \) integral sabitinin değerini bulmak için \( f(1) \) değerini kullanalım.
\( f(1) = 5 \)
\( \dfrac{3(1)^2}{2} - 1 + C = 5 \)
\( C = \dfrac{9}{2} \)
Buna göre \( f \) fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \dfrac{3x^2}{2} - x + \dfrac{9}{2} \)
\( f(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.
\( f(2) = \dfrac{3(2)^2}{2} - 2 + \dfrac{9}{2} \)
\( = \dfrac{17}{2} \) bulunur.
\( x \gt 0 \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int {\left( \dfrac{1}{x^2} \displaystyle\int_1^x {2t\ dt} \right)\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterÖnce parantez içindeki belirli integrali hesaplayalım.
\( \displaystyle\int_1^x {2t\ dt} = (t^2)|_1^x = x^2 - 1 \)
Bulduğumuz ifadeyi ana integralde yerine yazalım.
\( \displaystyle\int {\left( \dfrac{1}{x^2} \cdot (x^2 - 1) \right)\ dx} \)
Parantez içindeki ifadeyi genişletelim.
\( = \displaystyle\int {\left( \dfrac{x^2}{x^2} - \dfrac{1}{x^2} \right)\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\left( 1 - \dfrac{1}{x^2} \right)\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = x + \dfrac{1}{x} + C \) bulunur.
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
(a) \( \displaystyle\int {\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}\ dx} \)
(b) \( \displaystyle\int {\sqrt[5]{x\sqrt{\dfrac{1}{x^3}}}\ dx} \)
(c) \( \displaystyle\int {\dfrac{13x^4}{\sqrt[3]{x^2}}\ dx} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \displaystyle\int {\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}\ dx} \)
Köklü ifadeleri üslü ifade olarak yazalım.
\( = \displaystyle\int {\sqrt{x\sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\sqrt{x\sqrt{x^{\frac{3}{2}}}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\sqrt{x \cdot (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\sqrt{x \cdot x^{\frac{3}{4}}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\sqrt{x^{\frac{7}{4}}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(x^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {x^{\frac{7}{8}}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{x^{\frac{7}{8} + 1}}{\frac{7}{8} + 1} + C \)
\( = \dfrac{x^{\frac{15}{8}}}{\frac{15}{8}} + C \)
\( = \dfrac{8}{15}x^{\frac{15}{8}} + C \)
\( = \dfrac{8}{15}\sqrt[8]{x^{15}} + C \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\int {\sqrt[5]{x\sqrt{\dfrac{1}{x^3}}}\ dx} \)
Köklü ifadeleri üslü ifade olarak yazalım.
\( = \displaystyle\int {\sqrt[5]{x \cdot x^{-\frac{3}{2}}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\sqrt[5]{x^{-\frac{1}{2}}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(x^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {x^{-\frac{1}{10}}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{x^{-\frac{1}{10} + 1}}{-\frac{1}{10} + 1} + C \)
\( = \dfrac{x^{\frac{9}{10}}}{\frac{9}{10}} + C \)
\( = \dfrac{10}{9}x^{\frac{9}{10}} + C \)
\( = \dfrac{10}{9}\sqrt[10]{x^9} + C \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\int {\dfrac{13x^4}{\sqrt[3]{x^2}}\ dx} \)
Köklü ifadeleri üslü ifade olarak yazalım.
\( = 13\displaystyle\int {\dfrac{x^4}{x^{\frac{2}{3}}}\ dx} \)
\( = 13\displaystyle\int {x^4 \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ dx} \)
\( = 13\displaystyle\int {x^{\frac{10}{3}}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{13x^{\frac{10}{3} + 1}}{\frac{10}{3} + 1} + C \)
\( = \dfrac{13x^{\frac{13}{3}}}{\frac{13}{3}} + C \)
\( = 3x^{\frac{13}{3}} + C \)
\( = 3\sqrt[3]{x^{13}} + C \)
\( \displaystyle\int_0^3 (6x^2 + 4x + e^{x^2})\ dx + \displaystyle\int_3^0 (2x + e^{x^2})\ dx \) integralinin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterBir integralin alt ve üst sınırları kendi aralarında yer değiştirirse integral değeri işaret değiştirir.
Buna göre ikinci integral ifadesinin sınır değerlerini aralarında yer değiştirelim.
