Geometrik Dizi
Ardışık terimleri arasındaki oran tüm dizi boyunca sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Geometrik dizilerde ardışık terimler arasındaki bu sabit orana ortak oran ya da ortak çarpan denir ve \( r \) ile gösterilir.
\( r \in \mathbb{R} \) ve \( r \ne 0 \) olmak üzere,
Her \( n \) için \( \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} = r \) ise,
\( (a_n) \) bir geometrik dizidir.
Geometrik dizilerde \( n \). terim aşağıdaki genel terim formülü ile bulunur. Bu formüle göre, bir geometrik dizide \( n \). terim ortak oranın birinci terimle \( (n - 1) \) kez çarpılmasıyla bulunur.
\( a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} \)
\( (a_n) = (a_1, a_1 \cdot r, a_1 \cdot r^2, a_1 \cdot r^3, \ldots) \)
\( a_n = 5 \cdot 2^n \)
\( (a_n) \) ilk terimi \( a_1 = 10 \) ve ortak oranı \( r = 2 \) olan bir geometrik dizidir.
\( (a_n) = (10, 20, 40, 80, 160, \ldots) \)
Bir geometrik dizinin özyinelemeli tanımında, her terim bir önceki terimle ortak oranın çarpılması ile elde edilir.
\( a_n = r \cdot a_{n - 1} \)
\( a_n = 3 \cdot 2^n \) dizisinin özyinelemeli tanımı:
\( a_1 = 6 \)
\( a_n = 2 \cdot a_{n - 1} \)
Aşağıda genel terimleri verilen dizilerin geometrik dizi olup olmadığı belirtilmiştir.
| Genel Terim | Dizi | Geometrik Dizi? |
|---|---|---|
| \( a_n = 3^n \) | \( (3, 9, 27, 81, \ldots) \) | Geometrik dizi (\( r = 3 \)) |
| \( b_n = 3 \cdot 2^n \) | \( (6, 12, 24, 48, \ldots) \) | Geometrik dizi (\( r = 2 \)) |
| \( c_n = {\left( \frac{2}{3} \right)}^{n - 1} \) | \( (1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \ldots) \) | Geometrik dizi (\( r = \frac{2}{3} \)) |
| \( d_n = 5 \) | \( (5, 5, 5, 5, \ldots) \) | Geometrik dizi (\( r = 1 \)) |
| \( e_n = n^2 \) | \( (1, 4, 9, 16, \ldots) \) | Geometrik dizi değil |
| \( f_n = 2^n - 1 \) | \( (1, 3, 7, 15, \ldots) \) | Geometrik dizi değil |
| \( g_n = \dfrac{n + 1}{n + 2} \) | \( (\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots) \) | Geometrik dizi değil |
Tablodaki ilk dört dizi incelendiğinde, geometrik dizilerin genel teriminin \( n \)'nin tabanının ortak orana eşit olduğu bir üstel fonksiyon formunda olduğu görülür (\( f(x) = k \cdot r^x \)).
Bir geometrik dizi ilk terimin işaretine ve ortak oranın değerine göre artan, azalan ya da sabit dizi olur.
İlk terim pozitif ise (\( a_1 \gt 0 \)),
- \( r \gt 1 \): Artan dizi
- \( 0 \lt r \lt 1 \): Azalan dizi
- \( r = 1 \): Sabit dizi
İlk terim negatif ise (\( a_1 \lt 0 \)),
- \( r \gt 1 \): Azalan dizi
- \( 0 \lt r \lt 1 \): Artan dizi
- \( r = 1 \): Sabit dizi
Ortak farkın negatif olduğu durumda ise geometrik dizi salınımlı bir dizi olur.
\( a_n = 3 \cdot (-2)^n \) olmak üzere,
\( a_1 = 3 \cdot (-2)^1 = -6 \)
\( a_2 = 3 \cdot (-2)^2 = 12 \)
\( a_3 = 3 \cdot (-2)^3 = -24 \)
\( a_4 = 3 \cdot (-2)^4 = 48 \)
\( (a_n) = (-6, 12, -24, 48, \ldots) \)
Bir geometrik dizide n. terim, herhangi bir \( p \). terim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( a_n = a_p \cdot r^{n - p} \)
3. terimi 4 ve ortak oranı 2 olan bir geometrik dizinin 8. terimi:
\( a_8 = 4 \cdot 2^{8 - 3} = 128 \)
5. terimi 243 ve ortak oranı \( \frac{1}{3} \) olan bir geometrik dizinin 12. terimi:
\( a_{12} = 243 \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{12 - 5} = 3^5 \cdot \dfrac{1}{3^7} = \dfrac{1}{9} \)
Bir geometrik dizide ortak oran, dizinin herhangi iki teriminin oranının bu iki terimin indislerinin farkı derecesinde köküne eşittir.
\( q \gt p \) olmak üzere,
Terimler ardışık değilse:
\( r = \sqrt[q - p]{\dfrac{a_q}{a_p}} \)
Terimler ardışık ise:
\( r = \dfrac{a_q}{a_p} \)
5. terimi 3 ve 14. terimi 1536 olan bir geometrik dizinin ortak oranı:
\( r = \sqrt[14 - 5]{\dfrac{1536}{3}} \)
\( = \sqrt[9]{512} = 2 \)
İSPATI GÖSTER
Bir geometrik dizide \( q \). terim, herhangi bir \( p \). terim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( a_q = a_p \cdot r^{q - p} \)
Eşitliği düzenleyelim.
\( r^{q - p} = \dfrac{a_q}{a_p} \)
\( q \gt p \) olduğunu varsayalım.
İki farklı durumu ayrı ayrı inceleyelim.
Durum 1: Ardışık terimler
Bu durumda \( q = p + 1 \) olur.
\( r^{q - p} = r = \dfrac{a_q}{a_p} \)
Durum 2: Ardışık olmayan terimler
Eşitliğin taraflarının \( (q - p) \). dereceden kökünü alalım.
\( r = \sqrt[q - p]{\dfrac{a_q}{a_p}} \)
Bir geometrik dizide bir terim, kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına (çarpımlarının kareköküne) eşittir.
\( a_n = \sqrt{a_{n - p} \cdot a_{n + p}} = \sqrt{a_{n - q} \cdot a_{n + q}} \)
Bu kuralın bir sonucu olarak, bir terimden eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı birbirine eşittir.
\( {a_n}^2 = a_{n - p} \cdot a_{n + p} = a_{n - q} \cdot a_{n + q} \)
\( a_n = 2^n \) olmak üzere,
\( a_{10} = 2^{10} \)
10. terime 2 terim uzaklıktaki iki terimin çarpımı:
\( a_{8} \cdot a_{12} = 2^8 \cdot 2^{12} = a_{10}^2 = 2^{20} \)
10. terime 5 terim uzaklıktaki iki terimin çarpımı:
\( a_{5} \cdot a_{15} = 2^5 \cdot 2^{15} = a_{10}^2 = 2^{20} \)
Aynı kuralın ikinci bir sonucu olarak, bir geometrik dizide ardışık üç terimden ortadaki terim diğer iki terimin geometrik ortalamasına eşittir. Geometrik dizilerin ismi de bu ilişkiden gelmektedir.
\( a_n = \sqrt{a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}} \)
Aynı kuralın üçüncü bir sonucu olarak, bir geometrik dizide indisleri toplamı birbirine eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir.
\( p + q = r + s \) ise,
\( a_p \cdot a_q = a_r \cdot a_s \)
\( a_7 \cdot a_8 = a_3 \cdot a_{12} \)
Geometrik Ortalama Yerleştirme
\( a \) ve \( b \) sayıları arasına \( n \) tane terim yerleştirerek oluşturulan geometrik dizinin ortak oranı aşağıdaki formülle bulunur.
\( n \gt 0 \) olmak üzere,
\( r = \sqrt[n + 1]{\dfrac{b}{a}} \)
128 ve 8 sayıları arasına 3 terim ekleyerek oluşturulan geometrik dizinin ortak oranı:
\( r = \sqrt[3 + 1]{\dfrac{8}{128}} = \dfrac{1}{2} \)
\( (a_n) = (128, \textcolor{red}{64, 32, 16}, 8) \)
Bir dizi hem aritmetik hem de geometrik dizi ise bu dizi sabit dizidir. Sabit bir dizinin aritmetik dizi olarak ortak farkı 0, geometrik dizi olarak ortak oranı 1'dir.
