Toplam Sembolü
Toplam sembolü birden fazla terimin toplamını kısa şekilde ifade etmek için kullanılır. Toplam sembolü \( \sum \) şeklinde yazılır ve "sigma" diye okunur. Bir dizinin \( 1 \)'den \( n \)'ye kadarki terimlerinin toplamını gösteren toplam ifadesi aşağıdaki gibi yazılır.
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{a_k} = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n \)
Toplam sembolünün altında (\( k = 1 \)) ifadenin değişkeni ve değişkenin başlangıç değeri, üstünde (\( n \)) toplama işleminin değişkenin hangi değerine kadar tekrar edeceği, sağında (\( a_k \)) değişkenin her farklı değeri için toplanacak terim tanımlanır.
\( \displaystyle\sum_{k = 2}^{10}{k^2} = 2^2 + 3^2 + 4^2 + \ldots + 10^2 \)
\( \displaystyle\sum_{i = -2}^{2}{f(i)} = f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) \)
Toplam Sembolü İşlem Kuralları
Toplam sembolü toplanan ifadedeki terimlere dağıtılabilir.
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(a_k \pm b_k) = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{a_k} \pm \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{b_k} \)
Toplam sembolü toplanan ifadedeki çarpanlara dağıtılamaz.
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(a_k \cdot b_k) \ne \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{a_k} \cdot \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{b_k} \)
Toplanan ifadedeki sabit çarpan toplam sembolünün dışına alınabilir.
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(c \cdot a_k) = c\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{a_k} \)
Bir toplam ifadesi indis değerlerinin oluşturduğu dizi aynı kalacak şekilde iki ya da daha fazla toplam ifadesi şeklinde yazılabilir.
\( 1 \lt j \lt n \) olmak üzere,
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{a_k} = \displaystyle\sum_{k = 1}^{j}{a_k} + \displaystyle\sum_{k = j + 1}^{n}{a_k} \)
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{50}{k^2} = \displaystyle\sum_{k = 1}^{20}{k^2} + \displaystyle\sum_{k = 21}^{50}{k^2} \)
Toplam Sembolü Formülleri
Ardışık sayıların toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k} = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2} \)
Ardışık tam kare sayıların toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k^2} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)
Ardışık tam küp sayıların toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k^3} = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = {\left[ \dfrac{n(n + 1)}{2} \right]}^2 \)
\( r \ne 1 \) olmak üzere,
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{r^{k - 1}} = 1 + r + r^2 + \ldots + r^{n - 1} = \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \)
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{\dfrac{1}{k(k + 1)}} = \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \dfrac{1}{n(n + 1)} = \dfrac{n}{n + 1} \)
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k \cdot k!} = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots + n \cdot n! = (n + 1)! - 1 \)
Aşağıda verilen toplam sembolü ifadelerinin ilk 5 terimini içerecek şekilde açılımlarını yazınız.
(a) \( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{(3k - 2)} \)
(b) \( \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{(-1)^i \cdot 2^i} \)
(c) \( \displaystyle\sum_{j = 1}^{n}{\dfrac{j}{j + 1}} \)
Çözümü GösterToplam sembolünde değişkenin başlangıç değerinden itibaren ardışık tam sayı değerlerini toplanan ifadede yerine koyarak terimleri bulalım.
(a) seçeneği:
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{(3k - 2)} \)
\( k \)'nın ilk 5 değeri için toplam sembolünün terimlerini bulalım.
\( k = 1: 3(1) - 2 = 1 \)
\( k = 2: 3(2) - 2 = 4 \)
\( k = 3: 3(3) - 2 = 7 \)
\( k = 4: 3(4) - 2 = 10 \)
\( k = 5: 3(5) - 2 = 13 \)
Buna göre ifadenin açılımı aşağıdaki gibi olur.
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{(3k - 2)} = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + \ldots + (3n - 2) \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{(-1)^i \cdot 2^i} \)
\( i \)'nin ilk 5 değeri için toplam sembolünün terimlerini bulalım.
\( i = 1: (-1)^1 \cdot 2^1 = -2 \)
\( i = 2: (-1)^2 \cdot 2^2 = 4 \)
\( i = 3: (-1)^3 \cdot 2^3 = -8 \)
\( i = 4: (-1)^4 \cdot 2^4 = 16 \)
\( i = 5: (-1)^5 \cdot 2^5 = -32 \)
Buna göre ifadenin açılımı aşağıdaki gibi olur.
\( \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{(-1)^i \cdot 2^i} = -2 + 4 - 8 + 16 - 32 + \ldots + (-1)^n \cdot 2^n \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\sum_{j = 1}^{n}{\dfrac{j}{j + 1}} \)
\( j \)'nin ilk 5 değeri için toplam sembolünün terimlerini bulalım.