\( \displaystyle\int_0^3 (6x^2 + 4x + e^{x^2})\ dx - \displaystyle\int_0^3 (2x + e^{x^2})\ dx \)
Sınır değerleri aynı olan iki integral ifadesini tek integral altında birleştirelim.
\( = \displaystyle\int_0^3 (6x^2 + 4x + e^{x^2} - 2x - e^{x^2})\ dx \)
\( = \displaystyle\int_0^3 (6x^2 + 2x)\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (2x^3 + x^2)|_0^3 \)
\( = (2(3)^3 + 3^2) - (2(0)^3 + 0^2) \)
\( = (54 + 9) - (0 + 0) = 63 \) bulunur.
\( \displaystyle\int_0^2 \dfrac{x^4}{x^2 - 1}\ dx + \displaystyle\int_2^0 \dfrac{1}{x^2 - 1}\ dx \) integralinin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterBir integralin alt ve üst sınırları kendi aralarında yer değiştirirse integral işaret değiştirir.
Buna göre ikinci integral ifadesinin sınır değerlerini aralarında yer değiştirelim.
\( \displaystyle\int_0^2 \dfrac{x^4}{x^2 - 1}\ dx - \displaystyle\int_0^2 \dfrac{1}{x^2 - 1}\ dx \)
Sınır değerleri aynı olan iki integral ifadesini tek integral altında birleştirelim.
\( = \displaystyle\int_0^2 \dfrac{x^4 - 1}{x^2 - 1}\ dx \)
\( = \displaystyle\int_0^2 \dfrac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^2 - 1}\ dx \)
\( = \displaystyle\int_0^2 (x^2 + 1)\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \left( \dfrac{x^3}{3} + x \right)|_0^2 \)
\( = \left( \dfrac{2^3}{3} + 2 \right) - \left( \dfrac{0^3}{3} + 0 \right) \)
\( = \dfrac{8}{3} + 2 - 0 = \dfrac{14}{3} \) bulunur.
\( f(x) \) bir polinom fonksiyonudur.
\( \displaystyle\int (f(x) + f'(x))\ dx = 3x^2 + 2x + C \) olduğuna göre, \( f(1) \) kaçtır?
Çözümü Gösterİntegrali alınan ifadede en yüksek dereceli ifade \( f(x) \)'tir. İntegral işleminin sonucu ikinci dereceden olduğuna göre \( f(x) \) birinci dereceden olur.
\( f(x) = ax + b \)
\( f'(x) = a \)
Bu değerleri verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( \displaystyle\int (ax + b + a)\ dx = 3x^2 + 2x + C \)
İfadenin integralini alalım.
\( \dfrac{ax^2}{2} + (a + b)x + C = 3x^2 + 2x + C \)
İki polinom arasındaki eşitlikte dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
\( a = 6, \quad b = -4 \)
\( f \) fonksiyonunun tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = 6x - 4 \)
\( f(1) \) değerini bulmak için \( x = 1 \) yazalım.
\( f(1) = 6(1) - 4 = 2 \) bulunur.
\(\displaystyle\int \dfrac{6x + 7}{\sqrt{3x + 4}} \ dx\) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadeyi iki terime ayrıştıracak şekilde düzenleyelim.
\( \displaystyle\int \dfrac{2(3x + 4) - 1}{\sqrt{3x + 4}}\ dx \)
\( = \displaystyle\int \left( \dfrac{2(3x + 4)}{\sqrt{3x + 4}} - \dfrac{1}{\sqrt{3x + 4}} \right)\ dx \)
Birinci terimin payı ve paydası sadeleşir.
\( = \displaystyle\int \left( 2\sqrt{3x + 4} - \dfrac{1}{\sqrt{3x + 4}} \right)\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{2}{3 \cdot \frac{3}{2}}(3x + 4)^{\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{3 \cdot \frac{1}{2}}\sqrt{3x + 4} + C \)
\( = \dfrac{4}{9}\sqrt{(3x + 4)^3} + \dfrac{2}{3}\sqrt{3x + 4} + C \)
\( \dfrac{d}{dx} \left( \displaystyle\int x\ da \right)^2 \) ifadesinin sonucu nedir?
Çözümü GösterParantez içindeki integral ifadesinin sonucunu bulalım.
İntegral değişkeni \( a \) olduğu için ifadenin \( a \) değişkenine göre integralini alalım.
\( \dfrac{d}{dx} \left( \displaystyle\int x\ da \right)^2 = \dfrac{d}{dx}(ax + C)^2 \)
Parantez içindeki ifadenin açılımını yazalım.
