Aritmetik Dizi
Ardışık terimleri arasındaki fark tüm dizi boyunca sabit olan dizilere aritmetik dizi denir. Aritmetik dizilerde ardışık terimler arasındaki bu sabit farka ortak fark denir ve \( d \) ile gösterilir.
\( d \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
Her \( n \) için \( a_{n + 1} - a_n = d \) ise,
\( (a_n) \) bir aritmetik dizidir.
Aritmetik dizilerde \( n \). terim aşağıdaki genel terim formülü ile bulunur. Bu formüle göre, bir aritmetik dizide \( n \). terim ortak farkın birinci terime \( (n - 1) \) kez eklenmesiyle bulunur.
\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)
\( (a_n) = (a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, \ldots) \)
\( a_n = 5n - 3 \)
\( (a_n) \) ilk terimi \( a_1 = 2 \) ve ortak farkı \( d = 5 \) olan bir aritmetik dizidir.
\( (a_n) = (2, 7, 12, 17, 22, \ldots) \)
Bir aritmetik dizinin özyinelemeli tanımında, her terim bir önceki terime ortak farkın eklenmesi ile elde edilir.
\( a_n = a_{n - 1} + d \)
\( a_n = 5n - 3 \) dizisinin özyinelemeli tanımı:
\( a_1 = 2 \)
\( a_n = a_{n - 1} + 5 \)
Aşağıda genel terimleri verilen dizilerin aritmetik dizi olup olmadığı belirtilmiştir.
| Genel Terim | Dizi | Aritmetik Dizi? |
|---|---|---|
| \( a_n = 2n \) | \( (2, 4, 6, 8, \ldots) \) | Aritmetik dizi (\( d = 2 \)) |
| \( b_n = 3n + 1 \) | \( (4, 7, 10, 13, \ldots) \) | Aritmetik dizi (\( d = 3 \)) |
| \( c_n = -5n + 10 \) | \( (5, 0, -5, -10, \ldots) \) | Aritmetik dizi (\( d = -5 \)) |
| \( d_n = 5 \) | \( (5, 5, 5, 5, \ldots) \) | Aritmetik dizi (\( d = 0 \)) |
| \( e_n = n^2 \) | \( (1, 4, 9, 16, \ldots) \) | Aritmetik dizi değil |
| \( f_n = 2^n - 1 \) | \( (1, 3, 7, 15, \ldots) \) | Aritmetik dizi değil |
| \( g_n = \dfrac{n + 1}{n + 2} \) | \( (\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots) \) | Aritmetik dizi değil |
Tablodaki ilk dört dizi incelendiğinde, aritmetik dizilerin genel teriminin \( n \)'nin katsayısının ortak farka eşit olduğu bir doğrusal fonksiyon formunda olduğu görülür (\( f(x) = dx + c \)). Buna göre bir aritmetik dizinin grafiğinde tüm noktalar doğrusaldır ve oluşturdukları doğrunun eğimi ortak farka eşittir.
Bir aritmetik dizi ortak farkın işaretine göre artan, azalan ya da sabit dizi olur.
\( d \gt 0 \): Artan dizi
\( d \lt 0 \): Azalan dizi
\( d = 0 \): Sabit dizi
Bir aritmetik dizide \( n \). terim, herhangi bir \( p \). terim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( a_n = a_p + (n - p)d \)
2. terimi 6 ve ortak farkı 3 olan bir aritmetik dizinin 12. terimi:
\( a_{12} = 6 + (12 - 2)3 = 36 \)
5. terimi 27 ve ortak farkı -3 olan bir aritmetik dizinin 10. terimi:
\( a_{10} = 27 + (10 - 5)(-3) = 12 \)
Bir aritmetik dizide ortak fark, dizinin herhangi iki teriminin farkının bu iki terimin indislerinin farkına oranına eşittir.
\( p \ne q \) olmak üzere,
\( d = \dfrac{a_q - a_p}{q - p} \)
4. terimi 12 ve 44. terimi 72 olan bir aritmetik dizinin ortak farkı:
\( d = \dfrac{72 - 12}{44 - 4} = \dfrac{3}{2} \)
İSPATI GÖSTER
Bir aritmetik dizide \( q \). terim, herhangi bir \( p \). terim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( a_q = a_p + (q - p)d \)
Eşitliği düzenleyelim.
\( (q - p)d = a_q - a_p \)
\( p \ne q \) olduğunu varsayalım.
\( d = \dfrac{a_q - a_p}{q - p} \)
Bir aritmetik dizide bir terim, kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına (toplamlarının yarısına) eşittir.
\( a_n = \dfrac{1}{2}(a_{n - p} + a_{n + p}) = \dfrac{1}{2}(a_{n - q} + a_{n + q}) \)
Bu kuralın bir sonucu olarak, bir terimden eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı birbirine eşittir.
\( 2a_n = a_{n - p} + a_{n + p} = a_{n - q} + a_{n + q} \)
\( a_n = 2n + 5 \) olmak üzere,
\( a_{20} = 2 \cdot 20 + 5 = 45 \)
20. terime 5 terim uzaklıktaki iki terimin toplamı:
\( a_{15} + a_{25} = 35 + 55 = 2a_{20} = 90 \)
20. terime 10 terim uzaklıktaki iki terimin toplamı:
\( a_{10} + a_{30} = 25 + 65 = 2a_{20} = 90 \)
Aynı kuralın ikinci bir sonucu olarak, bir aritmetik dizide ardışık üç terimden ortadaki terim diğer iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir. Aritmetik dizilerin ismi de bu ilişkiden gelmektedir.
\( a_n = \dfrac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2} \)
Aynı kuralın üçüncü bir sonucu olarak, bir aritmetik dizide indisleri toplamı birbirine eşit olan terimlerin toplamları birbirine eşittir.
\( p + q = r + s \) ise,
\( a_p + a_q = a_r + a_s \)
\( a_7 + a_8 = a_3 + a_{12} \)
Aritmetik Ortalama Yerleştirme
\( a \) ve \( b \) sayıları arasına \( n \) tane terim yerleştirerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı aşağıdaki formülle bulunur.