\( j = 1: \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2} \)
\( j = 2: \dfrac{2}{2 + 1} = \dfrac{2}{3} \)
\( j = 3: \dfrac{3}{3 + 1} = \dfrac{3}{4} \)
\( j = 4: \dfrac{4}{4 + 1} = \dfrac{4}{5} \)
\( j = 5: \dfrac{5}{5 + 1} = \dfrac{5}{6} \)
Buna göre ifadenin açılımı aşağıdaki gibi olur.
\( \displaystyle\sum_{j = 1}^{n}{\dfrac{j}{j + 1}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{4}{5} + \dfrac{5}{6} + \ldots + \dfrac{n}{n + 1} \)
İlk 5 terimi verilen aşağıdaki toplamları toplam sembolü kullanarak ifade ediniz.
(a) \( 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + \ldots \)
(b) \( 1 - 4 + 9 - 16 + 25 - \ldots \)
(c) \( 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + \ldots \)
(d) \( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{81} + \dfrac{1}{243} + \ldots \)
Çözümü GösterTerimlerin indis değerlerine bağlı genel kurallarını bularak verilen terimleri toplam sembolü ile ifade edelim.
(a) seçeneği:
\( 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + \ldots \)
Terimler arasındaki fark sabit ve \( 4 \)'tür. Terimleri indis değerlerini kullanarak yazalım.
\( k = 1: 4(1) + 1 = 5 \)
\( k = 2: 4(2) + 1 = 9 \)
\( k = 3: 4(3) + 1 = 13 \)
Buna göre genel terim \( 4k + 1 \) olur.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty}{(4k + 1)} \)
(b) seçeneği:
\( 1 - 4 + 9 - 16 + 25 - \ldots \)
Terimlerin mutlak değerleri ardışık tam kare sayılardır (\( k^2 \)). Terimlerin işareti pozitif ile başlayıp ardışık olarak değiştiği için alterne çarpan \( (-1)^{k - 1} \) olur.
\( k = 1: (-1)^{1 - 1} \cdot 1^2 = 1 \)
\( k = 2: (-1)^{2 - 1} \cdot 2^2 = -4 \)
\( k = 3: (-1)^{3 - 1} \cdot 3^2 = 9 \)
Buna göre genel terim \( (-1)^{k - 1}k^2 \) olur.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty}{(-1)^{k - 1}k^2} \)
(c) seçeneği:
\( 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + \ldots \)
Terimler ilk terimi \( 2 \) ve ortak oranı \( 3 \) olan bir geometrik dizinin terimleridir.
\( k = 1: 2 \cdot 3^{1 - 1} = 2 \)
\( k = 2: 2 \cdot 3^{2 - 1} = 6 \)
\( k = 3: 2 \cdot 3^{3 - 1} = 18 \)
Buna göre genel terim \( 2 \cdot 3^{k - 1} \) olur.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty}{(2 \cdot 3^{k - 1})} \)
(d) seçeneği:
\( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{81} + \dfrac{1}{243} + \ldots \)
Her terimin payı 1, paydası ise 3'ün ardışık kuvvetleridir (\( 3^k \)).
\( k = 1: \dfrac{1}{3^1} = \dfrac{1}{3} \)
\( k = 2: \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9} \)
\( k = 3: \dfrac{1}{3^3} = \dfrac{1}{27} \)
Buna göre genel terim \( \dfrac{1}{3^k} \) olur.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty}{\dfrac{1}{3^k}} \)
Aşağıdaki eşitliklerin doğru olduğunu gösteriniz.
(a) \( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{2k} = n(n + 1) \)
(b) \( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(2k - 1) = n^2 \)
(c) \( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(2k - 1)^2 = \dfrac{n(4n^2 - 1)}{3} \)
(d) \( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k(k + 1)} = \dfrac{n(n + 1)(n + 2)}{3} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{2k} \)
Toplanan ifadedeki sabit çarpan toplam sembolünün dışına alınabilir.
\( = 2\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k} \)
\( \sum{k} \) için toplam formülünü kullanalım.
\( = 2 \cdot \dfrac{n(n + 1)}{2} \)
\( = n(n + 1) \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(2k - 1) \)
Toplam sembolü toplanan ifadedeki terimlere dağıtılabilir.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{2k} - \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{1} \)
Toplanan ifadedeki sabit çarpan toplam sembolünün dışına alınabilir.
\( = 2\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k} - \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{1} \)
\( \sum{k} \) ve \( \sum{1} \) için toplam formüllerini kullanalım.
