Mutlak Değerli İfadelerin Limiti

Önce mutlak değerli ifadenin kritik noktasını bulalım.

\( x - 2 = 0 \)

\( x = 2 \)

Fonksiyonu kritik noktası \( x = 2 \) olacak şekilde parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.

\( x \lt 2 \) aralığı için: \( f(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{-(x - 2)} = -x - 2 \)

\( x \ge 2 \) aralığı için: \( f(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \)

\( f(x) = \begin{cases} -x - 2 & x \lt 2 \\ x + 2 & x \ge 2 \end{cases} \)

Fonksiyonun \( x = 2 \) noktasındaki soldan ve sağdan limitlerini hesaplayalım.

Soldan limit için \( x \lt 2 \) aralığındaki tanımı kullanmalıyız:

\( L_1 = \lim_{x \to 2^-} (-x - 2) = -2 - 2 = -4 \)

Sağdan limit için \( x \ge 2 \) aralığındaki tanımı kullanmalıyız:

\( L_2 = \lim_{x \to 2^+} (x + 2) = 2 + 2 = 4 \)

\( L_1 \ne L_2 \) olduğu için, fonksiyonun \( x = 2 \) noktasında limiti tanımlı değildir.

İlk önce ilk limit ifadesinin değerini bulalım.

\( x = 2 \) noktası \( \abs{x - 2} \) ifadesinin kritik noktasıdır.

\( x \to 2^+ \) iken \( x - 2 \) ifadesi pozitif olur, dolayısıyla mutlak değerden pozitif işaretli çıkar.

\( \lim_{x \to 2^+} \dfrac{\abs{x - 2}}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{x - 2}{x - 2} \)

\( = \lim_{x \to 2^+} 1 = 1 \)

Şimdi ikinci limit ifadesinin değerini bulalım.

\( x = -2 \) noktası \( \abs{x + 2} \) ifadesinin kritik noktasıdır.

\( x \to -2^- \) iken \( x + 2 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.

\( \lim_{x \to -2^-} \dfrac{x^2 - 4}{\abs{x + 2}} = \lim_{x \to -2^-} \dfrac{x^2 - 4}{-(x + 2)} \)

\( = \lim_{x \to -2^-} \dfrac{(x + 2)(x - 2)}{-(x + 2)} \)

\( = \lim_{x \to -2^-} [-(x - 2)] = -(-2 - 2) = 4 \)

Buna göre iki limit ifadesinin toplamı \( 1 + 4 = 5 \) olarak bulunur.

Limiti alınan ifadeyi düzenleyelim.

\( \lim_{x \to -2} \dfrac{2\abs{x + 2}}{(x - 2)(x + 2)} \)

\( x = -2 \) noktası \( \abs{x + 2} \) ifadesinin kritik noktasıdır. Bu noktadaki limiti bulmak için soldan ve sağdan limit değerlerini hesaplayalım.

\( x = -2 \) için soldan limit:

\( x \to -2^- \) iken \( x + 2 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.

\( \lim_{x \to -2^-} \dfrac{-2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} \)

\( = \lim_{x \to -2^-} \dfrac{-2}{x - 2} \)

\( = \dfrac{-2}{-2 - 2} = \dfrac{1}{2} \)

\( x = -2 \) için sağdan limit:

\( x \to -2^+ \) iken \( x + 2 \) ifadesi pozitif olur, dolayısıyla mutlak değerden pozitif işaretli çıkar.

\( \lim_{x \to -2^+} \dfrac{2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} \)

\( = \lim_{x \to -2^+} \dfrac{2}{x - 2} \)

\( = \dfrac{2}{-2 - 2} = -\dfrac{1}{2} \)

Bu noktada soldan ve sağdan limitler tanımlı, ancak birbirinden farklı oldukları için fonksiyonun iki taraflı limiti tanımlı değildir.

Verilen fonksiyonun kritik noktası \( x = 0 \) noktasıdır.