\( d = \dfrac{b - a}{n + 1} \)
12 ve 60 sayıları arasına 5 terim ekleyerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı:
\( d = \dfrac{60 - 12}{5 + 1} = 8 \)
\( (a_n) = (12, \textcolor{red}{20, 28, 36, 44, 52}, 60) \)
Bir dizi hem aritmetik hem de geometrik dizi ise bu dizi sabit dizidir. Sabit bir dizinin aritmetik dizi olarak ortak farkı 0, geometrik dizi olarak ortak oranı 1'dir.
Terimler Toplamı
Aritmetik dizilerde ilk \( n \) terimin toplamı \( S_n \) ile gösterilir ve aşağıdaki iki formülle hesaplanır.
\( S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n \) olmak üzere,
\( S_n = \dfrac{n}{2}[a_1 + a_n] \)
\( S_n = \dfrac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] \)
1. terimi 3 ve ortak farkı 2 olan bir aritmetik dizinin ilk 20 teriminin toplamı:
\( S_n = \dfrac{20}{2}[2 \cdot 3 + (20 - 1)2] \)
\( = 10 \cdot 44 = 440 \)
İSPATI GÖSTER
Dizinin ilk terimine \( a_1 \), dizideki terim sayısına \( n \) diyelim.
Aritmetik dizilerde dizinin son terimi aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)
Ardışık sayılarda terimler toplamı formülü ile terimlerin toplamını bulalım.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
\( S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \)
\( = \dfrac{a_1 + a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n \)
\( = \dfrac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] \)
Aşağıdaki aritmetik dizilerin genel terimini ve özyinelemeli tanımını bulunuz.
(a) \( (a_n) = (14, 23, 32, 41, \ldots) \)
(b) \( (b_n) = (3, -5, -13, -21, \ldots) \)
(c) \( (c_n) = (-77, -66, -55, -44, \ldots) \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( (a_n) = (14, 23, 32, 41, \ldots) \)
Verilen dizi ilk terimi \( a_1 = 14 \) ve ortak farkı \( d = 9 \) olan bir aritmetik dizidir.
İlk terimi ve ortak farkı bilinen aritmetik dizinin genel terim formülünü yazalım.
\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)
\( = 14 + (n - 1)9 \)
\( = 9n + 5 \)
Aritmetik dizinin özyinelemeli tanımı aşağıdaki gibidir.
\( a_1 = 14 \)
\( a_{n+1} = a_n + 9 \)
(b) seçeneği:
\( (b_n) = (3, -5, -13, -21, \ldots) \)
Verilen dizi ilk terimi \( b_1 = 3 \) ve ortak farkı \( d = -8 \) olan bir aritmetik dizidir.
İlk terimi ve ortak farkı bilinen aritmetik dizinin genel terim formülünü yazalım.
\( b_n = b_1 + (n - 1)d \)
\( = 3 + (n - 1)(-8) \)
\( = -8n + 11 \)
Aritmetik dizinin özyinelemeli tanımı aşağıdaki gibidir.
\( b_1 = 3 \)
\( b_{n+1} = b_n - 8 \)
(c) seçeneği:
\( (c_n) = (-77, -66, -55, -44, \ldots) \)
Verilen dizi ilk terimi \( c_1 = -77 \) ve ortak farkı \( d = 11 \) olan bir aritmetik dizidir.
İlk terimi ve ortak farkı bilinen aritmetik dizinin genel terim formülünü yazalım.
\( c_n = c_1 + (n - 1)d \)
\( = -77 + (n - 1)(11) \)
\( = 11n - 88 \)
Aritmetik dizinin özyinelemeli tanımı aşağıdaki gibidir.
\( c_1 = -77 \)
\( c_{n+1} = c_n + 11 \)
Aşağıda bazı terimleri ve/veya ortak farkı verilen aritmetik dizilerin genel terimini bulunuz.
(a) \( a_1 = 6, \quad a_7 = 3 \)
(b) \( b_5 = 17, \quad b_{19} = 73 \)
(c) \( c_7 = -43, \quad d = -5 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( a_1 = 6, \quad a_7 = 3 \)
Bir aritmetik dizide \( n \). terim birinci terim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)
\( a_7 = a_1 + (7 - 1)d \)
\( 3 = 6 + 6d \)
\( d = -\dfrac{1}{2} \)
İlk terimi ve ortak farkı bilinen aritmetik dizinin genel terim formülünü yazalım.
\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)
\( = 6 - \dfrac{1}{2}(n - 1) \)
\( = -\dfrac{1}{2}n + \dfrac{13}{2} \)
(b) seçeneği:
\( b_5 = 17, \quad b_{19} = 73 \)
Bir aritmetik dizide \( n \). terim \( p \). terim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( b_n = b_p + (n - p)d \)
\( b_{19} = b_5 + (19 - 5)d \)
\( 73 = 17 + 14d \)
\( d = 4 \)
Bu değerleri \( p = 5 \) için yukarıdaki formülde yerine koyalım.
\( b_n = b_p + (n - p)d \)
\( = b_5 + (n - 5)d \)
\( = 17 + (n - 5)4 \)
\( = 4n - 3 \)
(c) seçeneği:
\( c_7 = -43, \quad d = -5 \)
Bir aritmetik dizide \( n \). terim \( p \). terim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( c_n = c_p + (n - p)d \)
\( = c_7 + (n - 7)d \)
\( = -43 + (n - 7)(-5) \)
\( = -5n - 8 \)
İlk 4 terimi \( 5, 8, 11, 14 \) olan bir sayı dizisi veriliyor.
(a) Bu dizinin bir aritmetik dizi olduğunu gösteriniz ve ortak farkını bulunuz.
(b) Dizinin genel terimini bulunuz.
(c) Dizinin 100. terimini bulunuz.
(d) \( 62 \), \( 75 \) ve \( -13 \) sayılarının bu dizinin birer terimi olup olmadığını belirleyiniz.
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( a_1 = 5, a_2 = 8, a_3 = 11, a_4 = 14 \)
Ardışık terimler arasındaki farkları inceleyelim.
\( a_2 - a_1 = 8 - 5 = 3 \)
\( a_3 - a_2 = 11 - 8 = 3 \)
\( a_4 - a_3 = 14 - 11 = 3 \)
Ardışık terimler arasındaki fark sabit olduğu için bu dizi bir aritmetik dizidir ve dizinin ortak farkı \( d = 3 \)'tür.
(b) seçeneği:
İlk terimi \( a_1 = 5 \) ve ortak farkı \( d = 3 \) olan aritmetik dizinin genel terim formülünü yazalım.