Terimler Toplamı
Sonlu geometrik dizilerde ilk \( n \) terimin toplamı \( S_n \) ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( r \ne 1 \) olmak üzere,
\( S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n \)
\( S_n = a_1 \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \)
1. terimi 3 ve ortak oranı 2 olan bir geometrik dizinin ilk 10 teriminin toplamı:
\( S_n = 3 + 6 + 12 + \ldots + 3 \cdot 2^9 \)
\( S_n = 3 \cdot \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} \)
\( = 3 \cdot 1023 = 3069 \)
İSPATI GÖSTER
Dizinin ilk terimine \( a \), dizideki terim sayısına \( n \) diyelim.
Geometrik dizilerde dizinin \( n \). terimi aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( a_n = ar^{n - 1} \)
Dizinin terimlerini listeleyelim.
\( (a_n) = (a, ar, ar^2, \ldots, ar^{n - 1}) \)
Terimler toplamını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( S_n = a + ar + ar^2 + \ldots + ar^{n - 1} \)
Terimleri \( a \) parantezine alalım.
\( = a(1 + r + r^2 + \ldots + r^{n - 1}) \)
\( r \ne 1 \) olmak üzere, payı ve paydayı \( (1 - r) \) ile çarpalım.
\( = \dfrac{a(1 - r)(1 + r + r^2 + \ldots + r^{n - 1})}{1 - r} \)
Paydaki 2. ve 3. çarpanlar, iki terimin \( n \). dereceden kuvvetlerinin farkı özdeşliğinin çarpanlara ayrılmış halidir.
\( x^n - y^n = (x - y)(x^{n - 1} + x^{n - 2}y + \ldots + y^{n - 1}) \)
Bu özdeşlikte \( x \) yerine \( 1 \), \( y \) yerine \( r \) yazalım.
\( 1 - r^n = (1 - r)(1 + r + \ldots + r^{n - 1}) \)
Buna göre, dizinin terimler toplamını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( r \ne 1 \) olmak üzere,
\( S_n = a \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \)
Sonsuz geometrik dizilerde ise terimlerin toplamı aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( \abs{r} \lt 1 \) olmak üzere,
\( S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \ldots \)
\( S = \dfrac{a_1}{1 - r} \)
1. terimi 2 ve ortak oranı \( \frac{1}{3} \) olan bir sonsuz geometrik dizinin terimlerinin toplamı:
\( S = 2 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{27} + \ldots \)
\( S = \dfrac{2}{1 - \frac{1}{3}} = 3 \)
İSPATI GÖSTER
İlk terimi \( a_1 \) ve ortak oranı \( r \) olan sonlu geometrik dizilerin terimler toplamı formülünü aşağıdaki gibi bulmuştuk.
\( r \ne 1 \) olmak üzere,
\( S_n = a_1 \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \)
Sonsuz geometrik serinin toplamı \( n \to \infty \) iken \( S_n \) ifadesinin limitine eşittir.
\( S = \lim\limits_{n \to \infty} {S_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( a_1 \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \right) \)
\( a_1 \) ve \( r \) sabit sayılardır.
\( = a_1 \cdot \dfrac{1 - \lim\limits_{n \to \infty} {r^n}}{1 - \lim\limits_{n \to \infty} {r}} \)
\( = a_1 \cdot \dfrac{1 - \lim\limits_{n \to \infty} {r^n}}{1 - r} \)
\( \abs{r} \lt 1 \) olduğu durumda \( n \to \infty \) iken \( r^n \to 0 \) olur.
\( = a_1 \cdot \dfrac{1 - 0}{1 - r} \)
\( = \dfrac{a_1}{1 - r} \)
Aşağıdaki geometrik dizilerin genel terimini ve özyinelemeli tanımını bulunuz.
(a) \( (a_n) = \left( 2, 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \ldots \right) \)
(b) \( (b_n) = (-2, 6, -18, 54, \ldots) \)
(c) \( (c_n) = \left( \dfrac{9}{4}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{9}, \ldots \right) \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( (a_n) = \left( 2, 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \ldots \right) \)
Verilen dizi ilk terimi \( a_1 = 2 \) ve ortak oranı \( r = \dfrac{1}{2} \) olan bir geometrik dizidir.
İlk terimi ve ortak oranı bilinen geometrik dizinin genel terim formülünü yazalım.
\( a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} \)
\( = 2 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} \)
Geometrik dizinin özyinelemeli tanımı aşağıdaki gibidir.
\( a_1 = 2 \)
\( a_{n+1} = \dfrac{a_n}{2} \)
(b) seçeneği:
\( (b_n) = (-2, 6, -18, 54, \ldots) \)
Verilen dizi ilk terimi \( b_1 = -2 \) ve ortak oranı \( r = -3 \) olan bir geometrik dizidir.
İlk terimi ve ortak oranı bilinen geometrik dizinin genel terim formülünü yazalım.
\( b_n = b_1 \cdot r^{n - 1} \)
\( = -2 \cdot (-3)^{n - 1} \)
Geometrik dizinin özyinelemeli tanımı aşağıdaki gibidir.
\( b_1 = -2 \)
\( b_{n+1} = -3b_n \)
(c) seçeneği:
\( (c_n) = \left( \dfrac{9}{4}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{9}, \ldots \right) \)
Verilen dizi ilk terimi \( c_1 = \frac{9}{4} \) ve ortak oranı \( r = \dfrac{1}{3} \) olan bir geometrik dizidir.
İlk terimi ve ortak oranı bilinen geometrik dizinin genel terim formülünü yazalım.
\( c_n = c_1 \cdot r^{n - 1} \)
\( = \dfrac{9}{4} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n - 1} \)
Geometrik dizinin özyinelemeli tanımı aşağıdaki gibidir.
\( c_1 = \dfrac{9}{4} \)
\( c_{n+1} = \dfrac{c_n}{3} \)
İlk üç terimi verilen aşağıdaki geometrik dizilerin ilk 5 teriminin toplamı kaçtır?
(a) \( (a_n) = (\sqrt{3}, -\sqrt{3}, \sqrt{3}, \ldots) \)
(b) \( (b_n) = \left( -4, 1, -\dfrac{1}{4}, \ldots \right) \)
(c) \( (c_n) = \left( \dfrac{12}{25}, \dfrac{6}{5}, 3, \ldots \right) \)
Çözümü GösterGeometrik dizilerde ardışık terimler arasındaki sabit orana ortak oran denir ve \( r \) ile gösterilir.
Geometrik dizilerde \( r \) aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( r = \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} \)
Geometrik dizilerde ilk \( n \) terimin toplamı \( S_n \) ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( S_n = a_1 \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \)
(a) seçeneği:
\( (a_n) = (\sqrt{3}, -\sqrt{3}, \sqrt{3}, \ldots) \)
Geometrik dizinin ortak oranını bulalım.
\( r = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{-\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -1 \)
İlk 5 teriminin toplamını bulalım.
\( S_5 = \sqrt{3} \cdot \dfrac{1 - (-1)^5}{1 - (-1)} \)
\( = \sqrt{3} \cdot \dfrac{2}{2} \)
\( = \sqrt{3} \)
(b) seçeneği:
\( (b_n) = \left( -4, 1, -\dfrac{1}{4}, \ldots \right) \)
Geometrik dizinin ortak oranını bulalım.
\( r = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{1}{-4} = -\dfrac{1}{4} \)
İlk 5 teriminin toplamını bulalım.
\( S_5 = -4 \cdot \dfrac{1 - (-\frac{1}{4})^5}{1 - (-\frac{1}{4})} \)
\( = -4 \cdot \dfrac{\frac{1025}{1024}}{\frac{5}{4}} \)
\( = -4 \cdot \dfrac{205}{256} \)
\( = -\dfrac{205}{64} \)
(c) seçeneği:
\( (c_n) = \left( \dfrac{12}{25}, \dfrac{6}{5}, 3, \ldots \right) \)
Geometrik dizinin ortak oranını bulalım.
