Eğri ile x-Ekseni Arasında Kalan Alan

Taralı alan \( [1, 4] \) aralığında fonksiyon grafiği ile \( x \) ekseni arasında kalan alana karşılık gelmektedir.

\( f \) fonksiyonu bu aralıkta \( x \) ekseninin üstünde kaldığı için belirli integrali pozitif işaretlidir. Bu aralıkta fonksiyon grafiği ile \( x \) ekseni arasında kalan alan da bu pozitif integral değerine eşittir.

\( A = \displaystyle\int_1^4 {\sqrt{x}\ dx} \)

\( = \displaystyle\int_1^4 {x^{\frac{1}{2}}\ dx} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}})|_1^4 \)

\( = \dfrac{2}{3}4^{\frac{3}{2}} - \dfrac{2}{3}1^{\frac{3}{2}} \)

\( = \dfrac{16}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{14}{3} \) bulunur.

Taralı alan \( [\frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3}] \) aralığında fonksiyon grafiği ile \( x \) ekseni arasında kalan alana karşılık gelmektedir.

Taralı alan fonksiyonun \( x \) ekseninin üstünde ve altında kaldığı bölgelerden oluştuğu için, bu alanı fonksiyonun \( x \) ekseninin üstünde kaldığı aralıklardaki belirli integralinden altında kaldığı aralıklardaki belirli integralini çıkarak bulabiliriz.

\( A = \displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin{x}\ dx - \displaystyle\int_{\pi}^{\frac{4\pi}{3}} \sin{x}\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (-\cos{x})|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - (-\cos{x})|_{\pi}^{\frac{4\pi}{3}} \)

\( = (-\cos{\pi} - (-\cos{\frac{\pi}{2}})) - (-\cos{\frac{4\pi}{3}} - (-\cos{\pi})) \)

\( = (1 + 0) - (\dfrac{1}{2} - 1) \)

\( = \dfrac{3}{2} \) bulunur.

Fonksiyon tanımındaki çarpanları genişletelim.

\( f(x) = (x^2 - 4)(x^2 - x) \)

\( = x^4 - x^3 - 4x^2 + 4x \)

Taralı alan \( [-2, 2] \) aralığında fonksiyon grafiği ile \( x \) ekseni arasında kalan alana karşılık gelmektedir.

Taralı alan fonksiyonun \( x \) ekseninin üstünde ve altında kaldığı bölgelerden oluştuğu için aralığı fonksiyonun \( x \) eksenini kestiği noktalara göre alt aralıklara bölmemiz ve her aralık için ayrı integral hesaplamamız gerekir.

\( [-2, 0] \), \( [0, 1] \) ve \( [1, 2] \) aralıkları için hesaplamak istediğimiz alan değerlerine sırasıyla \( A_1 \), \( A_2 \) ve \( A_3 \) diyelim.

\( A_1 \) aralığı:

Fonksiyon bu aralıkta \( x \) ekseninin altında kaldığı için bu aralıktaki integral değeri negatiftir ve alan bu integral değerinin ters işaretlisine eşittir.

\( A_1 = -\displaystyle\int_{-2}^0 (x^4 - x^3 - 4x^2 + 4x)\ dx \)

\( = -(\frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 2x^2)|_{-2}^0 \)

\( = -[(\frac{0^5}{5} - \frac{0^4}{4} - \frac{4(0)^3}{3} + 2(0)^2) - (\frac{(-2)^5}{5} - \frac{(-2)^4}{4} - \frac{4(-2)^3}{3} + 2(-2)^2)] \)

\( = -[0 - (-\frac{32}{5} - 4 + \frac{32}{3} + 8)] \)

\( = 8\frac{4}{15} \)

\( A_2 \) aralığı:

Fonksiyon bu aralıkta \( x \) ekseninin üstünde kaldığı için bu aralıktaki integral değeri pozitiftir ve alan bu integral değerine eşittir.

\( A_2 = \displaystyle\int_0^1 (x^4 - x^3 - 4x^2 + 4x)\ dx \)

\( = (\frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 2x^2)|_0^1 \)

\( = [(\frac{(1)^5}{5} - \frac{(1)^4}{4} - \frac{4(1)^3}{3} + 2(1)^2) - (\frac{0^5}{5} - \frac{0^4}{4} - \frac{4(0)^3}{3} + 2(0)^2)] \)

\( = [(\frac{1}{5} - \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + 2) - (0)] \)

\( = \frac{37}{60} \)

\( A_3 \) aralığı:

Fonksiyon bu aralıkta \( x \) ekseninin altında kaldığı için bu aralıktaki integral değeri negatiftir ve alan bu integral değerinin ters işaretlisine eşittir.

\( A_3 = -\displaystyle\int_1^2 (x^4 - x^3 - 4x^2 + 4x)\ dx \)

\( = -(\frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 2x^2)|_1^2 \)

\( = -[(\frac{2^5}{5} - \frac{2^4}{4} - \frac{4(2)^3}{3} + 2(2)^2) - (\frac{1^5}{5} - \frac{(1)^4}{4} - \frac{4(1)^3}{3} + 2(1)^2)] \)

\( = -[(\frac{32}{5} - 4 - \frac{32}{3} + 8) - (\frac{1}{5} - \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + 2)] \)

\( = \frac{53}{60} \)

Sorudaki taralı bölgenin alanı bu üç alanın toplamına eşittir.

\( A = A_1 + A_2 + A_3 \)

\( = 8\frac{4}{15} + \frac{37}{60} + \frac{53}{60} \)

\( = 9\frac{23}{30} \) bulunur.

Taralı alan iki eğrinin iki farklı aralıkta \( x \) ekseni ile aralarında kalan alanların toplamına eşittir.