\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)
\( = 5 + (n - 1) \cdot 3 \)
\( = 3n + 2 \)
(c) seçeneği:
Dizinin 100. terimini bulmak için genel terimde \( n = 100 \) yazalım.
\( a_{100} = 3(100) + 2 = 302 \)
(d) seçeneği:
Bir sayının bu dizinin bir terimi olabilmesi için, genel terim pozitif tam sayı bir indis değeri için bu sayıyı vermelidir.
\( 62 \) sayısı için:
\( 3n + 2 = 62 \)
\( n = 20 \)
Bulduğumuz \( n \) değeri pozitif tam sayı olduğu için \( 62 \) bu dizinin bir terimidir.
\( a_{20} = 62 \)
\( 75 \) sayısı için:
\( 3n + 2 = 75 \)
\( n = \dfrac{73}{3} \)
Bulduğumuz \( n \) değeri pozitif tam sayı olmadığı için \( \frac{73}{3} \) bu dizinin bir terimi değildir.
\( -13 \) sayısı için:
\( 3n + 2 = -13 \)
\( n = -5 \)
Bulduğumuz \( n \) değeri pozitif tam sayı olmadığı için \( -5 \) bu dizinin bir terimi değildir.
\( (a_n) = (3, \ 3.4, \ 3.8, \ 4.2, \ \ldots) \) aritmetik dizisinin \( 100 \)'den büyük ilk terimi kaçıncı terimdir?
Çözümü GösterVerilen dizi ilk terimi \( a_1 = 3 \) ve ortak farkı \( d = 3.4 - 3 = 0.4 \) olan bir aritmetik dizidir.
İlk terimi ve ortak farkı bilinen aritmetik dizinin genel terim formülünü yazalım.
\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)
\( = 3 + (n - 1)(0.4) \)
\( = 0.4n + 2.6 \)
Dizinin terimlerinin \( 100 \)'den büyük olduğu indis aralığını bulalım.
\( a_n \gt 100 \)
\( 0.4n + 2.6 \gt 100 \)
\( 0.4n \gt 97.4 \)
\( 4n \gt 974 \)
\( n \gt 243.5 \)
\( n \) tam sayı olduğu için bu eşitsizliği sağlayan en küçük \( n \) değeri 244'tür.
Buna göre dizinin \( 100 \)'den büyük olan ilk terimi 244. terimdir.
\( 5 - \sqrt{2}, \ x, \ y, \ 2\sqrt{2} - 1 \)
Yukarıdaki sayılar bir aritmetik dizinin ilk dört terimi olduğuna göre, \( x \) ve \( y \) değerlerini bulunuz.
Çözümü Göster1. yöntem:
Dizinin birinci terimi \( a_1 = 5 - \sqrt{2} \) ve dördüncü terimi \( a_4 = 2\sqrt{2} - 1 \)'dir.
Bir aritmetik dizide \( n \). terim birinci terim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)
\( a_4 = a_1 + (4 - 1)d \)
\( 2\sqrt{2} - 1 = 5 - \sqrt{2} + 3d \)
\( 3d = 3\sqrt{2} - 6 \)
\( d = \sqrt{2} - 2 \)
Bu değeri kullanarak dizinin ikinci terimini bulalım.
\( x = a_2 = a_1 + d \)
\( = (5 - \sqrt{2}) + (\sqrt{2} - 2) = 3 \)
Aynı şekilde dizinin üçüncü terimini bulalım.
\( y = a_3 = a_2 + d \)
\( = 3 + (\sqrt{2} - 2) = 1 + \sqrt{2} \)
2. yöntem:
\( 5 - \sqrt{2}, \ x, \ y, \ 2\sqrt{2} - 1 \)
Bir aritmetik dizide ardışık üç terimden ortadaki terim diğer iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir.
\( a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \)
İlk üç terim olan \( 5 - \sqrt{2}, \ x, \ y \) için bu kuralı uygulayalım.
\( x = \dfrac{5 - \sqrt{2} + y}{2} \)
\( 2x - y = 5 - \sqrt{2} \)
Son üç terim olan \( x, \ y, \ 2\sqrt{2} - 1 \) için aynı kuralı uygulayalım.
\( y = \dfrac{x + 2\sqrt{2} - 1}{2} \)
\( 2y - x = 2\sqrt{2} - 1 \)
\( -x + 2y = 2\sqrt{2} - 1 \)
Elde ettiğimiz iki denklemi ortak çözelim.
İkinci denklemi 2 ile çarpıp birinci denklemle taraf tarafa toplayalım.
\( 2x - y = 5 - \sqrt{2} \)
\( -2x + 4y = 4\sqrt{2} - 2 \)
\( 3y = 3 + 3\sqrt{2} \)
\( y = 1 + \sqrt{2} \)
Bulduğumuz \( y \) değerini birinci denklemde yerine yazalım.
\( 2x - (1 + \sqrt{2}) = 5 - \sqrt{2} \)
\( x = 3 \)
Aşağıda her seçenekte verilen iki sayı arasına belirtilen sayıda terim eklenerek birer aritmetik dizi oluşturuluyor. Her seçenekteki dizinin ortak farkını ve istenen terimini bulunuz.
(a) \( (a_n) \) dizisinde \( 15 \) ile \( 75 \) arasına \( 4 \) terim ekleniyor: \( d = ? \), \( a_3 = ? \)
(b) \( (b_n) \) dizisinde \( -8 \) ile \( 40 \) arasına \( 7 \) terim ekleniyor: \( d = ? \), \( b_6 = ? \)
(c) \( (c_n) \) dizisinde \( 164 \) ile \( 20 \) arasına \( 23 \) terim ekleniyor: \( d = ? \), \( c_{15} = ? \)
Çözümü Göster\( a \) ve \( b \) sayıları arasına \( n \) tane terim yerleştirerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı aşağıdaki formülle bulunur.
\( d = \dfrac{b - a}{n + 1} \)
(a) seçeneği:
\( a = 15, \quad b = 75, \quad n = 4 \)
Dizinin ilk terimi \( a_1 = 15 \)'tir.
Dizinin ortak farkını bulalım.
\( d = \dfrac{75 - 15}{4 + 1} = \dfrac{60}{5} = 12 \)
Genel terim formülünü kullanarak dizinin 3. terimini bulalım.
