Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların İntegrali

(a) seçeneği:

\( \displaystyle\int {10e^{5x}\ dx} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{1}{5} \cdot 10e^{5x} + C \)

\( = 2e^{5x} + C \)

(b) seçeneği:

\( \displaystyle\int {2e^{\frac{x}{11}}\ dx} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{1}{\frac{1}{11}} \cdot 2e^{\frac{x}{11}} + C \)

\( = 22e^{\frac{x}{11}} + C \)

(c) seçeneği:

\( \displaystyle\int {5^{x + 2}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {5^2 \cdot 5^x\ dx} \)

\( = 25\displaystyle\int {5^x\ dx} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = 25 \cdot \dfrac{5^x}{\ln{5}} + C \)

\( = \dfrac{5^{x+2}}{\ln{5}} + C \)

(a) seçeneği:

\( \displaystyle\int {\dfrac{3}{x}\ dx} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = 3\ln{\abs{x}} + C \)

(b) seçeneği:

\( \displaystyle\int {\dfrac{5}{x + 2}\ dx} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = 5\ln{\abs{x + 2}} + C \)

(c) seçeneği:

\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{7x + 4}\ dx} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{1}{7}\ln{\abs{7x + 4}} + C \)

(a) seçeneği:

\( \displaystyle\int {\dfrac{17}{34x + 3}\ dx} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{17}{34}\ln{\abs{34x + 3}} + C \)

\( = \dfrac{1}{2}\ln{\abs{34x + 3}} + C \)

(b) seçeneği:

\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{6 - 14x}\ dx} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = -\dfrac{1}{14}\ln{\abs{6 - 14x}} + C \)

(c) seçeneği:

\( \displaystyle\int {\dfrac{26}{13x - 9}\ dx} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = 2\ln{\abs{13x - 9}} + C \)

(a) seçeneği:

\( \displaystyle\int \left( \dfrac{4}{3x} + \dfrac{2}{5x - 1} \right)\ dx \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = \dfrac{4}{3}\ln{\abs{x}} + \dfrac{2}{5}\ln{\abs{5x - 1}} + C \)

(b) seçeneği:

\( \displaystyle\int \left( \dfrac{4}{3x - 1} - \dfrac{2}{(1 - x)^2} \right)\ dx \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = \dfrac{4}{3}\ln{\abs{3x - 1}} - \dfrac{2}{1 - x} + C \)

(c) seçeneği:

\( \displaystyle\int \left( \dfrac{2}{1 - 4x} + \dfrac{12}{(1 + 5x)^3} \right)\ dx \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = \dfrac{2}{-4}\ln{\abs{1 - 4x}} + \dfrac{12}{-2 \cdot 5 \cdot (1 + 5x)^2} + C \)

\( = -\dfrac{1}{2}\ln{\abs{1 - 4x}} - \dfrac{6}{5(1 + 5x)^2} + C \)

\( e^5 \) ifadesi sabittir.

\( \displaystyle\int {3x^2e^5\ dx} = 3e^5\displaystyle\int {x^2\ dx} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = 3e^5 \cdot \dfrac{x^3}{3} + C \)

\( = e^5x^3 + C \)

\( \displaystyle\int {e^x\sqrt{e^x}\ dx} = \displaystyle\int {e^xe^{\frac{x}{2}}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {e^{\frac{3x}{2}}\ dx} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{2}{3}e^{\frac{3x}{2}} + C \)

\( = \dfrac{2}{3}\sqrt{e^{3x}} + C \)

I. öncül:

\( \ln{3} + \ln{2} = \ln(3 \cdot 2) = \ln{6} \)

I. öncül \( \ln{6} \) değerine eşittir.

II. öncül:

\( \dfrac{\ln{12}}{\ln{2}} = \log_2{12} \neq \ln{6} \)

II. öncül \( \ln{6} \) değerine eşit değildir.

III. öncül:

İfadenin integralini alalım.

\( \displaystyle\int_1^6 {\dfrac{1}{t}\ dt} = (\ln\abs{t})|_1^6 \)

\( = \ln{6} - \ln{1} \)

\( = \ln{6} \)

III. öncül \( \ln{6} \) değerine eşittir.

IV. öncül:

İfadenin integralini alalım.