\( r = \dfrac{c_2}{c_1} = \dfrac{\frac{6}{5}}{\frac{12}{25}} = \dfrac{5}{2} \)
İlk 5 teriminin toplamını bulalım.
\( S_5 = \dfrac{12}{25} \cdot \dfrac{1 - (\frac{5}{2})^5}{1 - \frac{5}{2}} \)
\( = \dfrac{12}{25} \cdot \dfrac{-\frac{3093}{32}}{-\frac{3}{2}} \)
\( = \dfrac{12}{25} \cdot \dfrac{3093}{32} \cdot \dfrac{2}{3} \)
\( = \dfrac{3093}{100} \)
\( \dfrac{a^3b^5}{16}, -\dfrac{3a^4b^3}{8}, \dfrac{9a^5b}{4} \) geometrik dizisinin dördüncü terimi nedir?
Çözümü GösterDizinin ilk iki teriminin oranını alarak ortak oranı bulalım.
\( r = \dfrac{a_2}{a_1} \)
\( \dfrac{-\frac{3a^4b^3}{8}}{\frac{a^3b^5}{16}} = \dfrac{-6a}{b^2} \)
Dizinin ikinci ve üçüncü terimlerinin aynı ortak oranı verdiğini teyit edebiliriz.
\( r = \dfrac{a_3}{a_2} \)
\( \dfrac{\frac{9a^5b}{4}}{-\frac{3a^4b^3}{8}} = \dfrac{-6a}{b^2} \)
Üçüncü terimle ortak oranı çarparak dizinin dördüncü terimini bulalım.
\( a_4 = a_3r \)
\( = \dfrac{9}{4}a^5b \cdot \dfrac{-6a}{b^2} \)
\( = -\dfrac{27a^6}{2b} \) bulunur.
Aşağıda bazı terimleri ve/veya ortak oranı verilen geometrik dizilerin genel terimini bulunuz.
(a) \( a_2 = 5, \quad a_6 = 125 \)
(b) \( b_3 = \dfrac{32}{e^4}, \quad b_8 = e^6 \)
(c) \( c_6 = 8, \quad r = \sqrt[3]{2} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( a_2 = 5, \quad a_6 = 125 \)
Bir geometrik dizide \( n \). terim \( p \). terim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( a_n = a_p \cdot r^{n - p} \)
\( a_6 = a_2 \cdot r^{6 - 2} \)
\( 125 = 5 \cdot r^4 \)
\( r^4 = 25 \)
\( r = \sqrt{5} \)
Bu değerleri \( p = 2 \) için yukarıdaki formülde yerine koyalım.
\( a_n = a_p \cdot r^{n - p} \)
\( = a_2 \cdot r^{n - 2} \)
\( = 5 \cdot (\sqrt{5})^{n - 2} \)
(b) seçeneği:
\( b_3 = \dfrac{32}{e^4}, \quad b_8 = e^6 \)
Bir geometrik dizide \( n \). terim \( p \). terim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( b_n = b_p \cdot r^{n - p} \)
\( b_8 = b_3 \cdot r^{8 - 3} \)
\( e^6 = \dfrac{32}{e^4} \cdot r^{8 - 3} \)
\( r^5 = \dfrac{e^{10}}{32} \)
\( r = \dfrac{e^2}{2} \)
Bu değerleri \( p = 3 \) için yukarıdaki formülde yerine koyalım.
\( a_n = a_p \cdot r^{n - p} \)
\( = b_3 \cdot r^{n - 3} \)
\( = \dfrac{32}{e^4} \cdot \left( \dfrac{e^2}{2} \right)^{n - 3} \)
(c) seçeneği:
\( c_6 = 8, \quad r = \sqrt[3]{2} \)
Bir geometrik dizide \( n \). terim \( p \). terim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( c_n = c_p \cdot r^{n - p} \)
\( = c_6 \cdot r^{n - 6} \)
\( = 8 \cdot (\sqrt[3]{2})^{n - 6} \)
\( = 8 \cdot \dfrac{(\sqrt[3]{2})^n}{(\sqrt[3]{2})^6} \)
\( = 2 \cdot (\sqrt[3]{2})^n \)
İlk 4 terimi \( 2, 6, 18, 54 \) olan bir sayı dizisi veriliyor.
(a) Bu dizinin bir geometrik dizi olduğunu gösteriniz ve ortak oranını bulunuz.
(b) Dizinin genel terimini bulunuz.
(c) Dizinin 8. terimini bulunuz.
(d) \( 486 \), \( 1000 \) ve \( -18 \) sayılarının bu dizinin birer terimi olup olmadığını belirleyiniz.
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( a_1 = 2, \quad a_2 = 6, \quad a_3 = 18, \quad a_4 = 54 \)
Ardışık terimler arasındaki oranları inceleyelim.
\( \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{6}{2} = 3 \)
\( \dfrac{a_3}{a_2} = \dfrac{18}{6} = 3 \)
\( \dfrac{a_4}{a_3} = \dfrac{54}{18} = 3 \)
Ardışık terimler arasındaki oran sabit olduğu için bu dizi bir geometrik dizidir ve dizinin ortak oranı \( r = 3 \)'tür.
(b) seçeneği:
İlk terimi \( a_1 = 2 \) ve ortak oranı \( r = 3 \) olan geometrik dizinin genel terim formülünü yazalım.
\( a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} \)
\( a_n = 2 \cdot 3^{n - 1} \)
(c) seçeneği:
Dizinin 8. terimini bulmak için genel terimde \( n = 8 \) yazalım.
\( a_8 = 2 \cdot 3^{8 - 1} \)
\( = 2 \cdot 3^7 \)
\( = 2 \cdot 2187 = 4374 \)
(d) seçeneği:
Bir sayının bu dizinin bir terimi olabilmesi için, genel terim pozitif tam sayı bir indis değeri için bu sayıyı vermelidir.
\( 486 \) sayısı için:
\( 2 \cdot 3^{n - 1} = 486 \)
\( 3^{n - 1} = 243 \)
\( n = 6 \)
Bulduğumuz \( n \) değeri pozitif tam sayı olduğu için \( 486 \) bu dizinin bir terimidir.
\( a_6 = 486 \)
\( 1000 \) sayısı için:
\( 2 \cdot 3^{n - 1} = 1000 \)
\( 3^{n - 1} = 500 \)
\( 500 \) sayısı \( 3 \)'ün bir tam sayı kuvveti olmadığı için \( 1000 \) bu dizinin bir terimi değildir.
\( -18 \) sayısı için:
\( 2 \cdot 3^{n - 1} = -18 \)
\( 3^{n - 1} = -9 \)
Pozitif bir tabanın hiçbir reel sayı kuvveti negatif olamayacağı için \( -18 \) bu dizinin bir terimi değildir.
Ardışık üç terimi verilen aşağıdaki geometrik dizilerde bilinmeyen terimleri bulunuz.
(a) \( 2^3, \ 2^6, \ x \)
(b) \( \sqrt{12}, \ y, \ \sqrt{108} \quad (y \gt 0) \)
(c) \( z, \ \log_2{16}, \ \log_2{256} \)
Çözümü GösterArdışık terimleri arasındaki oran tüm dizi boyunca sabit olan dizilere geometrik dizi denir.
Ardışık terimlerin oranlarını birbirine eşitleyelim.
(a) seçeneği:
\( 2^3, \ 2^6, \ x \)
Üslü ifadelerin değerlerini yazalım.
\( 8, \ 64, \ x \)
Ardışık terimlerin oranlarını birbirine eşitleyelim.
\( \dfrac{64}{8} = \dfrac{z}{64} \)
\( x = 512 \)
(b) seçeneği:
\( \sqrt{12}, \ y, \ \sqrt{108} \)
Köklü ifadeleri sadeleştirelim.
\( 2\sqrt{3}, \ y, \ 6\sqrt{3} \)
Ardışık terimlerin oranlarını birbirine eşitleyelim.
