Limit Kuralları
Bu bölümde pek çok fonksiyonun limitini bulmakta kullanılan limit kurallarını inceleyeceğiz. Bu kuralların ispatları limitin epsilon-delta tanımına dayanmaktadır.
Temel Limit Kuralları
Fonksiyonların limitini bulurken kullanılan en temel iki kural birim ve sabit fonksiyonların limitidir.
Birim Fonksiyonun Limiti
Birim fonksiyonun her noktadaki limiti fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir.
\( \lim\limits_{x \to a} {x} = a \)
\( \lim\limits_{x \to 3} {x} = 3 \)
İSPATI GÖSTER
Adım 1: Tanım
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = L \)
Yukarıdaki limit, her \( \varepsilon \gt 0 \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( \delta \gt 0 \) sayısı bulunabiliyorsa vardır ve \( L \) değerine eşittir.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
Bu tanımı kullanarak aşağıdaki limitin doğruluğunu gösterelim.
\( \lim\limits_{x \to a} {x} = a \)
Bu limit ifadesindeki bilgileri önermede yerine koyalım.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{x - a} \lt \varepsilon \)
Adım 2: İspat
Herhangi bir \( \varepsilon \gt 0 \) verilmiş olsun.
\( \delta = \varepsilon \) olarak seçelim.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \) olarak kabul edelim.
\( \abs{x - a} \lt \delta = \varepsilon \)
Verilen limitin doğruluğunu epsilon-delta tanımını kullanarak göstermiş olduk.
\( \lim\limits_{x \to a} {x} = a \)
Sabit Fonksiyonun Limiti
Sabit fonksiyonun her noktadaki limiti fonksiyonun sabit değerine eşittir.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} {c} = c \)
\( \lim\limits_{x \to 3} {5} = 5 \)
İSPATI GÖSTER
Adım 1: Tanım
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = L \)
Yukarıdaki limit, her \( \varepsilon \gt 0 \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( \delta \gt 0 \) sayısı bulunabiliyorsa mevcuttur ve \( L \) değerine eşittir.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
Bu tanımı kullanarak aşağıdaki limitin doğruluğunu gösterelim.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} {c} = c \)
Bu limit ifadesindeki bilgileri önermede yerine koyalım.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{c - c} \lt \varepsilon \)
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow 0 \lt \varepsilon \)
Adım 2: İspat
Herhangi bir \( \varepsilon \gt 0 \) verilmiş olsun.
\( \varepsilon \gt 0 \) olduğu için önermenin sağ tarafı her zaman sağlanır.
Verilen limitin doğruluğunu epsilon-delta tanımını kullanarak göstermiş olduk.
\( \lim\limits_{x \to a} {c} = c \)
Limit İşlem Kuralları
\( f \) ve \( g \) bir \( a \) noktasında limitleri olan iki fonksiyon olsun.
\( L, M \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = L \)
\( \lim\limits_{x \to a} {g(x)} = M \)
Bir \( a \) noktasında limiti olan iki fonksiyon arasındaki işlemlerde aşağıdaki kurallar geçerlidir. Fonksiyonlardan herhangi birinin bu noktada limiti yoksa bu kurallar uygulanamaz; ancak bu, bileşik ifadenin limitinin olmadığı anlamına gelmez (örnekler için: diğer konular).
Sabit Sayı İle Çarpma
Bir fonksiyonun sabit bir sayı ile çarpımının limiti fonksiyonun limitinin sabit sayı ile çarpımına eşittir.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} [cf(x)] = c\lim\limits_{x \to a} {f(x)} = cL \)
\( \lim\limits_{x \to 5} (3x) = 3\lim\limits_{x \to 5} {x} = 3 \cdot 5 = 15 \)
\( \lim\limits_{x \to -2} (-5x) = -5\lim\limits_{x \to -2} {x} = -5 \cdot (-2) = 10 \)
İSPATI GÖSTER
\( c = 0 \) olduğu durumda limit ifadesi aşağıdaki formda olur.
\( \lim\limits_{x \to a} [0f(x)] = 0L = 0 \)
Bu durumda ifade sabit fonksiyona dönüştüğü için, yukarıda paylaştığımız sabit fonksiyonun limitinin ispatı kullanılabilir.
Aşağıda \( c \ne 0 \) olduğu durum için ispatı vereceğiz.