\( = \dfrac{d}{dx}(a^2x^2 + 2aCx + C^2) \)
Parantez içindeki ifadenin \( x \) değişkenine göre türevini alalım.
\( = 2a^2x + 2aC \) bulunur.
\( y \) fonksiyonunun birinci ve ikinci türevleri aşağıdaki gibidir.
\( \dfrac{dy}{dx} = kx^4 - (m + 5)x^3 + \dfrac{n}{2}x^2 + 2 \)
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = 20x^3 - 36x^2 + 18x \)
\( y(0) = -5 \) olduğuna göre, \( y(x) \) fonksiyonunun denklemini bulunuz.
Çözümü Göster\( \dfrac{dy}{dx} \) ifadesinin türevini alarak \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \) ifadesine eşitleyelim.
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx}\left( kx^4 - (m + 5)x^3 + \dfrac{n}{2}x^2 + 2 \right) \)
\( 20x^3 - 36x^2 + 18x = 4kx^3 - 3(m + 5)x^2 + nx \)
İki polinom arasındaki eşitlikte dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
\( 4k = 20 \Longrightarrow k = 5 \)
\( - 3(m + 5) = - 36 \)
\( m = 7 \)
\( n = 18 \)
Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = 5x^4 - 12x^3 + 9x^2 + 2 \)
\( y(x) \) fonksiyonunu bulmak için \( \frac{dy}{dx} \) fonksiyonunun integralini alalım.
\( y(x) = \displaystyle \int (5x^4 - 12x^3 + 9x^2 + 2) dx \)
\( = x^5 - 3x^4 + 3x^3 + 2x + C \)
\( C \) değerini bulmak için \( y(0) \) değerini kullanalım.
\( y(0) = -5 \)
\( 0^5 - 3(0)^4 + 3(0)^3 + 2(0) + C = -5 \)
\( C = -5 \)
\( y(x) = x^5 - 3x^4 + 3x^3 + 2x - 5 \)
\( \displaystyle\int \dfrac{4}{\sqrt{2x + 3} - \sqrt{2x - 1}}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİntegrali alınan ifadenin payını ve paydasını paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{4(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{2x - 1})}{(\sqrt{2x + 3} - \sqrt{2x - 1})(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{2x - 1})}\ dx \)
\( = \displaystyle\int \dfrac{4(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{2x - 1})}{\sqrt{2x + 3}^2 - \sqrt{2x - 1}^2}\ dx \)
\( = \displaystyle\int \dfrac{4(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{2x - 1})}{4}\ dx \)
\( = \displaystyle\int (\sqrt{2x + 3} + \sqrt{2x - 1})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{2 \cdot \frac{3}{2}}(2x + 3)^{\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{2 \cdot \frac{3}{2}}(2x - 1)^{\frac{3}{2}} + C \)
\( = \dfrac{1}{3}\sqrt{(2x + 3)^3} + \dfrac{1}{3}\sqrt{(2x - 1)^3} + C \)
\( \displaystyle\int f(2x + 1)\ dx = 3x^2 + 2x + 4 \)
olduğuna göre, \( f(5) \) kaçtır?
Çözümü Gösterİki tarafın türevini alalım.
\( \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int f(2x + 1)\ dx = \dfrac{d}{dx}(3x^2 + 2x + 4) \)
Türev ve integral birbirinin ters işlemleri olduğu için eşitliğin sol tarafında iki işlem birbirini götürür. Önce integral sonra türev aldığımız için integral işlemi sonucundaki integral sabiti türev işlemi sonucunda sıfır olur.
\( f(2x + 1) = 6x + 2 \)
\( f(5) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.
\( f(2 \cdot 2 + 1) = 6 \cdot 2 + 2 \)
\( f(5) = 14 \) bulunur.
\( \displaystyle\int \dfrac{xf(x)}{2}\ dx = 2x^3 + 5x^2 + 4x + C \)
olduğuna göre, \( f(2) \) kaçtır?
Çözümü Gösterİki tarafın türevini alalım.
\( \dfrac{d}{dx} \left( \displaystyle\int \dfrac{xf(x)}{2}\ dx \right) = \dfrac{d}{dx}(2x^3 + 5x^2 + 4x + C) \)
Türev ve integral birbirinin ters işlemleri olduğu için eşitliğin sol tarafında iki işlem birbirini götürür. Önce integral sonra türev aldığımız için integral işlemi sonucundaki integral sabiti türev işlemi sonucunda sıfır olur.