\( \dfrac{y}{2\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{y} \)
\( y^2 = 2\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} \)
\( y^2 = 36 \)
\( y \gt 0 \) olarak veriliyor.
\( y = 6 \)
(c) seçeneği:
\( z, \ \log_2{16}, \ \log_2{256} \)
Logaritmik ifadelerin değerlerini yazalım.
\( z, \ \log_2{2^4}, \ \log_2{2^8} \)
\( z, \ 4, \ 8 \)
Ardışık terimlerin oranlarını birbirine eşitleyelim.
\( \dfrac{4}{z} = \dfrac{8}{4} \)
\( z = 2 \)
Aşağıda her seçenekte verilen iki sayı arasına belirtilen sayıda terim eklenerek birer geometrik dizi oluşturuluyor. Her seçenekteki dizinin ortak oranını ve istenen terimini bulunuz.
(a) \( (a_n) \) dizisinde \( 3 \) ile \( 96 \) arasına \( 4 \) terim ekleniyor: \( r = ? \), \( a_3 = ? \)
(b) \( (b_n) \) dizisinde \( \frac{1}{8} \) ile \( 64 \) arasına \( 8 \) terim ekleniyor: \( r = ? \), \( b_6 = ? \)
(c) \( (c_n) \) dizisinde \( 162 \) ile \( 6 \) arasına \( 2 \) terim ekleniyor: \( r = ? \), \( c_3 = ? \)
Çözümü Göster\( a \) ve \( b \) sayıları arasına \( n \) tane terim yerleştirerek oluşturulan geometrik dizinin ortak oranı aşağıdaki formülle bulunur.
\( r = \sqrt[n + 1]{\dfrac{b}{a}} \)
(a) seçeneği:
\( a = 3, \quad b = 96, \quad n = 4 \)
Dizinin ilk terimi \( a_1 = 3 \)'tür.
Dizinin ortak oranını bulalım.
\( r = \sqrt[4 + 1]{\dfrac{96}{3}} = \sqrt[5]{32} = 2 \)
Genel terim formülünü kullanarak dizinin 3. terimini bulalım.
\( a_3 = a_1 \cdot r^{3 - 1} \)
\( = 3 \cdot 2^2 = 12 \)
(b) seçeneği:
\( a = \dfrac{1}{8}, \quad b = 64, \quad n = 8 \)
Dizinin ilk terimi \( b_1 = \dfrac{1}{8} \)'dir.
Dizinin ortak oranını bulalım.
\( r = \sqrt[8 + 1]{\dfrac{64}{\frac{1}{8}}} = \sqrt[9]{512} = 2 \)
Genel terim formülünü kullanarak dizinin 6. terimini bulalım.
\( b_6 = b_1 \cdot r^{6 - 1} \)
\( = \dfrac{1}{8} \cdot 2^5 \)
\( = \dfrac{1}{8} \cdot 32 = 4 \)
(c) seçeneği:
\( a = 162, \quad b = 6, \quad n = 2 \)
Dizinin ilk terimi \( c_1 = 162 \)'dir.
Dizinin ortak oranını bulalım.
\( r = \sqrt[2 + 1]{\dfrac{6}{162}} = \sqrt[3]{\dfrac{1}{27}} = \dfrac{1}{3} \)
Genel terim formülünü kullanarak dizinin 3. terimini bulalım.
\( c_3 = c_1 \cdot r^{3 - 1} \)
\( = 162 \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^2 \)
\( = 162 \cdot \dfrac{1}{9} = 18 \)
İlk terimi 3 olan bir geometrik dizinin 4. ve 7. terimlerinin toplamı 216'dır.
Buna göre bu dizinin ortak oranının alabileceği tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( a_1 = 3 \)
\( a_4 + a_7 = 216 \)
Her iki terimi birinci terim cinsinden yazalım.
\( a_1 \cdot r^3 + a_1 \cdot r^6 = 216 \)
\( 3r^3 + 3r^6 = 216 \)
\( r^3 + r^6 = 72 \)
\( r^3 = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 + t - 72 = 0 \)
\( (t + 9)(t - 8) = 0 \)
\( t = -9 \) ya da \( t = 8 \)
\( t = r^3 = -9 \)
Bu durumda \( r \) için tam sayı çözüm bulunmaz.
\( t = r^3 = 8 \)
\( r = 2 \) bulunur.
\( x + 2, 2x - 1, 4x - 7, y \) bir geometrik dizinin ardışık 4 terimi olduğuna göre, \( y \) kaçtır?
Çözümü GösterBir geometrik dizide bir terimin karesi öncesindeki ve sonrasındaki iki terimin çarpımına eşittir.
\( (2x - 1)^2 = (x + 2)(4x - 7) \)
\( 4x^2 - 4x + 1 = 4x^2 + x - 14 \)
\( x = 3 \)
Buna göre verilen geometrik dizinin terimleri aşağıdaki gibi olur.
\( 5, 5, 5, y \)
Bu dizi ortak oran 1 olduğu için sabit dizidir ve tüm terimleri 5'e eşittir.
\( y = 5 \) olarak bulunur.
Aşağıda her seçenekte verilen sayılar birer geometrik dizinin ardışık terimleridir. Buna göre her seçenek için \( m \)'nin alabileceği değerleri bulunuz.
(a) \( 2, \ m, \ 18 \)
(b) \( m, \ 6, \ 3m + 3 \)
(c) \( m - 1, \ m + 1, \ 2m + 5 \)
(d) \( 3, \ m, \ m + 6 \)
(e) \( m, \ 2m, \ m^2 - 12 \)
Çözümü GösterBir geometrik dizide ardışık üç terimden ortadaki terim diğer iki terimin geometrik ortalamasına eşittir.
\( a_n = \sqrt{a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}} \)
\( a_n^2 = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1} \)
(a) seçeneği:
\( 2, \ m, \ 18 \)
\( m^2 = 2 \cdot 18 \)
\( m^2 = 36 \)
\( m \in \{ -6, 6 \} \)
(b) seçeneği:
\( m, \ 6, \ 3m + 3 \)
\( 6^2 = m(3m + 3) \)
\( 36 = 3m^2 + 3m \)
\( m^2 + m - 12 = 0 \)
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (m + 4)(m - 3) = 0 \)
\( m \in \{ -4, 3 \} \)
(c) seçeneği:
\( m - 1, \ m + 1, \ 2m + 5 \)
\( (m + 1)^2 = (m - 1)(2m + 5) \)
\( m^2 + 2m + 1 = 2m^2 + 3m - 5 \)
\( m^2 + m - 6 = 0 \)
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (m + 3)(m - 2) = 0 \)
\( m \in \{ -3, 2 \} \)
(d) seçeneği:
\( 3, \ m, \ m + 6 \)
\( m^2 = 3(m + 6) \)
\( m^2 - 3m - 18 = 0 \)
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (m - 6)(m + 3) = 0 \)
\( m \in \{ -3, 6 \} \)
(e) seçeneği:
\( m, \ 2m, \ m^2 - 12 \)
\( (2m)^2 = m(m^2 - 12) \)
\( 4m^2 = m^3 - 12m \)
\( m^3 - 4m^2 - 12m = 0 \)
\( m(m^2 - 4m - 12) = 0 \)
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( m(m - 6)(m + 2) = 0 \)
Geometrik dizinin terimleri sıfır olamaz.
\( m \in \{ -2, 6 \} \)
Aşağıda verilen sonlu geometrik dizilerin her biri için terimler toplamını bulunuz.
(a) \( (a_n) = (2, 4, 8, 16, \ldots, 4096) \)
(b) \( (b_n) = \left( \dfrac{3}{2}, 3, 6, 12, \ldots, 384 \right) \)
(c) \( (c_n) = \left( \dfrac{8}{9}, -\dfrac{4}{3}, 2, -3, \ldots, \dfrac{81}{8} \right) \)
Çözümü GösterGeometrik dizilerde ilk \( n \) terimin toplamı \( S_n \) ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( S_n = a_1 \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \)
(a) seçeneği:
\( (a_n) = (2, 4, 8, 16, \ldots, 4096) \)
Dizinin ilk terimini ve ortak oranını bulalım.