\( \displaystyle\int_0^{\ln{6}} {e^x\ dx} = (e^x)|_0^{\ln{6}} \)

\( = e^{\ln{6}} - e^0 \)

\( = 6 - 1 = 5 \)

IV. öncül \( \ln{6} \) değerine eşit değildir.

V. öncül:

İfadenin integralini alalım.

\( \displaystyle\int_1^6 {\ln{x}\ dx} = (x\ln{x} - x)|_1^6 \)

\( = (6\ln{6} - 6) - (1\ln{1} - 1) \)

\( = (6\ln{6} - 6) - (0 - 1) \)

\( = 6\ln{6} - 6 + 1 \)

\( = 6\ln{6} - 5 \)

V. öncül \( \ln{6} \) değerine eşit değildir.

Buna göre I. ve III. öncüllerdeki ifadeler \( \ln{6} \) değerine eşittir.

\( \displaystyle\int {2^{2x}\ 3^x\ dx} = \displaystyle\int {4^x\ 3^x\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {12^x\ dx} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{12^x}{\ln{12}} + C \)

Parantez içindeki iki çarpan için kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( \displaystyle\int_0^1 {e(e^{4x} - 9x^2)}\ dx \)

\( e \)'yi parantez içine alalım.

\( = \displaystyle\int_0^1 (e^{4x+1} - 9ex^2)\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \left( \dfrac{e^{4x+1}}{4} - 3ex^3 \right)|_0^1 \)

\( = \left( \dfrac{e^{4(1)+1}}{4} - 3e(1)^3 \right) - \left( \dfrac{e^{4(0)+1}}{4} - 3e(0)^3 \right) \)

\( = \left( \dfrac{e^5}{4} - 3e \right) - \left( \dfrac{e}{4} - 0 \right) \)

\( = \dfrac{e^5 - 13e}{4} \) bulunur.

Parantez karesi ifadesinin açılımını yazalım.

\( \displaystyle\int {(2e^x + 4e^{-2x})^2\ dx} = \displaystyle\int {((2e^x)^2 + 2(2e^x)(4e^{-2x}) + (4e^{-2x})^2)\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {(4e^{2x} + 16e^{-x} + 16e^{-4x})\ dx} \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = \dfrac{4e^{2x}}{2} + \dfrac{16e^{-x}}{-1} + \dfrac{16e^{-4x}}{-4} + C \)

\( = 2e^{2x} - 16e^{-x} - 4e^{-4x} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = e^{2x} + 5 \)

\( du = 2e^{2x}\ dx \)

\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{2e^{2x}}{e^{2x} + 5}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{1}{u}\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \ln{\abs{u}} + C \)

\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.

\( = \ln{\abs{e^{2x} + 5}} + C \)

İfadeyi ayrı kesirlere ayıralım.

\( \displaystyle\int \left( \dfrac{5^{x + 1}}{15^x} - \dfrac{3^{x + 2}}{15^x} \right)\ dx \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( = \displaystyle\int \left( \dfrac{5 \cdot 5^x}{3^x \cdot 5^x} - \dfrac{9 \cdot 3^x}{3^x \cdot 5^x} \right)\ dx \)

\( = \displaystyle\int \left( \dfrac{5}{3^x} - \dfrac{9}{5^x} \right)\ dx \)

\( = \displaystyle\int (5 \cdot 3^{-x} - 9 \cdot 5^{-x})\ dx \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = -\dfrac{5 \cdot 3^{-x}}{\ln{3}} + \dfrac{9 \cdot 5^{-x}}{\ln{5}} + C \)

\( = -\dfrac{5}{3^x \cdot \ln{3}} + \dfrac{9}{5^x \cdot \ln{5}} + C \)

Paydaki ifadeyi paydadaki ifadenin bir katı şeklinde yazalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{15x}{3x + 1}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{15x + 5 - 5}{3x + 1}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {\dfrac{5(3x + 1) - 5}{3x + 1}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int \left( \dfrac{5(3x + 1)}{3x + 1} - \dfrac{5}{3x + 1} \right)\ dx \)

\( = \displaystyle\int {5\ dx} - \displaystyle\int {\dfrac{5}{3x + 1}\ dx} \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = 5x - \dfrac{5}{3}\ln{\abs{3x + 1}} + C \)

Payda Pisagor özdeşliğini kullanalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sin{x}\cos{x}}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{\sin^2{x} + \cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {\dfrac{\sin^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}\ dx} + \displaystyle\int {\dfrac{\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int {\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\ dx} + \displaystyle\int {\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}}\ dx} \)

Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.

