Belirli İntegralin Özellikleri
Aşağıda bahsedeceğimiz belirli integral özelliklerinin belirli integralin alan anlamı akılda tutularak incelenmesi bu özelliklerin anlaşılmasını kolaylaştıracaktır.
Fonksiyon İşlemleri
Sabit Çarpım
Bir fonksiyonun sabit bir değerle çarpımının integrali, fonksiyonun integralinin sabit değerle çarpımına eşittir. Bir diğer ifadeyle, bir fonksiyon sabit bir \( k \) sayısı ile çarpıldığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan da aynı oranda büyür/küçülür.
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int_a^b {k\ f(x)\ dx} = k\displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
\( \displaystyle\int_0^2 {5x^2\ dx} = 5\displaystyle\int_0^2 {x^2\ dx} \)
İSPATI GÖSTER
Verilen belirli integralin limit tanımını yazalım.
\( \displaystyle\int_a^b {k\ f(x)\ dx} = \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{k\ f(x_i^*)\ \Delta x} \)
Toplam sembolü işlem kurallarına göre toplam sembolünün içindeki ifadenin sabit bir çarpanı toplam sembolünün dışına çarpan olarak çıkarılabilir.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} k\ \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)\ \Delta x} \)
Limit işlem kurallarına göre limit tanımlı bir ifadenin sabit bir sayı ile çarpımının limiti, ifadenin limitinin sabit sayı ile çarpımına eşittir.
\( = k\lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)\ \Delta x} \)
Bu limit ifadesi \( f(x) \) fonksiyonunun \( [a, b] \) aralığındaki belirli integralidir.
\( = k\displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
Fonksiyonların Toplamı/Farkı
İki fonksiyonun toplamının/farkının integrali, integrallerinin toplamına/farkına eşittir. Bir diğer ifadeyle, iki fonksiyonun toplamı/farkı olan fonksiyonun \( x \) ekseni ile arasında kalan alan, fonksiyonların ayrı ayrı \( x \) ekseni ile aralarında kalan alanların toplamına/farkına eşittir.
\( \displaystyle\int_a^b {(f(x) \pm g(x))\ dx} = \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \pm \displaystyle\int_a^b {g(x) dx}\ \)
\( \displaystyle\int_1^4 {(x^2 + 2^x)\ dx} = \displaystyle\int_1^4 {x^2\ dx} + \displaystyle\int_1^4 {2^x\ dx} \)
İSPATI GÖSTER
Verilen belirli integralin limit tanımını yazalım.
\( \displaystyle\int_a^b {(f(x) \pm g(x))\ dx} = \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{(f(x_i^*) \pm g(x_i^*))\ \Delta x} \)
Toplam sembolü işlem kurallarına göre toplam sembolü ifadedeki terimlere dağıtılabilir.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} (\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)\ \Delta x} \pm \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{g(x_i^*)\ \Delta x}) \)
Limit işlem kurallarına göre limiti tanımlı iki ifadenin toplamının/farkının limiti, ifadelerin ayrı ayrı limitlerinin toplamına/farkına eşittir.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)\ \Delta x} \pm \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{g(x_i^*)\ \Delta x} \)
Bu limit ifadeleri sırasıyla \( f(x) \) ve \( g(x) \) fonksiyonlarının \( [a, b] \) aralığındaki belirli integralidir.
\( = \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \pm \displaystyle\int_a^b {g(x)\ dx} \)
Aralık İşlemleri
Sınırların Yer Değiştirmesi
Bir integralin alt ve üst sınırları kendi aralarında yer değiştirirse (\( [a, b] \to [b, a] \)) integral değeri işaret değiştirir.
\( \displaystyle\int_{\textcolor{red}{b}}^{\textcolor{blue}{a}} {f(x)\ dx} = -\displaystyle\int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}} {f(x)\ dx} \)
\( \displaystyle\int_0^{\pi} {\sin{x}\ dx} = -\displaystyle\int_{\pi}^0 {\sin{x}\ dx} \)
İSPATI GÖSTER
Verilen belirli integralin limit tanımını yazalım.
\( \displaystyle\int_b^a {f(x)\ dx} = \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)\ \Delta x} \)
\( \Delta x \) üst ve alt sınır değerlerinin farkının aralık sayısına bölümüne eşittir.
\( \Delta x = \dfrac{a - b}{n} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*) \cdot \dfrac{a - b}{n}} \)
\( a - b = -(b - a) \) yazalım.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*) \cdot \dfrac{-(b - a)}{n}} \)
Toplam sembolü işlem kurallarına göre toplam sembolünün içindeki \( -1 \) çarpanı toplam sembolünün dışına çarpan olarak çıkarılabilir.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} -\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*) \cdot \dfrac{b - a}{n}} \)
Limit işlem kurallarına göre limit tanımlı bir ifadenin sabit bir sayı ile çarpımının limiti, ifadenin limitinin sabit sayı ile çarpımına eşittir.
\( = -\lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*) \cdot \dfrac{b - a}{n}} \)
\( \Delta x = \frac{b - a}{n} \) olduğunda bu limit ifadesi \( f(x) \) fonksiyonunun üst sınır değeri \( b \) ve alt sınır değeri \( a \) olmak üzere \( [a, b] \) aralığındaki belirli integralidir.
\( = -\displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
Aralıkların Birleşimi
Aynı kapalı ve sürekli aralıkta bulunan \( a \), \( b \) ve \( c \) noktaları için, \( [a, c] \) arasındaki integral değeri, \( [a, b] \) ve \( [b, c] \) arasındaki integral değerlerinin toplamına eşittir. Bir diğer ifadeyle, bir fonksiyonun iki farklı aralıkta \( x \) ekseni ile arasında kalan alanların toplamı, bu aralıkların birleşimi olan aralıkta \( x \) ekseni ile arasında kalan alana eşittir.