\( a_1 = 2 \)
\( r = \dfrac{4}{2} = 2 \)
Son terimden yararlanarak terim sayısını bulalım.
\( a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} \)
\( 4096 = 2 \cdot 2^{n - 1} \)
\( n = 12 \)
Dizinin 12 teriminin toplamını bulalım.
\( S_{12} = 2 \cdot \dfrac{1 - 2^{12}}{1 - 2} \)
\( = 2 \cdot \dfrac{1 - 4096}{-1} \)
\( = 8190 \)
(b) seçeneği:
\( (b_n) = \left( \dfrac{3}{2}, 3, 6, 12, \ldots, 384 \right) \)
Dizinin ilk terimini ve ortak oranını bulalım.
\( b_1 = \dfrac{3}{2} \)
\( r = \dfrac{3}{\frac{3}{2}} = 2 \)
Son terimden yararlanarak terim sayısını bulalım.
\( b_n = b_1 \cdot r^{n - 1} \)
\( 384 = \dfrac{3}{2} \cdot 2^{n - 1} \)
\( n = 9 \)
Dizinin 9 teriminin toplamını bulalım.
\( S_9 = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1 - 2^9}{1 - 2} \)
\( = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1 - 512}{-1} \)
\( = \dfrac{1533}{2} \)
(c) seçeneği:
\( (c_n) = \left( \dfrac{8}{9}, -\dfrac{4}{3}, 2, -3, \ldots, \dfrac{81}{8} \right) \)
Dizinin ilk terimini ve ortak oranını bulalım.
\( c_1 = \dfrac{8}{9} \)
\( r = \dfrac{-\frac{4}{3}}{\frac{8}{9}} = -\dfrac{3}{2} \)
Son terimden yararlanarak terim sayısını bulalım.
\( c_n = c_1 \cdot r^{n - 1} \)
\( \dfrac{81}{8} = \dfrac{8}{9} \cdot \left( -\dfrac{3}{2} \right)^{n - 1} \)
\( \dfrac{729}{64} = \left( -\dfrac{3}{2} \right)^{n - 1} \)
\( n = 7 \)
Dizinin 7 teriminin toplamını bulalım.
\( S_7 = \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{1 - (-\frac{3}{2})^7}{1 - (-\frac{3}{2})} \)
\( = \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{1 - (-\frac{2187}{128})}{\frac{5}{2}} \)
\( = \dfrac{463}{72} \)
20, 40 ve 70 sayılarına aynı sabit sayı eklendiğinde bir geometrik dizi oluşmaktadır.
Bu geometrik dizinin ortak oranı kaçtır?
Çözümü GösterEklenen sabit sayıya \( c \), oluşan geometrik dizinin ortak oranına \( r \) diyelim.
Oluşan geometrik dizinin terimleri aşağıdaki gibi olur.
\( 20 + c, 40 + c, 70 + c \)
İkinci ve birinci terimlerin oranı ortak oranı verir.
\( r = \dfrac{40 + c}{20 + c} \)
Aynı şekilde, üçüncü ve ikinci terimlerin oranı ortak oranı verir.
\( r = \dfrac{70 + c}{40 + c} \)
\( r \) için bulunan iki denklemi birbirine eşitleyelim.
\( \dfrac{40 + c}{20 + c} = \dfrac{70 + c}{40 + c} \)
\( (40 + c)^2 = (70 + c)(20 + c) \)
\( 1600 + 80c + c^2 = 1400 + 90c + c^2 \)
\( c = 20 \)
\( r \) için bulunan denklemlerden birinde \( c \) değerini yerine koyarak ortak oranı bulalım.
\( r = \dfrac{40 + c}{20 + c} \)
\( = \dfrac{3}{2} \) bulunur.
Aşağıdaki sabit diziden farklı dizilerden hangileri geometrik dizidir?
(a) \( a_{n+1} = 3a_n \)
(b) \( b_{n+1} = \dfrac{b_n + 1}{2} \)
(c) \( c_{n+1} = (n + 1)c_n \)
Çözümü GösterArdışık terimleri arasındaki oran sabit olan dizilere geometrik dizi denir.
(a) seçeneği:
\( a_{n+1} = 3a_n \)
Verilen dizi tanımında ardışık terimlerin oranını bulalım.
\( \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = 3 \)
Ardışık terimler arasındaki oran sabit olduğu için dizi bir geometrik dizidir.
(b) seçeneği:
\( b_{n+1} = \dfrac{b_n + 1}{2} \)
Verilen dizi tanımında ardışık terimlerin oranını bulalım.
\( b_{n+1} = \dfrac{b_n}{2} + \dfrac{1}{2} \)
\( \dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2b_n} \)
Ardışık terimler arasındaki oran önceki terimin değerine bağlı olduğu ve sabit olmadığı için dizi bir geometrik dizi değildir.
(c) seçeneği:
\( c_{n+1} = (n + 1)c_n \)
Verilen dizi tanımında ardışık terimlerin oranını bulalım.
\( \dfrac{c_{n+1}}{c_n} = n + 1 \)
Ardışık terimler arasındaki oran indis değerine bağlı olduğu ve sabit olmadığı için dizi bir geometrik dizi değildir.
Pozitif terimli bir geometrik dizide dördüncü terim üçüncü terimden 96, ikinci terim de birinci terimden 6 fazladır.
Buna göre, bu dizinin ilk dört teriminin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBu dizinin ilk terimine \( a \), ortak oranına \( r \) diyelim.
Dizinin ilk dört terimi aşağıdaki gibi olur.
\( a, ar, ar^2, ar^3 \)
Dördüncü terim üçüncü terimden 96 fazladır.
\( ar^3 - ar^2 = 96 \)
\( ar^2(r - 1) = 96 \)
İkinci terim birinci terimden 6 fazladır.
\( ar - a = 6 \)
\( a(r - 1) = 6 \)
Bu iki denklemin birbirine oranını bulalım.
\( \dfrac{ar^2(r - 1)}{a(r - 1)} = \dfrac{96}{6} \)
\( r^2 = 16 \)
Dizi pozitif terimli olduğuna göre \( r \) pozitif olmalıdır.
\( r = 4 \)
Bu değeri denklemlerden birinde yerine koyarak \( a \) değerini bulalım.
\( a(r - 1) = 6 \)
\( a = 2 \)
Bu iki değeri kullanarak dizinin ilk dört terimini bulalım.
\( a, ar, ar^2, ar^3 \)
\( 2, 8, 32, 128 \)
Dizinin ilk dört teriminin toplamı \( 2 + 8 + 32 + 128 = 170 \) olarak bulunur.
\( (a_n) \) bir artan geometrik dizidir.
\( \dfrac{a_7 - a_6}{a_5^2 - a_4^2} = \dfrac{1}{7} \)
\( a_1 = \dfrac{1}{8} \) olduğuna göre, \( a_4 \) kaçtır?
Çözümü Göster\( \dfrac{a_7 - a_6}{(a_5 - a_4)(a_5 + a_4)} = \dfrac{1}{7} \)
Tüm terimleri \( a_1 \) cinsinden yazalım.
\( \dfrac{a_1 \cdot r^6 - a_1 \cdot r^5}{(a_1 \cdot r^4 - a_1 \cdot r^3)(a_1 \cdot r^4 + a_1 \cdot r^3)} = \dfrac{1}{7} \)
\( = \dfrac{a_1 \cdot r^5(r - 1)}{a_1 \cdot r^3(r - 1) \cdot a_1 \cdot r^3(r + 1)} = \dfrac{1}{7} \)
\( = \dfrac{1}{a_1 \cdot r(r + 1)} = \dfrac{1}{7} \)
\( a_1 = \dfrac{1}{8} \) yazalım.
\( \dfrac{1}{\frac{1}{8} \cdot r(r + 1)} = \dfrac{1}{7} \)
\( r(r + 1) = 56 \)
\( r^2 + r - 56 = 0 \)
\( (r + 8)(r - 7) = 0 \)
\( (a_n) \) artan olduğu için \( r = 7 \) olur.
