İntegral Alma Kuralları
Önceki bölümde gördüğümüz üzere integral işlemi türevin ters işlemidir, dolayısıyla bir \( f \) fonksiyonunun integralini alırken ana amacımız türevi \( f \) olan fonksiyonu bulmaktır.
Buna göre bu bölümde verdiğimiz integral alma kurallarının ispatı olarak integral işleminin sonucunun türevini alarak orijinal fonksiyonu elde edip etmediğimizi kontrol edebiliriz.
Aşağıdaki integral alma kurallarını belirsiz integral için veriyor olsak da tümü belirli integralde de kullanılabilir.
Sabit Fonksiyonun İntegrali
Sabit fonksiyonun integrali doğrusal fonksiyondur.
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int {k\ dx} = kx + C \)
\( \displaystyle\int {\ dx} = x + C \)
\( \displaystyle\int {3\ dx} = 3x + C \)
Kuvvet Fonksiyonunun İntegrali
Türevin ters işlemi olarak integral işleminde bir kuvvet fonksiyonun üssüne 1 eklenir, daha sonra ifade yeni üsse bölünür.
\( n \in \mathbb{R}, \quad n \ne -1 \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int {x^n\ dx} = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \)
\( \displaystyle\int {ax^n\ dx} = \dfrac{ax^{n + 1}}{n + 1} + C \)
Pozitif Tam Sayı Üs
Bu kuralı pozitif tam sayı üslü kuvvet fonksiyonlarına aşağıdaki şekilde uygulayabiliriz.
\( \displaystyle\int {x\ dx} = \dfrac{x^2}{2} + C \)
\( \displaystyle\int {x^2\ dx} = \dfrac{x^3}{3} + C \)
\( \displaystyle\int {(5x^3 - 3x)\ dx} = \dfrac{5x^4}{4} - \dfrac{3x^2}{2} + C \)
\( \displaystyle\int {-99x^{99}\ dx} = -\dfrac{99x^{100}}{100} + C \)
Negatif Tam Sayı Üs
\( n \ne -1 \) olmak üzere, bu kuralı negatif tam sayı üslü kuvvet fonksiyonlarına aşağıdaki şekilde uygulayabiliriz.
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{x^3}\ dx} = \displaystyle\int {x^{-3}\ dx} \)
\( = \dfrac{x^{-3 + 1}}{-3 + 1} + C = -\dfrac{1}{2x^2} + C \)
\( n = -1 \) olduğu duruma karşılık gelen ters fonksiyonun integrali doğal logaritma fonksiyonudur.
\( \displaystyle\int {\dfrac{dx}{x}} = \ln{\abs{x}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{dx}{ax + b}} = \dfrac{1}{a}\ln{\abs{ax + b}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{5dx}{x}} = 5\ln{\abs{x}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{3dx}{2x - 6}} = \dfrac{3}{2}\ln{\abs{2x - 6}} + C \)
Pozitif Rasyonel Üs
Bu kuralı pozitif rasyonel sayı üslü kuvvet fonksiyonlarına aşağıdaki şekilde uygulayabiliriz.
\( \displaystyle\int {\sqrt{x}\ dx} = \displaystyle\int {x^{\frac{1}{2}}\ dx} \)
\( = \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C = \dfrac{2}{3}\sqrt{x^3} + C \)
\( \displaystyle\int {2\sqrt[5]{x^3}\ dx} = \displaystyle\int {2x^{\frac{3}{5}}\ dx} \)
\( = \dfrac{2 \cdot 5}{8}x^{\frac{8}{5}} + C = \dfrac{5}{4}\sqrt[5]{x^8} + C \)
Negatif Rasyonel Üs
Bu kuralı negatif rasyonel sayı üslü kuvvet fonksiyonlarına aşağıdaki şekilde uygulayabiliriz.