Bu iki alanı ayıran sınır noktası iki eğrinin kesişim noktasıdır. İki denklemi ortak çözerek bu noktanın apsis değerini bulalım.

\( x^2 + 1 = x^2 - 5x + 6 \)

\( 5x = 5 \)

\( x = 1 \)

Buna göre taralı alanı aşağıdaki şekildeki gibi ikiye bölebiliriz.

Bu alanlardan \( A_1 \) soldaki eğrinin \( [0, 1] \) aralığında, \( A_2 \) de sağdaki eğrinin \( [1, 2] \) aralığında \( x \) ekseni ile aralarında kalan alanlara karşılık gelmektedir.

Bu iki alanı sırayla hesaplayalım.

\( A_1 = \displaystyle\int_0^1 (x^2 + 1)\ dx \)

\( = (\dfrac{x^3}{3} + x)|_0^1 \)

\( = (\dfrac{1^3}{3} + 1) - (\dfrac{0^3}{3} + 0) \)

\( = \dfrac{4}{3} \)

\( A_2 = \displaystyle\int_1^2 (x^2 - 5x + 6)\ dx \)

\( = (\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{5x^2}{2} + 6x)|_1^2 \)

\( = (\dfrac{2^3}{3} - \dfrac{5(2)^2}{2} + 6(2)) \) \( - (\dfrac{1^3}{3} - \dfrac{5(1)^2}{2} + 6(1)) \)

\( = \dfrac{5}{6} \)

Taralı bölgenin alanı bu iki alanın toplamına eşittir.

\( A_1 + A_2 = \dfrac{4}{3} + \dfrac{5}{6} \)

\( = \dfrac{13}{6} \) bulunur.

Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki belirli integralinin mutlak değeri fonksiyonun grafiğinin \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı verir.

\( f(x) \) fonksiyonu ile \( x \) ekseni arasında kalan alanı bulmak için fonksiyonun köklerini (\( x \) eksenini kestiği noktaları) bulalım.

\( x^6 - kx^2 = 0 \)

\( x^2(x^4 - k) = 0 \)

\( x^2(x^2 - \sqrt{k})(x^2 + \sqrt{k}) = 0 \)

\( x^2(x - \sqrt[4]{k})(x + \sqrt[4]{k})(x^2 + \sqrt{k}) = 0 \)

Denklemin kökleri her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.

\( x \in \{-\sqrt[4]{k}, 0, \sqrt[4]{k}\} \)

Fonksiyon çift fonksiyon olduğu için \( x = 0 \) noktasının solunda ve sağında grafik \( x \) eksenine göre aynı tarafta kalır, dolayısıyla istediğimiz alanı bulmak için integrali \( [-\sqrt[4]{k}, \sqrt[4]{k}] \) aralığında alabiliriz.

\( \displaystyle\int_{-\sqrt[4]{k}}^{\sqrt[4]{k}} (x^6 - kx^2)\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (\dfrac{x^7}{7} - \dfrac{kx^3}{3})|_{-\sqrt[4]{k}}^{\sqrt[4]{k}} \)

\( = (\dfrac{k^{\frac{7}{4}}}{7} - \dfrac{k \cdot k^\frac{3}{4}}{3}) - (\dfrac{-k^{\frac{7}{4}}}{7} - \dfrac{k \cdot (-k^\frac{3}{4})}{3}) \)

\( = \dfrac{2 \cdot k^{\frac{7}{4}}}{7} - \dfrac{2 \cdot k^\frac{7}{4}}{3} \)

\( = -\dfrac{8 \cdot k^{\frac{7}{4}}}{21} \)

Aynı işlemi \( g(x) \) fonksiyonuna uygulayalım.

\( k - x^4 = 0 \)

\( x^4 = k \)

Denklemin kökleri her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.

\( x \in \{-\sqrt[4]{k}, \sqrt[4]{k}\} \)

\( \displaystyle\int_{-\sqrt[4]{k}}^{\sqrt[4]{k}} (k - x^4)\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (kx - \dfrac{x^5}{5})|_{-\sqrt[4]{k}}^{\sqrt[4]{k}} \)

\( = (k \cdot k^{\frac{1}{4}} - \dfrac{k^{\frac{5}{4}}}{5}) - (k \cdot (-k)^{\frac{1}{4}} - \dfrac{(-k)^{\frac{5}{4}}}{5}) \)

\( = 2k^{\frac{5}{4}} - \dfrac{2k^{\frac{5}{4}}}{5} \)

\( = \dfrac{8k^{\frac{5}{4}}}{5} \)

Bu iki alanın mutlak değeri birbirine eşittir.

\( \abs{\dfrac{-8 \cdot k^{\frac{7}{4}}}{21}} = \abs{\dfrac{8k^{\frac{5}{4}}}{5}} \)

\( \abs{k^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{21}{5} \)

\( k = \dfrac{441}{25} \) olarak bulunur.

Kosinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alan ve periyodu \( 2\pi \) olan periyodik bir fonksiyondur.

\( \abs{\cos{x}} \) fonksiyonunun grafiği \( \cos{x} \) fonksiyonunun \( x \) ekseni altında kalan kısımlarının \( x \) eksenine göre simetriğinin alınmasıyla oluşur.

\( \cos{x} \) ve \( \abs{\cos{x}} \) grafiklerinin birer periyodu aşağıda verilmiştir.

Buna göre \( \abs{\cos{x}} \) fonksiyonunun \( [0, \frac{\pi}{2}] \), \( [\frac{\pi}{2}, \pi] \), \( [\pi, \frac{3\pi}{2}] \) ve \( [\frac{3\pi}{2}, 2\pi] \) aralıklarındaki belirli integralleri birbirine eşit olur.

