Dizi Tipleri
Sabit Dizi
Tüm terimleri birbirine eşit olan dizilere sabit dizi denir.
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (a_n) = k \) dizisi bir sabit dizidir.
\( (a_n) = 3 \)
\( (b_n) = (5, 5, 5, \ldots) \)
\( (c_n) = \sin(n\pi) = (0, 0, 0, \ldots) \)
Genel terimi rasyonel bir ifade şeklinde yazılan bir dizinin sabit dizi olması için aşağıdaki koşul sağlanmalıdır.
\( (a_n) = \dfrac{an + b}{cn + d} \)
\( \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} \) ise \( (a_n) \) bir sabit dizidir.
\( (a_n) = \dfrac{9n + 6}{3n + a} \) bir sabit dizi ise,
\( \dfrac{9}{3} = \dfrac{6}{a} \)
\( a = 2 \)
Bir dizi hem aritmetik hem de geometrik dizi ise bu dizi sabit dizidir. Sabit bir dizinin aritmetik dizi olarak ortak farkı 0, geometrik dizi olarak ortak çarpanı 1'dir. Aritmetik ve geometrik dizileri önümüzdeki bölümde inceleyeceğiz.
Eşit Diziler
Aynı indisli terimleri birbirine eşit olan dizilere eşit dizi denir.
\( (a_n) \) ve \( (b_n) \) eşit diziler ise,
\( (a_1, a_2, \ldots, a_n) \) \( = (b_1, b_2, \ldots, b_n) \)
\( a_1 = b_1, \quad a_2 = b_2, \quad \ldots, \quad a_n = b_n \)
Aşağıdaki iki dizi aynı indisli terimleri eşit olduğu için eşit dizilerdir.
\( (a_n) = (-1)^n \)
\( = (-1, 1, -1, 1, \ldots) \)
\( (b_n) = \cos(n\pi) \)
\( = (-1, 1, -1, 1, \ldots) \)
Sonlu ve Sonsuz Diziler
Sonsuz sayıda terimden oluşan dizilere sonsuz dizi denir. Sonsuz dizilerde her \( a_n \) terimi için bir \( a_{n+1} \) terimi bulunur.
Sınırlı sayıda terimden oluşan dizilere sonlu dizi denir.
Bir dizinin sonlu olduğu belirtilmediği durumda sonsuz bir dizi olduğu anlaşılmalıdır.
İndirgemeli Diziler
Belirli bir terimi kendisinden önceki bir ya da birkaç terim cinsinden ifade edilen dizilere indirgemeli dizi denir.
\( a_1 = 2 \) olmak üzere,
\( a_n = a_{n - 1} + 5 \) dizisi tanımlanıyor.
\( a_2 = a_1 + 5 = 2 + 5 = 7 \)
\( a_3 = a_2 + 5 = 7 + 5 = 12 \)
\( a_4 = a_3 + 5 = 12 + 5 = 17 \)
\( b_1 = 2, \quad b_2 = 5 \) olmak üzere,
\( b_n = \dfrac{b_{n - 1}}{b_{n - 2}} \) dizisi tanımlanıyor.
\( b_3 = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{5}{2} \)
\( b_4 = \dfrac{b_3}{b_2} = \dfrac{\frac{5}{2}}{5} = \dfrac{1}{2} \)
\( b_5 = \dfrac{b_4}{b_3} = \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{2}} = \dfrac{1}{5} \)
Aritmetik, geometrik, karesel, üçgensel dizileri ve Fibonacci dizilerini önümüzdeki bölümlerde inceleyeceğiz.
\( (a_n) = (m - 2)n^3 + (k + 1)n + 2m - k \) dizisi bir sabit dizi olduğuna göre,
\( a_{71} + a_{72} + ... + a_{201} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterDizinin sabit dizi olması için genel terim \( n \) değişkenine bağlı olmamalı, dolayısıyla \( n \)'li terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır.
\( m - 2 = 0 \Longrightarrow m = 2 \)
\( k + 1 = 0 \Longrightarrow k = -1 \)
Bu durumda dizi tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( (a_n) = 2m - k = 2(2) - (-1) = 5 \)
Değeri sorulan ifadeyi hesaplayalım.
\( a_{71} + a_{72} + ... + a_{201} \) ifadesindeki terim sayısı \( 201 - 71 + 1 = 131 \)'dir.
Buna göre toplam ifadesinin sonucu \( 131 \cdot 5 = 655 \) olur.
\( (a_n) \) bir sabit dizidir.
\( (a_n) = (x + 1)n + n^y + 5x^y \)
olduğuna göre, \( a_2 \)'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterDizinin sabit dizi olması için genel terim \( n \) değişkenine bağlı olmamalı, dolayısıyla ifadede \( n \)'li terim bulunmamalıdır.