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ dx} = \displaystyle\int {x^{-\frac{1}{2}}\ dx} \)
\( = \dfrac{1}{-\frac{1}{2} + 1}x^{-\frac{1}{2} + 1} + C = 2\sqrt{x} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{7}{\sqrt[3]{x^4}}\ dx} = \displaystyle\int {7x^{-\frac{4}{3}}\ dx} \)
\( = \dfrac{7}{-\frac{4}{3} + 1}x^{-\frac{4}{3} + 1} + C = -\dfrac{21}{\sqrt[3]{x}} + C \)
\( \displaystyle\int (4x^5 + 3x^2 + 7x)\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterTerimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( \dfrac{4}{6}x^6 + \dfrac{3}{3}x^3 + \dfrac{7}{2}x^2 + C \)
\( = \dfrac{2}{3}x^6 + x^3 + \dfrac{7}{2}x^2 + C \)
\( \displaystyle\int (3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x})\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterKöklü ifadeleri üslü ifade olarak yazalım.
\( \displaystyle\int (3x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{3}})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{3}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} - \dfrac{2}{\frac{4}{3}}x^{\frac{4}{3}} + C \)
\( = 2\sqrt{x^3} - \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{x^4} + C \)
\( \displaystyle\int_{1}^{2}{x^{\pi-1}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( \displaystyle\int_{1}^{2}{x^{\pi - 1}\ dx} \) = \( \dfrac{x^{(\pi - 1) + 1}}{(\pi - 1) + 1}|_1^2 \)
\( = \dfrac{x^\pi}{\pi}|_1^2 \)
\( = \dfrac{2^\pi}{\pi} - \dfrac{1^\pi}{\pi} \)
\( = \dfrac{2^\pi - 1}{\pi} \) bulunur.
\( \displaystyle\int_a^b 8x\ dx = 36 \) ve \( a - b = 9 \) olduğuna göre, \( a + b \) kaçtır?
Çözümü Gösterİfadenin integralini alalım.
\( \displaystyle\int_a^b 8x\ dx = (4x^2)_a^b \)
\( = 4b^2 - 4a^2 = 4(b - a)(b + a) = 36 \)
\( 4(-9)(a + b) = 36 \)
\( a + b = -1 \) bulunur.
\( \displaystyle\int (2x + \dfrac{3}{x})^2\ dx \) integralinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterParantez karesi ifadesinin açılımını yazalım.
\( \displaystyle\int (2x + \dfrac{3}{x})^2\ dx = \displaystyle\int {(4x^2 + 12 + \dfrac{9}{x^2})\ dx} \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = 4\dfrac{x^3}{3} + 12x + 9(-\dfrac{1}{x}) + C \)
\( = \dfrac{4x^3}{3} + 12x - \dfrac{9}{x} + C \)
\( \displaystyle\int {(3 + \dfrac{1}{2x})\sqrt{x}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( \displaystyle\int {(3 + \dfrac{1}{2x})\sqrt{x}\ dx} \)
Köklü ifadeyi üslü ifade olarak yazalım.
\( = \displaystyle\int {(3 + \dfrac{1}{2}x^{-1})x^{\frac{1}{2}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int (3x^{\frac{1}{2}} + \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{3x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \dfrac{x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot \frac{1}{2}} + C \)
\( = 2x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + C \)
\( = 2\sqrt{x^3} + \sqrt{x} + C \)
\( \displaystyle\int \dfrac{(2x^3 - 1)(x + 3)}{x^3}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterPaydaki parantezleri dağıtalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{2x^4 + 6x^3 - x - 3}{x^3}\ dx \)
İfadeyi ayrı kesirlere ayıralım.
\( = \displaystyle\int (\dfrac{2x^4}{x^3} + \dfrac{6x^3}{x^3} - \dfrac{x}{x^3} - \dfrac{3}{x^3})\ dx \)
\( = \displaystyle\int (2x + 6 - \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{3}{x^3})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = x^2 + 6x + \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{2x^2} + C \)
\( \displaystyle\int \dfrac{(2x + 1)^3}{\sqrt{x}}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( \displaystyle\int \dfrac{(2x)^3 + 3(2x)^2 + 3(2x) + 1}{\sqrt{x}}\ dx \)
\( = \displaystyle\int \dfrac{8x^3 + 12x^2 + 6x + 1}{\sqrt{x}}\ dx \)
İfadeyi ayrı kesirlere ayıralım.