Dolayısıyla \( \abs{\cos{x}} \) fonksiyonunun \( [0, 50\pi] \) aralığındaki integrali, \( \cos{x} \) fonksiyonunun \( [0, \frac{\pi}{2}] \) aralığındaki integralinin \( 4 \cdot 25 = 100 \) katına eşit olur.

\( \displaystyle\int_0^{50\pi} \abs{\cos{x}}\ dx = 100\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = 100(\sin{x})|_0^\frac{\pi}{2} \)

\( = 100(\sin\frac{\pi}{2} - \sin{0}) \)

\( = 100 \) bulunur.

Taralı alana \( A_1 \), \( f(x) \) fonksiyonunun \( [0, 2] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alana \( A_2 \), bu iki alanın toplamının oluşturduğu dikdörtgen şeklindeki alana \( A \) diyelim.

\( A = A_1 + A_2 \)

\( A_1 = A - A_2 \)

Fonksiyonun \( x = 2 \) noktasındaki değerini bulalım.

\( f(2) = 2(2)^4 - 5(2) + 13 = 35 \)

Dikdörtgenin alanını bulalım.

\( A = 2 \cdot 35 = 70 \)

Eğrinin \( [0, 2] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan fonksiyonun bu aralıktaki belirli integraline eşittir.

\( A_2 = \displaystyle\int_0^2(2x^4 - 5x + 13)\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (\dfrac{2x^5}{5} - \dfrac{5x^2}{2} + 13x)|_0^2 \)

\( = (\dfrac{2(2)^5}{5} - \dfrac{5(2)^2}{2} + 13(2)) - (\dfrac{2(0)^5}{5} - \dfrac{5(0)^2}{2} + 13(0)) \)

\( = (\dfrac{64}{5} - 10 + 26) - (0) \)

\( = \dfrac{144}{5} \)

Taralı alanı bulalım.

\( A_1 = 70 - \dfrac{144}{5} = \dfrac{206}{5} \) olarak bulunur.

Taralı bölgenin alanı eğrinin \( [0, \pi] \) aralığındaki belirli integraline eşittir.

\( A = \displaystyle\int_0^{\pi}(4x\sin{x})\ dx \)

İfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.

\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.

\( u = 4x \)

\( dv = \sin{x}\ dx \)

Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.

\( du = 4\ dx \)

\( v = -\cos{x} \)

Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.

\( \displaystyle\int_a^b{u\ dv} = (u\ v)|_a^b - \displaystyle\int_a^b{v\ du} \)

\( \displaystyle\int_0^{\pi}{4x\sin{x}\ dx} = (-4x\cos{x})|_0^{\pi} - \displaystyle\int_0^{\pi}{-4\cos{x}\ dx} \)

\( = (-4x\cos{x})|_0^{\pi} + (4\sin{x})|_0^{\pi} \)

\( = [(-4\pi\cos{\pi}) - (-4 \cdot 0 \cdot \cos{0})] + [(4\sin{\pi}) - (4\sin{0})] \)

\( = (4\pi - 0) + (0 - 0) \)

\( = 4\pi \) olarak bulunur.

\( T(r, k) \) noktasının koordinatlarını bulalım.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{10}{2} = -5 \)

\( k = f(r) = (-5)^2 + 10(-5) + 26 = 1 \)

Taralı bölgenin alanı, \( [-5, 0] \) aralığında parabolle \( x \) ekseni arasında kalan alan (\( A_1 + A_2 \)) ile köşeleri \( T(-5, 1) \), \( (-5, 0) \) ve \( (0, 0) \) noktaları olan üçgenin alanının (\( A_2 \)) farkına eşittir.

Önce \( [-5, 0] \) aralığında parabol ile \( x \) ekseni arasında kalan alanı bulalım.

\( A_1 + A_2 = \displaystyle\int_{-5}^0(x^2 + 10x + 26)\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (\dfrac{x^3}{3} + 5x^2 + 26x)|_{-5}^0 \)

\( = (\dfrac{0^3}{3} + 5(0)^2 + 26(0)) - (\dfrac{(-5)^3}{3} + 5(-5)^2 + 26(-5)) \)

\( = 0 - (-\dfrac{125}{3} + 125 - 130) \)

\( = \dfrac{140}{3} \)

Üçgenin alanını bulalım.

\( A_2 = \dfrac{5 \cdot 1}{2} = \dfrac{5}{2} \)

Taralı bölge bulduğumuz birinci alanın ikinci alandan farkına eşittir.

\( A_1 = (A_1 + A_2) - A_2 \)

\( = \dfrac{140}{3} - \dfrac{5}{2} \)

\( = \dfrac{265}{6} \) olarak bulunur.

\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının kesişim noktalarını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.

\( f(x) = g(x) \)

\( -x^2 + 3x + 4 = 2x - 2 \)

\( x^2 - x - 6 = 0 \)

\( (x + 2)(x - 3) = 0 \)

Buna göre iki fonksiyon \( x = -2 \) ve \( x = 3 \) apsisli noktalarda kesişir.

\( f \) fonksiyonunun \( x \) eksenini kestiği noktaları bulalım.

\( f(x) = -x^2 + 3x + 4 = 0 \)

\( -(x + 1)(x - 4) = 0 \)

Buna göre \( f \) fonksiyonu \( x \) eksenini \( x = -1 \) ve \( x = 4 \) apsisli noktalarda keser.

\( g \) doğrusunun \( x \) eksenini kestiği noktayı bulalım.