\( n \) değişkenine bağlı \( (x + 1)n + n^y \) ifadesi iki \( (x, y) \) değer ikilisi için sabit sayı olur.
Durum 1: \( x = -1, y = 0 \)
Bu durumda her iki terimde de \( n \) değişkenleri yok olur.
\( (a_n) = (-1 + 1)n + n^0 + 5(-1)^0 \)
\( = 0 + 1 + 5 = 6 \)
\( a_2 = 6 \)
Durum 2: \( x = -2, y = 1 \)
Bu durumda iki terimde \( n \) değişkenleri yok olmaz, ancak birbirini götürür.
\( (a_n) = (-2 + 1)n + n^1 + 5(-2)^1 = -10 \)
\( = -n + n + (-10) = -10 \)
\( a_2 = -10 \)
Buna göre \( a_2 \)'nin alabileceği değerler çarpımı \( 6 \cdot (-10) = -60 \) olarak bulunur.
\( (a_n) \) dizisinde \( a_1 = \dfrac{1}{10!} \) ve \( \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} = n + 1 \) olduğuna göre, dizinin 8. terimi nedir?
Çözümü Gösterİndirgemeli tanımı verilmiş dizinin genel terimini bulmaya çalışalım.
\( a_{n + 1} = (n + 1)a_n \)
\( a_2 = 2a_1 \)
\( a_3 = 3a_2 \)
\( a_4 = 4a_3 \)
\( \vdots \)
\( a_n = na_{n - 1} \)
İfadeleri taraf tarafa çarparak genel terimi bulalım.
\( (a_n) = n!\ a_1 \)
\( (a_n) = \dfrac{n!}{10!} \)
Genel terimde \( n = 8 \) koyduğumuzda 8. terimi buluruz.
\( a_8 = \dfrac{8!}{10!} = \dfrac{1}{90} \) bulunur.
\( a_1 = 3 \) olmak üzere,
\( a_n = \dfrac{n}{a_{n-1}} \) dizisinin ilk 8 teriminin çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterDizinin ilk 8 terimini yazalım.
\( a_1 = 3 \)
\( a_2 = \dfrac{2}{a_1} \)
\( a_3 = \dfrac{3}{a_2} \)
\( a_4 = \dfrac{4}{a_3} \)
\( \vdots \)
\( a_8 = \dfrac{8}{a_7} \)
İlk 8 terimin çarpımını yazalım.
\( a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5 \cdot a_6 \cdot a_7 \cdot a_8 \)
İndisi çift sayı olan terimlerin yukarıda bulduğumuz karşılıklarını yazalım.
\( = a_1 \cdot \dfrac{2}{a_1} \cdot a_3 \cdot \dfrac{4}{a_3} \cdot a_5 \cdot \dfrac{6}{a_5} \cdot a_7 \cdot \dfrac{8}{a_7} \)
\( = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \)
\( = 384 \) bulunur.
\( a_1 = 6 \) olmak üzere,
\( a_n = \sqrt{\abs{(a_{n-1})^2 - 37}} \)
olduğuna göre, \( a_{237} \) kaçtır?
Çözümü GösterDizinin terimlerini sırayla hesaplayalım.
\( a_1 = 6 \)
\( a_2 = \sqrt{\abs{6^2 - 37}} = 1 \)
\( a_3 = \sqrt{\abs{1^2 - 37}} = 6 \)
\( a_4 = \sqrt{\abs{6^2 - 37}} = 1 \)
\( a_5 = \sqrt{\abs{1^2 - 37}} = 6 \)
Dizinin terimlerinin periyodik şekilde 1 ve 6 değerlerini aldığını görüyoruz. Buna göre indisi çift sayı olan terimler 1, tek sayı olan terimler 6 olmaktadır.
\( a_{237} = 6 \) bulunur.
\( (a_n) \) dizisinde \( a_1 = 24 \) ve \( a_2 = 8 \) olarak veriliyor.
\( a_{n+2} = \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \)
olduğuna göre, \( a_{718} \) kaçtır?
Çözümü GösterDizinin ilk birkaç terimini hesaplayalım.
\( a_3 = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3} \)
\( a_4 = \dfrac{a_3}{a_2} = \dfrac{\frac{1}{3}}{8} = \dfrac{1}{24} \)
\( a_5 = \dfrac{a_4}{a_3} = \dfrac{\frac{1}{24}}{\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{8} \)
\( a_6 = \dfrac{a_5}{a_4} = \dfrac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{24}} = 3 \)
\( a_7 = \dfrac{a_6}{a_5} = \dfrac{3}{\frac{1}{8}} = 24 \)
\( a_8 = \dfrac{a_7}{a_6} = \dfrac{24}{3} = 8 \)
\( (a_n) = (24, 8, \frac{1}{3}, \frac{1}{24}, \frac{1}{8}, 3, 24, 8, \ldots) \)
Dizinin bir teriminin değeri öncesindeki iki terimin değerine göre belirlenmektedir.