\( = \displaystyle\int (\dfrac{8x^3}{\sqrt{x}} + \dfrac{12x^2}{\sqrt{x}} + \dfrac{6x}{\sqrt{x}} + \dfrac{1}{\sqrt{x}})\ dx \)
Kesirlerin pay ve paydalarını sadeleştirelim.
\( = \displaystyle\int (8x^{\frac{5}{2}} + 12x^{\frac{3}{2}} + 6x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{8}{\frac{7}{2}}x^{\frac{7}{2}} + \dfrac{12}{\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}} + \dfrac{6}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} \) \( + \dfrac{1}{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} + C \)
\( = \dfrac{16}{7}\sqrt{x^7} + \dfrac{24}{5}\sqrt{x^5} + 4\sqrt{x^3} \) \( + 2\sqrt{x} + C \)
\( f(x) \) bir polinom fonksiyonu olmak üzere,
\( P'(x) \cdot P(x) \cdot \displaystyle\int P(x)\ dx \) ifadesi 12. dereceden bir polinom ise \( der[P(x)] \) kaçtır?
Çözümü Göster\( P(x) \) polinomunun derecesine \( a \) diyelim.
\( der[P'(x)] = a - 1 \)
\( der[\displaystyle\int P(x)\ dx] = a + 1 \)
Polinomların çarpımının derecesi polinomların derecelerinin toplamına eşittir.
\( (a - 1) + a + (a + 1) = 12 \)
\( a = der[P(x)] = 4 \) bulunur.
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
(a) \( \displaystyle\int {\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}\ dx} \)
(b) \( \displaystyle\int {\sqrt[5]{x\sqrt{\dfrac{1}{x^3}}}\ dx} \)
(c) \( \displaystyle\int {\dfrac{13x^4}{\sqrt[3]{x^2}}\ dx} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \displaystyle\int {\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}\ dx} \)
Köklü ifadeleri üslü ifade olarak yazalım.
\( = \displaystyle\int {\sqrt{x\sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\sqrt{x\sqrt{x^{\frac{3}{2}}}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\sqrt{x \cdot (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\sqrt{x \cdot x^{\frac{3}{4}}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\sqrt{x^{\frac{7}{4}}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(x^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {x^{\frac{7}{8}}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{x^{\frac{7}{8} + 1}}{\frac{7}{8} + 1} + C \)
\( = \dfrac{x^{\frac{15}{8}}}{\frac{15}{8}} + C \)
\( = \dfrac{8}{15}x^{\frac{15}{8}} + C \)
\( = \dfrac{8}{15}\sqrt[8]{x^{15}} + C \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\int {\sqrt[5]{x\sqrt{\dfrac{1}{x^3}}}\ dx} \)
Köklü ifadeleri üslü ifade olarak yazalım.
\( = \displaystyle\int {\sqrt[5]{x \cdot x^{-\frac{3}{2}}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\sqrt[5]{x^{-\frac{1}{2}}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(x^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {x^{-\frac{1}{10}}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{x^{-\frac{1}{10} + 1}}{-\frac{1}{10} + 1} + C \)
\( = \dfrac{x^{\frac{9}{10}}}{\frac{9}{10}} + C \)
\( = \dfrac{10}{9}x^{\frac{9}{10}} + C \)
\( = \dfrac{10}{9}\sqrt[10]{x^9} + C \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\int {\dfrac{13x^4}{\sqrt[3]{x^2}}\ dx} \)
Köklü ifadeleri üslü ifade olarak yazalım.