\( a_3 = a_1 + (3 - 1)d \)
\( = 15 + 2(12) = 39 \)
(b) seçeneği:
\( a = -8, \quad b = 40, \quad n = 7 \)
Dizinin ilk terimi \( b_1 = -8 \)'dir.
Dizinin ortak farkını bulalım.
\( d = \dfrac{40 - (-8)}{7 + 1} = \dfrac{48}{8} = 6 \)
Genel terim formülünü kullanarak dizinin 6. terimini bulalım.
\( b_6 = b_1 + (6 - 1)d \)
\( = -8 + 5(6) = 22 \)
(c) seçeneği:
\( a = 164, \quad b = 20, \quad n = 23 \)
Dizinin ilk terimi \( c_1 = 164 \)'tür.
Dizinin ortak farkını bulalım.
\( d = \dfrac{20 - 164}{23 + 1} = \dfrac{-144}{24} = -6 \)
Genel terim formülünü kullanarak dizinin 15. terimini bulalım.
\( c_{15} = c_1 + (15 - 1)d \)
\( = 164 + 14(-6) = 164 - 84 = 80 \)
Aşağıda her seçenekte verilen sayılar birer aritmetik dizinin ardışık terimleridir. Buna göre her seçenek için \( m \)'nin alabileceği değerleri bulunuz.
(a) \( 24, \ m, \ 8 \)
(b) \( m, \ 3m - 2, \ 16 \)
(c) \( 3m + 1, \ 2m + 5, \ 4m - 3 \)
(d) \( m, \ m^2, \ m^2 + 6 \)
(e) \( 6, \ m, \ m^2 - 9 \)
Çözümü GösterBir aritmetik dizide ardışık üç terimden ortadaki terim diğer iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir.
\( a_n = \dfrac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2} \)
(a) seçeneği:
\( 24, \ m, \ 8 \)
\( m = \dfrac{24 + 8}{2} = 16 \)
(b) seçeneği:
\( m, \ 3m - 2, \ 16 \)
\( 3m - 2 = \dfrac{m + 16}{2} \)
\( 6m - 4 = m + 16 \)
\( m = 4 \)
(c) seçeneği:
\( 3m + 1, \ 2m + 5, \ 4m - 3 \)
\( 2m + 5 = \dfrac{3m + 1 + 4m - 3}{2} \)
\( 4m + 10 = 7m - 2 \)
\( m = 4 \)
(d) seçeneği:
\( m, \ m^2, \ m^2 + 6 \)
\( m^2 = \dfrac{m + m^2 + 6}{2} \)
\( 2m^2 = m + m^2 + 6 \)
\( m^2 - m - 6 = 0 \)
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (m + 2)(m - 3) = 0 \)
\( m \in \{ -2, 3 \} \)
(e) seçeneği:
\( 6, \ m, \ m^2 - 9 \)
\( m = \dfrac{6 + m^2 - 9}{2} \)
\( 2m = 6 + m^2 - 9 \)
\( m^2 - 2m - 3 = 0 \)
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (m + 1)(m - 3) = 0 \)
\( m \in \{ -1, 3 \} \)
Bir beşgenin iç açıları bir aritmetik dizinin ardışık terimleridir. Bu beşgenin en küçük iç açısı \( 76 \) derece olduğuna göre, en büyük iç açısı kaç derecedir?
Çözümü GösterBeşgenin iç açıları toplamı \( 180(5 - 2) = 540 \) derecedir.
\( n \) terimli bir aritmetik dizinin terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n) \)
\( S_5 = \dfrac{5}{2}(a_1 + a_5) \)
\( 540 = \dfrac{5}{2}(76 + a_5) \)
\( 216 = 76 + a_5 \)
\( a_5 = 140 \)
Buna göre beşgenin en büyük iç açısı \( 140 \) derecedir.
Aşağıdaki dizilerden hangileri bir aritmetik dizinin genel terimidir?
I. \( a_n = 3 \)
II. \( b_n = 5n - 3 \)
III. \( c_n = n^2 - n \)
IV. \( d_n = \tan(n\pi) \)
V. \( e_n = \log{2^n} \)
Çözümü GösterArdışık terimleri arasındaki fark sabit olan dizilere aritmetik dizi denir.
I. öncül:
\( a_n = 3 \)
\( (a_n) = (3, 3, 3, \ldots) \)
Dizi ardışık terimleri arasındaki fark 0 ve sabit olduğu için bir aritmetik dizidir.
II. öncül:
\( b_n = 5n - 3 \)
\( (b_n) = (2, 7, 12, 17, \ldots) \)
Dizi ardışık terimleri arasındaki fark 5 ve sabit olduğu için bir aritmetik dizidir.
III. öncül:
\( c_n = n^2 - n \)
\( (c_n) = (0, 2, 6, 12, \ldots) \)
Dizi ardışık terimleri arasındaki fark eşit olmadığı için bir aritmetik dizi değildir.
IV. öncül:
\( d_n = \tan(n\pi) \)
\( (d_n) = (\tan{\pi}, \tan(2\pi), \tan(3\pi), \tan(4\pi), \ldots) \)
\( = (0, 0, 0, 0, \ldots) \)
Dizi ardışık terimleri arasındaki fark 0 ve sabit olduğu için bir aritmetik dizidir.
V. öncül:
\( e_n = \log{2^n} = n\log{2} \)
\( (e_n) = (\log{2}, 2\log{2}, 3\log{2}, 4\log{2}, \ldots) \)
Dizi ardışık terimleri arasındaki fark \( \log{2} \) ve sabit olduğu için bir aritmetik dizidir.
Buna göre I., II., IV. ve V. öncüllerdeki diziler birer aritmetik dizidir.
\( (a_n) \) aritmetik dizisinde \( 4a_3 = 5a_7 \) olduğuna göre, dizinin kaçıncı terimi sıfırdır?
Çözümü GösterVerilen eşitlikteki terimleri birinci terim cinsinden yazalım.
\( 4(a_1 + 2d) = 5(a_1 + 6d) \)
\( 4a_1 + 8d = 5a_1 + 30d \)
\( a_1 + 22d = 0 \)
Eşitliğin sol tarafı dizinin 23. terimine eşittir.
\( a_{23} = 0 \)
Buna göre dizinin 23. terimi 0'dır.
Aşağıdaki sabit diziden farklı dizilerden hangileri aritmetik dizidir?