\( a_7 = a_1 \) ve \( a_8 = a_2 \) olduğu için dizinin periyodik olduğunu ve her 6 terimde bir terimlerin tekrar ettiğini söyleyebiliriz.
\( 718 \bmod{6} = 4 \) olduğuna göre \( a_{718} = a_4 \) olur.
\( a_{718} = \dfrac{1}{24} \) olarak bulunur.
\( (a_n) \) dizisinde \( a_1 = 12 \) olarak veriliyor.
\( a_{n + 1} = \sqrt[3]{a_n} \)
olduğuna göre, \( a_{200} \) kaçtır?
Çözümü Göster\( a_n \) dizisinin ilk birkaç terimini yazalım.
\( a_2 = \sqrt[3]{a_1} = \sqrt[3]{12} = 12^{\frac{1}{3}} \)
\( a_3 = \sqrt[3]{a_2} = \sqrt[3]{12^{\frac{1}{3}} } = 12^{\frac{1}{9}} \)
\( a_4 = \sqrt[3]{a_3} = \sqrt[3]{12^{\frac{1}{9}} } = 12^{\frac{1}{27}} \)
Dizinin terimlerinin \( 12^{\frac{1}{3}}, 12^{\frac{1}{9}}, 12^{\frac{1}{27}}, \ldots \) şeklinde ilerlediğini görüyoruz.
Dizinin terimlerini \( 12^{3^{-1}}, 12^{3^{-2}}, 12^{3^{-3}}, \ldots \) şeklinde de ifade edebiliriz.
Buna göre dizinin genel terimini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( (a_n) = 12^{3^{-n + 1}} \)
\( a_{200} \) terimini bulmak için \( n = 200 \) yazalım.
\( a_{200} = 12^{3^{-199}} \) bulunur.
\( a_1 = 6 \) ve \( a_{n + 1} = 6^n \cdot a_n \) olduğuna göre,
\( (a_n) \) dizisinin genel terimi nedir?
Çözümü Göster\( \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} = 6^n \)
1'den \( n \)'ye kadarki terimleri hesaplayalım.
\( n = 1: \dfrac{a_2}{a_1} = 6^1 \)
\( n = 2: \dfrac{a_3}{a_2} = 6^2 \)
\( n = 3: \dfrac{a_4}{a_3} = 6^3 \)
\( \vdots \)
\( n = n - 1: \dfrac{a_n}{a_{n - 1}} = 6^{n - 1} \)
Bulduğumuz eşitlikleri taraf tarafa çarpalım.
\( \dfrac{a_2}{a_1} \cdot \dfrac{a_3}{a_2} \cdot \dfrac{a_4}{a_3} \cdot \ldots \cdot \dfrac{a_n}{a_{n - 1}} = 6^1 \cdot 6^2 \cdot \ldots \cdot 6^{n - 1} \)
Her çarpanın payı bir sonraki çarpanın paydası ile sadeleşir.
\( \dfrac{a_n}{a_1} = 6^{1+2+\ldots+(n-1)} \)
\( \dfrac{a_n}{6} = 6^{\frac{n(n - 1)}{2}} \)
\( (a_n) = 6 \cdot 6^{\frac{n^2 - n}{2}} \)
\( = 6^{\frac{n^2 - n + 2}{2}} \)
\( = \sqrt{6^{n^2 - n + 2}} \) bulunur.
\( (a_n) = n^3 - 24n^2 + 144n + 777 \)
dizisinde \( a_n \gt a_{n+1} \) koşulunu sağlayan en büyük \( n \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterBir dizi aynı zamanda tanım kümesi pozitif tam sayılar olan bir fonksiyondur.
\( f: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = x^3 - 24x^2 + 144x + 777 \)
\( a_n \gt a_{n+1} \) eşitsizliği fonksiyonun azalan olduğu aralıkta sağlanır.
Fonksiyonun türevini alarak hangi aralıklarda azalan olduğunu bulalım.
\( f'(x) = 3x^2 - 48x + 144 \lt 0 \)
\( 3(x - 4)(x - 12) \lt 0 \)
Eşitsizliğin sol tarafı her iki çarpanı sıfır yapan \( x \) değerleri arasında negatif değer alır.
Buna göre fonksiyon \( x \in (4, 12) \) aralığında azalandır.
Fonksiyonu tekrar dizi olarak düşünürsek dizinin azalan olduğu en büyük \( n \) değeri \( n = 11 \) olarak bulunur.
\( a_{11} \gt a_{12} \)