\( = 13\displaystyle\int {\dfrac{x^4}{x^{\frac{2}{3}}}\ dx} \)
\( = 13\displaystyle\int {x^4 \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ dx} \)
\( = 13\displaystyle\int {x^{\frac{10}{3}}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{13x^{\frac{10}{3} + 1}}{\frac{10}{3} + 1} + C \)
\( = \dfrac{13x^{\frac{13}{3}}}{\frac{13}{3}} + C \)
\( = 3x^{\frac{13}{3}} + C \)
\( = 3\sqrt[3]{x^{13}} + C \)
\(\displaystyle\int \dfrac{6x + 7}{\sqrt{3x + 4}} \ dx\) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadeyi iki terime ayrıştıracak şekilde düzenleyelim.
\( \displaystyle\int \dfrac{2(3x + 4) - 1}{\sqrt{3x + 4}}\ dx \)
\( = \displaystyle\int (\dfrac{2(3x + 4)}{\sqrt{3x + 4}} - \dfrac{1}{\sqrt{3x + 4}})\ dx \)
Birinci terimin payı ve paydası sadeleşir.
\( = \displaystyle\int (2\sqrt{3x + 4} - \dfrac{1}{\sqrt{3x + 4}})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{2}{3 \cdot \frac{3}{2}}(3x + 4)^{\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{3 \cdot \frac{1}{2}}\sqrt{3x + 4} + C \)
\( = \dfrac{4}{9}\sqrt{(3x + 4)^3} + \dfrac{2}{3}\sqrt{3x + 4} + C \)
\( \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^3 - 1}{x^2 + x + 1}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \) özdeşliğini kullanalım.
\( \displaystyle\int_0^1 \dfrac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1}\ dx \)
Pay ve paydadaki ifadeler sadeleşir.
\( = \displaystyle\int_0^1 (x - 1)\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (\dfrac{1}{2}x^2 - x)_0^1 \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = (\dfrac{1}{2}1^2 - 1) - (\dfrac{1}{2}0^2 - 0) \)
\( = -\dfrac{1}{2} - 0 = -\dfrac{1}{2} \) bulunur.
\( \displaystyle\int_0^3 (6x^2 + 4x + e^{x^2})\ dx + \displaystyle\int_3^0 (2x + e^{x^2})\ dx \) integralinin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterBir integralin alt ve üst sınırları kendi aralarında yer değiştirirse integral değeri işaret değiştirir.
Buna göre ikinci integral ifadesinin sınır değerlerini aralarında yer değiştirelim.
\( \displaystyle\int_0^3 (6x^2 + 4x + e^{x^2})\ dx - \displaystyle\int_0^3 (2x + e^{x^2})\ dx \)
Sınır değerleri aynı olan iki integral ifadesini tek integral altında birleştirelim.
\( = \displaystyle\int_0^3 (6x^2 + 4x + e^{x^2} - 2x - e^{x^2})\ dx \)
\( = \displaystyle\int_0^3 (6x^2 + 2x)\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (2x^3 + x^2)|_0^3 \)
\( = (2(3)^3 + 3^2) - (2(0)^3 + 0^2) \)
\( = (54 + 9) - (0 + 0) = 63 \) bulunur.
\( \dfrac{d}{dx}(\displaystyle\int_{2x}^{x^2} (u^2 + u)\ du) \) ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterÖnce parantez içindeki belirli integralin değerini bulalım.
\( \displaystyle\int_{2x}^{x^2} (u^2 + u)\ du \)
\( = (\dfrac{u^3}{3} + \dfrac{u^2}{2})|_{2x}^{x^2} \)
\( = (\dfrac{(x^2)^3}{3} + \dfrac{(x^2)^2}{2}) - (\dfrac{(2x)^3}{3} + \dfrac{(2x)^2}{2}) \)
\( = \dfrac{x^6}{3} + \dfrac{x^4}{2} - \dfrac{8x^3}{3} - 2x^2 \)
Şimdi bu ifadenin \( x \) değişkenine göre türevini alalım.