\( \displaystyle\int_a^c {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} + \displaystyle\int_b^c {f(x)\ dx} \)
\( \displaystyle\int_{-4}^4 {x^2\ dx} = \displaystyle\int_{-4}^0 {x^2\ dx} + \displaystyle\int_0^4 {x^2\ dx} \)
İSPATI GÖSTER
Belirli integralin limit tanımındaki \( \Delta x \), aralığın üst ve alt sınırlarının farkının aralığın bölündüğü alt aralık sayısına bölümüne eşittir.
\( \displaystyle\int_b^a {f(x)\ dx} = \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)\ \Delta x} \)
\( \Delta x = \dfrac{b - a}{n} \)
Verilen belirli integralin limit tanımını \( \Delta x \) ifadesinin açılımı ile yazalım.
\( \displaystyle\int_a^c {f(x)\ dx} = \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*) \cdot \dfrac{b - a}{n}} + \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*) \cdot \dfrac{c - b}{n}} \)
Limit işlem kurallarına göre iki limit ifadesinin toplamını ifadelerin toplamının limiti şeklinde yazabiliriz.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*) \cdot \dfrac{b - a}{n}} + \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*) \cdot \dfrac{c - b}{n}} \right) \)
Toplam sembolü işlem kurallarına göre değişkenleri ve sınır değerleri aynı olan iki toplam sembolü arasındaki toplama işlemini tek bir toplam sembolü altında birleştirebiliriz.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} {\left( f(x_i^*) \cdot \dfrac{b - a}{n} + f(x_i^*) \cdot \dfrac{c - b}{n} \right)} \)
İfadeyi \( f(x_i^*) \) parantezine alalım.
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*) \left( \dfrac{b - a}{n} + \dfrac{c - b}{n} \right)} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*) \cdot \dfrac{b - a + c - b}{n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*) \cdot \dfrac{c - a}{n}} \)
Bu limit ifadesi \( f(x) \) fonksiyonunun \( [a, c] \) aralığındaki belirli integralidir.
\( = \displaystyle\int_a^c {f(x)\ dx} \)
Sıfır Genişlik
Bir integralin alt ve üst sınırları aynı ise integral değeri sıfır olur. Bir diğer ifadeyle, genişliği sıfır olan bir şeklin alanı da sıfırdır.
\( \displaystyle\int_a^a {f(x)\ dx} = 0 \)
\( \displaystyle\int_3^3 {e^x\ dx} = 0 \)
İSPATI GÖSTER
Belirli integralin limit tanımındaki \( \Delta x \), aralığın üst ve alt sınırlarının farkının aralığın bölündüğü alt aralık sayısına bölümüne eşittir.
\( \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} = \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)\ \Delta x} \)
\( \Delta x = \dfrac{b - a}{n} \)
Verilen belirli integralin limit tanımını \( \Delta x \) ifadesinin açılımı ile yazalım.
\( \displaystyle\int_a^a {f(x)\ dx} = \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*) \cdot \dfrac{a - a}{n}} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*) \cdot 0} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{0} \)
\( = \lim\limits_{n \to \infty} 0 = 0 \)
Karşılaştırma
Bir fonksiyon bir \( [a, b] \) aralığında sıfırdan büyükse (ya da sıfıra eşitse) bu aralıktaki belirli integrali (\( x \) ekseni ile arasındaki alan) de sıfırdan büyüktür (ya da sıfıra eşittir).
\( [a, b] \) aralığında \( f(x) \ge 0 \) ise,
\( \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \ge 0 \)
İSPATI GÖSTER
Riemann toplam formülünü yazalım.
\( \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)\ \Delta x} \)
\( \Delta x \) üst ve alt sınır değerlerinin farkının aralık sayısına bölümüne eşittir.
\( \Delta x = \dfrac{b - a}{n} \)
\( [a, b] \) aralığında \( f(x) \ge 0 \) olduğu verildiğine göre tüm alt aralıklarda da \( f(x_i^*) \ge 0 \) olur.
\( a \le b \) olduğu için \( \Delta x \ge 0 \) olur.
Buna göre sıfırdan büyük ya da sıfıra eşit çarpanların toplamı da sıfırdan büyük ya da sıfıra eşit olur.
\( \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)\ \Delta x} \ge 0 \)
İki tarafın limitini alalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)\ \Delta x} \ge \lim\limits_{n \to \infty} 0 \)
Sağ taraftaki limit ifadesi sıfıra eşittir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{f(x_i^*)\ \Delta x} \ge 0 \)
Sol taraftaki limit ifadesi belirli integralin tanımıdır.
\( \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \ge 0 \)
Bir \( f \) fonksiyonu bir \( [a, b] \) aralığında diğer bir \( g \) fonksiyonundan büyükse (ya da ona eşitse) bu aralıktaki belirli integrali \( g \) fonksiyonunun belirli integralinden büyüktür (ya da ona eşittir).
\( [a, b] \) aralığında \( f(x) \ge g(x) \) ise,
\( \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \ge \displaystyle\int_a^b {g(x)\ dx} \)
İSPATI GÖSTER
\( [a, b] \) aralığında aşağıdaki ilişki verilmiştir.
\( f(x) \ge g(x) \)
Sağ taraftaki ifadeyi eşitsizliğin sol tarafına alalım.
\( f(x) - g(x) \ge 0 \)
Yukarıda ispatını verdiğimiz birinci karşılaştırma özelliğine göre yukarıdaki ifadeyi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \displaystyle\int_a^b {(f(x) - g(x))\ dx} \ge 0 \)
Yukarıda ispatını verdiğimiz fonksiyonların toplamı/farkı özelliğine göre iki fonksiyonun farkının integrali, integrallerinin farkına eşittir.
\( \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} - \displaystyle\int_a^b {g(x)\ dx} \ge 0 \)
Sol taraftaki ikinci terimi eşitsizliğin sağ tarafına alalım.
