İkinci Dereceden Dizi
Genel terimi ikinci dereceden polinom olan dizilere ikinci dereceden dizi denir.
\( a, b, c \in \mathbb{R}, a \ne 0 \) olmak üzere,
\( (a_n) = an^2 + bn + c \)
\( (a_n) = 3n^2 - 4 \)
\( (b_n) = n^2 + 2n - 5 \)
Birkaç tanımlama yapalım.
- Bir dizinin ardışık terimleri arasındaki farklara birinci farklar denir. Bir dizinin birinci farklarının oluşturduğu diziye birinci farklar dizisi denir ve \( (\Delta a_n) \) şeklinde gösterilir.
- Bir dizinin birinci farklar dizisinin ardışık terimleri arasındaki farklara ikinci farklar denir. Bir dizinin ikinci farklarının oluşturduğu diziye ikinci farklar dizisi denir ve \( (\Delta^2 a_n) \) şeklinde gösterilir.
- Bir dizinin \( (k - 1) \). farklar dizisinin ardışık terimleri arasındaki farklara \( k \). farklar denir. Bir dizinin \( k \). farklarının oluşturduğu diziye \( k \). farklar dizisi denir ve \( (\Delta^k a_n) \) şeklinde gösterilir.
\( (a_n) = (1, 5, 11, 22, 41, 71, 115, \ldots) \)
\( (\Delta a_n) = (4, 6, 11, 19, 30, 44, \ldots) \)
\( (\Delta^2 a_n) = (2, 5, 8, 11, 14, \ldots) \)
\( (\Delta^3 a_n) = (3, 3, 3, 3, 3, \ldots) \)
Yukarıdaki örnekte görülebileceği gibi, bir dizinin \( k \). farklar dizisi sıfırdan farklı sabit dizi ise, \( (k - 1) \). farklar dizisi aritmetik dizidir.
Bir dizinin ikinci farklar dizisi sıfırdan farklı sabit dizi ise (dolayısıyla birinci farklar dizisi sabit diziden farklı aritmetik dizi ise) bu dizi ikinci dereceden dizidir.
Genel Terimin Bulunması
Terimleri verilen ikinci dereceden bir dizinin genel terimi iki yöntemle bulunabilir.
Lineer Denklem Sistemi Çözümü
Bu yöntemde dizinin herhangi üç terimi seçilir ve \( (a_n) = an^2 + bn + c \) formundaki genel terimde yerine konur. Elde edilen üç bilinmeyenli üç denklem birinci dereceden denklem sistemleri bölümünde incelediğimiz çözüm yöntemlerinden biriyle çözülür ve \( a, b, c \) katsayıları bulunur.
\( (a_n) = (5, 12, 25, 44, 69, 100, \ldots) \)
İlk 6 terimi yukarıda verilen ikinci dereceden dizinin genel terimini bulalım.
Dizinin genel terimini yazalım.
\( (a_n) = an^2 + bn + c \)
Dizinin ilk 3 terimini bu genel terimde yerine koyalım.
\( a_1 = a(1)^2 + b(1) + c = 5 \)
\( a_2 = a(2)^2 + b(2) + c = 12 \)
\( a_3 = a(3)^2 + b(3) + c = 25 \)
Buna göre aşağıdaki üç bilinmeyenli üç denklemi elde ederiz.
\( a + b + c = 5 \)
\( 4a + 2b + c = 12 \)
\( 9a + 3b + c = 25 \)
Bu lineer denklem sistemini çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( a = 3, \quad b = -2, \quad c = 4 \)
\( (a_n) = 3n^2 - 2n + 4 \)
Formül Çözümü
Pratik bir yöntem olarak, birinci ve ikinci farklar dizileri aşağıdaki gibi olan \( (a_n) \) dizisi için \( a, b, c \) katsayıları aşağıdaki üç formülle bulunabilir.
\( (a_n) = an^2 + bn + c \)
\( (\Delta a_n) = (d_1, d_2, d_3, d_4, d_5, \ldots) \)
\( (\Delta^2 a_n) = (d, d, d, d, d, \ldots) \)
\( 2a = d \)
\( 3a + b = d_1 \)
\( a + b + c = a_1 \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki şekilde bir ikinci dereceden dizi tanımlayalım.
\( (a_n) = an^2 + bn + c \)
Bu dizinin ilk 5 terimini bulalım.
