\( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği ayrı ayrı limitleri pozitif ya da negatif sonsuz olan iki ifadenin bölümünün limiti alındığında oluşur.
\( \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \) limitinde,
\( \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty \) ve \( \lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty \) değerleri elde ediliyorsa,
bu limit için \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için fonksiyonların büyüme hızlarını ve L'Hospital kuralını kullanabiliriz.
\( x \) sonsuza giderken \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği ile karşılaştığımız durumlarda limit değerini pay ve paydadaki fonksiyonların büyüme hızlarını karşılaştırarak bulmayı deneyebiliriz.
\( x \) pozitif sonsuza giderken \( f(x) \) ve \( g(x) \) fonksiyonlarının da pozitif sonsuza gittiklerini varsayalım.
\( f(x) \) \( g(x) \)'ten daha hızlı büyüyorsa limit sonsuzdur.
\( \quad \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \infty \)
\( f(x) \) \( g(x) \)'ten daha yavaş büyüyorsa limit sıfırdır.
\( \quad \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 0 \)
\( f(x) \) ve \( g(x) \) aynı hızla büyüyorsa limit sıfırdan farklı bir reel sayıdır.
\( \quad \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = L \ne 0 \)
Bu yöntemi kullanabilmek için farklı fonksiyonların büyüme hızlarını bilmemiz gerekir, bunun için aşağıdaki sıralamayı kullanabiliriz. Buradaki küçüklük/büyüklük ilişkisi \( x \)'in çok büyük değerleri için geçerlidir.
\( a \in \mathbb{Z^+}, \quad a \gt 1 \) olmak üzere,
\( \text{Sabit} \lt \text{Logaritma} \) \( \lt \text{Kök} \) \( \lt \text{Kuvvet} \) \( \lt \text{Üstel} \) \( \lt \text{Faktöriyel} \) \( \lt x^x \)
\( a \lt \log_a{x} \lt \sqrt[a]{x} \lt x^a \lt a^x \lt x! \lt x^x \)
Üstel ve kuvvet fonksiyonlarında \( a \)'nın daha büyük değerleri daha küçük değerlerine göre daha hızlı büyüme gösterir. Logaritma ve köklü fonksiyonlarda \( a \)'nın daha küçük değerleri daha büyük değerlerine göre daha hızlı büyüme gösterir.
Üstel: \( 2^x \lt 3^x \lt \ldots \lt a^x \)
Kuvvet: \( x^2 \lt x^3 \lt \ldots \lt x^a \)
Kök: \( \sqrt[a]{x} \lt \ldots \lt \sqrt[3]{x} \lt \sqrt[2]{x} \)
Logaritma: \( \log_a{x} \lt \ldots \lt \log_3{x} \lt \log_2{x} \)
Yukarıdaki ifadelerden oluşan bir rasyonel fonksiyonun sonsuzdaki limitini hesaplarken sadece pay ve paydadaki büyüme hızı en büyük olan terimleri dikkate almamız ve bu terimleri karşılaştırmamız yeterlidir. Bu iki terim arasında paydaki ifadenin büyüme hızı daha büyükse limit sonsuz, paydadaki ifadenin büyüme hızı daha büyükse limit sıfırdır.
\( \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^{100}}{e^x} \) limitinin değerini bulalım.
\( x \)'e çok büyük değerler verdiğimizde payın ve paydanın sonsuza gittiğini, dolayısıyla \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği oluştuğunu görebiliriz.
\( \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^{100}}{e^x} = \dfrac{\lim_{x \to \infty} x^{100}}{\lim_{x \to \infty} e^x} = \dfrac{\infty}{\infty} \)
Bu durumda pay ve paydadaki ifadelerden hangisinin daha hızlı büyüdüğü fonksiyonun sonsuzdaki davranışı açısından belirleyici olacaktır. Yukarıda bahsettiğimiz hiyerarşiye göre bir üstel fonksiyon olan \( e^x \) bir kuvvet fonksiyonu olan \( x^{100} \)'den daha hızlı büyür, dolayısıyla fonksiyonun pozitif sonsuzdaki değeri sıfıra yaklaşacaktır.
\( \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^{100}}{e^x} = 0 \)
İkinci bir çözüm olarak, bu limitte \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği olduğu için L'Hospital kuralı da uygulayabiliriz.
\( \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^{100})'}{(e^x)'} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{100 \cdot x^{99}}{e^x} \)
\( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği hala devam ettiği için paydaki ifadeden kurtulana kadar fonksiyonun türevini almaya devam edelim.
\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{100 \cdot 99 \cdot x^{98}}{e^x} \)
\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{100!}{e^x} \)
Elde ettiğimiz limitte payın sabit bir sayı olduğunu görüyoruz. Her ne kadar bu büyük bir sayı olsa da \( x \) sonsuza giderken paydanın büyüme hızı ile karşılaştırılamayacak kadar küçük bir sayı olacaktır, dolayısıyla bu limitin değerinin 0 olduğu sonucuna varabiliriz.
\( \frac{0}{0} \) belirsizliğinde olduğu gibi \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliğinde de L'Hospital kuralını kullanarak belirsizliği gidermeyi deneyebiliriz.
\( \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^3}{e^x} \) limitinin değerini bulalım.
Bu limiti fonksiyonların büyüme hızları ile hızlıca bulabilecek olsak da L'Hospital kuralını kullanalım.
\( \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^3}{e^x} \)
\( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği olduğu için payın ve paydanın türevini alalım.
\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^3)'}{(e^x)'} \)
\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{e^x} \)
Hala \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği olduğu için payın ve paydanın tekrar türevini alalım.
\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(3x^2)'}{(e^x)'} \)
\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{6x}{e^x} \)
Hala \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği olduğu için payın ve paydanın tekrar türevini alalım.
\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(6x)'}{(e^x)'} \)
\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{6}{e^x} \)
\( x \) sonsuza giderken bu ifadenin limiti 0'dır.
\( = 0 \)