Adım 1: Tanım
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = L \)
Yukarıdaki limit, her \( \varepsilon \gt 0 \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( \delta \gt 0 \) sayısı bulunabiliyorsa vardır ve \( L \) değerine eşittir.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
Bu tanımı kullanarak aşağıdaki limitin doğruluğunu gösterelim.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} [cf(x)] = cL \)
Bu limit ifadesindeki bilgileri önermede yerine koyalım.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{cf(x) - cL} \lt \varepsilon \)
Adım 2: İspat
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = L \)
Yukarıdaki limitin var olduğu bilindiğine göre, her \( \varepsilon \gt 0 \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( \delta \gt 0 \) sayısı bulunur.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
Bu önerme her \( \varepsilon \gt 0 \) için geçerli olduğu için, aşağıdaki şekilde tanımlayacağımız pozitif \( \varepsilon' \) için de geçerli olur.
\( \varepsilon' = \dfrac{\varepsilon}{\abs{c}} \)
Buna göre, her \( \varepsilon' = \frac{\varepsilon}{\abs{c}} \gt 0 \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( \delta' \gt 0 \) sayısı bulunur.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta' \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon' = \dfrac{\varepsilon}{\abs{c}} \)
Eşitsizliğin taraflarını \( \abs{c} \) ile çarpalım.
\( \abs{c}\abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
\( \abs{c(f(x) - L)} \lt \varepsilon \)
\( \abs{cf(x) - cL} \lt \varepsilon \)
Verilen limitin doğruluğunu epsilon-delta tanımını kullanarak göstermiş olduk.
\( \lim\limits_{x \to a} [cf(x)] = cL \)
Toplama ve Çıkarma
İki fonksiyonun toplamının/farkının limiti fonksiyonların limitlerinin toplamına/farkına eşittir.
\( \lim\limits_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim\limits_{x \to a} {f(x)} + \lim\limits_{x \to a} {g(x)} = L + M \)
\( \lim\limits_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim\limits_{x \to a} {f(x)} - \lim\limits_{x \to a} {g(x)} = L - M \)
\( \lim\limits_{x \to 2} (2x + 5) = 2\lim\limits_{x \to 2} {x} + \lim\limits_{x \to 2} {5} = 2 \cdot 2 + 5 = 9 \)
İSPATI GÖSTER
İspat 1: Toplama Kuralı:
Adım 1: Tanım
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = L \)
Yukarıdaki limit, her \( \varepsilon \gt 0 \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( \delta \gt 0 \) sayısı bulunabiliyorsa vardır ve \( L \) değerine eşittir.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
Bu tanımı kullanarak aşağıdaki limitin doğruluğunu gösterelim.
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = L \) ve
\( \lim\limits_{x \to a} {g(x)} = M \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M \)
Bu limit ifadesindeki bilgileri önermede yerine koyalım.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{(f(x) + g(x)) - (L + M)} \lt \varepsilon \)
Adım 2: İspat
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = L \)
Yukarıdaki limitin var olduğu bilindiğine göre, \( \varepsilon_1 = \frac{\varepsilon}{2} \gt 0 \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( \delta_1 \gt 0 \) sayısı bulunur.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta_1 \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \dfrac{\varepsilon}{2} \)
\( \lim\limits_{x \to a} {g(x)} = M \)
Yukarıdaki limitin var olduğu bilindiğine göre, \( \varepsilon_2 = \frac{\varepsilon}{2} \gt 0 \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( \delta_2 \gt 0 \) sayısı bulunur.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta_2 \Longrightarrow \abs{g(x) - M} \lt \dfrac{\varepsilon}{2} \)
Bu önermeler her \( \varepsilon \gt 0 \) için geçerli olduğu için, yukarıda tanımladığımız şekilde \( \frac{\varepsilon}{2} \gt 0 \) değerleri için de geçerli olur.
Aşağıdaki gibi bir \( \delta \) sayısı tanımlayalım. Bu sayıyı \( \delta_1 \) ve \( \delta_2 \) sayılarının küçüğü olarak tanımlamamızın sebebi, her iki fonksiyon için yazdığımız önermeleri birlikte sağlayacak bir değer olmasıdır.
\( \delta = \min(\delta_1, \delta_2) \gt 0 \)
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta = \min(\delta_1, \delta_2) \)
Aşağıdaki iki eşitsizliği taraf tarafa toplayalım.