\( g(x) = 2x - 2 = 0 \)

\( x = 1 \)

Buna göre \( g \) doğrusu \( x \) eksenini \( x = 1 \) apsisli noktada keser.

Taralı bölgenin alanı \( [1, 4] \) aralığında \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının \( x \) ekseni ile aralarında kalan alanların toplamına eşittir.

\( A = A_1 + A_2 \)

\( [1, 3] \) ve \( [3, 4] \) aralıklarında taralı alan farklı fonksiyonun \( x \) ekseni ile arasında kalan alana karşılık geldiği için belirli integrali iki aralık için ayrı ayrı almalıyız.

Önce \( [1, 3] \) aralığında \( g \) fonksiyonu ile \( x \) ekseni arasında kalan alanı bulalım.

\( A_1 = \displaystyle\int_1^3(2x - 2)\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (x^2 - 2x)|_1^3 \)

\( = (3^2 - 2(3)) - (1^2 - 2(1)) \)

\( = 4 \)

Şimdi \( [3, 4] \) aralığında \( f \) fonksiyonu ile \( x \) ekseni arasında kalan alanı bulalım.

\( A_2 = \displaystyle\int_3^4(-x^2 + 3x + 4)\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (-\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2} + 4x)|_3^4 \)

\( = (-\dfrac{4^3}{3} + \dfrac{3(4)^2}{2} + 4(4)) - (-\dfrac{3^3}{3} + \dfrac{3(3)^2}{2} + 4(3)) \)

\( = (-\dfrac{64}{3} + 24 + 16) - (-9 + \dfrac{27}{2} + 12) \)

\( = \dfrac{13}{6} \)

Taralı bölgenin alanı bulduğumuz iki alanın toplamına eşittir.

\( A = A_1 + A_2 \)

\( = 4 + \dfrac{13}{6} = \dfrac{37}{6} \) olarak bulunur.

Fonksiyonun biri çift katlı olmak üzere 5 reel kökü vardır, dolayısıyla fonksiyon 6. derecedendir.

Fonksiyonun başkatsayısı negatif olduğu için \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken \( y \) negatif sonsuza gider.

\( c \) noktasındaki çift katlı kökte grafik \( x \) eksenini işaret değiştirmeden keser, diğer tek katlı köklerde işaret değiştirerek keser.

Buna göre fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibi olur. Grafiğin farklı aralıklarda \( x \) ekseni ile arasında kalan alanlar grafikte işaretlenmiştir.

Fonksiyonun \( [a, e] \) aralığındaki belirli integrali, bu aralıkta \( x \) ekseninin üstünde kalan alanlarla altında kalan alanların farkına eşittir.

\( \displaystyle\int_a^e f(x)\ dx \) \( = 23 - 35 - 14 + 51 = 25 \) birim bulunur.

\( f \) fonksiyonunun köklerini bulalım.

\( f(x) = x(\dfrac{x}{2} - 3) = 0 \)

Buna göre \( f \) fonksiyonu \( x \) eksenini \( x = 0 \) ve \( x = 6 \) apsisli noktalarda keser.

\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının denklemlerini bularak kesişimleri olan \( B \) noktasının koordinatlarını bulalım.

\( x = 0 \) ve \( x = 6 \) apsisli noktalardaki teğetlerin eğimini bulmak için \( f(x) \) fonksiyonunun türevini alalım.

\( f'(x) = x - 3 \)

\( f'(0) = 0 - 3 = -3 \)

\( f'(6) = 6 - 3 = 3 \)

Buna göre \( f \) fonksiyonunun \( x = 0 \) noktasındaki eğimi -3, \( x = 6 \) noktasındaki eğimi 3'tür.

Teğet doğruların denklemini bulmak için bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemini kullanalım.

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( d_1 \) doğrusu için:

\( y - 0 = -3(x - 0) \)

\( d_1: y = -3x \)

\( d_2 \) doğrusu için:

\( y - 0 = 3(x - 6) \)

\( d_2: y = 3x - 18 \)

\( B \) noktasının koordinatlarını bulmak için \( d_1 \) ve \( d_2 \) denklemlerini ortak çözelim.

\( -3x = 3x - 18 \)

\( 6x = 18 \)

\( x = 3, \quad y = -9 \)

\( B(3, -9) \)

Taralı bölgeninin alanını bulmak için \( OAB \) üçgeninin alanından \( f(x) \) fonksiyonunun \( [0, 6] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı çıkaralım.

\( A_1 = A(OAB) - A_2 \)

\( OAB \) üçgeninin alanını bulalım.

\( A(OAB) = \dfrac{6 \cdot 9}{2} = 27 \)

\( A_2 \) alanı \( f(x) \) fonksiyonunun \( [0, 6] \) aralığındaki belirli integralinin mutlak değerine eşittir.

\( \displaystyle\int_0^6(\dfrac{x^2}{2} - 3x)\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (\dfrac{x^3}{6} - \dfrac{3x^2}{2})|_0^6 \)

\( = (\dfrac{6^3}{6} - \dfrac{3(6)^2}{2}) - (\dfrac{0^3}{6} - \dfrac{3(0)^2}{2}) \)

\( = (36 - 54) - 0 \)

\( = -18 \)

Alan pozitif bir büyüklük olduğu için \( f(x) \) fonksiyonunun \( [0, 6] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan fonksiyonun bu aralıktaki belirli integralinin mutlak değerine eşittir.

\( A_2 = \abs{-18} = 18 \)

Taralı bölgenin alanını bulalım.

\( A_1 = A(OAB) - A_2 \)

\( = 27 - 18 = 9 \) olarak bulunur.

Verilen fonksiyon 4. dereceden polinom fonksiyonudur.

Fonksiyon tanımını çarpanlarına ayıralım.