\( \dfrac{d}{dx}(\dfrac{x^6}{3} + \dfrac{x^4}{2} - \dfrac{8x^3}{3} - 2x^2) \)
\( = \dfrac{6x^5}{3} + \dfrac{4x^3}{2} - \dfrac{24x^2}{3} - 4x \)
\( = 2x^5 + 2x^3 - 8x^2 - 4x \)
\( \dfrac{d}{dx}(\displaystyle\int x\ da)^2 \) ifadesinin sonucu nedir?
Çözümü GösterParantez içindeki integral ifadesinin sonucunu bulalım.
İntegral değişkeni \( a \) olduğu için ifadenin \( a \) değişkenine göre integralini alalım.
\( \dfrac{d}{dx}(\displaystyle\int x\ da)^2 \) \( = \dfrac{d}{dx}(xa + C)^2 \)
Bu ifadenin \( x \) değişkenine göre türevini alalım.
\( = 2(xa + C) \cdot \dfrac{d}{dx}(xa + C) \)
\( = 2(xa + C) \cdot a \)
\( = 2a^2x + 2aC \) bulunur.
Herhangi bir noktadaki türevi \( f'(x) = 2x - \frac{3}{2x^2} \) olan ve \( f(2) = 4 \) eşitliğini sağlayan \( f(x) \) fonksiyonunun katsayılar toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( f' \) fonksiyonunun ana fonksiyonunu bulmak için integralini alalım.
\( f(x) = \displaystyle\int (2x - \dfrac{3}{2x^2})\ dx \)
\( = x^2 + \dfrac{3}{2x} + C \)
\( C \) integral sabitinin değerini bulmak için \( f(2) \) değerini kullanalım.
\( f(2) = 4 \)
\( 2^2 + \dfrac{3}{2 \cdot 2} + C = 4 \)
\( C = -\dfrac{3}{4} \)
Buna göre \( f(x) \) fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = x^2 + \dfrac{3}{2x} - \dfrac{3}{4} \)
Fonksiyonun katsayılar toplamı \( 1 + \frac{3}{2} - \frac{3}{4} = \frac{7}{4} \) olarak bulunur.
\( f \) fonksiyonunun her noktada teğetinin eğimi o noktanın apsisinin 2 katına eşittir.
\( f(-3) = 5 \) olduğuna göre, \( f(4) \) kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyonun her noktada teğetinin eğimi o noktanın apsisinin 2 katına eşit ise türev fonksiyonu aşağıdaki gibi olur.
\( f'(x) = 2x \)
\( f' \) fonksiyonunun ana fonksiyonunu bulmak için integralini alalım.
\( f(x) = \displaystyle\int 2x\ dx = x^2 + C \)
\( C \) integral sabitinin değerini bulmak için \( f(-3) \) değerini kullanalım.
\( (-3)^2 + C = 5 \)
\( C = -4 \)
Buna göre \( f(x) \) fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = x^2 - 4 \)
\( f(4) \) değerini bulmak için \( x = 4 \) yazalım.
\( f(4) = 4^2 - 4 = 12 \) bulunur.
\( (1, 5) \) noktasından geçen \( y = f(x) \) doğrusunun her noktadaki eğimi o noktanın apsisinin 3 katının 1 eksiğine eşittir.
Buna göre \( f(2) \) kaçtır?
Çözümü GösterSorudaki verilere göre \( f(1) = 5 \) ve \( f'(x) = 3x - 1 \) olur.
\( f \) fonksiyonunu bulmak için türev fonksiyonunun integralini alalım.
\( f(x) = \displaystyle\int (3x - 1)\ dx \)
\( = \dfrac{3x^2}{2} - x + C \)
\( f(1) = 5 \) değerini kullanarak \( C \) değerini bulalım.
\( f(1) = \dfrac{3 \cdot 1^2}{2} - 1 + C = 5 \)
\( C = \dfrac{9}{2} \)
Buna göre \( f \) fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \dfrac{3x^2}{2} - x + \dfrac{9}{2} \)
\( f(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.
\( f(2) = \dfrac{3 \cdot 2^2}{2} - 2 + \dfrac{9}{2} \)
\( = \dfrac{17}{2} \) bulunur.