(a) \( a_{n+1} = a_n + 5 \)
(b) \( b_{n+1} = 2b_n - 3 \)
(c) \( c_{n+1} = -c_n + 4 \)
(d) \( d_{n+1} = d_n + n \)
Çözümü GösterArdışık terimleri arasındaki fark sabit olan dizilere aritmetik dizi denir.
(a) seçeneği:
\( a_{n+1} = a_n + 5 \)
Verilen dizi tanımında ardışık terimlerin farkını bulalım.
\( a_{n+1} - a_n = 5 \)
Ardışık terimler arasındaki fark sabit olduğu için dizi bir aritmetik dizidir.
(b) seçeneği:
\( b_{n+1} = 2b_n - 3 \)
Verilen dizi tanımında ardışık terimlerin farkını bulalım.
\( b_{n+1} - b_n = b_n - 3 \)
Ardışık terimler arasındaki fark önceki terimin değerine bağlı olduğu ve sabit olmadığı için dizi bir aritmetik dizi değildir.
(c) seçeneği:
\( c_{n+1} = -c_n + 4 \)
Verilen dizi tanımında ardışık terimlerin farkını bulalım.
\( c_{n+1} - c_n = -2c_n + 4 \)
Ardışık terimler arasındaki fark önceki terimin değerine bağlı olduğu ve sabit olmadığı için dizi bir aritmetik dizi değildir.
(d) seçeneği:
\( d_{n+1} = d_n + n \)
Verilen dizi tanımında ardışık terimlerin farkını bulalım.
\( d_{n+1} - d_n = n \)
Ardışık terimler arasındaki fark indis değerine bağlı olduğu ve sabit olmadığı için dizi bir aritmetik dizi değildir.
\( (a_n) \) aritmetik dizisinin ortak farkı \( d \)'dir.
Bu aritmetik dizinin ilk 7 teriminin toplamı ilk 12 teriminin toplamına eşit olduğuna göre, 6. terimin \( d \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü GösterDizinin genel terimini ve ilk \( n \) teriminin toplam formülünü yazalım.
\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)
\( S_n = \dfrac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] \)
Aritmetik dizinin ilk 7 teriminin toplamı ilk 12 teriminin toplamına eşittir.
\( S_7 = S_{12} \)
\( \dfrac{7}{2}(2a_1 + 6d) = \dfrac{12}{2}(2a_1 + 11d) \)
\( 14a_1 + 42d = 24a_1 + 132d \)
\( 10a_1 = -90d \)
\( a_1 = -9d \)
Bu eşitliği kullanarak dizinin 6. terimini bulalım.
\( a_6 = a_1 + (6 - 1)d \)
\( = a_1 + 5d \)
\( a_1 \) yerine bulduğumuz eşitini yazalım.
\( = -9d + 5d = -4d \) bulunur.
Ardışık üç terimi verilen aşağıdaki aritmetik dizilerde bilinmeyen terimleri bulunuz.
(a) \( 3^2, \ 3^3, \ x \)
(b) \( \sqrt{18}, \ y, \ \sqrt{98} \)
(c) \( z, \ \log_2{12}, \ \log_2{48} \)
Çözümü GösterArdışık terimleri arasındaki fark tüm dizi boyunca sabit olan dizilere aritmetik dizi denir.
Ardışık terimlerin farklarını birbirine eşitleyelim.
(a) seçeneği:
\( 3^2, \ 3^3, \ x \)
Üslü ifadelerin değerlerini yazalım.
\( 9, \ 27, \ x \)
Ardışık terimlerin farklarını birbirine eşitleyelim.
\( 27 - 9 = x - 27 \)
\( x = 45 \)
(b) seçeneği:
\( \sqrt{18}, \ y, \ \sqrt{98} \)
Köklü ifadeleri sadeleştirelim.
\( 3\sqrt{2}, \ y, \ 7\sqrt{2} \)
Ardışık terimlerin farklarını birbirine eşitleyelim.
\( y - 3\sqrt{2} = 7\sqrt{2} - y \)
\( y = 5\sqrt{2} \)
(c) seçeneği:
\( z, \ \log_2{12}, \ \log_2{48} \)
Ardışık terimlerin farklarını birbirine eşitleyelim.
\( \log_2{12} - z = \log_2{48} - \log_2{12} \)
\( z = 2\log_2{12} - \log_2{48} \)
\( = 2\log_2(3 \cdot 4) - \log_2(3 \cdot 16) \)
Logaritma çarpma kuralını kullanalım.
\( = 2\log_2{3} + 2\log_2{4} - \log_2{3} - \log_2{16} \)
\( = \log_2{3} + 2(2) - 4 \)
\( = \log_2{3} \)
Bir aritmetik dizinin ilk 5 terimi sırasıyla \( a, (2a + b), 32, (6a - b), (6a + 2b) \) olduğuna göre, dizinin 111. terimi kaçtır?
Çözümü GösterAritmetik diziye \( (a_n) \), dizinin ortak farkına \( d \) diyelim.
\( a_1 = a \)
\( a_2 = 2a + b \)
\( a_3 = 32 \)
\( a_4 = 6a - b \)
\( a_5 = 6a + 2b \)
\( a_4 \) ve \( a_5 \) terimleri arasındaki farkı bulalım.
\( d = a_5 - a_4 \)
\( = 6a + 2b - (6a - b) = 3b \)
Bu eşitliği kullanarak dizinin terimlerini birbirleri cinsinden yazalım.
\( a_2 = a_1 + d \)
\( 2a + b = a + 3b \)
\( a = 2b \)
\( a_3 = a_2 + d \)
\( 32 = 2a + b + 3b \)
\( 32 = 2a + 4b \)
\( 32 = 2 \cdot 2b + 4b \)
\( 32 = 8b \Longrightarrow b = 4 \)
\( a = 2b \Longrightarrow a = 8 \)
\( d = 3b \Longrightarrow d = 12 \)
\( a_1 = a = 8 \)
Bulduğumuz değerleri kullanarak \( a_{111} \) değerini bulalım.
\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)
\( a_{111} = a_1 + (111 - 1)d \)
\( = 8 + 110(12) \)
\( = 1328 \) bulunur.
Bir aritmetik dizide ilk 7 terimin toplamı, ilk 17 terimin toplamına eşittir.
Buna göre, ilk 24 terimin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterAritmetik dizinin ilk terimine \( a \), dizinin ortak farkına \( d \) diyelim.
Aritmetik dizi terimler toplamı formülü ile ilk 7 terimin toplamını bulalım.