\( \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \ge \displaystyle\int_a^b {g(x)\ dx} \)
Bir \( f \) fonksiyonu bir \( [a, b] \) aralığında \( m \) ve \( M \) değerlerinin arasında kalıyorsa bu aralıktaki belirli integrali de yükseklikleri bu iki değer olan iki dikdörtgenin alanları arasında kalır.
\( [a, b] \) aralığında \( m \le f(x) \le M \) ise,
\( m \cdot (b - a) \le \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \le M \cdot (b - a) \)
Dönüşümler
Öteleme
Bir fonksiyonun \( [a, b] \) aralığındaki belirli integral değeri, fonksiyon \( x \) ekseni boyunca \( k \) birim sağa ötelendiğinde \( [a + k, b + k] \) aralığındaki belirli integral değerine, fonksiyon \( k \) birim sola ötelendiğinde ise \( [a - k, b - k] \) aralığındaki belirli integral değerine eşittir.
\( k \in \mathbb{R}, \quad k \gt 0 \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_{a+k}^{b+k} {f(x - k)\ dx} \)
\( \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_{a-k}^{b-k} {f(x + k)\ dx} \)
\( \displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} {\sin{x}\ dx} = \displaystyle\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} {\sin(x - \pi)\ dx} \)
\( \displaystyle\int_7^9 {e^x\ dx} = \displaystyle\int_3^5 {e^{x+4}\ dx} \)
İSPATI GÖSTER
\( \displaystyle\int_{a+k}^{b+k} {f(x - k)\ dx} \)
Yukarıdaki ifadeye değişken değiştirme yöntemini uygulayalım.
\( u = x - k \)
\( du = dx \)
Bu değişkenleri integral ifadesinde yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int_{u(a + k)}^{u(b + k)} {f(u)\ du} \)
\( u \) değişkenine göre alacağımız integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(a + k) = (a + k) - k = a \)
\( u(b + k) = (b + k) - k = b \)
\( = \displaystyle\int_a^b {f(u)\ du} \)
\( \displaystyle\int_{a-k}^{b-k} {f(x + k)\ dx} \)
Yukarıdaki ifadeye değişken değiştirme yöntemini uygulayalım.
\( u = x + k \)
\( du = dx \)
Bu değişkenleri integral ifadesinde yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int_{u(a - k)}^{u(b - k)} {f(u)\ du} \)
\( u \) değişkenine göre alacağımız integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(a - k) = (a - k) + k = a \)
\( u(b - k) = (b - k) + k = b \)
\( = \displaystyle\int_a^b {f(u)\ du} \)
Yansıma
Bir fonksiyonun \( y \) eksenine göre yansıması kullanılarak aşağıdaki iki eşitlik yazılabilir.
\( \displaystyle\int_0^a {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_{-a}^0 {f(-x)\ dx} \)
\( \displaystyle\int_0^a {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_0^a {f(a - x)\ dx} \)
\( \displaystyle\int_0^4 {x^3\ dx} = \displaystyle\int_{-4}^0 {(-x)^3\ dx} \)
\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} {\cos{x}\ dx} = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} {\cos(\frac{\pi}{2} - x)\ dx} \)
İSPATI GÖSTER
Birinci eşitlik:
\( \displaystyle\int_{-a}^0 {f(-x)\ dx} \)
Yukarıdaki ifadeye değişken değiştirme yöntemini uygulayalım.
\( u = -x \Longrightarrow x = -u \)
\( du = -dx \Longrightarrow dx = -du \)
Bu değişkenleri integral ifadesinde yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int_{u(-a)}^{u(0)} {f(u)\ (-du)} \)
\( = -\displaystyle\int_{u(-a)}^{u(0)} {f(u)\ du} \)
\( u \) değişkenine göre alacağımız integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(-a) = -(-a) = a \)
\( u(0) = -0 = 0 \)
\( = -\displaystyle\int_a^0 {f(u)\ du} \)
Bir integralin alt ve üst sınırları kendi aralarında yer değiştirirse integral değeri işaret değiştirir.
\( = \displaystyle\int_0^a {f(u)\ du} \)
İkinci eşitlik:
Yukarıda eşitliğini gösterdiğimiz belirli integraldeki fonksiyonu yukarıda ispatını verdiğimiz yöntemle \( a \) birim sağa öteleyelim.
\( \displaystyle\int_{-a}^0 {f(-x)\ dx} \)
\( = \displaystyle\int_{-a+a}^{0+a} {f(-(x - a))\ dx} \)
\( = \displaystyle\int_0^a {f(a - x)\ dx} \)
Yansıma kuralı, öteleme kuralı kullanılarak belirli integralin alt sınırının sıfır olmadığı duruma da uygulanabilir.
\( \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_a^b {f(a + b - x)\ dx} \)
\( \displaystyle\int_3^5 {2^x\ dx} = \displaystyle\int_3^5 {2^{8-x}\ dx} \)
İSPATI GÖSTER
\( \displaystyle\int_a^b {f(a + b - x)\ dx} \)
Yukarıda ispatını verdiğimiz yöntemle \( a \) birim sola öteleme uygulayalım.
\( = \displaystyle\int_{a-a}^{b-a} {f(a + b - (x + a))\ dx} \)
\( = \displaystyle\int_0^{b-a} {f(b - x)\ dx} \)
Yukarıda ispatını verdiğimiz \( y \) eksenine göre yansıma özelliğini kullanalım.
\( = \displaystyle\int_{-(b-a)}^0 {f(b - (-x))\ dx} \)
\( = \displaystyle\int_{a-b}^0 {f(x + b)\ dx} \)
Yukarıda ispatını verdiğimiz yöntemle \( b \) birim sağa öteleme uygulayalım.