\( a_4 \) terimini bulalım.
\( a_4 = \dfrac{1}{8} \cdot 7^{4 - 1} = \dfrac{343}{8} \) bulunur.
Geometrik bir dizinin 7. ve 10. terimleri sırasıyla \( -5! \) ve \( 6! \) olduğuna göre, bu dizinin ilk terimi kaçtır?
Çözümü GösterGeometrik dizinin ortak oranına \( r \) diyelim.
\( a_7 = -5! = -(5!) \)
\( a_{10} = 6! \)
Bir geometrik dizinin \( n \). terimini \( p \). terim cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( a_n = a_p \cdot r^{n - p} \)
\( n = 10 \) ve \( p = 7 \) yazalım.
\( a_{10} = a_7 \cdot r^{10 - 7} \)
\( 6! = -5! \cdot r^3 \)
\( 6 \cdot 5! = -5! \cdot r^3 \)
\( r^3 = -6 \)
\( r = \sqrt[3]{-6} \)
\( a_1 \) değerini bulabilmek için \( a_7 \) terimini \( a_1 \) cinsinden yazalım.
\( a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} \)
\( a_7 = a_1 \cdot r^6 \)
\( -5! = a_1 \cdot (\sqrt[3]{-6})^6 \)
\( a_1 = \dfrac{-5!}{(-6)^2} \)
\( = \dfrac{-(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}{36} \)
\( = -\dfrac{10}{3} \) bulunur.
\( (a_n) \) bir geometrik dizidir.
\( a_1 + a_3 + a_5 + \ldots + a_{15} + a_{17} = 128 \)
\( a_4 + a_6 + a_8 + \ldots + a_{18} + a_{20} = 1024 \)
eşitliklerine göre, \( (a_n) \) dizisinin ortak oranı kaçtır?
Çözümü Gösterİkinci eşitlikteki terimleri birinci eşitlikteki terimler cinsinden yazalım.
\( a_4 = a_1 \cdot r^3 \)
\( a_6 = a_3 \cdot r^3 \)
\( a_8 = a_5 \cdot r^3 \)
Bu ifadeleri ikinci eşitlikte yerine koyalım.
\( a_1 \cdot r^3 + a_3 \cdot r^3 + a_5 \cdot r^3 + \ldots + a_{15} \cdot r^3 + a_{17} \cdot r^3 = 1024 \)
\( r^3(a_1 + a_3 + a_5 + \ldots + a_{15} + a_{17}) = 1024 \)
Eşitlikleri taraf tarafa bölelim.
\( \dfrac{r^3(a_1 + a_3 + a_5 + \ldots + a_{15} + a_{17})}{a_1 + a_3 + a_5 + \ldots + a_{15} + a_{17}} = \dfrac{1024}{128} \)
\( r^3 = 8 \)
\( r = 2 \) bulunur.
Arda internetten 10 adet kutu siparişi veriyor. Hacimleri sırasıyla \( a_1, a_2, \ldots, a_{10} \) olan kutulardan her birinin hacmi bir önceki kutunun hacminin \( \frac{3}{4} \) katıdır.
\( a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = a_4 \cdot a_5 \cdot a_6 \cdot a_7 \cdot a_8 \) olduğuna göre, 10. kutunun hacmi nedir?
Çözümü GösterKutuların hacimleri bir ortak çarpan oranında küçüldüğü için bir geometrik dizi oluştururlar.
Bir geometrik dizide \( n \). terim \( k \). terim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( a_n = a_k \cdot r^{n - k} \)
Bir geometrik dizide bir terimin karesi, kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin çarpımına eşittir.
\( {a_n}^2 = a_{n - p} \cdot a_{n + p} \)
Buna göre aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz.
\( a_1 \cdot a_3 = a_2^2 \)
\( a_4 \cdot a_8 = a_5 \cdot a_7 = a_6^2 \)
Bu değerleri soruda verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = a_4 \cdot a_5 \cdot a_6 \cdot a_7 \cdot a_8 \)
\( a_2 \cdot a_2^2 = a_6 \cdot a_6^2 \cdot a_6^2 \)
\( a_2^3 = a_6^5 \)
\( a_6 \) değerini \( a_2 \) cinsinden yazalım.
\( a_2^3 = (a_2 \cdot r^4)^5 \)
\( a_2^3 = a_2^5 \cdot r^{20} \)
\( a_2^2 = r^{-20} \)
\( a_2 = \left( \dfrac{3}{4} \right)^{-10} = \left( \dfrac{4}{3} \right)^{10} \)
Geometrik dizinin 10. terimini bulalım.
\( a_{10} = a_2 \cdot r^{10 - 2} \)
\( = \left( \dfrac{4}{3} \right)^{10} \cdot \left( \dfrac{3}{4} \right)^8 = \dfrac{16}{9} \) bulunur.
Bir geometrik dizide aşağıdaki eşitlik veriliyor.
\( \dfrac{a_{14} + a_{17} + a_{25}}{a_8 + a_{11} + a_{19}} = 64 \)
Buna göre bu dizinin ortak oranının alabileceği değerler çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterPay ve paydada birbirine karşılık gelen terimlerin indis farkının sabit ve 6 olduğunu görüyoruz.
\( 14 - 8 = 17 - 11 = 25 - 19 = 6 \)
Tüm terimleri 8. terim cinsinden yazalım.
\( \dfrac{a_8 \cdot r^6 + a_8 \cdot r^9 + a_8 \cdot r^{17}}{a_8 + a_8 \cdot r^3 + a_8 \cdot r^{11}} = 64 \)
Pay ve paydadaki ifadeleri ortak oran parantezine alalım.
\( \dfrac{a_8 \cdot r^6 (1 + r^3 + r^{11})}{a_8 \cdot (1 + r^3 + r^{11})} = 64 \)
\( r^6 = 64 \)
\( r = 2 \) ya da \( r = -2 \)
\( r \) değerler çarpımı \( 2 \cdot (-2) = -4 \) olarak bulunur.
Ortak farkı 2 olan bir aritmetik dizinin 3., 9. ve 11. terimi, bir geometrik dizinin sırasıyla ilk üç terimidir.
(a) Aritmetik dizinin ilk terimini bulunuz.
(b) Geometrik dizinin ortak oranını bulunuz.
Çözümü Göster(a) seçeneği:
Aritmetik dizinin ilk terimine \( a \) diyelim.
Dizinin genel terim formülünü kullanarak 3., 9. ve 11. terimleri bulalım.
\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)
\( a_3 = a + (3 - 1)2 = a + 4 \)
\( a_9 = a + (9 - 1)2 = a + 16 \)
\( a_{11} = a + (11 - 1)2 = a + 20 \)
Geometrik dizinin ortak oranına \( r \) diyelim.
Geometrik dizilerde ardışık terimlerin oranı ortak orana eşittir.
\( r = \dfrac{a_9}{a_3} = \dfrac{a_{11}}{a_9} \)
\( \dfrac{a + 16}{a + 4} = \dfrac{a + 20}{a + 16} \)
\( (a + 16)(a + 16) = (a + 4)(a + 20) \)
\( a^2 + 32a + 256 = a^2 + 24a + 80 \)
\( a = -22 \)
(b) seçeneği:
Ardışık iki terimin oranını bulalım.
\( r = \dfrac{a_9}{a_3} \)
\( = \dfrac{a + 16}{a + 4} \)
\( = \dfrac{-22 + 16}{-22 + 4} \)
\( = \dfrac{1}{3} \) bulunur.
Pozitif terimli bir geometrik dizide her terim kendisinden önceki iki terimin toplamına eşit olduğuna göre, bu dizinin ortak oranı kaçtır?
Çözümü Göster\( a, r \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
Bu dizinin ilk terimine \( a \), ortak oranına \( r \) diyelim.
Her terim kendisinden önceki iki terimin toplamına eşittir.
\( a + ar = ar^2 \)
\( a(1 + r) = ar^2 \)
Geometrik dizi pozitif terimli olduğu için ilk terim sıfır olamaz, dolayısıyla \( a \) çarpanlarını sadeleştirebiliriz.