Bir mutlak değerli fonksiyonun kritik olmayan bir noktasındaki limit değerini bulmak için, mutlak değer içindeki ifade bu noktadaki değerinin işareti dikkate alınarak pozitif ya da negatif işaretli olarak mutlak değerden çıkarılır ve normal limit kuralları ile limiti hesaplanır.

\( -4 \lt 0 \) olduğu için pay ve paydadaki \( \abs{x} \) ifadeleri negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.

\( \lim_{x \to -4} \dfrac{x^2 - 2(-x) - 3}{2 - (-x)} \)

\( = \lim_{x \to -4} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{2 + x} \)

Pay ve payda birer polinom fonksiyonu olduğu için limiti alınan ifade bir rasyonel fonksiyondur. Limiti alınan \( x \) değeri paydayı sıfır yapmamak koşuluyla, rasyonel fonksiyonun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( = \dfrac{(-4)^2 + 2(-4) - 3}{2 + (-4)} \)

\( = \dfrac{5}{-2} = -\dfrac{5}{2} \) bulunur.

İfadenin soldan limit değerini bulalım.

\( \lim_{x \to -3^-} \dfrac{\abs{x^3 + 27}}{\abs{x + 3}} \)

Mutlak değer içindeki ifadeleri mutlak değer dışına çıkaralım.

\( x \lt -3 \) iken \( x^3 + 27 \lt 0 \)

\( x \lt -3 \) iken \( x + 3 \lt 0 \)

\( \lim_{x \to -3^-} \dfrac{-(x^3 + 27)}{-(x + 3)} \)

\( = \lim_{x \to -3^-} \dfrac{x^3 + 27}{x + 3} \)

\( = \lim_{x \to -3^-} \dfrac{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)}{x + 3} \)

\( = \lim_{x \to -3^-} (x^2 - 3x + 9) \)

Bir polinom fonksiyonunun belirli bir noktadaki limiti o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( = (-3)^2 - 3(-3) + 9 = 27 \)

İfadenin sağdan limit değerini bulalım.

\( \lim_{x \to -3^+} \dfrac{\abs{x^3 + 27}}{\abs{x + 3}} \)

Mutlak değer içindeki ifadeleri mutlak değer dışına çıkaralım.

\( x \gt -3 \) iken \( x^3 + 27 \gt 0 \)

\( x \gt -3 \) iken \( x + 3 \gt 0 \)

\( = \lim_{x \to -3^+} \dfrac{x^3 + 27}{x + 3} \)

İfade mutlak değerden aynı şekilde çıktığı için limit değeri yine 27 olur.

İfadenin soldan ve sağdan limitleri tanımlı ve birbirine eşit olduğu için ifadenin bu noktadaki limiti 27'dir.

Birinci limit ifadesinin değerini bulalım.

\( 3^+ \gt 3 \) olduğu için \( x - 3 \) ifadesi pozitif olur, dolayısıyla mutlak değerden pozitif işaretli çıkar.

\( \lim_{x \to 3^+} \dfrac{\abs{x - 3}}{x - 3} \)

\( = \lim_{x \to 3^+} \dfrac{x - 3}{x - 3} = 1 \)

İkinci limit ifadesinin değerini bulalım.

\( 7^- \lt 7 \) olduğu için \( x - 7 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.

\( \lim_{x \to 7^-} \dfrac{x - 7}{\abs{x - 7}} \)

\( = \lim_{x \to 7^-} \dfrac{x - 7}{-(x - 7)} = -1 \)

Buna göre limit ifadelerinin toplamı \( 1 + (- 1) = 0 \) olarak bulunur.

Limiti alınan fonksiyonu düzenleyelim.

\( \lim_{x \to 4} \dfrac{\abs{(x + 3)(x - 4)}}{x - 4} \)

Çarpımların mutlak değeri mutlak değerlerin çarpımı şeklinde yazılabilir.

\( = \lim_{x \to 4} \dfrac{\abs{x + 3} \cdot \abs{x - 4}}{x - 4} \)

\( x = 4 \) ikinci mutlak değer ifadesinin kritik noktasıdır. Bu noktadaki limiti bulmak için soldan ve sağdan limit değerlerini hesaplayalım.