\( = \displaystyle\int_{a-b+b}^{0+b} {f((x - b) + b)\ dx} \)
\( = \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
Çift ve Tek Fonksiyonlar
Çift Fonksiyonlar
Çift fonksiyonlar \( y \) eksenine göre simetrik oldukları için, bir çift fonksiyonun \( [-a, 0] \) ve \( [0, a] \) aralıklarındaki integralleri birbirine eşittir. Bunun bir sonucu olarak bir çift fonksiyonun \( [-a, a] \) aralığındaki integrali \( [-a, 0] \) ve \( [0, a] \) aralıklarındaki integrallerinin iki katına eşittir.
\( f \) çift fonksiyon olmak üzere,
\( \displaystyle\int_{-a}^0 {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_0^a {f(x)\ dx} \)
\( \displaystyle\int_{-a}^a {f(x)\ dx} = 2\displaystyle\int_{-a}^0 {f(x)\ dx} = 2\displaystyle\int_0^a {f(x)\ dx} \)
\( f(x) = x^2\cos{x} \) çift fonksiyondur.
\( \displaystyle\int_{0}^\pi {f(x)\ dx} = A \) ise,
\( \displaystyle\int_{-\pi}^0 {f(x)\ dx} = A \)
\( \displaystyle\int_{-\pi}^\pi {f(x)\ dx} = 2A \)
Tek Fonksiyonlar
Tek fonksiyonlar orijine göre simetrik oldukları için, bir tek fonksiyonun \( [-a, 0] \) ve \( [0, a] \) aralıklarındaki integralleri birbirinin ters işaretlisidir. Bunun bir sonucu olarak bir tek fonksiyonun \( [-a, a] \) aralığındaki integrali sıfıra eşittir.
\( f \) tek fonksiyon olmak üzere,
\( \displaystyle\int_{-a}^0 {f(x)\ dx} = -\displaystyle\int_0^a {f(x)\ dx} \)
\( \displaystyle\int_{-a}^a {f(x)\ dx} = 0 \)
\( f(x) = \abs{x}\sin{x} \) tek fonksiyondur.
\( \displaystyle\int_{-\pi}^\pi {f(x)\ dx} = 0 \)
\( f \) ve \( g \) integrallenebilir fonksiyonlar olmak üzere,
\( \displaystyle\int_1^3 {f(x)\ dx} = 5 \)
\( \displaystyle\int_1^6 {f(x)\ dx} = 9 \)
\( \displaystyle\int_1^6 {g(x)\ dx} = 14 \)
olduğuna göre, aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
(a) \( \displaystyle\int_6^1 {2g(x)\ dx} \)
(b) \( \displaystyle\int_3^6 {f(x)\ dx} \)
(c) \( \displaystyle\int_1^6 [3f(x) - g(x)] \ dx \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
Bir fonksiyonun sabit bir değerle çarpımının integrali, fonksiyonun integralinin sabit değerle çarpımına eşittir.
\( \displaystyle\int_6^1 {2g(x)\ dx} = 2\displaystyle\int_6^1 {g(x)\ dx} \)
Bir integralin alt ve üst sınırları kendi aralarında yer değiştirirse integral değeri işaret değiştirir.
\( = 2\displaystyle\int_6^1 {g(x)\ dx} = -2\displaystyle\int_1^6 {g(x)\ dx} \)
\( = -2 \cdot 14 = -28 \)
(b) seçeneği:
Belirli integralin aralıkların birleşimi özelliğini kullanalım.
\( \underbrace{\displaystyle\int_1^6 {f(x)\ dx}}_\text{9} = \underbrace{\displaystyle\int_1^3 {f(x)\ dx}}_\text{5} + \displaystyle\int_3^6 {f(x)\ dx} \)
\( \displaystyle\int_3^6 {f(x)\ dx} = 4 \)
(c) seçeneği:
İki fonksiyonun toplamının/farkının integrali, integrallerinin toplamına/farkına eşittir.
\( \displaystyle\int_1^6 [3f(x) - g(x)]\ dx = \displaystyle\int_1^6 {3f(x)\ dx} - \displaystyle\int_1^6 {g(x)\ dx} \)
Bir fonksiyonun sabit bir değerle çarpımının integrali, fonksiyonun integralinin sabit değerle çarpımına eşittir.
\( = 3\underbrace{\displaystyle\int_1^6 {f(x)\ dx}}_\text{9} - \underbrace{\displaystyle\int_1^6 {g(x)\ dx}}_\text{14} \)
\( = 3 \cdot 9 - 14 = 13 \)
\( \displaystyle\int_{-2}^5 f(x)\ dx = 7 \)
\( \displaystyle\int_{1}^5 (f(x) + 2)\ dx = 13 \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_{-2}^1 f(x)\ dx \) kaçtır?
Çözümü GösterAralıkların birleşimi özelliğini kullanalım.
\( \displaystyle\int_{-2}^5 f(x)\ dx = 7 \)
\( \displaystyle\int_{-2}^1 f(x)\ dx + \displaystyle\int_1^5 f(x)\ dx = 7 \)
İntegralin toplama işlem özelliğini kullanalım.
\( \displaystyle\int_1^5 (f(x) + 2)\ dx = 13 \)
\( \displaystyle\int_1^5 f(x)\ dx + \displaystyle\int_1^5 2\ dx = 13 \)
İkinci integral ifadesi 2 sabit fonksiyonunun \( [1, 5] \) aralığında altında kalan dikdörtgensel alana eşittir.
\( \displaystyle\int_1^5 f(x)\ dx + 4 \cdot 2 = 13 \)
\( \displaystyle\int_1^5 f(x)\ dx = 5 \)
Bu değeri yukarıdaki eşitlikte yerine yazalım.
\( \displaystyle\int_{-2}^1 f(x)\ dx + 5 = 7 \)
\( \displaystyle\int_{-2}^1 f(x)\ dx = 2 \) bulunur.
\( \displaystyle\int_0^5 f(x)\ dx = 4 \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_{-5}^0 (2f(x + 5) + 3)\ dx \) integralinin sonucu \( A \) cinsinden kaçtır?