\( 1 + r = r^2 \)
\( r^2 - r - 1 = 0 \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( a = 1, \quad b = -1, \quad c = -1 \)
\( = 1^2 - 4(1)(-1) = 5 \)
\( r_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \)
Dizi pozitif terimli olduğuna göre \( r \) pozitif olmalıdır.
\( r = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \) bulunur.
Bir altıgenin iç açıları ölçüleri ortak oranı \( \frac{3}{2} \) olan bir geometrik dizinin ardışık 6 terimidir.
Buna göre bu altıgenin en küçük geniş iç açısının ölçüsü kaçtır?
Çözümü GösterAltıgenin iç açıları toplamı \( 180(6 - 2) = 720 \) derecedir.
6 terimli bir geometrik dizinin terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( S_n = a_1 \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \)
\( 720 = a_1 \cdot \dfrac{1 - (\frac{3}{2})^6}{1 - \frac{3}{2}} \)
\( 720 = a_1 \cdot \dfrac{1 - \frac{729}{64}}{-\frac{1}{2}} \)
\( 720 = a_1 \cdot \dfrac{-\frac{665}{64}}{-\frac{1}{2}} \)
\( 720 = a_1 \cdot \dfrac{665}{32} \)
\( a_1 = \dfrac{720 \cdot 32}{665} = \dfrac{4608}{133} \)
Buna göre altıgenin iç açıları aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{4608}{133}, \dfrac{6912}{133}, \dfrac{10368}{133}, \dfrac{15552}{133}, \dfrac{23328}{133}, \dfrac{34992}{133} \)
Derecesi 90 dereceden büyük olan açılara geniş açı denir.
\( \dfrac{10368}{133} \approx 77,95 \lt 90 \)
\( \dfrac{15552}{133} \approx 116,93 \gt 90 \)
Bu açılar içindeki en küçük geniş açı \( \frac{15552}{133} \) açısıdır.
Bir ortamdaki negatif iyonların sayısı her 20 dakikada bir üçte birine inmektedir.
Başlangıçta ortamda \( 9^{40} \) negatif iyon olduğuna göre, 7. saatin sonunda ortamdaki negatif iyon sayısı kaçtır?
Çözümü GösterHer 20 dakikalık periyotların başlangıcındaki negatif iyon sayılarını, ortak oranı \( r = \frac{1}{3} \) olan bir geometrik dizinin terimleri olarak tanımlayalım.
\( a_1 = 9^{40} = 3^{80} \)
\( r = \dfrac{1}{3} \)
Geometrik dizilerin genel terim formülü aşağıdaki gibidir.
\( a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} \)
\( = 3^{80} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n - 1} \)
Bir saatte 20 dakikalık periyotlardan üç tane, 7 saatte 21 tane vardır. Birinci periyodun başlangıcına \( a_1 \) dediğimiz için, 21 periyodun sonundaki iyon sayısı 22. terime eşit olur.
\( a_{22} = 3^{80} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{22 - 1} \)
\( = 3^{80} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{21} \)
\( = 3^{59} \) bulunur.
\( a \), \( a + 10 \), \( a + 16 \), \( b \) bir geometrik dizinin küçükten büyüğe sıralanmış ardışık dört terimidir.
\( 5b + 29 \) ve \( a + 41 \) sayıları arasına yeni bir geometrik dizi oluşacak şekilde kaç terim yerleştirilirse oluşan dizinin ortak oranı \( \sqrt{2} \) olur?
Çözümü GösterBir geometrik dizide 2. terimin karesi 1. ve 3. terimlerin çarpımına eşittir.
\( (a + 10)^2 = a(a + 16) \)
\( a^2 + 20a + 100 = a^2 + 16a \)
\( a = -25 \)
Buna göre verilen geometrik dizinin terimleri aşağıdaki gibi olur.
\( -25, -15, -9, b \)
Geometrik dizinin ortak oranını bulalım.
\( r = \dfrac{-15}{-25} = \dfrac{3}{5} \)
4. terim 3. terimle ortak oranının çarpımına eşittir.
\( b = -9 \cdot \dfrac{3}{5} = -\dfrac{27}{5} \)
Oluşturulacak yeni geometrik dizinin verilen iki terimini bulalım.
\( 5b + 29 = 5\left( -\dfrac{27}{5} \right) + 29 = 2 \)
\( a + 41 = -25 + 41 = 16 \)
Bu iki terim arasında \( n \) terim yerleştirildiğinde geometrik dizi aşağıdaki gibi olur.
\( a_1 = 2, \ldots n \text{ terim} \ldots, a_{n + 2} = 16 \)
\( a_{n + 2} = a_1 \cdot r^{n + 1} \)
\( 16 = 2 \cdot (\sqrt{2})^{n + 1} \)
\( 8 = (\sqrt{2})^{n + 1} \)
\( 2^3 = 2^{\frac{1}{2}(n + 1)} \)
\( n = 5 \) bulunur.
\( a, b, c \) pozitif reel sayıları \( a \gt b \gt c \) olacak şekilde ortak oranı \( r \) olan bir geometrik dizi oluşturmaktadır.
\( 7c, 33b, 27a \) sayıları da ortak farkı \( d \) olan bir aritmetik dizi oluşturduğuna göre, \( r \) kaçtır?
Çözümü GösterGeometrik dizinin terimleri arasındaki ilişkiyi yazalım.
\( c = c \)
\( b = cr \)
\( a = cr^2 \)
Aritmetik dizinin terimleri arasındaki ilişkiyi yazalım.
\( 33b = 7c + d \)
\( 27a = 33b + d \)
İki eşitliği taraf tarafa çıkaralım.
\( 33b - 27a = 7c - 33b \)
\( 27a - 66b + 7c = 0 \)
Sayıları \( r \) cinsinden yazalım.
\( 27cr^2 - 66cr + 7c = 0 \)
\( 27r^2 - 66r + 7 = 0 \)
\( (9r - 1)(3r - 7) = 0 \)
\( r = \dfrac{1}{9} \) ya da \( r = \dfrac{7}{3} \)
\( a \gt b \gt c \) koşulunun sağlanması için \( r \gt 1 \) olmalıdır.
Buna göre geometrik dizinin ortak oranı \( r = \frac{7}{3} \) olarak bulunur.
\( m \) ve \( n \) birbirinden farklı sayılardır.
Bir artan geometrik dizinin \( m \). ve \( n \). terimleri sırasıyla \( 5^{-n} \) ve \( 5^{-m} \) olduğuna göre, bu dizinin ortak oranı kaçtır?
Çözümü GösterHer iki terimi 1. terim cinsinden yazalım.
\( a_m = a_1 \cdot r^{m-1} = 5^{-n} \)
\( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} = 5^{-m} \)
İki eşitliği taraf tarafa birbirine bölelim.
\( \dfrac{a_1 \cdot r^{m-1}}{a_1 \cdot r^{n-1}} = \dfrac{5^{-n}}{5^{-m}} \)
\( r^{m-1-(n-1)} = 5^{-n-(-m)} \)
\( r^{m-n} = 5^{m-n} \)
\( m \) ve \( n \) farklı sayılar olduğu için üsler sıfır olamaz, dolayısıyla tabanlar mutlak değer olarak eşit olmalıdır.
\( r = 5 \) veya \( r = -5 \)
Dizinin artan olduğu belirtildiği için \( r \gt 1 \) olmalıdır.
Buna göre \( r = 5 \) olur.
\( (a_n) = (a_1, a_2, a_3, \ldots) \) bir geometrik dizi olduğuna göre,
\( (b_n) = (a_1 a_2, \ a_3 a_4, \ a_5 a_6, \ \ldots) \) dizisinin de bir geometrik dizi olduğunu gösteriniz.
Çözümü GösterArdışık terimleri arasındaki oranı tüm dizi boyunca sabit olan dizilere geometrik dizi denir.
\( (a_n) \) dizisinin ortak oranına \( r \) diyelim ve genel terim formülünü yazalım.
\( a_n = a_1r^{n-1} \)
\( (b_n) \) dizisinin terimlerini inceleyelim.