\( = 2 \cdot \dfrac{n(n + 1)}{2} - n \)
\( = n(n + 1) - n \)
\( = n^2 \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(2k - 1)^2 \)
Toplanan ifadenin açılımını yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(4k^2 - 4k + 1) \)
Toplam sembolü toplanan ifadedeki terimlere dağıtılabilir.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{4k^2} - \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{4k} + \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{1} \)
Toplanan ifadedeki sabit çarpan toplam sembolünün dışına alınabilir.
\( = 4\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k^2} - 4\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k} + \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{1} \)
\( \sum{k^2} \), \( \sum{k} \) ve \( \sum{1} \) için toplam formüllerini kullanalım.
\( = 4 \cdot \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} - 4 \cdot \dfrac{n(n + 1)}{2} + \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{1} \)
\( = \dfrac{2n(n + 1)(2n + 1)}{3} - 2n(n + 1) + n \)
\( = \dfrac{4n^3 + 6n^2 + 2n}{3} - \dfrac{6n^2 + 6n}{3} + \dfrac{3n}{3} \)
\( = \dfrac{4n^3 + 6n^2 + 2n - 6n^2 - 6n + 3n}{3} \)
\( = \dfrac{4n^3 - n}{3} \)
\( = \dfrac{n(4n^2 - 1)}{3} \)
(d) seçeneği:
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k(k + 1)} \)
Toplanan ifadenin açılımını yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(k^2 + k) \)
Toplam sembolü toplanan ifadedeki terimlere dağıtılabilir.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k^2} + \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k} \)
\( \sum{k^2} \) ve \( \sum{k} \) için toplam formüllerini kullanalım.
\( = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \dfrac{n(n + 1)}{2} \)
\( = \dfrac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} + \dfrac{3n^2 + 3n}{6} \)
\( = \dfrac{2n^3 + 6n^2 + 4n}{6} \)
\( = \dfrac{2n(n^2 + 3n + 2)}{6} \)
\( = \dfrac{n(n + 1)(n + 2)}{3} \)
\( (a_n) = \dfrac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}} \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^8{a_k} \) toplamının sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{8}{a_k} = a_1 + a_2 + \ldots + a_8 \)
\( a_1 = \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \)
Kesri \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \) ile genişletelim.
\( = \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} \)
\( = \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt{3} - \sqrt{2} \)
Diğer terimleri de paydanın eşleniği ile genişlettiğimizde aşağıdaki terimleri elde ederiz.
\( a_2 = \dfrac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3} \)
\( a_3 = \dfrac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} =\sqrt{5} - \sqrt{4} \)
\( \vdots \)
\( a_8 = \dfrac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{9}} = \sqrt{10} - \sqrt{9} \)
Terimlerin toplamını alalım.
\( a_1 + a_2 + \ldots + a_8 = \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + \ldots + \sqrt{10} - \sqrt{9} \)
Her terimin ikinci terimi önceki terimin birinci terimi ile sadeleşir.
\( = \sqrt{10} - \sqrt{2} \) bulunur.
\( \displaystyle\sum_{i = 1}^{20}{\displaystyle\sum_{j = 1}^{20}{(i + j)}} \) ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİfadenin değerine \( S \) diyelim.
Toplama işlemi ifadenin terimlerine dağıtılabilir.
\( S = \displaystyle\sum_{i = 1}^{20}{(\displaystyle\sum_{j = 1}^{20}{i} + \displaystyle\sum_{j = 1}^{20}{j})} \)
\( \displaystyle\sum_{j = 1}^{20}{j} \) ifadesini inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{j = 1}^{20}{j} = 1 + 2 + 3 + \ldots + 20 \)
\( = \dfrac{20 \cdot 21}{2} = 210 \)
\( S = \displaystyle\sum_{i = 1}^{20}{(\displaystyle\sum_{j = 1}^{20}{i} + 210)} \)
\( \displaystyle\sum_{j = 1}^{20}{i} \) ifadesini inceleyelim.
Bu ifadenin içinde \( j \) değişkeni bulunmadığı için 20 tane \( i \)'nin toplamına eşittir.
\( \displaystyle\sum_{j = 1}^{20}{i} = i + i + \ldots + i = 20i \)
\( S = \displaystyle\sum_{i = 1}^{20}{(20i + 210)} \)
Toplama işlemi ifadenin terimlerine dağıtılabilir.
\( = \displaystyle\sum_{i = 1}^{20}{20i} + \displaystyle\sum_{i = 1}^{20}{210} \)
Toplama işleminde sabit çarpan işlem dışına alınabilir.
\( = 20\displaystyle\sum_{i = 1}^{20}{i} + \displaystyle\sum_{i = 1}^{20}{210} \)
\( = 20 \cdot \dfrac{20 \cdot 21}{2} + 20 \cdot 210 \)
\( = 8400 \) bulunur.