\( f(x) = x^2(x^2 + 6x + 9) \)

\( = x^2(x + 3)^2 \)

Buna göre fonksiyonun \( x = -3 \) ve \( x = 0 \) noktalarında olmak üzere iki tane çift katlı kökü vardır.

Çift dereceli ve pozitif başkatsayılı polinomların grafiklerinde \( x \) negatif ve pozitif sonsuza giderken \( y \) pozitif sonsuza gider.

Bir polinom fonksiyonunun grafiği tek katlı köklerde \( x \) eksenini keser ve eksenin öteki tarafına geçer, çift katlı köklerde ise \( x \) eksenini teğet keser ve eksenin öteki tarafına geçmeden geri döner.

Bu bilgiler doğrultusunda fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibi olur.

Buna göre istenen alan şekildeki taralı bölgeye karşılık gelir ve fonksiyonun \( [-3, 0] \) aralığındaki belirli integraline eşittir.

\( A = \displaystyle\int_{-3}^0(x^4 + 6x^3 + 9x^2)\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{6x^4}{4} + 3x^3)|_{-3}^0 \)

\( = (\dfrac{0^5}{5} + \dfrac{6(0)^4}{4} + 3(0)^3) - (\dfrac{(-3)^5}{5} + \dfrac{6(-3)^4}{4} + 3(-3)^3) \)

\( = 0 - (-\dfrac{243}{5} + \dfrac{243}{2} - 81) \)

\( = \dfrac{81}{10} \) olarak bulunur.

Bir fonksiyona bir noktada teğet olan doğrunun eğimi fonksiyonun o noktadaki birinci türev değerine eşittir.

Buna göre \( f(x) \) fonksiyonunun \( x = -8 \) noktasındaki türevinden yararlanarak \( d \) doğrusunun denklemini yazalım.

\( f'(x) = 2x + 10 \)

\( f'(-8) = 2(-8) + 10 = -6 \)

Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemini yazalım.

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y - 12 = -6(x - (-8)) \)

\( y = -6x - 36 \)

\( d \) doğrusunun \( x \) eksenini kestiği noktayı bulmak için doğru denkleminde \( y = 0 \) yazalım.

\( 0 = -6x - 36 \)

\( x = -6 \)

Bu durumda \( d \) doğrusu \( x \) eksenini \( (-6, 0) \) noktasında keser.

Taralı bölgenin alanını bulmak için \( f(x) \) fonksiyonunun \( [-8, 0] \) aralığındaki belirli integralinden \( A_2 \) ile işaretli üçgenin alanını çıkaralım.

Üçgenin alanını bulalım.

\( A_2 = \dfrac{2 \cdot 12}{2} = 12 \)

Taralı bölgenin alanını bulalım.

\( A_1 = \displaystyle\int_{-8}^0 (x^2 + 10x + 28)\ dx - A_2 \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (\dfrac{x^3}{3} + 5x^2 + 28x)|_{-8}^0 - 12 \)

\( = (\dfrac{0^3}{3} + 5(0)^2 + 28(0)) - (\dfrac{(-8)^3}{3} + 5(-8)^2 + 28(-8)) - 12 \)

\( = 0 - (\dfrac{-512}{3} + 320 - 224) - 12 \)

\( = \dfrac{224}{3} - 12 \)

\( = \dfrac{188}{3} \) bulunur.

Parabolün denklemini bulmak için kökleri ve ek bir noktası bilinen parabol denklem formülünü kullanalım.

\( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \)

\( f(x) = a(x + 2)(x - 2) \)

\( a \) değerini bulmak için \( (0, -4) \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.

\( f(0) = a(0 + 2)(0 - 2) = -4 \)

\( a = 1 \)

\( f \) fonksiyonunun denklemi aşağıdaki gibi bulunur.

\( f(x) = (x + 2)(x - 2) = x^2 - 4 \)

Parabol ile \( y = -3 \) doğrusunun kesişim noktalarını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - 4 = -3 \)

\( x^2 = 1 \)

\( x = \pm 1 \)

Buna göre parabol ve doğru \( x = -1 \) ve \( x = 1 \) apsisli noktalarda kesişir.

Taralı bölgenin alanını bulmak için \( f(x) \) fonksiyonunun \( [-2, -1] \) ve \( [1, 2] \) aralıklarında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan ile köşeleri \( (-1, 0) \), \( (-1, -3) \), \( (1, -3) \) ve \( (1, 0) \) olan dikdörtgenin alanını toplayalım.

\( A = A_1 + A_2 + A_3 \)

Dikdörtgenin alanını bulalım.

\( A_2 = 2 \cdot 3 = 6 \)

\( f(x) \) fonksiyonunun \( [-2, -1] \) ve \( [1, 2] \) aralıklarında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan fonksiyonun bu aralıklardaki belirli integralinin mutlak değerine eşittir.

\( \displaystyle\int_{-2}^{-1}(x^2 - 4)\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (\dfrac{x^3}{3} - 4x)|_{-2}^{-1} \)

\( = (\dfrac{(-1)^3}{3} - 4(-1)) - (\dfrac{(-2)^3}{3} - 4(-2)) \)

\( = \dfrac{7}{3} - 4 = -\dfrac{5}{3} \)

Alan pozitif bir büyüklük olduğu için \( f(x) \) fonksiyonunun \( [-2, -1] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan fonksiyonun bu aralıktaki belirli integralinin mutlak değerine eşittir.

\( A_1 = \abs{-\dfrac{5}{3}} = \dfrac{5}{3} \)

\( f(x) \) çift fonksiyon olduğu için \( [-2, -1] \) ve \( [1, 2] \) aralıklarındaki belirli integral değerleri birbirine eşittir.