\( \displaystyle\int_0^2 \dfrac{x^4}{x^2 - 1}\ dx + \displaystyle\int_2^0 \dfrac{1}{x^2 - 1}\ dx \) integralinin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterBir integralin alt ve üst sınırları kendi aralarında yer değiştirirse integral işaret değiştirir.
Buna göre ikinci integral ifadesinin sınır değerlerini aralarında yer değiştirelim.
\( \displaystyle\int_0^2 \dfrac{x^4}{x^2 - 1}\ dx - \displaystyle\int_0^2 \dfrac{1}{x^2 - 1}\ dx \)
Sınır değerleri aynı olan iki integral ifadesini tek integral altında birleştirelim.
\( = \displaystyle\int_0^2 \dfrac{x^4 - 1}{x^2 - 1}\ dx \)
\( = \displaystyle\int_0^2 \dfrac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^2 - 1}\ dx \)
\( = \displaystyle\int_0^2 (x^2 + 1)\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (\dfrac{x^3}{3} + x)_0^2 \)
\( = [(\dfrac{2^3}{3} + 2) - (\dfrac{0^3}{3} + 0)] \)
\( = [(\dfrac{8}{3} + 2) - 0] = \dfrac{14}{3} \) bulunur.
\( \displaystyle\int \dfrac{4}{\sqrt{2x + 3} - \sqrt{2x - 1}}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİntegrali alınan ifadenin payını ve paydasını paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{4(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{2x - 1})}{(\sqrt{2x + 3} - \sqrt{2x - 1})(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{2x - 1})}\ dx \)
\( = \displaystyle\int \dfrac{4(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{2x - 1})}{\sqrt{2x + 3}^2 - \sqrt{2x - 1}^2}\ dx \)
\( = \displaystyle\int \dfrac{4(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{2x - 1})}{4}\ dx \)
\( = \displaystyle\int (\sqrt{2x + 3} + \sqrt{2x - 1})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{2 \cdot \frac{3}{2}}(2x + 3)^{\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{2 \cdot \frac{3}{2}}(2x - 1)^{\frac{3}{2}} + C \)
\( = \dfrac{1}{3}\sqrt{(2x + 3)^3} + \dfrac{1}{3}\sqrt{(2x - 1)^3} + C \)
\( \displaystyle\int f(2x + 1)\ dx = 3x^2 + 2x + 4 \)
olduğuna göre, \( f(5) \) kaçtır?
Çözümü Gösterİki tarafın türevini alalım.
\( \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int f(2x + 1)\ dx = \dfrac{d}{dx}(3x^2 + 2x + 4) \)
Türev ve integral birbirinin ters işlemleri olduğu için eşitliğin sol tarafında iki işlem birbirini götürür. Önce integral sonra türev aldığımız için integral işlemi sonucundaki integral sabiti türev işlemi sonucunda sıfır olur.
\( f(2x + 1) = 6x + 2 \)
\( f(5) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.
\( f(2 \cdot 2 + 1) = 6 \cdot 2 + 2 \)
\( f(5) = 14 \) bulunur.
\( \displaystyle\int \dfrac{xf(x)}{2}\ dx = 2x^3 + 5x^2 + 4x + C \)
olduğuna göre, \( f(2) \) kaçtır?
Çözümü Gösterİki tarafın türevini alalım.
\( \dfrac{d}{dx}(\displaystyle\int \dfrac{xf(x)}{2}\ dx) \) \( = \dfrac{d}{dx}(2x^3 + 5x^2 + 4x + C) \)
Türev ve integral birbirinin ters işlemleri olduğu için eşitliğin sol tarafında iki işlem birbirini götürür. Önce integral sonra türev aldığımız için integral işlemi sonucundaki integral sabiti türev işlemi sonucunda sıfır olur.
\( \dfrac{xf(x)}{2} = 6x^2 + 10x + 4 \)
\( f(x) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( f(x) = 12x + 20 + \dfrac{8}{x} \)
\( f(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.