\( \abs{f(x) - L} \lt \dfrac{\varepsilon}{2} \)
\( \abs{g(x) - M} \lt \dfrac{\varepsilon}{2} \)
\( \abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M} \lt \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} \)
Üçgen eşitsizliğine göre, iki sayının toplamının mutlak değeri sayıların mutlak değerlerinin toplamından büyük olamaz.
\( \abs{(f(x) - L) + (g(x) - M)} \le \abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M} \lt \varepsilon \)
Mutlak değer içini düzenleyelim.
\( \abs{(f(x) + g(x)) - (L + M)} \lt \varepsilon \)
Elde ettiğimiz önermeyi birlikte yazalım.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{(f(x) + g(x)) - (L + M)} \lt \varepsilon \)
Verilen limitin doğruluğunu epsilon-delta tanımını kullanarak göstermiş olduk.
\( \lim\limits_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M \)
İspat 2: Çıkarma Kuralı:
Çıkarma kuralı, toplama ve sabit çarpım kuralları kullanılarak ispatlanabilir.
\( \lim\limits_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim\limits_{x \to a} [f(x) + (-g(x))] \)
\( = \lim\limits_{x \to a} [f(x) + (-1) \cdot g(x)] \)
Limit toplama kuralını kullanalım.
\( = \lim\limits_{x \to a} {f(x)} + \lim\limits_{x \to a} [(-1) \cdot g(x)] \)
Limit sabit çarpım kuralını kullanalım.
\( = \lim\limits_{x \to a} {f(x)} + \lim\limits_{x \to a} (-1) \cdot \lim\limits_{x \to a} {g(x)} \)
Sabit sayının limiti kendisine eşittir.
\( = \lim\limits_{x \to a} {f(x)} + (-1) \cdot \lim\limits_{x \to a} {g(x)} \)
\( = \lim\limits_{x \to a} {f(x)} - \lim\limits_{x \to a} {g(x)} \)
\( = L - M \)
Çarpma
İki fonksiyonun birbiriyle çarpımının limiti fonksiyonların limitlerinin çarpımına eşittir.
\( \lim\limits_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim\limits_{x \to a} {f(x)} \cdot \lim\limits_{x \to a} {g(x)} = L \cdot M \)
\( \lim\limits_{x \to 4} (x \cdot x) = \lim\limits_{x \to 4} {x} \cdot \lim\limits_{x \to 4} {x} = 4 \cdot 4 = 16 \)
Bölme
İki fonksiyonun bölümünün limiti fonksiyonların limitlerinin bölümüne eşittir.
\( M \ne 0 \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim\limits_{x \to a} {f(x)}}{\lim\limits_{x \to a} {g(x)}} = \dfrac{L}{M} \)
\( \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{6}{x} = \dfrac{\lim\limits_{x \to -2} 6}{\lim\limits_{x \to -2} {x}} = \dfrac{6}{-2} = -3 \)
Tanımda belirtildiği üzere, paydadaki fonksiyonun limitinin sıfır olduğu durumda bu kural kullanılamaz.
Üslü İfadeler
Bir fonksiyonun bir sabit sayı kuvvetinin limiti fonksiyonun limitinin kuvvetine eşittir.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} [f(x)]^n = [\lim\limits_{x \to a} {f(x)}]^n = L^n \)
\( \lim\limits_{x \to a} {x^n} = [\lim\limits_{x \to a} {x}]^n = a^n \)
\( \lim\limits_{x \to 3} {x^4} = (\lim\limits_{x \to 3} {x})^4 = 3^4 = 81 \)
Köklü İfadeler
Bir fonksiyonun \( n \). dereceden kökünün limiti fonksiyonun limitinin \( n \). dereceden köküne eşittir.
\( n \in \mathbb{Z^+}, n \ge 2 \) ve \( n \) çift ise \( L \ge 0 \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} {\sqrt[n]{f(x)}} = \sqrt[n]{\lim\limits_{x \to a} {f(x)}} = \sqrt[n]{L} \)
\( \lim\limits_{x \to a} {\sqrt[n]{x}} = \sqrt[n]{\lim\limits_{x \to a} {x}} = \sqrt[n]{a} \)
\( \lim\limits_{x \to 64} {\sqrt[3]{x}} = \sqrt[3]{\lim\limits_{x \to 64} {x}} = \sqrt[3]{64} = 4 \)
Yukarıda verilen limit kuralları çok terimli fonksiyonlara tekrarlı bir şekilde uygulanarak aşağıdaki örnektekine benzer pek çok fonksiyonun limiti hesaplanabilir.