\( a_1 = a(1)^2 + b(1) + c \)
\( = a + b + c \)
\( a_2 = a(2)^2 + b(2) + c \)
\( = 4a + 2b + c \)
\( a_3 = a(3)^2 + b(3) + c \)
\( = 9a + 3b + c \)
\( a_4 = a(4)^2 + b(4) + c \)
\( = 16a + 4b + c \)
\( a_5 = a(5)^2 + b(5) + c \)
\( = 25a + 5b + c \)
\( (a_n) \) dizisinin birinci farklar dizisini tanımlayalım.
\( \Delta a_1 = a_2 - a_1 \)
\( = 4a + 2b + c - (a + b + c) \)
\( = 3a + b \)
\( \Delta a_2 = a_3 - a_2 \)
\( = 9a + 3b + c - (4a + 2b + c) \)
\( = 5a + b \)
\( \Delta a_3 = a_4 - a_3 \)
\( = 16a + 4b + c - (9a + 3b + c) \)
\( = 7a + b \)
\( \Delta a_4 = a_5 - a_4 \)
\( = 25a + 5b + c - (16a + 4b + c) \)
\( = 9a + b \)
\( (a_n) \) dizisinin ikinci farklar dizisini tanımlayalım.
\( \Delta^2 a_1 = \Delta a_2 - \Delta a_1 \)
\( = 5a + b - (3a + b) \)
\( = 2a \)
\( \Delta^2 a_2 = \Delta a_3 - \Delta a_2 \)
\( = 7a + b - (5a + b) \)
\( = 2a \)
\( \Delta^2 a_3 = \Delta a_4 - \Delta a_3 \)
\( = 9a + b - (7a + b) \)
\( = 2a \)
Elde ettiğimiz dizileri ve terimleri kullanarak üç formülü türetelim.
\( a \) katsayısının iki katı ikinci farklar dizisinin sabit terimine eşittir.
\( 2a = \Delta^2 a_1 = \Delta^2 a_2 = \Delta^2 a_3 = \ldots = d \)
\( 3a + b \) değeri birinci farklar dizisinin ilk terimine eşittir.
\( 3a + b = \Delta a_1 = d_1 \)
Dizinin katsayılar toplamı dizinin ilk terimine eşittir.
\( a + b + c = a_1 \)
Bu formüllerin kullanımını bir örnek üzerinden gösterelim.
\( (a_n) = (4, 13, 26, 43, 64, 89, \ldots) \)
İlk 6 terimi yukarıda verilen ikinci dereceden dizinin genel terimini bulalım.
Dizinin birinci ve ikinci farklarını bulalım.
\( a \) katsayısının iki katı ikinci farkların sabit terimine eşittir.
\( 2a = 4 \)
\( a = 2 \)
\( 3a + b \) değeri birinci farkların ilk terimine eşittir.
\( 3a + b = 9 \)
\( 3(2) + b = 9 \)
\( b = 3 \)
Dizinin katsayılar toplamı dizinin ilk terimine eşittir.
\( a + b + c = 4 \)
\( 2 + 3 + c = 4 \)
\( c = -1 \)
Buna göre dizinin genel terimini aşağıdaki gibi buluruz.
\( (a_n) = 2n^2 + 3n - 1 \)
Yüksek Dereceden Diziler
Yukarıda paylaştığımız yöntem genel terimi \( n \). dereceden polinom olan herhangi bir diziye uyarlanabilir. Buna göre, bir dizinin \( n \). farklar dizisi sıfırdan farklı sabit dizi ise bu dizi \( n \). dereceden dizidir.
\( (a_n) = (1, 7, 17, 40, 87, 171, 307, 512, 805, \ldots) \)
dizisi \( n \). dereceden bir dizi olduğuna göre, \( n \) değerini bulalım.
\( (\Delta a_n) = (6, 10, 23, 47, 84, 136, 205, 293, \ldots) \)
\( (\Delta^2 a_n) = (4, 13, 24, 37, 52, 69, 88, \ldots) \)
\( (\Delta^3 a_n) = (9, 11, 13, 15, 17, 19, \ldots) \)
\( (\Delta^4 a_n) = (2, 2, 2, 2, 2, \ldots) \)
Dizinin dördüncü farklar dizisi sıfırdan farklı sabit dizi olduğu için dizi dördüncü dereceden dizidir.
Buna göre dizinin genel terimi aşağıdaki formda ifade edilebilir.
\( (a_n) = an^4 + bn^3 + cn^2 + dn + e \)
Sabit ivmeyle hızlanan bir aracın hareketinin her saniyesinde metre cinsinden aldığı yollar aşağıdaki gibi bir dizi oluşturuyor.
\( 8, 22, 42, 68, \ldots \)
Buna göre bu araç hareketinin 13. saniyesinde kaç metre yol alır?