\( S_n = \dfrac{n}{2}[a_1 + a_n] \)
\( S_7 = \dfrac{7}{2}[a + (a + 6d)] \)
\( = 7(a + 3d) \)
Aynı formül ile ilk 17 terimin toplamını bulalım.
\( S_{17} = \dfrac{17}{2}[a + (a + 16d)] \)
\( = 17(a + 8d) \)
İki toplam birbirine eşittir.
\( 7(a + 3d) = 17(a + 8d) \)
\( 7a + 21d = 17a + 136d \)
\( 10a = -115d \)
\( 2a = -23d \)
İlk 24 terimin toplamını bulalım.
\( S_{24} = \dfrac{24}{2}[a + (a + 23d)] \)
\( = 12(2a + 23d) \)
\( 2a = -23d \) ifadesini \( 2a \) yerine kullanalım.
\( = 12(-23d + 23d) = 0 \)
Buna göre aritmetik dizinin ilk 24 teriminin toplamı 0'a eşittir.
Bir aritmetik dizinin ilk beş elemanı \( a, x, b, c, 3x \) olduğuna göre, \( \frac{a}{c} \) oranı kaçtır?
Çözümü GösterDizinin ikinci ve beşinci terimleri aynı değişken cinsinden olduğu için bu terimleri kullanarak dizinin ortak farkını bulalım.
Bir aritmetik dizinin \( n \). terimi \( p \). terim cinsinden aşağıdaki şekilde yazılır.
\( a_n = a_p + (n - p)d \)
\( a_5 = a_2 + (5 - 2)d \)
\( 3x = x + 3d \)
\( d = \dfrac{2x}{3} \)
Bu ortak fark değerini kullanarak \( a \) ve \( c \) değerlerini \( x \) cinsinden yazalım.
\( a_2 = a_1 + d \)
\( x = a + \dfrac{2x}{3} \)
\( a = \dfrac{x}{3} \)
\( a_5 = a_4 + d \)
\( 3x = c + \dfrac{2x}{3} \)
\( c = \dfrac{7x}{3} \)
\( \dfrac{a}{c} \) oranını bulalım.
\( \dfrac{a}{c} = \dfrac{\frac{x}{3}}{\frac{7x}{3}} \)
\( = \dfrac{1}{7} \) bulunur.
Bir aritmetik dizinin ardışık üç teriminin toplamı 33 ve çarpımı 440 olduğuna göre, bu terimlerden en büyük olanı kaçtır?
Çözümü GösterAritmetik dizinin ortak farkına \( d \) diyelim.
Bu üç terimi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( (a - d), a, (a + d) \)
Üç terimin toplamını yazalım.
\( a - d + a + a + d = 33 \)
\( 3a = 33 \)
\( a = 11 \)
Buna göre terimler aşağıdaki gibi olur.
\( (11 - d), 11, (11 + d) \)
Üç terimin çarpımını yazalım.
\( (11 - d) \cdot 11 \cdot (11 + d) = 440 \)
\( 121 - d^2 = 40 \)
\( 81 = d^2 \)
\( d = \pm 9 \)
Aritmetik dizinin artan ya da azalan olduğu bilgisi verilmemiş olsa da her iki durumda da terimlerden en büyük olanın değeri aynı olacaktır.
\( d = 9 \) olarak kabul edelim.
Bu durumda terimler aşağıdaki gibi olur.
\( 2, 11, 20 \)
Terimlerden en büyüğü 20 olarak bulunur.
\( (a_n) \) bir aritmetik dizidir.
\( a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = a_2 + a_4 + a_6 + 4 \)
\( a_{10} = 4a_8 \)
olduğuna göre, \( a_1 \) kaçtır?
Çözümü GösterBirinci eşitlikte \( a_2, a_4, a_6 \) terimlerini \( a_1, a_3, a_5 \) cinsinden yazalım.
\( a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = (a_1 + d) + (a_3 + d) + (a_5 + d) + 4 \)
\( a_7 = 3d + 4 \)
İkinci eşitlikte \( a_8 \) ve \( a_{10} \) terimlerini \( a_7 \) cinsinden yazalım.
\( a_7 + 3d = 4(a_7 + d) \)
\( a_7 + 3d = 4a_7 + 4d \)
\( 3a_7 = -d \)
\( a_7 = -\dfrac{d}{3} \)
\( a_7 \) ve \( d \) arasında bulduğumuz iki eşitliği ortak çözelim.
\( 3d + 4 = -\dfrac{d}{3} \)
\( d = -\dfrac{6}{5} \)
\( d \) değerini kullanarak \( a_7 \) değerini bulalım.
\( a_7 = 3d + 4 = 3\left( -\dfrac{6}{5} \right) + 4 \)
\( a_7 = \dfrac{2}{5} \)
\( a_7 \) değerini kullanarak \( a_1 \) değerini bulalım.
\( a_7 = a_1 + 6d \)
\( \dfrac{2}{5} = a_1 + 6\left( -\dfrac{6}{5} \right) \)
\( a_1 = \dfrac{2}{5} + \dfrac{36}{5} = \dfrac{38}{5} \) bulunur.
Bir aritmetik dizinin 2. ve 13. terimlerinin çarpımı, 5. ve 11. terimlerinin çarpımına eşittir.
Dizinin ortak farkı sıfırdan farklı olduğuna göre, bu dizideki kaçıncı terim sıfıra eşittir?
Çözümü GösterBu dizinin ortak farkına \( d \) diyelim.
5., 11. ve 13. terimleri 2. terim cinsinden yazalım.
\( a_{13} = a_2 + 11d \)
\( a_5 = a_2 + 3d \)
\( a_{11} = a_2 + 9d \)
Dizinin 2. ve 13. terimlerinin çarpımı, 5. ve 11. terimlerinin çarpımına eşittir.
\( a_2 \cdot a_{13} = a_5 \cdot a_{11} \)
\( a_2(a_2 + 11d) = (a_2 + 3d)(a_2 + 9d) \)
\( a_2^2 + 11da_2 = a_2^2 + 3da_2 + 9da_2 + 27d^2 \)
\( da_2 = -27d^2 \)
Dizinin ortak farkı sıfırdan farklı olduğu için \( d \) çarpanlarını sadeleştirebiliriz.
\( a_2 = -27d \)
\( a_2 + 27d = 0 \)
\( a_2 \) terimini \( a_1 \) cinsinden yazalım.