\( \lim\limits_{x \to 2} (2x^3 - 3x^2 + 5x - 8) \) limitinin sonucunu bulalım.
Parantez içindeki ifadeye adım adım limit kurallarını uygulayarak limit değerini hesaplayalım.
\( \lim\limits_{x \to 2} (2x^3 - 3x^2 + 5x - 8) = L \)
İlk adımda toplama ve çıkarma kurallarını uygulayalım ve limiti her terime dağıtalım.
\( L = \lim\limits_{x \to 2} (2x^3) - \lim\limits_{x \to 2} (3x^2) + \lim\limits_{x \to 2} (5x) - \lim\limits_{x \to 2} {8} \)
Sonra sabit sayı ile çarpma kuralını uygulayarak limit içindeki katsayıları limit dışına alalım.
\( L = 2\lim\limits_{x \to 2} {x^3} - 3\lim\limits_{x \to 2} {x^2} + 5\lim\limits_{x \to 2} {x} - \lim\limits_{x \to 2} {8} \)
Son olarak üs alma kuralını uygulayalım ve üslü ifadelerin üssünü limit dışına alalım.
\( L = 2(\lim\limits_{x \to 2} {x})^3 - 3(\lim\limits_{x \to 2} {x})^2 + 5(\lim\limits_{x \to 2} {x}) - \lim\limits_{x \to 2} {8} \)
Limit ifadeleri içinde sadece temel limit kuralları olarak adlandırdığımız birim ve sabit fonksiyonların kaldığını görebiliriz. Bu limit ifadeleri için limit değerlerini aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to 2} {x} = 2 \)
\( \lim\limits_{x \to 2} {8} = 8 \)
\( L = 2(2)^3 - 3(2)^2 + 5(2) - 8 = 6 \)
\( \lim\limits_{x \to 1} {\dfrac{4x^2 + 2x + 3}{2x^2 + 1}} \) limit değerini bulunuz.
Çözümü GösterAynı limit kurallarını bu sefer bölme kuralını da ekleyerek fonksiyona uygulayalım.
\( \lim\limits_{x \to 1} {\dfrac{4x^2 + 2x + 3}{2x^2 + 1}} = L \)
İlk adımda bölme, toplama ve çıkarma kurallarını uygulayalım ve limiti pay ve paydadaki terimlere dağıtalım.
\( L = \dfrac{\lim\limits_{x \to 1} (4x^2) + \lim\limits_{x \to 1} (2x) + \lim\limits_{x \to 1} {3}}{\lim\limits_{x \to 1} (2x^2) + \lim\limits_{x \to 1} {1}} \)
Sonra sabit sayı ile çarpma kuralını uygulayarak limit içindeki katsayıları limit dışına alalım.
\( L = \dfrac{4\lim\limits_{x \to 1} {x^2} + 2\lim\limits_{x \to 1} {x} + \lim\limits_{x \to 1} {3}}{2\lim\limits_{x \to 1} {x^2} + \lim\limits_{x \to 1} {1}} \)
Son olarak üs alma kuralını uygulayalım ve üslü ifadelerin üssünü limit dışına alalım.
\( L = \dfrac{4(\lim\limits_{x \to 1} {x})^2 + 2\lim\limits_{x \to 1} {x} + \lim\limits_{x \to 1} {3}}{2(\lim\limits_{x \to 1} {x})^2 + \lim\limits_{x \to 1} {1}} \)
Limit ifadeleri içinde sadece temel limit kuralları olarak adlandırdığımız birim ve sabit fonksiyonların kaldığını görebiliriz. Bu limit ifadeleri için limit değerlerini aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to 1} {x} = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to 1} {3} = 3 \)
\( \lim\limits_{x \to 1} {1} = 1 \)
\( L = \dfrac{4(1)^2 + 2(1) + 3}{2(1)^2 + 1} = 3 \)
Fonksiyonların Limiti
Polinom Fonksiyonu
Her polinom fonksiyonunun limiti limit kuralları kullanılarak birim ve sabit fonksiyonların limitine indirgenebileceği için, polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşit olur.
