Limit işlem kuralları bölümünde bir noktada limiti olan iki fonksiyonun toplamı/farkı/çarpımı/bölümü olan fonksiyonların da bu noktada limitinin olduğunu ve bu limit değerlerinin sırasıyla fonksiyonların bu noktadaki limit değerlerinin toplamı/farkı/çarpımı/bölümü olduğunu belirtmiştik.
Bu kuralın tersi ise doğru olmayabilir, yani iki fonksiyonun toplamı/farkı/çarpımı/bölümü olan fonksiyonun bir noktada limiti varsa bu fonksiyonu oluşturan fonksiyonların aynı noktada limiti olmayabilir. Aşağıda her işlem için buna birer örnek vereceğiz.
Aşağıdaki örnekteki iki fonksiyonun toplamı olan fonksiyonun belirtilen noktada limiti vardır, ancak fonksiyonların bu noktada ayrı ayrı limitleri yoktur.
\( f(x) = \dfrac{1}{x} \)
\( g(x) = \dfrac{x - 1}{x} \)
Bu iki fonksiyonun \( x \to 0^+ \) iken limitleri yoktur.
\( x \to 0^+ \) iken \( f(x) \to \infty \) olur.
\( x \to 0^+ \) iken \( g(x) \to -\infty \) olur.
Bu fonksiyonların toplamı olan fonksiyon aşağıdaki gibidir.
\( h(x) = f(x) + g(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{x - 1}{x} = 1, \quad (x \ne 0) \)
Toplam fonksiyonunun \( x \to 0^+ \) iken limiti vardır.
\( x \to 0^+ \) iken \( h(x) \to 1 \) olur.
Aşağıdaki örnekteki iki fonksiyonun farkı olan fonksiyonun belirtilen noktada limiti vardır, ancak fonksiyonların bu noktada ayrı ayrı limitleri yoktur.
\( f(x) = \ln{x} \)
\( g(x) = \ln{x} - x \)
Bu iki fonksiyonun \( x \to 0^+ \) iken limitleri yoktur.
\( x \to 0^+ \) iken \( f(x) \to -\infty \) olur.
\( x \to 0^+ \) iken \( g(x) \to -\infty \) olur.
Bu fonksiyonların farkı olan fonksiyon aşağıdaki gibidir.
\( h(x) = f(x) - g(x) = \ln{x} - (\ln{x} - x) = x, \quad (x \gt 0) \)
Fark fonksiyonunun \( x \to 0^+ \) iken limiti vardır.
\( x \to 0^+ \) iken \( h(x) \to 0 \) olur.
Aşağıdaki örnekteki iki fonksiyonun çarpımı olan fonksiyonun belirtilen noktada limiti vardır, ancak fonksiyonların bu noktada ayrı ayrı limitleri yoktur.
\( f(x) = \begin{cases} -2 & x \lt 1 \\ 3 & x \ge 1 \end{cases} \)
\( g(x) = \begin{cases} -3 & x \lt 1 \\ 2 & x \ge 1 \end{cases} \)
Bu iki fonksiyonun \( x \to 1 \) iken limitleri yoktur.
\( x \to 1 \) iken \( \lim\limits_{x \to 1} {f(x)} \) limiti yoktur.
\( x \to 1 \) iken \( \lim\limits_{x \to 1} {g(x)} \) limiti yoktur.
Bu fonksiyonların çarpımı olan fonksiyon aşağıdaki gibidir.
\( h(x) = f(x)g(x) = \begin{cases} 6 & x \lt 1 \\ 6 & x \ge 1 \end{cases} = 6 \)
Çarpım fonksiyonunun \( x \to 1 \) iken limiti vardır.
\( x \to 1 \) iken \( h(x) \to 6 \) olur.
Aşağıdaki örnekteki iki fonksiyonun bölümü olan fonksiyonun belirtilen noktada limiti vardır, ancak fonksiyonların bu noktada ayrı ayrı limitleri yoktur.
\( f(x) = \dfrac{2}{x} \)
\( g(x) = \dfrac{1}{x} \)
Bu iki fonksiyonun \( x \to 0^+ \) iken limitleri yoktur.
\( x \to 0^+ \) iken \( f(x) \to \infty \) olur.
\( x \to 0^+ \) iken \( g(x) \to \infty \) olur.
Bu fonksiyonların bölümü olan fonksiyon aşağıdaki gibidir.
\( h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\frac{2}{x}}{\frac{1}{x}} = 2, \quad (x \ne 0) \)
Bölüm fonksiyonunun \( x \to 0^+ \) iken limiti vardır.
\( x \to 0^+ \) iken \( h(x) \to 2 \) olur.
Yukarıda paylaştığımız durumlar \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının ikisinin de limiti olmadığında oluşur. \( f + g \), \( f - g \), \( fg \) ve \( \frac{f}{g} \) fonksiyonlarının belirli bir noktada limiti varsa ve ek olarak \( f \) fonksiyonunun da aynı noktada limitinin olduğu biliniyorsa \( g \) fonksiyonunun da bu noktada limitinin olduğu sonucuna varılabilir.