\( A_3 = A_1 = \dfrac{5}{3} \)

Taralı bölge bulduğumuz üç alanın toplamına eşittir.

\( A = A_1 + A_2 + A_3 \)

\( A = \dfrac{5}{3} + 6 + \dfrac{5}{3} \)

\( = \dfrac{28}{3} \) olarak bulunur.

\( A \) noktasının ordinatını bulalım.

\( A \) noktası \( f \) eğrisi üzerinde olduğu için koordinatları denklemi sağlar.

\( f(\dfrac{\pi}{4}) = \sin(3 \cdot \dfrac{\pi}{4}) + 1 \)

\( = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1 \)

\( A(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1) \)

Taralı bölgenin alanını bulmak için \( f(x) \) fonksiyonunun \( [0, \frac{\pi}{4}] \) aralığındaki belirli integralinden köşeleri \( (\frac{\pi}{4}, 0) \), \( A \) ve orijin olan üçgenin alanını çıkaralım.

Üçgenin alanını bulalım.

\( A_2 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{4} \cdot (\dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1) = \dfrac{\sqrt{2}\pi + 2\pi}{16} \)

Taralı bölgenin alanını bulalım.

\( A_1 = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\sin(3x) + 1)\ dx - \dfrac{\sqrt{2}\pi + 2\pi}{16} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (\dfrac{-\cos(3x)}{3} + x)|_0^{\frac{\pi}{4}} - \dfrac{\sqrt{2}\pi + 2\pi}{16} \)

\( = [(\dfrac{-\cos(\frac{3\pi}{4})}{3} + \dfrac{\pi}{4}) - (\dfrac{-\cos{0}}{3}) + 0] - \dfrac{\sqrt{2}\pi + 2\pi}{16} \)

\( = [(\dfrac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{3} + \dfrac{\pi}{4}) - (\dfrac{-1}{3}) + 0)] - \dfrac{\sqrt{2}\pi + 2\pi}{16} \)

\( = \dfrac{\sqrt{2}}{6} + \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{\sqrt{2}\pi + 2\pi}{16} \)

\( = \dfrac{8\sqrt{2} + 6\pi - 3\sqrt{2}\pi + 16}{48} \) olarak bulunur.

Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaların koordinatlarını bulalım.

\( f(x) = x(x - 4) = 0 \)

Parabol \( x \) eksenini \( x = 0 \) ve \( x = 4 \) apsisli noktalarda keser.

Parabol ile doğruların kesişim noktalarını bulalım.

Parabol ile \( y = 5 \) doğrusunun kesişim noktalarını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - 4x = 5 \)

\( x^2 - 4x - 5 = 0 \)

\( (x + 1)(x - 5) = 0 \)

Parabol ve \( y = 5 \) doğrusu \( x = -1 \) ve \( x = 5 \) apsisli noktalarda kesişir.

Parabol ile \( y = -3 \) doğrusunun kesişim noktalarını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - 4x = -3 \)

\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)

\( (x - 1)(x - 3) = 0 \)

Parabol ve \( y = -3 \) doğrusu \( x = 1 \) ve \( x = 3 \) apsisli noktalarda kesişir.

\( A_1 \) alanını bulmak için köşeleri \( (-1, 5) \), \( (5, 5) \), \( (5, 0) \) ve \( (4, 0) \) olan yamuğun alanından \( f(x) \) fonksiyonunun \( [4, 5] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı çıkaralım.

Yamuğun alanını bulalım.

\( \dfrac{6 + 1}{2} \cdot 5 = \dfrac{35}{2} \)

\( f(x) \) fonksiyonunun \( [4, 5] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı bulalım.

\( \displaystyle\int_4^5(x^2 - 4x)\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (\dfrac{x^3}{3} - 2x^2)|_4^5 \)

\( = (\dfrac{5^3}{3} - 2(5)^2) - (\dfrac{4^3}{3} - 2(4)^2) \)

\( = (\dfrac{125}{3} - 50) - (\dfrac{64}{3} - 32) \)

\( = \dfrac{7}{3} \)

Bulduğumuz iki alanın farkını bulalım.

\( A_1 = \dfrac{35}{2} - \dfrac{7}{3} = \dfrac{91}{6} \)

\( A_2 \) alanını bulmak için \( f(x) \) fonksiyonunun \( [0, 1] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan ile köşeleri \( (1, 0) \), \( (1, -3) \) ve \( (4, 0) \) noktaları olan üçgenin alanı ile toplayalım.

Üçgenin alanını bulalım.

\( \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \dfrac{9}{2} \)

\( f(x) \) fonksiyonunun \( [0, 1] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı bulalım.

\( \displaystyle\int_0^1(x^2 - 4x)\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (\dfrac{x^3}{3} - 2x^2)|_0^1 \)

\( = (\dfrac{1^3}{3} - 2(1)^2) - (\dfrac{0^3}{3} - 2(0)^2) \)

\( = -\dfrac{5}{3} \)

Alan pozitif bir büyüklük olduğu için \( f(x) \) fonksiyonunun \( [0, 1] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan fonksiyonun bu aralıktaki belirli integralinin mutlak değerine eşittir.

\( A_2 = \dfrac{9}{2} + \abs{-\dfrac{5}{3}} = \dfrac{37}{6} \)

\( A_1 - A_2 = \dfrac{91}{6} - \dfrac{37}{6} = 9 \) birimkare bulunur.

\( B \) noktasının koordinatlarını bulalım.

\( B \) noktası \( f \) eğrisi üzerinde olduğu için eğri denklemini sağlar.