Çözümü Gösterİntegral ifadesine toplama ve sabit çarpma kurallarını uygulayalım.
\( \displaystyle\int_{-5}^0 (2f(x + 5) + 3)\ dx = 2\displaystyle\int_{-5}^0 f(x + 5)\ dx + \displaystyle\int_{-5}^0 3\ dx \)
Birinci integral ifadesini 5 birim sağa öteleyelim.
\( = 2\displaystyle\int_0^5 f(x)\ dx + \displaystyle\int_{-5}^0 3\ dx \)
Birinci integral ifadesi 4 olarak veriliyor.
\( = 2 \cdot 4 + \displaystyle\int_{-5}^0 3\ dx \)
İkinci integral ifadesi 3 sabit fonksiyonunun \( [-5, 0] \) aralığında altında kalan dikdörtgensel alana eşittir.
\( = 8 + 5 \cdot 3 = 23 \) bulunur.
\( \displaystyle\int_{-6}^{-4}{3f(x)}\ dx = 27 \) ve \( \displaystyle\int_{-6}^{2}{f(x)}\ dx = 13 \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_{-4}^{2}{f(x)}\ dx \) integralinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterBelirli integralde aralıkların birleşimi kuralı aşağıdaki gibidir.
\( \displaystyle\int_a^c {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} + \displaystyle\int_b^c {f(x)\ dx} \)
\( \displaystyle\int_{-6}^2{f(x)}\ dx = \displaystyle\int_{-6}^{-4}{f(x)}\ dx + \displaystyle\int_{-4}^2{f(x)}\ dx\ \)
\( \displaystyle\int_{-6}^{-4}{3f(x)}\ dx = 27 \) olarak veriliyor.
\( 3\displaystyle\int_{-6}^{-4}{f(x)}\ dx = 27 \)
\( \displaystyle\int_{-6}^{-4}{f(x)}\ dx = 9 \)
Soruda verilen ve bulduğumuz değerleri yerlerine koyalım.
\( 13 = 9 + \displaystyle\int_{-4}^2{f(x)}\ dx \)
\( \displaystyle\int_{-4}^2{f(x)}\ dx = 4 \) olarak bulunur.
\( f \) tek ve \( g \) çift fonksiyondur.
\( \displaystyle\int_0^5 g(x)\ dx = 12 \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_{-5}^5 (3f(x) + 4g(x))\ dx \) integralinin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİntegral toplama ve sabit çarpım kurallarını kullanarak ifadeyi iki integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.
\( \displaystyle\int_{-5}^5 (3f(x) + 4g(x))\ dx = 3\displaystyle\int_{-5}^5 f(x)\ dx + 4\displaystyle\int_{-5}^5 g(x)\ dx \)
Tek fonksiyonlar orijine göre simetrik oldukları için herhangi bir \( [-a, a] \) aralığındaki belirli integral değerleri sıfır olur, dolayısıyla ilk ifadenin değeri sıfırdır.
\( g \) çift fonksiyon olduğu için \( [-5, 0] \) aralığındaki belirli integrali \( [0, 5] \) aralığındaki değerine eşittir.
\( \displaystyle\int_{-5}^5 g(x)\ dx = 2\displaystyle\int_0^5 g(x)\ dx = 24 \)
Buna göre sorudaki ifadenin değerini bulalım.
\( 3 \cdot 0 + 4 \cdot 24 = 96 \) bulunur.
\( \displaystyle\int_{\ln{2} - \pi}^{\pi - \ln{2}} (x^5 + \sin{x} + x)\ dx \) integralinin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİntegrali alınan terimlerin tümü birer tek fonksiyondur, dolayısıyla toplamları da bir tek fonksiyon olur.
Ayrıca integralin sınır değerleri birbirinin ters işaretlisidir.
\( \ln{2} - \pi = -(\pi - \ln{2}) \)
Tek fonksiyonlar orijine göre simetrik oldukları için herhangi bir \( [-a, a] \) aralığındaki belirli integrali sıfır olur.
\( \displaystyle\int_{-(\pi - \ln{2})}^{\pi - \ln{2}} (x^5 + \sin{x} + x)\ dx = 0 \)
\( f \) fonksiyonu orijine göre simetrik bir fonksiyondur.
\( \displaystyle\int_{-1}^4 f(x)\ dx = 6 \)
\( \displaystyle\int_{-4}^0 f(x)\ dx = 4 \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_0^1 f(x)\ dx \) integralinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonu orijine göre simetrik olduğuna göre tek fonksiyondur.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun belirli integrali ile ilgili aşağıdaki iki kural geçerlidir.
\( \displaystyle\int_{-a}^0 {f(x)\ dx} = -\displaystyle\int_0^a {f(x)\ dx} \)
\( \displaystyle\int_{-a}^a {f(x)\ dx} = 0 \)
\( \displaystyle\int_{-4}^0 f(x)\ dx = 4 \) ise,
\( \displaystyle\int_0^4 f(x)\ dx = -4 \)
Soruda verilen birinci integrali ifadesini aralıkların birleşimi kuralı ile iki aralığın toplamı şeklinde yazalım.
\( \displaystyle\int_{-1}^4 f(x)\ dx = \displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\ dx + \displaystyle\int_1^4 f(x)\ dx = 6 \)
\( \displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\ dx = 0 \) olur.
\( \displaystyle\int_1^4 f(x)\ dx = 6 \)
Aralıkların toplamı özelliğini kullanalım.
\( \displaystyle\int_0^4 f(x)\ dx = \displaystyle\int_0^1 f(x)\ dx + \displaystyle\int_1^4 f(x)\ dx \)
\( -4 = \displaystyle\int_0^1 f(x)\ dx + 6 \)
\( \displaystyle\int_0^1 f(x)\ dx = -10 \) bulunur.