\( p(x) \) bir polinom fonksiyonu olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} {p(x)} = p(a) \)
\( p(x) = x^4 - 5x^2 + 2x - 3 \)
\( \lim\limits_{x \to 3} {p(x)} = p(3) \)
\( = 3^4 - 5(3)^2 + 2(3) - 3 = 39 \)
İSPATI GÖSTER
\( p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x + a_0 \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} {p(x)} \)
\( = \lim\limits_{x \to a} (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x + a_0) \)
Parantez içindeki ifadeye adım adım limit kurallarını uygulayarak limit değerini hesaplayalım.
İlk adımda toplama ve çıkarma kurallarını uygulayalım ve limiti her terime dağıtalım.
\( = \lim\limits_{x \to a} (a_nx^n) + \lim\limits_{x \to a} (a_{n-1}x^{n-1}) + \ldots + \lim\limits_{x \to a} (a_2x^2) + \lim\limits_{x \to a} (a_1x) + \lim\limits_{x \to a} {a_0} \)
Sonra sabit sayı ile çarpma kuralını uygulayarak limit içindeki katsayıları limit dışına alalım.
\( = a_n\lim\limits_{x \to a} {x^n} + a_{n-1}\lim\limits_{x \to a} {x^{n-1}} + \ldots + a_2\lim\limits_{x \to a} {x^2} + a_1\lim\limits_{x \to a} {x} + \lim\limits_{x \to a} {a_0} \)
Son olarak üs alma kuralını uygulayalım ve üslü ifadelerin üssünü limit dışına alalım.
\( = a_n(\lim\limits_{x \to a} {x})^n + a_{n-1}(\lim\limits_{x \to a} {x})^{n-1} + \ldots + a_2(\lim\limits_{x \to a} {x})^2 + a_1(\lim\limits_{x \to a} {x}) + \lim\limits_{x \to a} {a_0} \)
Limit ifadeleri içinde sadece temel limit kuralları olarak adlandırdığımız birim ve sabit fonksiyonların kaldığını görebiliriz. Bu limit ifadeleri için limit değerlerini aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to a} {x} = a \)
\( \lim\limits_{x \to a} {a_0} = a_0 \)
\( = a_na^n + a_{n-1}a^{n-1} + \ldots + a_2a^2 + a_1a + a_0 \)
Bu ifade \( p(x) \) polinomunun \( x = a \) noktasındaki değerine eşittir.
\( = p(a) \)
Rasyonel Fonksiyon
İki polinom fonksiyonunun birbirine bölümünden oluşan rasyonel fonksiyonlara bölme limit kuralı uygulandığında, fonksiyonun limitinin pay ve paydadaki polinom fonksiyonlarının bu noktadaki fonksiyon değerlerinin bölümüne eşit olduğu görülür.
\( p(x) \) ve \( q(x) \) polinom fonksiyonları,
\( q(a) \ne 0 \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} {\dfrac{p(x)}{q(x)}} = \dfrac{p(a)}{q(a)} \)
\( \lim\limits_{x \to -2} {\dfrac{x^2 - 8}{x + 3}} = \dfrac{(-2)^2 - 8}{(-2) + 3} = -4 \)
İSPATI GÖSTER
\( p(x) \) ve \( q(x) \) birer polinom fonksiyonu ve \( q(a) \ne 0 \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} \dfrac{p(x)}{q(x)} \)
Paydanın limit noktasındaki değerinin sıfırdan farklı olduğunu bildiğimiz için bölme limit kuralını uygulayabiliriz.