\( a_1 + d + 27d = 0 \)
\( a_1 + 28d = 0 \)
Bu eşitliğin sol tarafı 29. terime eşittir.
\( a_{29} = 0 \)
Buna göre dizinin 29. terimi sıfıra eşittir.
\( 37, 61, 85, \ldots \) aritmetik dizisindeki 3 basamaklı terimlerin ortalaması kaçtır?
Çözümü GösterDizinin genel terimini bulalım.
\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)
Dizinin ilk terimi \( a_1 = 37 \) ve ortak farkı \( d = 61 - 37 = 24 \)'tür.
\( a_n = 37 + (n - 1)24 \)
\( = 24n + 13 \)
3 basamaklı terimler aşağıdaki aralıkta bulunur.
\( 100 \le 24n + 13 \le 999 \)
\( 87 \le 24n \le 986 \)
\( \dfrac{87}{24} \le n \le \dfrac{986}{24} \)
\( n \) tam sayı olduğu için aralığı aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( 4 \le n \le 41 \)
Dizinin 4. terimini bulalım.
\( a_4 = a_1 + (4 - 1)24 \)
\( = 37 + 3(24) = 109 \)
Dizinin 41. terimini bulalım.
\( a_{41} = a_1 + (41 - 1)24 \)
\( = 37 + 40(24) = 997 \)
Bir aritmetik dizide belirli bir aralıktaki terimlerin ortalaması, bu aralıktaki ilk ve son terimlerin ortalamasına eşittir.
3 basamaklı terimlerin ortalaması \( \frac{109 + 997}{2} = 553 \) bulunur.
\( (a_n) \) ve \( (b_n) \) aritmetik dizilerdir.
\( (a_n) = (8, 16, \ldots, 368) \)
\( (b_n) = (13, 16, \ldots, 352) \)
Bu iki dizinin ortak terim sayısı kaçtır?
Çözümü Gösterİki dizinin genel terimini bulalım.
\( (a_n) \) dizisinin ilk terimi \( a_1 = 8 \) ve ortak farkı \( 16 - 8 = 8 \)'dir.
\( a_n = 8 + (n - 1)8 = 8n \)
\( (b_n) \) dizisinin ilk terimi \( b_1 = 13 \) ve ortak farkı \( 16 - 13 = 3 \)'tür.
\( b_n = 13 + (n - 1)3 = 3n + 10 \)
Dizilerin ilk ortak terimi 16'dır. Buna göre dizilerin ortak terimleri ortak farkları olan 3 ve 8'in ortak katlarının 16 fazlasıdır.
\( EKOK(3, 8) = 24 \)
Verilen diziler sonlu olduğu için en büyük ortak terim son terimlerden küçük olandan, yani 352'den küçük ya da 352'ye eşit olmalıdır.
Dizilerin ortak terim sayılarına \( x \) dersek, 16 hariç \( x - 1 \) ortak terim vardır.
\( 16 + 24(x - 1) \le 352 \)
\( 24x \le 360 \)
\( x \le 15 \)
\( x \)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri 15 olduğuna göre, dizilerin ortak terim sayısı 15 olarak bulunur.
\( (a_n) = (a_1, a_2, a_3, \ldots) \) bir aritmetik dizi olduğuna göre,
\( (b_n) = (a_1 + a_2, \ a_3 + a_4, \ a_5 + a_6, \ldots) \) dizisinin de bir aritmetik dizi olduğunu gösteriniz.
Çözümü GösterArdışık terimleri arasındaki fark tüm dizi boyunca sabit olan dizilere aritmetik dizi denir.
\( (a_n) \) dizisinin ortak farkına \( d \) diyelim ve genel terim formülünü yazalım.
\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)
\( (b_n) \) dizisinin terimlerini inceleyelim.
\( b_1 = a_1 + a_2 \)
\( b_2 = a_3 + a_4 \)
\( b_3 = a_5 + a_6 \)
\( \vdots \)
\( b_n = a_{2n - 1} + a_{2n} \)
\( b_{n+1} = a_{2n+1} + a_{2n+2} \)
Bu eşitlikleri kullanarak \( (b_n) \) dizisinde ardışık iki terimin farkını bulalım.
\( b_{n+1} - b_n = (a_{2n+1} + a_{2n+2}) - (a_{2n-1} + a_{2n}) \)
\( = (a_1 + (2n + 1 - 1)d + a_1 + (2n + 2 - 1)d) - (a_1 + (2n - 1 - 1)d + a_1 + (2n - 1)d) \)
\( = a_1 + (2n)d + a_1 + (2n + 1)d - a_1 - (2n - 2)d - a_1 - (2n - 1)d \)
\( = 2nd + 2nd + d - 2nd + 2d - 2nd + d \)
\( = 4d \)
Ardışık herhangi iki terim arasındaki fark sabit olduğu için \( (b_n) \) dizisi ortak farkı \( 4d \) olan bir aritmetik dizidir.
\( (a_n) \) aritmetik dizisinde \( a_5 + a_{13} = 22 \) olduğuna göre, dizinin ilk 17 teriminin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBir aritmetik dizinin ilk \( n \) teriminin toplamı aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n) \)
\( S_{17} = \dfrac{17}{2}(a_1 + a_{17}) \)
Bir aritmetik dizide indisleri toplamı birbirine eşit olan terimlerin toplamları birbirine eşittir.
\( 5 + 13 = 1 + 17 = 18 \) olduğu için,
\( a_5 + a_{13} = a_1 + a_{17} = 22 \)
Buna göre ilk 17 terimin toplamını aşağıdaki şekilde de yazabiliriz.
\( S_{17} = \dfrac{17}{2}(a_5 + a_{13}) \)
\( = \dfrac{17}{2}(22) = 187 \) bulunur.
\( (a_n) \) ve \( (b_n) \) aritmetik dizilerdir.
\( a_1 = 15, \quad b_1 = 65 \)
\( a_{80} + b_{80} = 80 \)
olduğuna göre, \( (a_n + b_n) \) aritmetik dizisinin ilk 80 teriminin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen dizilerin genel terimini yazalım.
\( (a_n) \) dizisinin ortak farkına \( d_1 \), \( (b_n) \) dizisinin ortak farkına \( d_2 \) diyelim.
