Belirsiz İntegral
Bir \( f \) fonksiyonu ve türevi \( f \) olan \( F \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( f(x) = 2x \)
\( F'(x) = f(x) \)
\( F \) fonksiyonunun tanımını bulmak istediğimizde türevi \( f \) olan ve birbirinden bir sabit terim ile ayrılan sonsuz sayıda \( F \) fonksiyonu yazabileceğimizi görebiliriz.
\( F_1(x) = x^2 \Longrightarrow F_1'(x) = 2x \)
\( F_2(x) = x^2 + 3 \Longrightarrow F_2'(x) = 2x \)
\( F_3(x) = x^2 - 2 \Longrightarrow F_3'(x) = 2x \)
Tüm bu \( F \) fonksiyonlarını, fonksiyonun sonuna ekleyeceğimiz sabit bir \( C \) reel sayısı ile tek bir fonksiyon tanımı altında toplayabiliriz.
\( C \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( F(x) = x^2 + C \)
Türevi \( f \) fonksiyonu olan bu \( F \) fonksiyonuna \( f \) fonksiyonunun ters türevi ya da belirsiz integrali denir.
\( F'(x) = f(x) \) ise,
\( \displaystyle\int {f(x) \ dx} = F(x) + C \)
\( C \) sayısına integral sabiti denir.
Önceki bölümde tanımladığımız belirli integral ile belirsiz integral arasındaki bazı farklar şunlardır:
- Belirli integralde integral işaretinin altında ve üstünde işlem aralığının alt ve üst sınırları belirtilir, belirsiz integralde ise belirtilmez.
- Belirli integralin sonucu bir değerdir, belirsiz integral ise bir fonksiyondur.
- Belirsiz integralin sonucu integral sabiti içerir, belirli integralde ise alt ve üst sınırlar için hesaplanan integral değerleri birbirinden çıkarıldığı için integral sabitleri birbirini götürür.
Belirsiz İntegralin Özellikleri
Belirli integralin özelliklerinde bahsettiğimiz aşağıdaki işlem özellikleri belirsiz integral için de geçerlidir.
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int {k \cdot f(x)\ dx} = k \cdot \displaystyle\int {f(x)\ dx} \)
\( \displaystyle\int {(f(x) \pm g(x))\ dx} = \displaystyle\int {f(x)\ dx} \) \( \pm \displaystyle\int {g(x) dx}\ \)
Türevde geçerli olmadığı gibi, integralde de benzer özellikler çarpma ve bölme işlemleri için geçerli değildir.
\( \displaystyle\int {f(x) \cdot g(x)\ dx} \textcolor{red}{\ne} \displaystyle\int {f(x)\ dx} \cdot \displaystyle\int {g(x) dx}\ \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{f(x)}{g(x)}\ dx} \textcolor{red}{\ne} \frac{\displaystyle\int {f(x)\ dx}}{\displaystyle\int {g(x)\ dx}} \)
\( f(x) \) sabit olmayan bir polinom fonksiyonu olmak üzere,
\( \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int f'(x)\ dx \) ifadesinin sonucu nedir?
(a) \( f'(x) + C \)
(b) \( f'(x) \)
(c) \( f(x) + C \)
(d) \( f(x) \)
(e) \( 0 \)
Çözümü GösterÖnce integral işlemini yapalım. İntegral işleminin sonucu integral sabitini içerir.
\( \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int f'(x)\ dx = \dfrac{d}{dx}(f(x) + C) \)
Türev işlemi sonucunda integral sabiti sıfır olur.
\( = f'(x) \)
Doğru cevap (b) seçeneğidir.
\( \dfrac{d^2}{dx^2}(\displaystyle\int (3x^2 + 2a^3 + 5b + \cos{c})\ dx) \) integralinin sonucu kaçtır ?
Çözümü Gösterİntegral ve türev işlemleri \( x \) değişkenine göre olduğu için diğer bilinmeyenler sabit birer sayı olarak kabul edilir.
Önce parantez içindeki integral işlemini yapalım.
\( \dfrac{d^2}{dx^2}(x^3 + (2a^3 + 5b + \cos{c})x + C) \)
Parantez içindeki ifadenin türevini alalım.
\( = \dfrac{d}{dx}(3x^2 + 2a^3 + 5b + \cos{c}) \)
Parantez içindeki ifadenin tekrar türevini alalım.
\( = 6x + 0 + 0 + 0 = 6x \) bulunur.
\( f(x) = \dfrac{d}{dx}(2x^3 + \displaystyle\int \cos(2t)\ dt) \)
ifadesinin sonucu nedir? Çözümü Gösterİntegral ifadesinin sonucu \( t \) değişkenine bağlıdır, dolayısıyla \( x \)'e göre türevi alındığında sabit sayı gibi davranır ve türevi sıfır olur.
\( f(x) = \dfrac{d}{dx}(2x^3) = 6x^2 \)
\( (f - g)(3) = 10, \quad g(5) = 5 \)
\( f(x) = \displaystyle\int g'(x)\ dx \)
olduğuna göre, \( f(5) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = \displaystyle\int g'(x)\ dx \)
\( f(x) = g(x) + C \)
Bu ifadede \( x = 3 \) yazalım.
\( f(3) = g(3) + C \)
\( f(3) - g(3) = C \)
\( (f - g)(3) = C = 10 \)
\( f(x) = g(x) + 10 \)
Bu ifadede \( x = 5 \) yazalım.
\( f(5) = g(5) + 10 = 5 + 10 = 15 \) bulunur.