\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to a} {p(x)}}{\lim\limits_{x \to a} {q(x)}} \)
Pay ve paydadaki polinom fonksiyonlarının belirli bir noktadaki limiti o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( = \dfrac{p(a)}{q(a)} \)
Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
(a) \( \lim\limits_{x \to 3} (x^3 - 6x^2 - 7x + 2) \)
(b) \( \lim\limits_{x \to 2} (5x^4 + 3x^2 - 2x + 6) \)
(c) \( \lim\limits_{x \to -1} (4x^5 + 5x^4 + 8x + 1) \)
Çözümü GösterTüm seçeneklerde limiti alınan ifadeler polinom fonksiyonudur. Polinom fonksiyonlarının bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
(a) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 3} (x^3 - 6x^2 - 7x + 2) \)
\( = 3^3 - 6(3)^2 - 7(3) + 2 \)
\( = 27 - 54 - 21 + 2 = -46 \)
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 2} (5x^4 + 3x^2 - 2x + 6) \)
\( = 5(2)^4 + 3(2)^2 - 2(2) + 6 \)
\( = 80 + 12 - 4 + 6 = 94 \)
(c) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to -1} (4x^5 + 5x^4 + 8x + 1) \)
\( = 4(-1)^5 + 5(-1)^4 + 8(-1) + 1 \)
\( = -4 + 5 - 8 + 1 = -6 \)
Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
(a) \( \lim\limits_{x \to 5} {\dfrac{9x + 3}{x^2 - 9}} \)
(b) \( \lim\limits_{x \to 2} {\dfrac{4x^2 + 2}{x - 3}} \)
(c) \( \lim\limits_{x \to -3} {\dfrac{5x^3 - 2x + 6}{x^2 - 4x + 6}} \)
Çözümü GösterTüm seçeneklerde pay ve payda polinom fonksiyonu olduğu için limiti alınan ifadeler rasyonel fonksiyondur. Limiti alınan \( x \) değeri paydayı sıfır yapmamak koşuluyla, rasyonel fonksiyonların bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
(a) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 5} {\dfrac{9x + 3}{x^2 - 9}} = \dfrac{9(5) + 3}{5^2 - 9} \)
\( = \dfrac{48}{16} = 3 \)
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 2} {\dfrac{4x^2 + 2}{x - 3}} = \dfrac{4(2)^2 + 2}{2 - 3} \)
\( = \dfrac{18}{-1} = -18 \)
(c) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to -3} {\dfrac{5x^3 - 2x + 6}{x^2 - 4x + 6}} = \dfrac{5(-3)^3 - 2(-3) + 6}{(-3)^2 - 4(-3) + 6} \)
\( = \dfrac{-123}{27} = -\dfrac{41}{9} \)
\( \lim\limits_{x \to 4} (x^2 + 3x - 2a) = 44 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterLimiti alınan ifade bir polinom fonksiyonudur. Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( \lim\limits_{x \to 4} (x^2 + 3x - 2a) = 44 \)
\( 4^2 + 3(4) - 2a = 44 \)
\( 16 + 12 - 2a = 44 \)
\( a = -8 \) bulunur.
\( \lim\limits_{x \to 4} (2x^2 - x + a) = \lim\limits_{x \to 3} (x^4 - 4x + b) \)
olduğuna göre, \( b - a\) kaçtır?
Çözümü GösterLimiti alınan iki ifade de birer polinom fonksiyonudur. Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( \lim\limits_{x \to 4} (2x^2 - x + a) = \lim\limits_{x \to 3} (x^4 - 4x + b) \)
\( 2(4)^2 - 4 + a = 3^4 - 4(3) + b \)
\( 32 - 4 + a = 81 - 12 + b \)
\( 28 + a = 69 + b \)
\( b - a = -41 \) bulunur.
\( f(x) = x^2 + 2x - 5 \) ve
\( g(x) \) bir polinom fonksiyonu olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to 2^+} [f(x) \cdot g(x - 2)] = 21 \)
olduğuna göre, \( \lim\limits_{x \to 0^+} g(x) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) ve \( g \) birer polinom fonksiyonudur ve polinom fonksiyonlarının limiti tüm reel sayılarda tanımlıdır.
İki fonksiyonun da limiti olduğu için limit çarpma kuralını kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to 2^+} [f(x) \cdot g(x - 2)] = 21 \)
\( \lim\limits_{x \to 2^+} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to 2^+} g(x - 2) = 21 \)
Polinom fonksiyonlarının bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( f(2) \cdot \lim\limits_{x \to 2^+} g(x - 2) = 21 \)
\( (2^2 + 2(2) - 5) \cdot \lim\limits_{x \to 2^+} g(x - 2) = 21 \)
\( \lim\limits_{x \to 2^+} g(x - 2) = 7 \)
\( x \to 2^+ \) iken \( x - 2 \to 0^+ \) olur.
Buna göre verilen ifade \( g \) fonksiyonunun \( x = 0 \) noktasındaki sağdan limitidir.
\( \lim\limits_{x \to 2^+} g(x - 2) = g(0^+) = 7 \)
Soruda sorulan limit ifadesi de aynı limite eşittir.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} g(x) = g(0^+) \)
Buna göre \( \lim\limits_{x \to 0^+} g(x) = 7 \) bulunur.
