\( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği ayrı ayrı limitleri pozitif ya da negatif sonsuz olan iki ifadenin bölümünün limiti alındığında oluşur.
\( \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = \pm\infty \) ve \( \lim\limits_{x \to a} {g(x)} = \pm\infty \) değerleri elde ediliyorsa,
bu limit için \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için fonksiyonların büyüme hızlarını ve L'Hospital kuralını kullanabiliriz.
\( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliğine sahip bir rasyonel ifadenin sonsuzdaki limiti pay ve paydadaki fonksiyonların büyüme hızları karşılaştırılarak belirlenebilir. Buna göre, eğer paydaki ifadenin büyüme hızı daha büyükse limit sonsuz, paydadaki ifadenin büyüme hızı daha büyükse limit sıfır olur.
Bu konuyu detaylı şekilde sonsuzda limit bölümünde incelemiştik, bu bölümde hatırlatma olarak bir örnek vereceğiz.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{x^{10} + \sqrt{x}}{\ln{x} + e^x}} \) limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to a} (x^{10} + \sqrt{x}) = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to a} (\ln{x} + e^x) = \infty \)
Buna göre bu ifadede \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır.
Verilen rasyonel ifadede büyüme hızı en büyük terimler payda \( x^{10} \), paydada ise \( e^x \) olur.
Buna göre sonsuzdaki limiti sadece pay ve paydadaki büyüme hızı en büyük olan terimleri dikkate alarak bulabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{x^{10} + \sqrt{x}}{\ln{x} + e^x}} = \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{x^{10}}{e^x}} \)
Üstel fonksiyonların büyüme hızı kuvvet fonksiyonlarının büyüme hızından büyük olduğu için ifadenin sonsuzdaki limiti sıfıra eşittir.
\( = 0 \)
\( \frac{0}{0} \) ve \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliklerini gidermek için kullanılabilecek bir yöntem olan L'Hospital kuralını önümüzdeki bölümde inceleyeceğiz.