\( \displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{-\frac{\pi}{4}} \sin{x}(\cos{x} + 1)\ dx \) integralinin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİntegrali alınan ifadeyi düzenleyelim.
\( \displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{-\frac{\pi}{4}} (\sin{x}\cos{x} + \sin{x})\ dx \)
\( \sin{x}\cos{x} \) terimi tek ve çift iki fonksiyonun çarpımından oluştuğu için tek fonksiyondur.
\( \sin{x} \) terimi tek fonksiyondur.
İki tek fonksiyonun toplamından oluşan fonksiyon tek olduğu için integrali alınan ifade tek fonksiyondur.
Tek fonksiyonlar orijine göre simetrik oldukları için herhangi bir \( [-a, a] \) aralığındaki belirli integrali sıfır olur.
İntegral işleminde sınır değerleri birbirinin ters işaretlisi olduğu için ifadenin integrali 0 olur.
\( f(x) \) ve \( g'(x) \) tek fonksiyonlardır.
\( \displaystyle\int_0^4 {f'(x)\ dx} = 10 \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_{-4}^4 (f'(x) - g'(x))\ dx \) integralinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \displaystyle\int_{-4}^4 (f'(x) - g'(x))\ dx = \displaystyle\int_{-4}^4 f'(x)\ dx - \displaystyle\int_{-4}^4 g'(x)\ dx \)
Tek fonksiyonlar orijine göre simetrik oldukları için herhangi bir \( [-a, a] \) aralığındaki belirli integrali sıfır olur.
Buna göre \( g'(x) \) tek fonksiyon olduğu için ikinci terim 0'a eşittir.
\( = \displaystyle\int_{-4}^4 f'(x)\ dx - 0 \)
Bir tek fonksiyonun türevi çift fonksiyondur.
Buna göre \( f(x) \) tek fonksiyon olduğu için \( f'(x) \) çift fonksiyondur.
Çift fonksiyonlar \( y \) eksenine göre simetrik oldukları için \( [-a, 0] \) ve \( [0, a] \) aralıklarındaki belirli integralleri birbirine eşittir.
\( = 2\displaystyle\int_0^4 f'(x)\ dx \)
\( = 2 \cdot 10 = 20 \) bulunur.
\( 3\displaystyle\int_3^5 f(x) \ dx + 7\displaystyle\int_5^7 f(x) \ dx = 27 \)
\( \displaystyle\int_1^3 f(x + 2) \ dx = -12 \)
olduğuna göre, \( \displaystyle\int_7^3 f(x)\ dx \) değerini bulunuz.
Çözümü Göster\( \displaystyle\int_1^3 f(x + 2) \ dx = -12 \)
İntegral ifadesini 2 birim sağa öteleyelim.
\( \displaystyle\int_{1 + 2}^{3 + 2} f((x - 2) + 2) \ dx = -12 \)
\( \displaystyle\int_3^5 f(x) \ dx = -12 \)
Soruda verilen ilk eşitlikte bu değeri yerine koyalım.
\( 3\displaystyle\int_3^5 f(x) \ dx + 7\displaystyle\int_5^7 f(x) \ dx = 27 \)
\( 3(-12) + 7\displaystyle\int_5^7 f(x) \ dx = 27 \)
\( 7\displaystyle\int_5^7 f(x) \ dx = 63 \)
\( \displaystyle\int_5^7 f(x) \ dx = 9 \)
Değeri sorulan ifadeye sınırların yer değiştirmesi kuralını uygulayalım.
\( \displaystyle\int_7^3 f(x)\ dx = -\displaystyle\int_3^7 f(x)\ dx \)
Aralıkların birleşimi kuralını uygulayalım.
\( = -\left( \displaystyle\int_3^5 f(x)\ dx + \displaystyle\int_5^7 f(x)\ dx \right) \)
Yukarıda bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
\( = -(-12 + 9) = 3 \) bulunur.
Yukarıda \( y = f(x) \) grafiği verilmiştir.
\( g(x) = \displaystyle\int_a^x f(x)\ dx \) integralinin değerinin en büyük olduğu \( x \) değeri şekildeki harflerden hangisidir?
Çözümü Göster\( g(x) \) fonksiyonu belirli bir \( x \) değeri için \( f \) fonksiyonunun \( [a, x] \) aralığındaki belirli integral değerini (\( x \) ekseni ile arasında kalan net alanı) vermektedir.
Belirli integral değeri fonksiyon grafiğinin \( x \) ekseninin üstünde kaldığı aralıklarda pozitif, altında kaldığı aralıklarda negatiftir.
\( \displaystyle\int_a^d f(x)\ dx \gt 0 \)
\( \displaystyle\int_d^f f(x)\ dx \lt 0 \)
Buna göre \( g(x) \) fonksiyonu \( [a, d] \) aralığında artan, \( [d, f] \) aralığında azalandır.
\( d \) noktasına kadar alan artan \( g(x) \) fonksiyon değeri \( d \) noktasından sonra azalmaya başladığı için fonksiyon en büyük değerini \( x = d \) noktasında alır.
Yukarıda \( f \) fonksiyonunun \( [-1, 4] \) aralığındaki grafiği verilmiştir.
\( g(x) = \displaystyle\int_{-1}^x f(t)\ dt \) olduğuna göre, \( g \) fonksiyonunun en büyük değere sahip olduğu \( x \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( g(x) \) fonksiyonu belirli bir \( x \) değeri için \( f \) fonksiyonunun \( [-1, x] \) aralığındaki belirli integral değerini (\( x \) ekseni ile arasında kalan net alanı) vermektedir.
Belirli integral değeri fonksiyon grafiğinin \( x \) ekseninin üstünde kaldığı aralıklarda pozitif, altında kaldığı aralıklarda negatiftir.
\( f \) fonksiyonunun değeri \( [-1, 0) \) ve \( (3, 4] \) aralıklarında negatif, \( (0, 3) \) aralığında pozitiftir.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun bu aralıklardaki belirli integrali de sırasıyla negatif ve pozitif işaretlidir.