\( = -\ln{\abs{\cos{x}}} + \ln{\abs{\sin{x}}} + C \)

\( = \ln{\abs{\sin{x}}} - \ln{\abs{\cos{x}}} + C \)

\( = \ln{\abs{\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}}} + C \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = 3^x + 1 \)

\( \Longrightarrow 3^x = u - 1 \)

\( du = 3^x\ln{3}\ dx \)

\( \Longrightarrow dx = \dfrac{du}{3^x\ln{3}} \)

\( \Longrightarrow dx = \dfrac{du}{(u - 1)\ln{3}} \)

\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{3^x}{3^x + 1}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{u - 1}{u} \cdot \dfrac{du}{(u - 1)\ln{3}}} \)

\( = \dfrac{1}{\ln{3}}\displaystyle\int {\dfrac{1}{u}\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{\ln{\abs{u}}}{\ln{3}} + C \)

\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.

\( = \dfrac{\ln{\abs{3^x + 1}}}{\ln{3}} + C \)

Logaritma üs kuralını uygulayalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{\ln{x^3}}{x}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{3\ln{x}}{x}\ dx} \)

\( = 3\displaystyle\int {\dfrac{\ln{x}}{x}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \ln{x} \)

\( du = \dfrac{dx}{x} \)

\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.

\( = 3\displaystyle\int {u\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{3u^2}{2} + C \)

\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.

\( = \dfrac{3(\ln{x})^2}{2} + C \)

Verilen integrali, üslü ifadenin tabanı ve üslerin toplamı aynı kalacak şekilde düzenleyelim.

\( \displaystyle\int {e^{x}e^{e^x}e^{e^{e^x}}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = e^{e^x} \)

\( du = e^xe^{e^x}dx \)

\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.

\( = \displaystyle\int {e^u\ du} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = e^u + C \)

\( u \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.

\( = e^{e^{e^x}} + C \)

Logaritma ifadesini integralini daha kolay alabileceğimiz forma getirelim.

\( \dfrac{1}{\log_{\sqrt[3]{x}}{7}} = \dfrac{1}{\log_{x^{\frac{1}{3}}}{7}} \)

\( = \dfrac{1}{3\log_x{7}} \)

Bir logaritma ifadesinin çarpmaya göre tersi alındığında tabanı ve logaritma içi aralarında yer değiştirir.

\( = \dfrac{\log_7{x}}{3} \)

Bu ifadeyi verilen integral ifadesinde yerine koyalım.

\( \displaystyle\int{\dfrac{1}{\log_{\sqrt[3]{x}}7}}\ dx = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int {\log_7{x}}\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \dfrac{1}{3}\left( x\log_7{x} - \dfrac{x}{\ln{7}} \right) + C \)

\( = \dfrac{x\log_7{x}}{3} - \dfrac{x}{3\ln{7}} + C \)

\( \log_x{5} \) ifadesine taban değiştirme uygulayalım.

\( \log_x{5} = \dfrac{\log_e{5}}{\log_e{x}} = \dfrac{\ln{5}}{\ln{x}} \)

\( \displaystyle\int_{25}^{125} \dfrac{\log_x{5}}{x\ln{x}}\ dx = \displaystyle\int_{25}^{125} \dfrac{\ln{5}}{x(\ln{x})^2}\ dx \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = \ln{x} \)

\( du = \dfrac{dx}{x} \)

\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.

\( u(25) = \ln{25} = \ln{5^2} = 2\ln{5} \)

\( u(125) = \ln{125} = \ln{5^3} = 3\ln{5} \)

\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.

\( = \displaystyle\int_{2\ln{5}}^{3\ln{5}} \dfrac{\ln{5}}{u^2}\ du \)

İfadenin integralini alalım.

\( = \left( -\dfrac{\ln{5}}{u} \right)|_{2\ln{5}}^{3\ln{5}} \)

\( = \left( -\dfrac{\ln{5}}{3\ln{5}} - \left( -\dfrac{\ln{5}}{2\ln{5}} \right) \right) \)

\( = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} \) bulunur.