\( f(x) = 9 - e^{\frac{x}{3}} = 6 \)

\( e^{\frac{x}{3}} = 3 \)

Her iki tarafın \( e \) tabanında logaritmasını alalım.

\( \dfrac{x}{3} = \ln{3} \)

\( x = 3\ln{3} \)

\( B(3\ln{3}, 6) \)

\( f \) fonksiyonunun \( [0, 3\ln{3}] \) aralığındaki belirli integrali \( A_1 \) alanı ile \( ABCO \) dikdörtgeninin alanının toplamına eşittir.

\( \displaystyle\int_0^{3\ln{3}}(9 - e^{\frac{x}{3}})\ dx = A_1 + A(ABCO) \)

Eşitliğin sol tarafının integralini alalım.

\( (9x - 3e^{\frac{x}{3}})|_0^{3\ln{3}} \)

\( = (9(3\ln{3}) - 3e^{\frac{3\ln{3}}{3}}) - (9(0) - 3e^{\frac{0}{3}}) \)

\( = 27\ln{3} - 9 - 0 + 3 \)

\( = 27\ln{3} - 6 \)

Dikdörtgenin alanını bulalım.

\( A(ABCO) = 6 \cdot 3\ln{3} = 18\ln{3} \)

Bulduğumuz değerleri yukarıdaki eşitlikte yerine koyalım.

\( 27\ln{3} - 6 = A_1 + 18\ln{3} \)

\( A_1 = 9\ln{3} - 6 \)

\( A_2 \) değerini bulmak için eğrinin \( x \) eksenini kestiği noktanın apsisini bulalım.

\( f(x) = 9 - e^{\frac{x}{3}} = 0 \)

\( e^{\frac{x}{3}} = 9 \)

Her iki tarafın \( e \) tabanında logaritmasını alalım.

\( \dfrac{x}{3} = \ln{9} = 2\ln{3} \)

\( x = 6\ln{3} \)

\( A_2 \) alanı eğrinin \( [3\ln{3}, 6\ln{3}] \) aralığındaki belirli integraline eşittir.

\( A_2 = \displaystyle\int_{3\ln{3}}^{6\ln{3}}(9 - e^{\frac{x}{3}})\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (9x - 3e^{\frac{x}{3}})|_{3\ln{3}}^{6\ln{3}} \)

\( = (9(6\ln{3}) - 3e^{\frac{6\ln{3}}{3}}) - (9(3\ln{3}) - 3e^{\frac{3\ln{3}}{3}}) \)

\( = 54\ln{3} - 27 - 27\ln{3} + 9 \)

\( = 27\ln{3} - 18 \)

\( \dfrac{A_2}{A_1} \) oranını bulalım.

\( \dfrac{A_2}{A_1} = \dfrac{27\ln{3} - 18}{9\ln{3} - 6} = 3 \) olarak bulunur.

Tepe noktası \( T(r, k) \) olan parabolün denklemini yazalım.

\( f(x) = a(x - r)^2 + k \)

\( f(x) = a(x + 1)^2 - 4 \)

\( A \) noktası parabol üzerinde olduğu için denklemi sağlar.

\( f(1) = a(1 + 1)^2 - 4 = 0 \)

\( a = 1 \)

\( f(x) = (x + 1)^2 - 4 \)

Fonksiyonun \( x \) eksenini kestiği diğer noktanın apsisini bulmak için \( f(x) = 0 \) denklemini çözelim.

\( f(x) = (x + 1)^2 - 2^2 = 0 \)

\( (x + 1 - 2)(x + 1 + 2) = 0 \)

\( (x - 1)(x + 3) = 0 \)

Parabol \( x \) eksenini \( x = -3 \) ve \( x = 1 \) apsisli noktalarda keser.

\( A_3 + A_4 \) alanını bulmak için parabolün \( [-3, 1] \) aralığında \( x \) ekseniyle arasında kalan alandan \( BAT \) üçgeninin alanını çıkaralım.

Üçgenin alanını bulalım.

\( A(BAT) = \dfrac{4 \cdot 4}{2} = 8 \)

Parabolün \( [-3, 1] \) aralığında \( x \) ekseniyle arasında kalan alanı bulalım.

\( \displaystyle\int_{-3}^1{((x + 1)^2 - 4)\ dx} \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (\dfrac{(x + 1)^3}{3} - 4x)|_{-3}^1 \)

\( = (\dfrac{(1 + 1)^3}{3} - 4(1)) - (\dfrac{(-3 + 1)^3}{3} - 4(-3)) \)

\( = (\dfrac{8}{3} - 4) - (\dfrac{-8}{3} + 12) \)

\( = -\dfrac{32}{3} \)

Alan pozitif bir büyüklük olduğu için \( f(x) \) fonksiyonunun \( [-3, 1] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan fonksiyonun bu aralıktaki belirli integralinin mutlak değerine eşittir.

\( A_3 + A_4 = \abs{-\dfrac{32}{3}} - A(BAT) \)

\( = \abs{-\dfrac{32}{3}} - 8 = \dfrac{8}{3} \)

\( A_1 + A_2 \) alanını bulmak için parabolün \( y = 5 \) doğrusuyla kesişim noktalarını bulalım.

\( (x + 1)^2 - 4 = 5 \)

\( (x + 1)^2 - 3^2 = 0 \)

\( (x + 1 - 3)(x + 1 + 3) = 0 \)

\( (x - 2)(x + 4) = 0 \)

Parabol \( y = 5 \) doğrusunu \( x = -4 \) ve \( x = 2 \) apsisli noktalarda keser.

\( A_1 + A_2 \) alanını bulmak için \( CDFE \) dikdörtgeninin alanından parabolün \( [-4, -3] \) ve \( [1, 2] \) aralıklarında \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı ve \( BAK \) üçgeninin alanını çıkaralım.

