Limitin Epsilon-Delta Tanımı
Epsilon-delta (\( \varepsilon-\delta \)) tanımı limitin standart ve en doğru tanımı olarak kabul edilir ve önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz limit kural ve özelliklerinin ispatlarının temelini teşkil eder. Limitin bu tanımı genellikle üniversite seviyesinde öğretilen bir tanımdır.
Limitin epsilon-delta tanımı aşağıdaki gibidir.
\( f \) fonksiyonu, \( a \) noktasını içeren bir açık aralıkta (\( a \) noktasında tanımlı olsun ya da olmasın) tanımlı olsun.
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = L \) limiti,
her \( \varepsilon \gt 0 \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( \delta \gt 0 \) sayısı bulunabiliyorsa vardır ve \( L \) değerine eşittir.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
Bu tanımdaki \( \delta \) sayısı \( \varepsilon \) sayısına bağlı olan ve \( \varepsilon \) cinsinden ifade edilen bir değişkendir, bu yüzden soru ve ispatlarda \( \delta = \delta(\varepsilon) \) şeklinde de ifade edilebilir.
\( \lim\limits_{x \to 3} (4x - 2) = 10 \) limitinin doğruluğunu epsilon-delta tanımını kullanarak gösterelim.
Adım 1: Tanım
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = L \)
Yukarıdaki limit, her \( \varepsilon \gt 0 \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( \delta \gt 0 \) sayısı bulunabiliyorsa vardır ve \( L \) değerine eşittir.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
Bu tanımı kullanarak aşağıdaki limitin doğruluğunu gösterelim.
\( \lim\limits_{x \to 3} (4x - 2) = 10 \)
Bu limit ifadesindeki bilgileri önermede yerine koyalım.
\( 0 \lt \abs{x - 3} \lt \delta \Longrightarrow \abs{(4x - 2) - 10} \lt \varepsilon \)
Adım 2: \( \delta \) Sayısını Bulma
Bu önermeyi her \( \varepsilon \gt 0 \) için sağlayan bir \( \delta = \delta(\varepsilon) \gt 0 \) ifadesi bulmaya çalışalım.
\( \abs{(4x - 2) - 10} \lt \varepsilon \)
\( \abs{4x - 12} \lt \varepsilon \)
\( \abs{4(x - 3)} \lt \varepsilon \)
\( 4\abs{x - 3} \lt \varepsilon \)
\( \abs{x - 3} \lt \delta \) olduğu için, \( 4\abs{x - 3} \) ifadesinin üst sınır değerini \( \delta \) cinsinden \( 4\delta \) şeklinde ifade edebiliriz.
\( 4\abs{x - 3} \lt 4\delta \le \varepsilon \)
Bu durumda her \( \varepsilon \gt 0 \) için önermeyi sağlayacak \( \delta \) sayısını aşağıdaki şekilde seçebiliriz.
\( 0 \lt \delta \le \dfrac{\varepsilon}{4} \)
Adım 3: İspat
Herhangi bir \( \varepsilon \gt 0 \) verilmiş olsun.
\( \delta = \frac{\varepsilon}{4} \) olarak seçelim ve bu \( \delta \) sayısı için aşağıdaki önermenin sağlandığını gösterelim.
\( 0 \lt \abs{x - 3} \lt \delta \Longrightarrow \abs{(4x - 2) - 10} \lt \varepsilon \)
\( 0 \lt \abs{x - 3} \lt \delta \) olarak kabul edelim.
\( \abs{(4x - 2) - 10} = \abs{4x - 12} = 4\abs{x - 3} \)
\( \abs{x - 3} \) ifadesi için üst sınır değeri olarak \( \delta \) kullanabiliriz.
\( 4\abs{x - 3} \lt 4\delta \)
\( \delta = \frac{\varepsilon}{4} \) yazalım.
\( 4\abs{x - 3} \lt 4 \cdot \dfrac{\varepsilon}{4} = \varepsilon \)
Verilen limitin doğruluğunu epsilon-delta tanımını kullanarak göstermiş olduk.
\( \lim\limits_{x \to 2} (3x^2 + 7) = 19 \) limitinin doğruluğunu epsilon-delta tanımını kullanarak gösterelim.
Adım 1: Tanım
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = L \)
Yukarıdaki limit, her \( \varepsilon \gt 0 \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( \delta \gt 0 \) sayısı bulunabiliyorsa vardır ve \( L \) değerine eşittir.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
Bu tanımı kullanarak aşağıdaki limitin doğruluğunu gösterelim.