\( f \) fonksiyonunun her tam sayı aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan geometrik alan formülleri ile hesaplandığında, bu belirli integral değerleri sırasıyla \( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 1, -1 \) olarak bulunur.
\( g \) fonksiyonu en büyük değerini \( f \) fonksiyonunun pozitif değer aldığı en son nokta olan \( x = 3 \) noktasında alır.
\( \displaystyle\int_{-3}^3 {\ln{\dfrac{5 + x}{5 - x}} \cdot e^{x^{4}}\ dx} \) integralinin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİntegrali alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( f(x) = \ln{\dfrac{5 + x}{5 - x}} \cdot e^{x^4} \)
\( = (\ln(5 + x) - \ln(5 - x)) \cdot e^{x^4} \)
Fonksiyonun tek/çift fonksiyon olma durumunu anlamak için \( f(-x) \) fonksiyonunu bulalım.
\( f(-x) = (\ln(5 + (-x)) - \ln(5 - (-x))) \cdot e^{(-x)^4} \)
\( = (\ln(5 - x) - \ln(5 + x)) \cdot e^{x^4} \)
\( = -(\ln(5 + x) - \ln(5 - x)) \cdot e^{x^4} \)
\( = -f(x) \)
\( f(-x) = -f(x) \) olduğu için \( f \) tek fonksiyondur.
Tek fonksiyonlar orijine göre simetrik oldukları için herhangi bir \( [-a, a] \) aralığındaki belirli integrali sıfır olur.
\( \displaystyle\int_{-3}^3 {\ln{\dfrac{5 + x}{5 - x}} \cdot e^{x^{4}}\ dx} = 0 \)
\( \displaystyle\int_{-1}^3 2g(x)\ dx + \displaystyle\int_{-1}^0 3g(x)\ dx = 26 \)
\( \displaystyle\int_0^3 2g(x)\ dx + \displaystyle\int_3^{-1} g(x)\ dx = 19 \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_{-1}^0 g(x)\ dx \) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen ifadelere değişkenler atayalım.
\( \displaystyle\int_0^3 g(x)\ dx = A \)
\( \displaystyle\int_{-1}^0 g(x)\ dx = B \)
\( \displaystyle\int_{-1}^3 g(x)\ dx = A + B \)
Bir integralin alt ve üst sınırları kendi aralarında yer değiştirirse integral değeri işaret değiştirir.
\( \displaystyle\int_3^{-1} g(x)\ dx = -(A + B) \)
Verilen eşitliklerde \( A \) ve \( B \)'yi yerlerine yazalım.
İntegral içindeki sabit çarpanları integral dışına alabiliriz.
\( 2(A + B) + 3B = 2A + 5B = 26 \)
\( 2A - (A + B) = A - B = 19 \)
İkinci denklemi 2 ile genişletip birinci denklemden taraf tarafa çıkaralım.
\( 7B = -12 \)
\( B = -\dfrac{12}{7} \) bulunur.
\( 0 \lt a \lt b \lt c \lt d \) olmak üzere,
Aşağıdaki \( f(x) \) fonksiyonu için bazı aralıklardaki belirli integral değerleri verilmiştir.
\( \displaystyle\int_0^d f(x)\ dx = 2 \)
\( \displaystyle\int_a^c f(x)\ dx = 1 \)
\( \displaystyle\int_a^d f(x)\ dx = -7 \)
\( \displaystyle\int_b^d f(x)\ dx = -1 \)
Buna göre \( (0, d) \) aralığında \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \) ekseni ile arasında kalan toplam alan nedir?
Çözümü GösterBelirli integralin aralıkların birleşimi kuralını kullanarak her aralıktaki belirli integral değerini bulalım.
\( (a, d) \) aralığını iki aralığa bölelim.
\( \displaystyle\int_a^d f(x)\ dx = \displaystyle\int_a^c f(x)\ dx + \displaystyle\int_c^d f(x)\ dx \)
\( -7 = 1 + \displaystyle\int_c^d f(x)\ dx \)
\( \displaystyle\int_c^d f(x)\ dx = -8 \)
\( (b, d) \) aralığını iki aralığa bölelim.
\( \displaystyle\int_b^d f(x)\ dx = \displaystyle\int_b^c f(x)\ dx + \displaystyle\int_c^d f(x)\ dx \)
\( -1 = \displaystyle\int_b^c f(x)\ dx + (-8) \)
\( \displaystyle\int_b^c f(x)\ dx = 7 \)
\( (a, c) \) aralığını iki aralığa bölelim.
\( \displaystyle\int_a^c f(x)\ dx = \displaystyle\int_a^b f(x)\ dx + \displaystyle\int_b^c f(x)\ dx \)
\( 1 = \displaystyle\int_a^b f(x)\ dx + 7 \)
\( \displaystyle\int_a^b f(x)\ dx = -6 \)
\( (0, d) \) aralığını iki aralığa bölelim.
\( \displaystyle\int_0^d f(x)\ dx = \displaystyle\int_0^a f(x)\ dx + \displaystyle\int_a^d f(x)\ dx \)
\( 2 = \displaystyle\int_0^a f(x)\ dx + (-7) \)
\( \displaystyle\int_0^a f(x)\ dx = 9 \)
Özetle fonksiyonun \( (0, a), (a, b), (b, c), (c, d) \) aralıklarındaki belirli integral değerleri sırasıyla 9, -6, 7 ve -8 olur.
Fonksiyonun \( (0, d) \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan (geometrik) alan bu belirli integral değerlerinin mutlak değerlerinin toplamına eşittir.
\( A = 9 + 6 + 7 + 8 = 30 \) bulunur.