\( f \) bir polinom fonksiyonu olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to 3} [(x^2 + 3)f(x + 1)] = 60 \) ise,
\( \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x + f(x)}{3x + 5} \) limitinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitlikteki \( x^2 + 3 \) ve \( f(x + 1) \) ifadeleri birer polinom fonksiyonudur. Polinom fonksiyonlarının limiti tüm reel sayılarda tanımlı olduğu için limit çarpma kuralını kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to 3} [(x^2 + 3)f(x + 1)] = 60 \)
\( \lim\limits_{x \to 3} (x^2 + 3) \cdot \lim\limits_{x \to 3} f(x + 1) = 60 \)
Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( (3^2 + 3)f(3 + 1) = 60 \)
\( f(4) = 5 \)
Pay ve payda birer polinom fonksiyonu olduğu için limit değeri sorulan ifade bir rasyonel fonksiyondur. Limiti alınan \( x \) değeri paydayı sıfır yapmamak koşuluyla, rasyonel fonksiyonun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x + f(x)}{3x + 5} = \dfrac{4 + f(4)}{3(4) + 5} \)
\( = \dfrac{4 + 5}{17} = \dfrac{9}{17} \) bulunur.
\( a \in \mathbb{R} \) ve \( f, g \) birer polinom fonksiyonu olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to 2} f(x + 1) = a + 2 \)
\( \lim\limits_{x \to 1} g(x + 2) = a^2 - 2a + 4 \)
\( \lim\limits_{x \to 3} [f(x)g(x)] = 133 \)
olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterPolinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( \lim\limits_{x \to 2} f(x + 1) = a + 2 \)
\( f(2 + 1) = f(3) = a + 2 \)
\( \lim\limits_{x \to 1} g(x + 2) = a^2 - 2a + 4 \)
\( g(1 + 2) = g(3) = a^2 - 2a + 4 \)
\( \lim\limits_{x \to 3} [f(x)g(x)] = 133 \)
Polinom fonksiyonlarının tüm reel sayılarda limiti olduğu için limit çarpma kuralını kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to 3} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to 3} g(x) = 133 \)
\( f(3)g(3) = 133 \)
\( f(3) \) ve \( g(3) \) değerlerini eşitlikte yerine koyalım.
\( (a + 2)(a^2 - 2a + 4) = 133 \)
Bu ifade küp toplamı özdeşliğinin açılımıdır.
\( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \)
\( a^3 + 2^3 = 133 \)
\( a^3 = 125 \)
\( a = 5 \) bulunur.
\( L \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
Reel sayılar kümesinde tanımlı \( f \) ve \( g \) fonksiyonları için aşağıdaki eşitlik sağlanıyor.
\( \lim\limits_{x \to 4} f(x) = \lim\limits_{x \to 4} g(x) = L \)
Buna göre aşağıdakilerden hangileri her zaman doğrudur?
I. \( f(4) = g(4) \)
II. \( \lim\limits_{x \to 4} (f(x) + g(x)) = 2L \)
III. \( \lim\limits_{x \to 4} (2f(x) - g(x)) = L \)
IV. \( \lim\limits_{ x \to 4} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1 \)
Çözümü GösterI. öncül:
Limit bir fonksiyonun belirli bir nokta civarında nasıl davrandığı ile ilgilenir, fonksiyonun o noktadaki değeri ya da o noktada tanımlı olup olmaması ile ilgilenmez. Dolayısıyla iki fonksiyonun bir noktadaki limitlerinin eşit olması fonksiyon değerlerinin de eşit olmasını gerektirmez.
I. öncül her zaman doğru değildir.
II. öncül:
İki fonksiyonun da limiti olduğu için, limit toplama kuralı gereği toplamlarının limiti limitlerinin toplamına eşittir.
\( \lim\limits_{x \to 4} (f(x) + g(x)) = \lim\limits_{x \to 4} {f(x)} + \lim\limits_{x \to 4} {g(x)} \)
\( = L + L = 2L \)
II. öncül her zaman doğrudur.
III. öncül:
İki fonksiyonun da limiti olduğu için, limit çıkarma ve sabit sayı ile çarpma kurallarını uyguladığımızda verilen değeri buluruz.
\( \lim\limits_{x \to 4} (2f(x) - g(x)) = \lim\limits_{x \to 4} (2f(x)) - \lim\limits_{x \to 4} {g(x)} \)
\( = 2\lim\limits_{x \to 4} {f(x)} - \lim\limits_{x \to 4} {g(x)} \)
\( = 2L - L = L \)
III. öncül her zaman doğrudur.
IV. öncül:
Limit bölme kuralı paydadaki ifadenin limiti sıfır (\( L = 0 \)) olduğu durumda geçerli değildir.