\( \lim\limits_{x \to 2} (3x^2 + 7) = 19 \)
Bu limit ifadesindeki bilgileri önermede yerine koyalım.
\( 0 \lt \abs{x - 2} \lt \delta \Longrightarrow \abs{(3x^2 + 7) - 19} \lt \varepsilon \)
Adım 2: \( \delta \) Sayısını Bulma
Bu önermeyi her \( \varepsilon \gt 0 \) için sağlayan bir \( \delta = \delta(\varepsilon) \gt 0 \) ifadesi bulmaya çalışalım.
\( \abs{(3x^2 + 7) - 19} \lt \varepsilon \)
\( \abs{3x^2 - 12} \lt \varepsilon \)
\( \abs{3(x - 2)(x + 2)} \lt \varepsilon \)
\( 3\abs{x - 2}\abs{x + 2} \lt \varepsilon \)
\( \abs{x - 2} \lt \delta \) olduğu için, \( 3\abs{x - 2} \) ifadesinin üst sınır değerini \( \delta \) cinsinden \( 3\delta \) şeklinde ifade edebiliriz.
\( \abs{x + 2} \) ifadesi için bir üst sınır değeri bulabilmek için \( \delta \le 1 \) şeklinde bir üst sınır değeri belirleyelim ve bu doğrultuda oluşan \( \abs{x - 2} \lt \delta = 1 \) aralığı için \( \abs{x + 2} \) ifadesinin en büyük değerini bulalım.
\( \abs{x - 2} \lt 1 \)
\( -1 \lt x - 2 \lt 1 \)
\( 3 \lt x + 2 \lt 5 \)
\( 3 \lt \abs{x + 2} \lt 5 \)
Buna göre \( \abs{x + 2} \) ifadesinin üst sınır değeri 5 olur.
Bulduğumuz üst sınır değerlerini yerine koyalım.
\( 3\abs{x - 2}\abs{x + 2} \lt \varepsilon \)
\( 3\abs{x - 2}\abs{x + 2} \lt 3\delta \cdot 5 \lt \varepsilon \)
\( 3\abs{x - 2}\abs{x + 2} \lt 15\delta \lt \varepsilon \)
Bu durumda her \( \varepsilon \gt 0 \) için önermeyi sağlayacak \( \delta \) sayısını aşağıdaki şekilde seçebiliriz.
\( 0 \lt \delta \le \min\{1, \frac{\varepsilon}{15}\} \)
Adım 3: İspat
Herhangi bir \( \varepsilon \gt 0 \) verilmiş olsun.
\( \delta \le \min\{1, \frac{\varepsilon}{15}\} \) olarak seçelim ve bu \( \delta \) sayısı için aşağıdaki önermenin sağlandığını gösterelim.
\( 0 \lt \abs{x - 2} \lt \delta \Longrightarrow \abs{(3x^2 + 7) - 19} \lt \varepsilon \)
\( 0 \lt \abs{x - 2} \lt \delta \) olarak kabul edelim.
\( \abs{(3x^2 + 7) - 19} = \abs{3x^2 - 12} \)
\( = \abs{3(x - 2)(x + 2)} = 3\abs{x - 2}\abs{x + 2} \)
\( \abs{x - 2} \) ifadesi için üst sınır değeri olarak \( \delta \), \( \abs{x + 2} \) ifadesi için üst sınır değeri olarak \( 5 \) kullanabiliriz.
\( 3\abs{x - 2}\abs{x + 2} \lt 3\delta \cdot 5 \)
\( \delta = \frac{\varepsilon}{15} \) yazalım.
\( 3\abs{x - 2}\abs{x + 2} \lt 3 \cdot \dfrac{\varepsilon}{15} \cdot 5 = \varepsilon \)
Verilen limitin doğruluğunu epsilon-delta tanımını kullanarak göstermiş olduk.
Tek Taraflı Limit
Limitin epsilon-delta tanımı tek taraflı limite küçük değişikliklerle aşağıdaki şekilde uyarlanabilir.
Soldan Limit
Soldan limitin epsilon-delta tanımında, \( x \) \( a \)'ya soldan yaklaştığı için \( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \) eşitsizliği yerine \( a - \delta \lt x \lt a \) kullanılır.
Yukarıda tanımladığımız \( f \) fonksiyonu için,
\( \lim\limits_{x \to a^-} {f(x)} = L \) limiti,
her \( \varepsilon \gt 0 \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( \delta \gt 0 \) sayısı bulunabiliyorsa vardır ve \( L \) değerine eşittir.