\( x = 4 \) için soldan limit:

\( x \to 4^- \) iken \( x + 3 \) ifadesi pozitif, \( x - 4 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla birinci ifade mutlak değerden pozitif, ikinci ifade negatif işaretli çıkar.

\( \lim_{x \to 4^-} \dfrac{(x + 3)(-(x - 4))}{x - 4} \)

\( = \lim_{x \to 4^-} (-(x + 3)) \)

\( = -(4 + 3) = -7 \)

\( x = 4 \) için sağdan limit:

\( x \to 4^+ \) iken \( x + 3 \) ve \( x - 4 \) ifadeleri pozitif olur, dolayısıyla iki ifade de mutlak değerden pozitif işaretli çıkar.

\( \lim_{x \to 4^+} \dfrac{(x + 3)(x - 4)}{x - 4} \)

\( = \lim_{x \to 4^+} (x + 3) \)

\( = 4 + 3 = 7 \)

Sağdan ve soldan limitler tanımlı, ancak birbirinden farklı oldukları için fonksiyonun bu noktada iki taraflı limiti tanımlı değildir.

Bir fonksiyonun çıktısının mutlak değeri alındığında \( x \) ekseninin altında kalan noktaların \( x \) eksenine göre yansımaları alınır.

Buna göre \( \abs{f(x)} \) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibi olur.

Bu grafiğe göre fonksiyonun aşağıdaki apsisli noktalarda iki taraflı limiti tanımlıdır.

\( a \in \{-1, 1, 2\} \)

Buna göre sorudaki iki taraflı limitin tanımlı olduğu 3 \( a \) tam sayısı vardır.

Önce mutlak değerli ifadenin kritik noktalarını bulalım.

\( x^2 - 16 = 0 \)

\( x = -4 \) ve \( x = 4 \)

Fonksiyonu kritik noktaları \( x = -4 \) ve \( x = 4 \) olacak şekilde parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.

\( x \le -4 \) aralığı için: \( f(x) = \dfrac{x^2 - 16}{(x - 4)(x - 2)} = \dfrac{x + 4}{x - 2} \)

\( -4 \lt x \lt 4 \) aralığı için: \( f(x) = \dfrac{-(x^2 - 16)}{(x - 4)(x - 2)} = \dfrac{-x - 4}{x - 2} \)

\( x \ge 4 \) aralığı için: \( f(x) = \dfrac{x^2 - 16}{(x - 4)(x - 2)} = \dfrac{x + 4}{x - 2} \)

\( f(x) = \begin{cases} \dfrac{x + 4}{x - 2} & x \le -4 \\ \dfrac{-x - 4}{x - 2} & -4 \lt x \lt 4 \\ \dfrac{x + 4}{x - 2} & x \ge 4 \end{cases} \)

Fonksiyonun \( x = -4 \) noktasındaki soldan ve sağdan limitlerini hesaplayalım.

Soldan limit için \( x \le -4 \) aralığındaki tanımı kullanmalıyız:

\( L_1 = \lim_{x \to -4^-} \dfrac{x + 4}{x - 2} = \dfrac{-4 + 4}{-4 - 2} = 0 \)

Sağdan limit için \( -4 \lt x \lt 4 \) aralığındaki tanımı kullanmalıyız:

\( L_2 = \lim_{x \to -4^+} \dfrac{-x - 4}{x - 2} = \dfrac{-(-4) - 4}{-4 - 2} = 0 \)

\( L_1 = L_2 = 0 \) olduğu için, fonksiyonun \( x = -4 \) noktasında limiti tanımlıdır ve değeri \( 0 \)'dır.

Fonksiyonun \( x = 4 \) noktasındaki soldan ve sağdan limitlerini hesaplayalım.