IV. öncül her zaman doğru değildir.
Buna göre sadece II. ve III. öncüller her zaman doğrudur.
\( \lim\limits_{x \to a} \dfrac{x^2 - 4}{x + 2} = 9 \) eşitliğini sağlayan \( a \) değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterPay ve payda birer polinom fonksiyonu olduğu için limiti alınan ifade bir rasyonel fonksiyondur. Limiti alınan değer paydayı sıfır yapmamak koşuluyla, rasyonel fonksiyonun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( \lim\limits_{x \to a} \dfrac{x^2 - 4}{x + 2} = 9 \)
\( \dfrac{a^2 - 4}{a + 2} = 9 \)
\( \dfrac{a^2 - 4}{a + 2} - 9 = 0 \)
\( \dfrac{a^2 - 4 - 9(a + 2)}{a + 2} = 0 \)
\( \dfrac{a^2 - 9a - 22}{a + 2} = 0 \)
\( \dfrac{(a - 11)(a + 2)}{a + 2} = 0 \)
Bu denklemin çözüm kümesi payı sıfır yapan ama paydayı sıfır yapmayan değerlerden oluşur.
Buna göre verilen eşitliği sağlayan tek değer \( a = 11 \) olarak bulunur.
\( f(x) = 4x - 3 \) olduğuna göre,
\( \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{f(x - 1) + 2f(x + 3)}{f(x^3) - 40} \) limitinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) bir polinom fonksiyonu olduğu için \( f(x - 1) \), \( f(x + 3) \) ve \( f(x^3) \) bileşke fonksiyonları da birer polinom fonksiyonudur.
Pay ve payda birer polinom fonksiyonu olduğu için limit değeri sorulan ifade bir rasyonel fonksiyondur. Limiti alınan \( x \) değeri paydayı sıfır yapmamak koşuluyla, rasyonel fonksiyonun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{f(x - 1) + 2f(x + 3)}{f(x^3) - 40} \)
\( = \dfrac{f(4 - 1) + 2f(4 + 3)}{f(4^3) - 40} \)
\( = \dfrac{f(3) + 2f(7)}{f(64) - 40} \)
\( f \) fonksiyon tanımını kullanarak fonksiyon değerlerini bulalım.
\( = \dfrac{(4(3) - 3) + 2(4(7) - 3)}{(4(64) - 3) - 40} \)
\( = \dfrac{59}{213} \) bulunur.
Reel sayılar kümesinde tanımlı \( f \) fonksiyonu için,
\( \lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = 4 \)
\( \lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = 7 \)
olduğuna göre, aşağıdaki ifadenin değeri kaçtır?
\( \lim\limits_{x \to 1^+} [(3x + 7)f(3x - 1)] + \lim\limits_{x \to 2^+} [(x^2 + 4x)f(4 - x)] \)
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = f(2^-) = 4 \)
\( \lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = f(2^+) = 7 \)
Sorudaki iki limit ifadesinin birinci çarpanları birer polinom fonksiyonudur. Polinom fonksiyonlarının tüm reel sayılarda limiti vardır.
İki limit ifadesinin ikinci çarpanlarının limitinin olup olmadığını kontrol edelim.
\( x \to 1^+ \) iken \( 3x - 1 \to 2^+ \) olur.
Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki sağdan limitidir.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} f(3x - 1) = f(2^+) = 7 \)
\( x \to 2^+ \) iken \( 4 - x \to 2^- \) olur.
Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki soldan limitidir.
\( \lim\limits_{x \to 2^+} f(4 - x) = f(2^-) = 4 \)
İki limit ifadesinin ikinci çarpanlarının ilgili noktalarda limitinin olduğunu göstermiş olduk.
Buna göre iki limit ifadesinin ikişer çarpanının da limiti olduğu için limit çarpma kuralını kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} [(3x + 7)f(3x - 1)] + \lim\limits_{x \to 2^+} [(x^2 + 4x)f(4 - x)] \)
\( = \lim\limits_{x \to 1^+} (3x + 7) \cdot \lim\limits_{x \to 1^+} f(3x - 1) + \lim\limits_{x \to 2^+} (x^2 + 4x) \cdot \lim\limits_{x \to 2^+} f(4 - x) \)
Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( = (3(1) + 7)f(2^+) + (2^2 + 4(2))f(2^-) \)
\( = 10 \cdot 7 + 12 \cdot 4 = 118 \) bulunur.