\( a - \delta \lt x \lt a \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
Sağdan Limit
Sağdan limitin epsilon-delta tanımında, \( x \) \( a \)'ya sağdan yaklaştığı için \( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \) eşitsizliği yerine \( a \lt x \lt a + \delta \) kullanılır.
Yukarıda tanımladığımız \( f \) fonksiyonu için,
\( \lim\limits_{x \to a^+} {f(x)} = L \) limiti,
her \( \varepsilon \gt 0 \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( \delta \gt 0 \) sayısı bulunabiliyorsa vardır ve \( L \) değerine eşittir.
\( a \lt x \lt a + \delta \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
Sonsuz Limit
Sonsuz limit bölümünde detaylı inceleyeceğimiz üzere, bir \( f \) fonksiyonunda \( x \) değişkeni bir \( a \) noktasına soldan ya da sağdan yaklaşırken \( f(x) \) değeri pozitif (ya da negatif) yönde sınırsız büyüyorsa \( f \) fonksiyonunun bu noktadaki tek taraflı limiti pozitif (ya da negatif) sonsuz olur. Bu şekilde tanımlı limite sonsuz limit denir.
Sonsuz limitin epsilon-delta tanımı aşağıdaki gibidir.
Yukarıda tanımladığımız \( f \) fonksiyonu için,
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = \infty \) limiti,
her \( M \gt 0 \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( \delta \gt 0 \) sayısı bulunabiliyorsa vardır.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow f(x) \gt M \)
Sonsuz limitin tanımı tek taraflı limitler ve fonksiyonun negatif sonsuza gittiği durum için de benzer şekilde yapılabilir.
Sonsuzda Limit
Sonsuzda limit bölümünde detaylı inceleyeceğimiz üzere, bir \( f \) fonksiyonunda \( x \) değişkeni pozitif (negatif) sonsuza giderken \( f(x) \) belirli bir değere yaklaşıyorsa bu değere \( f \) fonksiyonunun pozitif (negatif) sonsuzdaki limiti denir.
Sonsuzda limitin epsilon-delta tanımı aşağıdaki gibidir.
\( N, L \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to \infty} {f(x)} = L \) limiti,
her \( \varepsilon \gt 0 \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( N \gt 0 \) sayısı bulunabiliyorsa vardır ve \( L \) değerine eşittir.
\( x \gt N \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
Sonsuzda limitin tanımı \( x \)'in negatif sonsuza gittiği durum için de benzer şekilde yapılabilir.
\( \lim\limits_{x \to 0} {x^2} = 0 \) limitinin doğruluğunu epsilon-delta tanımını kullanarak gösteriniz.
Çözümü GösterAdım 1: Tanım
Verilen limit, her \( \varepsilon \gt 0 \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( \delta \gt 0 \) sayısı bulunabiliyorsa vardır.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
Limit ifadesindeki bilgileri önermede yerine koyalım.
\( 0 \lt \abs{x - 0} \lt \delta \Longrightarrow \abs{x^2 - 0} \lt \varepsilon \)
Adım 2: \( \delta \) Sayısını Bulma
Bu önermeyi her \( \varepsilon \gt 0 \) için sağlayan bir \( \delta = \delta(\varepsilon) \gt 0 \) ifadesi bulmaya çalışalım.
\( \abs{x^2} \lt \varepsilon \)
\( \abs{x}^2 \lt \varepsilon \)
\( \abs{x} \lt \delta \) olduğu için, \( \abs{x}^2 \) ifadesinin üst sınır değerini \( \delta \) cinsinden \( \delta^2 \) şeklinde ifade edebiliriz.
\( \abs{x} \lt \delta^2 \le \varepsilon \)
Bu durumda her \( \varepsilon \gt 0 \) için önermeyi sağlayacak \( \delta \) sayısını aşağıdaki şekilde seçebiliriz.
\( 0 \lt \delta \le \sqrt{\varepsilon} \)
Adım 3: İspat
Herhangi bir \( \varepsilon \gt 0 \) verilmiş olsun.
\( \delta = \sqrt{\varepsilon} \) olarak seçelim ve bu \( \delta \) sayısı için aşağıdaki önermenin sağlandığını gösterelim.
\( 0 \lt \abs{x - 0} \lt \delta \Longrightarrow \abs{x^2 - 0} \lt \varepsilon \)
\( 0 \lt \abs{x} \lt \delta \) olarak kabul edelim.