\( \dfrac{xf(x)}{2} = 6x^2 + 10x + 4 \)
\( f(x) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( f(x) = 12x + 20 + \dfrac{8}{x} \)
\( f(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.
\( f(2) = 12(2) + 20 + \dfrac{8}{2} = 48 \) bulunur.
\( f(x) \) bir polinom fonksiyonu olmak üzere,
\( f(x) + \displaystyle\int {f(x)\ dx} = x^3 + 4x^2 + 7x + 5 \)
olduğuna göre, \( f'(2) \) kaçtır?
Çözümü GösterBir polinom fonksiyonunun derecesi \( n \) ise integralinin derecesi \( n + 1 \) olur. Eşitliğin sağ tarafının derecesi 3 olduğuna göre, \( f \) fonksiyonu ikinci derecedendir.
Buna göre fonksiyon tanımını ve integralini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( f(x) = 3ax^2 + 2bx + c \)
\( \displaystyle\int {f(x)\ dx} = ax^3 + bx^2 + cx + d \)
Bu değerleri soruda verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( ax^3 + (3a + b)x^2 + (2b + c)x + (c + d) = x^3 + 4x^2 + 7x + 5 \)
İki polinom arasındaki eşitlikte dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
\( a = 1 \)
\( 3a + b = 4 \Longrightarrow b = 1 \)
\( 2b + c = 7 \Longrightarrow c = 5 \)
\( c + d = 5 \Longrightarrow d = 0 \)
Buna göre polinom fonksiyonunun tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = 3(1)x^2 + 2(1)x + 5 \)
\( = 3x^2 + 2x + 5 \)
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = 6x + 2 \)
\( f'(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.
\( f'(x) = 6(2) + 2 = 14 \) bulunur.
\( \displaystyle\int_0^1 (2x^2 - 9a)^2\ dx \) ifadesinin en küçük değerini alabilmesi için \( a \) kaç olmalıdır?
Çözümü Gösterİlk olarak verilen integrali hesaplayalım.
\( \displaystyle\int_0^1 (2x^2 - 9a)^2\ dx = \displaystyle\int_0^1 (4x^4 - 36ax^2 + 81a^2)\ dx \)
\( = \left( \dfrac{4}{5}x^5 - 12ax^3 + 81a^2x \right)|_0^1 \)
\( = \dfrac{4}{5} - 12a + 81a^2 \)
İntegralin sonucu \( a \) değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklemdir.
İntegralin en küçük değerini alabilmesi için bu ifadenin en küçük değerini alması gerekir. Kolları yukarı yönlü olan (pozitif başkatsayılı) parabol en küçük değerini tepe noktasında, yani türevinin sıfır olduğu noktada alır.
Parabol denkleminin türevini alıp sıfıra eşitleyelim.
\( \dfrac{d}{da} \left( \dfrac{4}{5} - 12a + 81a^2 \right) = 0 - 12 + 162a = 0 \)
\( 162a - 12 = 0 \)
\( a = \dfrac{2}{27} \) bulunur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int_0^1 {x(1 - x)^n\ dx} \) integralinin sonucu \( n \) cinsinden nedir?
Çözümü GösterBir integral ifadesine aşağıdaki şekilde yansıma dönüşümü uygulayalım.
\( \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_a^b {f(a + b - x)\ dx} \)
\( a = 0 \) ve \( b = 1 \) olarak alalım.
\( \displaystyle\int_0^1 {x(1 - x)^n\ dx} = \displaystyle\int_0^1 {(0 + 1 - x)(0 + 1 - (1 - x))^n\ dx} \)
\( = \displaystyle\int_0^1 {(1 - x)x^n\ dx} \)
\( = \displaystyle\int_0^1 {(x^n - x^{n+1})\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \left( \dfrac{x^{n+1}}{n + 1} - \dfrac{x^{n+2}}{n + 2} \right)\Bigg|_0^1 \)
\( = \left( \dfrac{1^{n+1}}{n + 1} - \dfrac{1^{n+2}}{n + 2} \right) - \left( \dfrac{0^{n+1}}{n + 1} - \dfrac{0^{n+2}}{n + 2} \right) \)
\( = \dfrac{1}{n + 1} - \dfrac{1}{n + 2} \)
\( = \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)} \) bulunur.