\( a_{80} = a_1 + 79d_1 = 15 + 79d_1 \)
\( b_{80} = b_1 + 79d_2 = 65 + 79d_2 \)
\( a_{80} + b_{80} = 80 \) veriliyor.
\( 15 + 79d_1 + 65 + 79d_2 = 80 \)
\( 80 + 79(d_1 + d_2) = 80 \)
\( 79(d_1 + d_2) = 0 \)
\( d_1 + d_2 = 0 \)
Bir aritmetik dizinin ilk \( n \) teriminin toplamı formülü aşağıdaki gibidir.
\( S_n = \dfrac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] \)
Dizilerin ilk 80 terimi için toplam formüllerini yazalım.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{80}{(a_n + b_n)} = \displaystyle\sum_{n = 1}^{80}{a_n} + \displaystyle\sum_{n = 1}^{80}{b_n} \)
\( = \dfrac{80}{2}[2 \cdot 15 + 79d_1] + \dfrac{80}{2}[2 \cdot 65 + 79d_2] \)
\( = 40(30 + 79d_1) + 40(130 + 79d_2) \)
\( = 1200 + 40 \cdot 79d_1 + 5200 + 40 \cdot 79d_2 \)
\( = 6400 + 40 \cdot 79(d_1 + d_2) \)
\( = 6400 + 40 \cdot 79(0) \)
\( = 6400 \) bulunur.
Bir çift fonksiyon olan \( f(x) \) fonksiyonunun reel sayı kökleri, aynı zamanda \( (a_n) \) aritmetik dizisinin birbirinden farklı ilk dört terimidir.
\( a_{10} = 30 \) olduğuna göre, \( a_{30} \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) \) bir çift fonksiyon olduğu için kökleri \( y \) eksenine göre simetriktir. Kökler arası ortak fark eşit olacağı için, bu kökleri aritmetik dizinin ortak farkı \( d \) cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( (a_n) = \left( -\dfrac{3d}{2}, -\dfrac{d}{2}, \dfrac{d}{2}, \dfrac{3d}{2}, ... \right) \)
Bir aritmetik dizinin genel terimi aşağıdaki gibidir.
\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)
\( = -\dfrac{3d}{2} + (n - 1)d \)
\( a_{10} = 30 \) değerini kullanarak ortak farkı bulalım.
\( a_{10} = -\dfrac{3d}{2} + (10 - 1)d = 30 \)
\( d = 4 \)
\( a_1 = -\dfrac{3d}{2} = -6 \)
\( a_n = -6 + (n - 1)d \)
Genel terimi kullanarak \( a_{30} \) değerini bulalım.
\( a_{30} = -6 + (30 - 1)4 = 110 \) bulunur.
\( (a_n) \) ilk terimi 8 ve ortak farkı 5 olan, \( (b_n) \) ise ilk terimi 1 ve ortak farkı 7 olan aritmetik dizilerdir.
İki dizinin ortak elemanlarından oluşan dizinin 15. terimi kaçtır?
Çözümü Göster\( (a_n) \) dizisinin ilk terimini ve ortak farkını kullanarak dizinin terimlerini yazalım.
\( (a_n) = (8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, \ldots) \)
Aynı şekilde \( (b_n) \) dizisinin ilk terimini ve ortak farkını kullanarak dizinin terimlerini yazalım.
\( (b_n) = (1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, \ldots) \)
İki dizinin ortak elemanlarından oluşan bir \( (c_n) \) dizisi tanımlayalım.
\( (c_n) \) dizisinin ilk elemanının 8 olduğunu yukarıdaki dizi tanımlarından görebiliriz. Ayrıca dizinin ortak farkı iki dizinin ortak farklarının EKOK'u olur.
\( EKOK(5, 7) = 35 \)
\( (c_n) = (8, 43, 78, \ldots) \)
Bu bilgilerle \( (c_n) \) dizisinin genel terimini yazalım.
\( c_n = 8 + (n - 1)35 \)
\( = 35n - 27 \)
\( (c_n) \) dizisinin 15. terimini bulalım.
\( c_{15} = 35(15) - 27 = 498 \) bulunur.
\( S = \{4, 5, 6, \ldots, 500\} \) kümesinin elemanlarıyla ilk terimi 4 ve son terimi 500 olan kaç aritmetik dizi oluşturulabilir?
Çözümü GösterOluşturabileceğimiz dizilerin genel terimini yazalım.
\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)
Dizilerin ilk terimi \( a_1 = 4 \)'tür ve terim sayısı kaç olursa olsun \( n \)'nin alabileceği en yüksek değer \( a_n = 500 \)'dür.
\( (a_n) = (4, \ldots, 500) \)
\( 500 = 4 + (n - 1)d \)
\( 496 = (n - 1)d \)
\( S \) kümesi tam sayılardan oluştuğu için \( d \) tam sayı olmalıdır.
496 sayısını asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazıp pozitif tam bölenlerinin sayısını bularak \( d \) sayısının kaç farklı değer alabileceğini bulalım.
\( 496 = 2^4 \cdot 31^1 \)
Pozitif tam bölen sayısı \( = (4 + 1)(1 + 1) = 10 \)
\( d \) sayısı 10 farklı pozitif tam sayı değer alabildiğine göre yazabileceğimiz farklı aritmetik dizi sayısı 10 olur.
\( (a_n) \) ve \( (b_n) \) aritmetik dizilerdir.
\( a_n = 7n + 25 \)
\( b_n = 10n + 13 \)
olduğuna göre, bu dizilerin ortak terimlerinden en küçük üçünün toplamı kaçtır?
Çözümü GösterOrtak terimlerin indislerine \( i \) ve \( j \) diyelim.
\( a_i = b_j = A \)
\( 7i + 25 = 10j + 13 = A \)
Eşitliğin taraflarını aralarında asal 7 ve 10 parantezine alabilecek şekilde eşitliğin taraflarına 17 ekleyelim.
\( 7i + 42 = 10j + 30 = A + 17 \)
\( 7(i + 6) = 10(j + 3) = A + 17 \)
Buna göre dizilerin her bir ortak teriminin 17 fazlası 7 ve 10'un bir ortak katıdır.
\( EKOK(7, 10) = 70 \)
\( A + 17 \in \{70, 140, 210, \ldots\} \)
\( A \in \{53, 123, 193, \ldots\} \)
Buna göre dizilerin ortak terimlerinden en küçük üçünün toplamı \( 53 + 123 + 193 = 369 \) olarak bulunur.