Soldan limit için \( -4 \lt x \lt 4 \) aralığındaki tanımı kullanmalıyız:

\( L_1 = \lim_{x \to 4^-} \dfrac{-x - 4}{x - 2} = \dfrac{-4 - 4}{4 - 2} = -4 \)

Sağdan limit için \( x \ge 4 \) aralığındaki tanımı kullanmalıyız:

\( L_2 = \lim_{x \to 4^+} \dfrac{x + 4}{x - 2} = \dfrac{4 + 4}{4 - 2} = 4 \)

\( L_1 \ne L_2 \) olduğu için, fonksiyonun \( x = 4 \) noktasında limiti tanımlı değildir.

Verilen fonksiyonu düzenleyelim.

\( f(x) = \dfrac{\sqrt{(x + 4)^2}}{x - 3} \)

\( n \) çift sayı olmak üzere, \( \sqrt[n]{x^n} \) şeklindeki köklü ifadenin sonucu \( \abs{x} \) olur.

\( f(x) = \dfrac{\abs{x + 4}}{x - 3} \)

\( x = -4 \) noktası mutlak değer ifadesinin kritik noktasıdır. Fonksiyonu önce parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.

\( x \lt -4 \) aralığı için:

\( x \lt -4 \) iken \( x + 4 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.

\( f(x) = \dfrac{-(x + 4)}{x - 3} \)

\( x \ge -4 \) aralığı için:

\( x \ge -4 \) iken \( x + 4 \) ifadesi pozitif olur, dolayısıyla mutlak değerden pozitif işaretli çıkar.

\( f(x) = \dfrac{x + 4}{x - 3} \)

\( f(x) = \begin{cases} \dfrac{-(x + 4)}{x - 3}, & x \lt -4 \\ \dfrac{x + 4}{x - 3}, & x \ge -4 \end{cases} \)

\( x = -4 \) için soldan limit:

\( \lim_{x \to -4^-} \dfrac{-(x + 4)}{x - 3} \)

\( = \dfrac{-(-4 + 4)}{-4 - 3} = 0 \)

\( x = -4 \) için sağdan limit:

\( \lim_{x \to -4^+} \dfrac{x + 4}{x - 3} \)

\( = \dfrac{-4 + 4}{-4 - 3} = 0 \)

Soldan ve sağdan limitler tanımlı ve birbirine eşit olduğu için fonksiyonun \( x = -4 \) noktasında iki taraflı limiti tanımlıdır ve değeri 0'dır.

\( \lim_{x \to -4} f(x) = 0 \)

Verilen fonksiyonu düzenleyelim.

\( f(x) = \dfrac{2(x - 1)}{\abs{x^2 \cdot (x - 1)}} \)

Çarpımların mutlak değeri mutlak değerlerin çarpımı şeklinde yazılabilir.

\( = \dfrac{2(x - 1)}{\abs{x^2} \cdot \abs{x - 1}} \)

\( x^2 \) ifadesi negatif olamayacağı için mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( = \dfrac{2(x - 1)}{x^2 \cdot \abs{x - 1}} \)

\( x = 1 \) noktası mutlak değer ifadesinin kritik noktasıdır. Fonksiyonu önce parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.

\( x \lt 1 \) aralığı için:

\( x \lt 1 \) iken \( x - 1 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.

\( f(x) = \dfrac{2(x - 1)}{x^2 \cdot [-(x - 1)]} \)

\( = -\dfrac{2}{x^2} \)

\( x \ge 1 \) aralığı için:

\( x \ge 1 \) iken \( x - 1 \) ifadesi pozitif olur, dolayısıyla mutlak değerden pozitif işaretli çıkar.

\( f(x) = \dfrac{2(x - 1)}{x^2 \cdot (x - 1)} \)

\( = \dfrac{2}{x^2} \)

\( f(x) = \begin{cases} \dfrac{-2}{x^2}, & x \lt 1 \\ \dfrac{2}{x^2}, & x \ge 1 \end{cases} \)

\( x = 1 \) için soldan limit:

\( \lim_{x \to 1^-} \dfrac{-2}{x^2} = \dfrac{-2}{1^2} = -2 \)

\( x = 1 \) için sağdan limit:

\( \lim_{x \to 1^+} \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{2}{1^2} = 2 \)

Soldan ve sağdan limitler tanımlı, ancak birbirinden farklı olduğu için fonksiyonun \( x = 1 \) noktasında limiti tanımlı değildir.