\( f(2) = 12(2) + 20 + \dfrac{8}{2} = 48 \)
\( f(x) \) bir polinom fonksiyonu olmak üzere,
\( f(x) + \displaystyle\int f(x)\ dx = x^3 + 4x^2 + 7x + 5 \)
olduğuna göre, \( f'(2) \) kaçtır?
Çözümü GösterBir polinom fonksiyonunun derecesi \( n \) ise integralinin derecesi \( n + 1 \) olur. Eşitliğin sağ tarafının derecesi 3 olduğuna göre, \( f \) fonksiyonu ikinci derecedendir.
Buna göre fonksiyon tanımını ve integralini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( f(x) = 3ax^2 + 2bx + c \)
\( \displaystyle\int f(x)\ dx = ax^3 + bx^2 + cx + d \)
Bu değerleri soruda verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( ax^3 + (3a + b)x^2 + (2b + c)x + (c + d) \) \( = x^3 + 4x^2 + 7x + 5 \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşittir.
\( a = 1 \)
\( 3a + b = 4 \Longrightarrow b = 1 \)
\( 2b + c = 7 \Longrightarrow c = 5 \)
\( c + d = 5 \Longrightarrow d = 0 \)
Buna göre polinom fonksiyonunun tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = 3(1)x^2 + 2(1)x + 5 \)
\( = 3x^2 + 2x + 5 \)
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = 6x + 2 \)
\( f'(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.
\( f'(x) = 6(2) + 2 = 14 \) bulunur.
\( f'(x) + f^2(x) = 0 \) ve \( f(1) = \dfrac{1}{4} \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_1^2 (1 - f'(x))\ dx \) integralinin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitliği düzenleyelim.
\( f'(x) + f^2(x) = 0 \)
\( -f'(x) = f^2(x) \)
\( \dfrac{-f'(x)}{f^2(x)} = 1 \)
İki tarafın integralini alalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{-f'(x)}{f^2(x)}\ dx = \displaystyle\int 1\ dx \)
\( \dfrac{1}{f(x)} = x + C \)
\( f(x) = \dfrac{1}{x + C} \)
\( f(1) \) değerini kullanarak \( C \) değerini bulalım.
\( f(1) = \dfrac{1}{1 + C} = \dfrac{1}{4} \)
\( C = 3 \)
Buna göre \( f(x) \) fonksiyon tanımı aşağıdaki gibidir.
\( f(x) = \dfrac{1}{x + 3} \)
Sorulan integral değerini bulalım.
\( \displaystyle\int_1^2 (1 - f'(x))\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (x - f(x))_1^2 \)
\( = (2 - f(2)) - (1 - f(1)) \)
\( f(1) \) ve \( f(2) \) değerlerini bulalım.
\( f(1) = \dfrac{1}{1 + 3} = \dfrac{1}{4} \)
\( f(2) = \dfrac{1}{2 + 3} = \dfrac{1}{5} \)
Değerleri integral hesaplamasında yerine koyalım.
\( = (2 - \dfrac{1}{5}) - (1 - \dfrac{1}{4}) \)
\( = \dfrac{21}{20} \) bulunur.
\( f(x) \) bir polinom fonksiyonudur.
\( \displaystyle\int (f(x) + f'(x))\ dx = 3x^2 + 2x + C \) olduğuna göre, \( f(1) \) kaçtır?
Çözümü Gösterİntegrali alınan ifadede en yüksek dereceli ifade \( f(x) \)'tir. İntegral işleminin sonucu ikinci dereceden olduğuna göre \( f(x) \) birinci dereceden olur.
\( f(x) = ax + b \)
\( f'(x) = a \)
Bu değerleri verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( \displaystyle\int (ax + b + a)\ dx = 3x^2 + 2x + C \)
İfadenin integralini alalım.
\( \dfrac{ax^2}{2} + (a + b)x + C = 3x^2 + 2x + C \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşittir.