Dikdörtgenin alanını bulalım.

\( A(CDFE) = 5 \cdot 6 = 30 \)

Üçgenin alanını bulalım.

\( A(BAK) = \dfrac{4 \cdot 5}{2} = 10 \)

Parabolün \( [-4, -3] \) ve \( [1, 2] \) aralıklarında \( x \) ekseniyle arasında kalan alanı bulalım.

\( \displaystyle\int_{-4}^{-3}((x + 1)^2 - 4)\ dx + \displaystyle\int_1^2((x + 1)^2 - 4)\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (\dfrac{(x + 1)^3}{3} - 4x)|_{-4}^{-3} + (\dfrac{(x + 1)^3}{3} - 4x)|_1^2 \)

\( = [(\dfrac{(-3 + 1)^3}{3} - 4(-3)) - (\dfrac{(-4 + 1)^3}{3} - 4(-4))] + [(\dfrac{(2 + 1)^3}{3} - 4(2)) - (\dfrac{(1 + 1)^3}{3} - 4(1))] \)

\( = [(\dfrac{-8}{3} + 12) - (-9 + 16)] + [(9 - 8) - (\dfrac{8}{3} - 4)] \)

\( = \dfrac{14}{3} \)

\( A_1 + A_2 = A(CDFE) - \dfrac{14}{3} - A(BAK) \)

\( = 30 - \dfrac{14}{3} - 10 = \dfrac{46}{3} \)

\( A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = \dfrac{46}{3} + \dfrac{8}{3} \)

\( = 18 \) birimkare olarak bulunur.

1. yöntem:

\( A_1 \) alanını bulmak için \( f(x) \) fonksiyonunun \( [0, 5] \) aralığındaki belirli integralini bulalım.

\( \displaystyle\int_0^5{\dfrac{x - 5}{x + 1}}\ dx \)

İfadenin integralini almak için basit kesirlere ayırma yöntemini kullanalım.

\( = \displaystyle\int_0^5(1 - \dfrac{6}{x + 1})\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (x - 6\ln{\abs{x + 1}})|_0^5 \)

\( = (5 - 6\ln{\abs{5 + 1}}) - (0 - 6\ln{\abs{0 + 1}}) \)

\( = 5 - 6\ln{6} \)

Alan pozitif bir büyüklük olduğu için \( A_1 \) bu aralıktaki belirli integralin mutlak değerine eşit olur.

\( A_1 = \abs{5 - 6\ln{6}} = 6\ln{6} - 5 \)

\( A_2 \) alanını bulmak için köşeleri orijin, \( (0, 5) \), \( (-5, 5) \) ve \( (-5, 0) \) noktaları olan karenin alanından \( g(x) \) fonksiyonunun \( [-5, 0] \) aralığındaki belirli integralini çıkaralım.

Karenin alanı \( = 5 \cdot 5 = 25 \)

\( g(x) \) fonksiyonunun \( [-5, 0] \) aralığındaki belirli integralini bulalım.

\( \displaystyle\int_{-5}^0{\dfrac{-x - 5}{x - 1}}\ dx \)

İfadenin integralini almak için basit kesirlere ayırma yöntemini kullanalım.

\( = \displaystyle\int_{-5}^0(-1 - \dfrac{6}{x - 1})\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (-x - 6\ln{\abs{x - 1}})|_{-5}^0 \)

\( = (-0 - 6\ln{\abs{0 - 1}}) - (-(-5) - 6\ln{\abs{(-5) - 1}}) \)

\( = 6\ln{6} - 5 \)

\( A_2 = 25 - (6\ln{6} - 5) = 30 - 6\ln{6} \)

\( A_1 + A_2 = (6\ln{6} - 5) + (30 - 6\ln{6}) = 25 \) bulunur.

2. yöntem:

\( \frac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun tersi \( \frac{-dx + b}{cx - a} \) fonksiyonudur.

\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarını incelediğimizde birbirinin tersi fonksiyonlar olduğunu görürüz.

\( f^{-1}(x) = \dfrac{-x - 5}{x - 1} = g(x) \)

Bir fonksiyonun kendisinin ve tersinin grafikleri \( y = x \) doğrusuna göre simetriktir.

Buna göre \( f(x) \) fonksiyonunun tersinin \( [-5, 0] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan, \( g(x) \) fonksiyonunun aynı aralıkta \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı kareye tamamlayan alandır.

\( A_1 + A_2 = 5 \cdot 5 = 25 \) bulunur.

Soruda \( ABCD \) dikdörtgeninin içinden seçilen bir noktanın \( y = 3x^2 \) eğrisinin üzerinde kalan bölgede bulunma olasılığı sorulmaktadır.

Nokta rastgele seçileceği için koordinatlarının verilen koşulu sağlama olasılığı bu bölgenin alanının (\( A_1 \)) dikdörtgenin alanına (\( A_1 + A_2 \)) oranına eşittir.

\( [0, 5] \) aralığında \( y = 3x^2 \) eğrisi ile \( x \) ekseni arasında kalan alanı bulalım.

\( A_2 = \displaystyle\int_0^5 3x^2\ dx = x^3|_0^5 \)

\( = 5^3 - 0^3 = 125 \)

Dikdörtgenin alanını bulalım.

\( A_1 + A_2 = 5 \cdot 100 = 500 \)

Eğrinin üstünde kalan alanı bulalım.

\( A_1 = 500 - 125 = 375 \)

Eğrinin üstünde kalan alanın dikdörtgenin alanına oranı:

\( = \dfrac{375}{500} = \dfrac{3}{4} \) bulunur.