\( b_1 = a_1 a_2 \)
\( b_2 = a_3 a_4 \)
\( b_3 = a_5 a_6 \)
\( \vdots \)
\( b_n = a_{2n-1} a_{2n} \)
\( b_{n+1} = a_{2n+1} a_{2n+2} \)
Bu eşitlikleri kullanarak \( (b_n) \) dizisinde ardışık iki terimin oranını bulalım.
\( \dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{a_{2n+1} \cdot a_{2n+2}}{a_{2n-1} \cdot a_{2n}} \)
\( = \dfrac{a_1r^{2n+1-1} \cdot a_1r^{2n+2-1}}{a_1r^{2n-1-1} \cdot a_1r^{2n-1}} \)
\( = \dfrac{r^{2n} \cdot r^{2n+1}}{r^{2n-2} \cdot r^{2n-1}} \)
\( = r^4 \)
Ardışık herhangi iki terim arasındaki oran sabit olduğu için \( (b_n) \) dizisi ortak oranı \( r^4 \) olan bir geometrik dizidir.
\( (a_n) = (a_1, a_2, a_3, \ldots) \) sabit diziden farklı bir geometrik dizi olduğuna göre,
\( (b_n) = (a_2 - a_1, \ a_3 - a_2, \ a_4 - a_3, \ldots) \) dizisinin de bir geometrik dizi olduğunu gösteriniz.
Çözümü GösterArdışık terimleri arasındaki oranı tüm dizi boyunca sabit olan dizilere geometrik dizi denir.
\( (a_n) \) dizisinin ortak oranına \( r \) diyelim ve genel terim formülünü yazalım.
\( a_n = a_1r^{n-1} \)
\( (b_n) \) dizisinin terimlerini inceleyelim.
\( b_1 = a_2 - a_1 \)
\( b_2 = a_3 - a_2 \)
\( b_3 = a_4 - a_3 \)
\( \vdots \)
\( b_n = a_{n+1} - a_n \)
\( b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1} \)
Bir geometrik dizide her terim bir önceki terimin ortak oranla çarpımına eşittir.
\( a_{n+1} = a_nr \)
\( a_{n+2} = a_{n+1}r = a_nr^2 \)
Bu eşitlikleri kullanarak \( (b_n) \) dizisinde ardışık iki terimin oranını bulalım.
\( \dfrac{b_{n + 1}}{b_n} = \dfrac{a_{n+2} - a_{n+1}}{a_{n+1} - a_{n}} \)
\( = \dfrac{a_nr^2 - a_nr}{a_nr - a_n} \)
\( = \dfrac{ra_n(r - 1)}{a_n(r - 1)} \)
\( = r \)
Ardışık terimler arasındaki oran sabit olduğu için \( (b_n) \) dizisi ortak oranı \( r \) olan bir geometrik dizidir.
Pozitif terimli bir geometrik dizinin tüm terimlerinin logaritması alındığında elde edilen dizinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz.
Çözümü Göster\( (a_n) \) ilk terimi \( a_1 \) ve ortak oranı \( r \) olan pozitif terimli bir geometrik dizi olsun. Bu durumda \( a_1 \gt 0 \) ve \( r \gt 0 \) olur.
\( (a_n) \) dizisinin genel terim formülünü yazalım.
\( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \)
\( (a_n) \) dizisinin tüm terimlerinin logaritması alınarak elde edilen diziye \( (b_n) \) diyelim.
\( b_n = \log{a_n} \)
\( (a_n) \) dizisinin genel terimini yerine koyalım.
\( = \log(a_1 \cdot r^{n-1}) \)
Logaritma çarpma kuralını kullanalım.
\( = \log{a_1} + \log{r^{n-1}} \)
Logaritma üs kuralını kullanalım.
\( = \log{a_1} + (n - 1)\log{r} \)
Elde ettiğimiz ifade, ilk terimi \( \log{a_1} \) ve ortak farkı \( \log{r} \) olan aritmetik dizinin genel terimidir. Dolayısıyla \( (b_n) \) bir aritmetik dizidir.
Saatte 70 km hızla giden bir araba ile saatte 20 km hızla giden bir kamyonet aynı noktadan aynı anda yarışa başlıyorlar. Yarışı kazanacağına emin olan araba her saat sonunda hızını yarıya düşürüyor.
Buna göre, kamyonet arabayı kaçıncı saat sonunda geçmiş olur?
Çözümü GösterArabanın her saatte aldığı yolu bulalım.
\( 70, \dfrac{70}{2}, \dfrac{70}{4}, \ldots, \dfrac{70}{2^{t - 1}} \)
\( 70, \dfrac{70}{2^1}, \dfrac{70}{2^2}, \ldots, \dfrac{70}{2^{t - 1}} \)
Arabanın her saatte aldığı yol bir geometrik dizinin terimlerine karşılık geldiği için \( t \) saatte aldığı yolu geometrik dizinin terimler toplamı formülü ile bulabiliriz.
\( S_t = a_1 \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} = 70 \cdot \dfrac{1 - (\frac{1}{2})^t}{1 - \frac{1}{2}} \)
\( = 140\left( 1 - \dfrac{1}{2^t} \right) \)
Kamyonet \( t \) saatte \( 20t \) yol alır.
Kamyonun arabadan daha çok yol katettiği \( t \) zamanını veren eşitsizliği kuralım.
\( 140\left( 1 - \dfrac{1}{2^t} \right) \lt 20t \)
\( 7\left( 1 - \dfrac{1}{2^t} \right) \lt t \)
\( t \)'ye farklı değerler vererek eşitsizliğin sağlandığı, yani kamyonetin arabayı geçtiği ilk \( t \) tam sayı değerini bulalım.
\( t = 5 \) için:
\( 7\left( 1 - \dfrac{1}{2^5} \right) \lt 5 \)
\( 7 \cdot \dfrac{31}{32} \lt 5 \)
Eşitsizlik sağlanmadığı için araba kamyonetin önündedir.
\( t = 6 \) için:
\( 7\left( 1 - \dfrac{1}{2^6} \right) \lt 6 \)
\( 7 \cdot \dfrac{63}{64} \lt 6 \)
Eşitsizlik sağlanmadığı için araba kamyonetin önündedir.
\( t = 7 \) için:
\( 7\left( 1 - \dfrac{1}{2^7} \right) \lt 7 \)
\( 7 \cdot \dfrac{127}{128} \lt 7 \)
Eşitsizlik sağlandığı için kamyonet arabayı geçmiştir.
Buna göre kamyonet 7 saat sonunda arabayı geçmiştir.
\( ABC \) dik üçgeninin kenar uzunlukları bir geometrik dizi oluşturduğuna göre, dar açılardan büyük olanın sekant değeri kaçtır?
Çözümü GösterEn kısa kenara \( x \) ve kenar uzunluklarının oluşturduğu geometrik dizinin ortak oranına \( r \) diyelim (\( r \gt 1 \)).
Buna göre üçgenin kenar uzunlukları küçükten büyüğe doğru \( x, xr, xr^2 \) olur.
Üçgenin en uzun kenarı hipotenüs olduğu için hipotenüs uzunluğu \( xr^2 \) olur.
Üçgenin kenarlarına Pisagor teoremini uygulayalım.
\( (xr^2)^2 = (xr)^2 + x^2 \)
\( x^2r^4 = x^2r^2 + x^2 \)
\( r^4 = r^2 + 1 \)
\( r^2 = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 = t + 1 \)
\( t^2 - t - 1 = 0 \)
Denklemin köklerini bulalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 5 \gt 0 \)
Buna göre denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır.
\( t_{1,2} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( t_1 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \)
\( t_2 = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \)
\( t = r^2 \) olduğundan \( t \) negatif değer alamaz, dolayısıyla \( t_2 \) geçerli bir çözüm değildir.
\( t = r^2 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\)
Soruda dar açılardan büyük olanın sekant değeri isteniyor. Üçgende açı/kenar bağıntısına göre dar açılardan büyük olan açı \( xr \) kenarını gören açı olur.
\( \sec{\alpha} = \dfrac{xr^2}{x} = r^2 \)
\( = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \) bulunur.