\( a = 6, \quad b = -4 \)
\( f \) fonksiyonunun tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = 6x - 4 \)
\( f(1) \) değerini bulmak için \( x = 1 \) yazalım.
\( f(1) = 6(1) - 4 = 2 \) bulunur.
\( \displaystyle\int f(x)\ dx = f(x)\displaystyle\int\ dx \)
\( \displaystyle\int_2^4 f(x)\ dx = 10 \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_3^7 f(3x)\ dx \) integralinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( \displaystyle\int f(x)\ dx = f(x)\displaystyle\int\ dx \) ise \( f(x) \) bir sabit sayı olarak integralin dışına çıkabiliyor demektir, dolayısıyla \( f(x) \) bir sabit fonksiyondur.
\( f(x) = c \)
\( \displaystyle\int_2^4 c\ dx = (cx)|_2^4 \)
\( 4c - 2c = 10 \)
\( c = 5 \)
Değeri istenen integrali bulalım.
\( \displaystyle\int_3^7 f(3x)\ dx = \displaystyle\int_3^7 5\ dx \)
\( = (5x)|_3^7 = 5 \cdot 7 - 5 \cdot 3 \)
\( = 20 \) bulunur.
\( \displaystyle\int_0^1 (2x^2 - 9a)^2\ dx \) ifadesinin en küçük değerini alabilmesi için \( a \) sayısı kaç olmalıdır?
Çözümü Gösterİlk olarak verilen integrali hesaplayalım.
\( \displaystyle\int_0^1 (2x^2 - 9a)^2\ dx = \displaystyle\int_0^1 (4x^4 - 36ax^2 + 81a^2)\ dx \)
\( = (\dfrac{4}{5}x^5 - 12ax^3 + 81a^2x)|_0^1 \)
\( = \dfrac{4}{5} - 12a + 81a^2 \)
İntegralin sonucu \( a \) değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklemdir.
İntegralin en küçük değerini alabilmesi için bu denklemin en küçük değerini alması gerekir. Kolları yukarı yönlü olan parabol en küçük değerini tepe noktasında, yani türevinin sıfır olduğu noktada alır.
Parabol denkleminin türevini alıp sıfıra eşitleyelim.
\( \dfrac{d}{da}(\dfrac{4}{5} - 12a + 81a^2) = 0 - 12 + 162a = 0 \)
\( 162a - 12 = 0 \)
\( a = \dfrac{2}{27} \) bulunur.
\( h(x) = f(g(x)) \) fonksiyonu veriliyor.
\( f'(x) = \sqrt{x} \)
\( g'(x) = 16x^3 + 8x \)
\( g(1) = 9 \) olduğuna göre, \( h'(x) \) ifadesi neye eşittir?
Çözümü GösterBileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralını uygulayalım.
\( h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
\( g(x) \) fonksiyonunu bulmak için türevinin integralini alalım.
\( g(x) = \displaystyle\int g'(x)\ dx \)
\( = \displaystyle\int (16x^3 + 8x)\ dx \)
\( = 4x^4 + 4x^2 + C \)
\( C \) sayısını bulmak için \( g(1) \) değerini kullanalım.
\( g(1) = 9 \)
\( 4(1)^4 + 4(1)^2 + C = 9 \)
\( C = 1 \)
\( g(x) \) fonksiyonu aşağıdaki gibidir.
\( g(x) = 4x^4 + 4x^2 + 1 \)
\( h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
\( = f'(4x^4 + 4x^2 + 1) \cdot (16x^3 + 8x) \)
\( = \sqrt{4x^4 + 4x^2 + 1} \cdot (16x^3 + 8x) \)
\( = \sqrt{(2x^2 + 1)^2} \cdot (16x^3 + 8x) \)
\( = \abs{2x^2 + 1} \cdot (16x^3 + 8x) \)
\( 2x^2 + 1 \) ifadesi hiçbir reel sayı \( x \) değeri için negatif olamayacağı için mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( = (2x^2 + 1)(16x^3 + 8x) \)
\( = 32x^5 + 32x^3 + 8x \) bulunur.