\( 2^- \ne 2 \) olduğu için \( \lim_{x \to 2^-} f(x) \) limitinde \( x \ne 2 \) tanımı kullanılır.

\( \lim_{x \to 2^-} \dfrac{\abs{3x - 6}}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \dfrac{3\abs{x - 2}}{x - 2} \)

\( x = 2 \) noktası mutlak değer ifadesinin kritik noktasıdır.

\( -2^- \lt -2 \) olduğu için \( x - 2 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.

\( = \lim_{x \to 2^-} \dfrac{-3(x - 2)}{x - 2} \)

\( = -3 = k \)

\( 2^+ \ne 2 \) olduğu için \( \lim_{x \to 2^+} f(x) \) limitinde \( x \ne 2 \) tanımı kullanılır.

\( -2^+ \ge -2 \) olduğu için \( x - 2 \) ifadesi pozitif olur, dolayısıyla mutlak değerden pozitif işaretli çıkar.

\( = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{3(x - 2)}{x - 2} \)

\( = 3 = m \)

\( f(2) = 8 = n \)

\( \dfrac{n}{k - m} = \dfrac{8}{-3 - 3} = -\dfrac{4}{3} \) bulunur.

\( f \) fonksiyonunun soldan ve sağdan limitlerine bakalım.

\( x = 9 \) noktası mutlak değer ifadesinin kritik noktasıdır.

\( x = 9 \) noktasındaki soldan limit:

\( \lim_{x \to 9^-} \dfrac{x - 9}{\abs{x - 9}} \)

\( 9^- \lt 9 \) olduğu için \( x - 9 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.

\( = \lim_{x \to 9^-} \dfrac{x - 9}{-(x - 9)} = -1 \)

\( x = 9 \) noktasındaki sağdan limit:

\( \lim_{x \to 9^+} \dfrac{x - 9}{\abs{x - 9}} \)

\( 9^+ \gt 9 \) olduğu için \( x - 9 \) ifadesi pozitif olur, dolayısıyla mutlak değerden pozitif işaretli çıkar.

\( = \lim_{x \to 9^+} \dfrac{x - 9}{x - 9} = 1 \)

Soldan ve sağdan limitler tanımlı olsa da değerleri birbirinden farklı olduğu için \( f \) fonksiyonunun \( x = 9 \) noktasında limiti yoktur.

\( g \) fonksiyonunun limitini bulalım.

\( g(x) = \sqrt{x^2 - 18x + 81} \)

\( = \sqrt{(x - 9)^2} = \abs{x - 9} \)

Mutlak değer fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli olduğu için limiti de tanımlıdır ve bu noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( \lim_{x \to 9} \abs{x - 9} = \abs{9 - 9} = 0 \)

\( h \) fonksiyonunun limitini bulalım.

\( \lim_{x \to 9} \dfrac{\sqrt[3]{x - 9}}{x + 9} \)

\( n \) bir pozitif tam sayı olmak üzere, \( \sqrt[2n + 1]{x} \) fonksiyonu tüm reel sayılarda süreklidir ve limiti tanımlıdır. Paydadaki ifade de bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda süreklidir ve limiti tanımlıdır, ayrıca limit değeri sıfırdan farklıdır.

Buna göre limit bölme kuralı ile limiti paya ve paydaya dağıtabiliriz ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.

\( = \dfrac{\lim_{x \to 9} \sqrt[3]{x - 9}}{\lim_{x \to 9} (x + 9)} \)

\( = \dfrac{\sqrt[3]{9 - 9}}{9 + 9} = 0 \)

\( h \) fonksiyonunun \( x = 9 \) noktasında limiti tanımlıdır ve değeri 0'dır.

Buna göre \( g \) ve \( h \) fonksiyonlarının \( x = 9 \) noktasında limiti vardır.