\( L = 13 \cdot 19 + 19 \cdot 25 + 25 \cdot 31 + \ldots + 43 \cdot 49 \)
olduğuna göre, \( L \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( L \) sayısını terimleri arasındaki örüntüyü dikkate alarak bir toplama işlemi şeklinde yazalım.
\( k = 1 \Longrightarrow (6k + 7)(6k + 13) = 13 \cdot 19 \)
Örüntünün son terimindeki \( k \) değerini bulalım.
\( 6k + 7 = 43 \Longrightarrow k = 6 \)
\( L = \displaystyle\sum_{k = 1}^{6}{(6k + 7)(6k + 13)} \)
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{6}(36k^2 + 120k + 91) \)
Toplama işlemi ifadenin terimlerine dağıtılabilir.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{6}{36k^2} + \displaystyle\sum_{k = 1}^{6}{120k} + \displaystyle\sum_{k = 1}^{6}{91} \)
Toplama işleminde sabit çarpan işlem dışına alınabilir.
\( = 36\displaystyle\sum_{k = 1}^{6}{k^2} + 120\displaystyle\sum_{k = 1}^{6}{k} + \displaystyle\sum_{k = 1}^{6}{91} \)
Ardışık tam kare sayıların toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k^2} = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)
Ardışık sayıların toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k} = \dfrac{n(n + 1)}{2} \)
\( L = 36 \cdot \dfrac{6 \cdot 7 \cdot 13}{6} + 120 \cdot \dfrac{6 \cdot 7}{2} + 6 \cdot 91 \)
\( = 36 \cdot 91 + 120 \cdot 21 + 546 \)
\( = 3276 + 2520 + 546 = 6342 \) bulunur.
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{9999}{\log{\frac{k + 1}{k}}} \) toplamının sonucu kaçtır?
Çözümü GösterVerilen toplam sembolünün açılımını yazalım.
\( \log{\dfrac{2}{1}} + \log{\dfrac{3}{2}} + \log{\dfrac{4}{3}} + \log{\dfrac{5}{4}} + \ldots + \log{\dfrac{10000}{9999}} \)
Logaritma toplama işlem kuralını kullanarak ifadeleri tek bir logaritma altında birleştirelim.
\( = \log\left( \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{5}{4} \cdot \ldots \cdot \dfrac{10000}{9999} \right) \)
İlk çarpanın paydası ve son çarpanın payı dışındaki sayılar aralarında sadeleşir.
\( = \log{\dfrac{10000}{1}} \)
\( = \log{10^4} = 4 \) bulunur.
\( \displaystyle\sum_{t = 1}^{10}{\log_{\sqrt[t]{7}}{49^t}} \) ifadesinin sonucu kaça eşittir?
Çözümü GösterLogaritmanın tabanının üssünün çarpmaya göre tersi, logaritma içinin üssünün kendisi logaritma işleminin önüne katsayı olarak alınabilir.
\( \log_{\sqrt[t]{7}}{49^t} = \log_{7^{\frac{1}{t}}}{7^{2t}} \)
\( = 2t \cdot (\dfrac{1}{t})^{-1} \cdot \log_{7}{7} \)
\( = 2t \cdot t \cdot 1 = 2t^2 \)
Verilen toplama işlemini sadeleşmiş haliyle yazalım.
\( \displaystyle\sum_{t = 1}^{10}{\log_{\sqrt[t]{7}}{49^t}} = \displaystyle\sum_{t = 1}^{10}{2t^2} \)
Toplama işleminde sabit çarpan işlem dışına alınabilir.
\( = 2\displaystyle\sum_{t = 1}^{10}{t^2} \)
Ardışık tam kare sayıların toplam formülü aşağıdaki gibidir.
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k^2} = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)
\( = 2 \cdot \dfrac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} \)
\( = 2 \cdot 385 = 770 \) bulunur.
\( \displaystyle\sum_{j = 0}^{8}{\displaystyle\sum_{i = 0}^{j}{C(j, i)}} \) ifadesinin sonucu kaça eşittir?
Çözümü Göster\( n \) elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı \( 2^n \) olur.
\( \displaystyle\sum_{i = 0}^{n}{C(n, i)} = 2^n \)
Bu kuralı içteki toplam formülüne uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{j = 0}^{8}{\displaystyle\sum_{i = 0}^{j}{C(j, i)}} = \displaystyle\sum_{j = 0}^{8}{2^j} \)
\( = 2^0 + 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^8 \)
\( = 1 + 2 + 4 + \ldots + 256 \)
İlk terimi \( a_1 = 1 \) ve ortak oranı \( r = 2 \) olan dokuz terimli geometrik dizinin toplamını bulalım.
\( = a_1 \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \)
\( = 1 \cdot \dfrac{1 - 2^9}{1 - 2} \)
\( = 511 \) bulunur.