\( f \) sürekli bir çift fonksiyon olmak üzere,
\( \displaystyle\int_{-5}^{5}{f(x)}\ dx = 36 \)
\( \displaystyle\int_{-1}^{2}{f(x)}\ dx = 12 \)
\( \displaystyle\int_{1}^{2}{f(x)}\ dx = 5 \) eşitlikleri veriliyor.
Buna göre \( \displaystyle\int_{2}^{5}{f(x)}\ dx \) integrali kaça eşittir?
Çözümü GösterÇift fonksiyonlar \( y \) eksenine göre simetrik oldukları için \( y \) eksenine göre simetrik olan aralıklardaki belirli integralleri birbirine eşittir.
\( \displaystyle\int_{-a}^{0}{f(x)}\ dx = \displaystyle\int_{0}^{a}{f(x)}\ dx = A \)
\( \displaystyle\int_{-a}^{a}{f(x)}\ dx = 2A \)
Bu bilgiden yararlanarak \( \int_{-5}^{5}{f(x)}\ dx \) integralini iki aralığın birleşimi şeklinde yazalım.
\( \displaystyle\int_{-5}^{5}{f(x)}\ dx = \displaystyle\int_{-5}^{0}{f(x)}\ dx + \displaystyle\int_{0}^{5}{f(x)}\ dx \)
\( = 2\displaystyle\int_{0}^{5}{f(x)}\ dx = 2\displaystyle\int_{-5}^{0}{f(x)}\ dx \)
\( 36 = 2\displaystyle\int_{0}^{5}{f(x)}\ dx \)
\( \displaystyle\int_{0}^{5}{f(x)}\ dx = 18 \)
Belirli integralde aralıkların birleşimi kuralını kullanalım.
\( \displaystyle\int_{-1}^{2}{f(x)}\ dx = \displaystyle\int_{-1}^{1}{f(x)}\ dx + \displaystyle\int_{1}^{2}{f(x)}\ dx \)
\( 12 = \displaystyle\int_{-1}^{1}{f(x)}\ dx + 5 \)
\( \displaystyle\int_{-1}^{1}{f(x)}\ dx = 7 \)
\( f(x) \) fonksiyonunun çift olma özelliğini tekrar kullanalım.
\( \displaystyle\int_{-1}^{1}{f(x)}\ dx = 2\displaystyle\int_{0}^{1}{f(x)}\ dx \)
\( \displaystyle\int_{0}^{1}{f(x)}\ dx = \dfrac{7}{2} \)
Soruda istenen integrali bulmak için \( \int_{0}^{5}{f(x)}\ dx \) integralini üç aralığın birleşimi şeklinde yazalım.
\( \displaystyle\int_{0}^{5}{f(x)}\ dx = \displaystyle\int_{0}^{1}{f(x)}\ dx + \displaystyle\int_{1}^{2}{f(x)}\ dx + \displaystyle\int_{2}^{5}{f(x)}\ dx \)
\( 18 = \dfrac{7}{2} + 5 + \displaystyle\int_{2}^{5}{f(x)}\ dx \)
\( \displaystyle\int_{2}^{5}{f(x)}\ dx = \dfrac{19}{2} \) olarak bulunur.
\( f \) sürekli bir çift fonksiyon olmak üzere,
\( \displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x)\ dx = 7 \)
\( \displaystyle\int_4^5 f(x - 1)\ dx = -4 \) eşitlikleri veriliyor.
Buna göre \( \displaystyle\int_2^4 f(6 - x)\ dx \) integrali kaça eşittir?
Çözümü GösterÇift fonksiyonlar \( y \) eksenine göre simetrik oldukları için \( y \) eksenine göre simetrik olan aralıklardaki belirli integralleri birbirine eşittir.
\( \displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x)\ dx = \displaystyle\int_2^3 f(x)\ dx = 7 \)
İkinci integral ifadesini 1 birim sola öteleyelim.
\( \displaystyle\int_4^5 f(x - 1)\ dx = \displaystyle\int_{4 - 1}^{5 - 1} f((x + 1) - 1)\ dx \)
\( = \displaystyle\int_3^4 f(x)\ dx = -4 \)
Bir integral ifadesine aşağıdaki şekilde yansıma dönüşümü uygulayabiliriz.
\( \displaystyle\int_a^b f(x)\ dx = \displaystyle\int_a^b f(a + b - x)\ dx \)
\( \displaystyle\int_2^4 f(6 - x)\ dx = \displaystyle\int_2^4 f(2 + 4 - x)\ dx \)
\( = \displaystyle\int_2^4 f(x)\ dx \)
İfadeye aralıkların birleşimi kuralını uygulayalım.
\( = \displaystyle\int_2^3 f(x)\ dx + \displaystyle\int_3^4 f(x)\ dx \)
Yukarıda bulduğumuz değerleri yerine yazalım.
\( = 7 + (-4) = 3 \) bulunur.
\( a \lt b \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int_a^b (x^2 - 7x)\ dx \) ifadesinin en küçük değerini alması için \( a \) ve \( b \) kaç olmalıdır?
Çözümü Göster\( f(x) = x^2 - 7x = x(x - 7) \)
\( f(x) \) fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.
Verilen integral ifadesi \( f \) fonksiyonunun grafiğinin \( [a, b] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan net alana eşittir.
\( f(x) \) fonksiyonu \( (-\infty, 0) \) ve \( (7, \infty) \) aralıklarında pozitif, \( (0, 7) \) aralığında negatif değer alır.
Fonksiyonun değerinin pozitif olduğu aralıklarda belirli integrali pozitif, negatif olduğu aralıklarda belirli integrali negatiftir.
Verilen belirli integralin en küçük değerini alması için, \( a \) ve \( b \) değerleri grafiğin \( x \) ekseninin altında kaldığı en geniş aralığı kapsayacak şekilde seçilmelidir.
Buna göre \( a \) ve \( b \) değerleri şekildeki turuncu bölgeyi kapsayacak şekilde \( a = 0 \), \( b = 7 \) olmalıdır.