Çözümü GösterAracın her saniyede aldığı yollar arasındaki artış miktarını inceleyelim.
\( 8\overset{+14}{\longrightarrow}22\overset{+20}{\longrightarrow}42\overset{+26}{\longrightarrow}68, \ldots \)
Artış miktarlarının aritmetik dizi oluşturduğunu görüyoruz.
Bu durumda genel terim ikinci dereceden bir denklemle ifade edilebilir.
\( (a_n) = an^2 + bn + c \)
\( n \)'ye farklı değerler vererek üç farklı denklem elde edelim.
\( n = 1 \) verelim.
\( a + b + c = 8 \)
\( n = 2 \) verelim.
\( 4a + 2b + c = 22 \)
\( n = 3 \) verelim.
\( 9a + 3b + c = 42 \)
Elde ettiğimiz üç denklemden oluşan denklem sistemini çözelim.
\( a + b + c = 8 \implies b + c = 8 - a \)
Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine koyalım.
\( 4a + b + (b + c) = 22 \)
\( 4a + b + 8 - a = 22 \)
\( 3a + b = 14 \)
Bu ifadeyi üçüncü denklemde yerine koyalım.
\( 3(3a + b) + c = 42 \)
\( 42 + c = 42 \)
\( c = 0 \implies b = 8 - a \)
\( 3a + (8 - a) = 14 \)
\( 2a + 8 = 14 \)
\( a = 3 \)
\( b = 8 - 3 = 5 \)
Buna göre dizinin genel terimi aşağıdaki gibi olur.
\( (a_n) = 3n^2 + 5n \)
Aracın 13. saniyede aldığı yolu hesaplayalım.
\( a_{13} = 3 (13)^2 + 5(13) = 572 \) bulunur.
Doğal sayılar kümesinin elemanları aşağıdaki şekilde farklı kümelere bölünüyor.
\( P_1 = \{1\} \)
\( P_2 = \{2, 3\} \)
\( P_3 = \{4, 5, 6\} \)
\( P_4 = \{7, 8, 9, 10\} \)
Buna göre \( P_{25} \) kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( P_n \) şeklindeki kümelerin ilk terimlerini veren bir \( (a_n) \) dizisi tanımlayalım.
\( (a_n) = (1, 2, 4, 7, \ldots) \)
Dizinin birinci farkları aritmetik, ikinci farkları da sabit bir dizi oluşturduğu için dizi ikinci dereceden bir dizidir.
\( (d1_n) = (1, 2, 3, \ldots) \)
\( (d2_n) = (1, 1, 1 \ldots) \)
İkinci dereceden dizinin genel terimini bulma formüllerini kullanalım.
\( (a_n) = an^2 + bn + c \) dizisinin birinci farkları \( \{d_1, d_2, d_3, \ldots\} \) ve ikinci farkı \( d \) olmak üzere,
\( a \) katsayısının iki katı ikinci farkların sabit terimine eşittir.
\( 2a = 1 \)
\( a = \dfrac{1}{2} \)
\( 3a + b \) değeri birinci farkların ilk terimine eşittir.
\( 3a + b = 1 \)
\( b = -\dfrac{1}{2} \)
Dizinin katsayılar toplamı dizinin ilk terimine eşittir.
\( a + b + c = 1 \)
\( c = 1 \)
Buna göre dizinin genel terimini aşağıdaki gibi buluruz.
\( (a_n) = \dfrac{1}{2}n^2 - \dfrac{1}{2}n + 1 \)
\( = \dfrac{n^2 - n + 2}{2} \)
Bu genel terimi kullanarak \( P_{25} \) kümesinin ilk ve son elemanlarını bulalım.
\( P_{25} \) kümesinin ilk elemanı \( a_{25} \) değerine eşittir.
\( a_{25} = \dfrac{25^2 - 25 + 2}{2} = 301 \)
\( P_{25} \) kümesinin son elemanını bulmak için \( P_{26} \) kümesinin ilk elemanını veren \( a_{26} \) değerinden 1 çıkaralım.
\( a_{26} = \dfrac{26^2 - 26 + 2}{2} = 326 \)
Buna göre \( P_{25} \) kümesinin ilk elemanı 301, son elemanı 325'tir.
Ardışık sayılarda terimler toplamı formülü ile 301'den 325'e kadarki ardışık sayıların toplamını bulalım.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
\( P_{25} \) kümesinin 25 elemanı vardır.
\( = \dfrac{301 + 325}{2} \cdot 25 \)
\( = 7825 \) bulunur.