\( \abs{x^2 - 0} = \abs{x}^2 \)
\( \abs{x} \) ifadesi için üst sınır değeri olarak \( \delta \) kullanabiliriz.
\( \abs{x}^2 \lt \delta^2 \)
\( \delta = \sqrt{\varepsilon} \) yazalım.
\( \abs{x}^2 \lt \sqrt{\varepsilon}^2 = \varepsilon \)
Verilen limitin doğruluğunu epsilon-delta tanımını kullanarak göstermiş olduk.
\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2} = 5 \) limitinin doğruluğunu epsilon-delta tanımını kullanarak gösteriniz.
Çözümü GösterAdım 1: Tanım
Verilen limit, her \( \varepsilon \gt 0 \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( \delta \gt 0 \) sayısı bulunabiliyorsa mevcuttur.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
Limit ifadesindeki bilgileri önermede yerine koyalım.
\( 0 \lt \abs{x - 2} \lt \delta \Longrightarrow \abs{\dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2} - 5} \lt \varepsilon \)
Adım 2: \( \delta \) Sayısını Bulma
Bu önermeyi her \( \varepsilon \gt 0 \) için sağlayan bir \( \delta = \delta(\varepsilon) \gt 0 \) ifadesi bulmaya çalışalım.
\( \abs{\dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2} - 5} \lt \varepsilon \)
\( \abs{\dfrac{x^2 + x - 6 - 5(x - 2)}{x - 2}} \lt \varepsilon \)
\( \abs{\dfrac{x^2 + x - 6 - 5x + 10)}{x - 2}} \lt \varepsilon \)
\( \abs{\dfrac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}} \lt \varepsilon \)
\( \abs{\dfrac{(x - 2)^2}{x - 2}} \lt \varepsilon \)
\( \abs{x - 2} \lt \varepsilon \)
\( \abs{x - 2} \lt \delta \) olduğu için, \( \abs{x - 2} \) ifadesinin üst sınır değerini \( \delta \) cinsinden \( \delta \) şeklinde ifade edebiliriz.
\( \abs{x - 2} \lt \delta \le \varepsilon \)
Bu durumda her \( \varepsilon \gt 0 \) için önermeyi sağlayacak \( \delta \) sayısını aşağıdaki şekilde seçebiliriz.
\( 0 \lt \delta \le \varepsilon \)
Adım 3: İspat
Herhangi bir \( \varepsilon \gt 0 \) verilmiş olsun.
\( \delta = \varepsilon \) olarak seçelim ve bu \( \delta \) sayısı için aşağıdaki önermenin sağlandığını gösterelim.
\( 0 \lt \abs{x - 2} \lt \delta \Longrightarrow \abs{\dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2} - 5} \lt \varepsilon \)
\( 0 \lt \abs{x - 2} \lt \delta \) olarak kabul edelim.
\( \abs{\dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2} - 5} = \abs{\dfrac{x^2 + x - 6 - 5(x - 2)}{x - 2}} \)
\( = \abs{\dfrac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}} = \abs{\dfrac{(x - 2)^2}{x - 2}} \)
\( = \abs{x - 2} \)
\( \abs{x - 2} \) ifadesi için üst sınır değeri olarak \( \delta \) kullanabiliriz.
\( \abs{x - 2} \lt \delta \)
\( \delta = \varepsilon \) yazalım.
\( \abs{x - 2} \lt \varepsilon \)
Verilen limitin doğruluğunu epsilon-delta tanımını kullanarak göstermiş olduk.
\( \lim\limits_{x \to 2} (5x + 2) = 12 \) limitinin doğruluğunu epsilon-delta tanımıyla ispatlamak için aşağıdaki \( \delta \) değerlerinden hangileri seçilebilir?
I. \( \dfrac{\varepsilon}{10} \)
II. \( \dfrac{\varepsilon}{5} \)
III. \( \dfrac{\varepsilon}{3} \)
Çözümü GösterAdım 1: Tanım
Verilen limit, her \( \varepsilon \gt 0 \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( \delta \gt 0 \) sayısı bulunabiliyorsa mevcuttur.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
Limit ifadesindeki bilgileri önermede yerine koyalım.
\( 0 \lt \abs{x - 2} \lt \delta \Longrightarrow \abs{(5x + 2) - 12} \lt \varepsilon \)
Adım 2: \( \delta \) Değerini Bulma
Bu önermeyi her \( \varepsilon \gt 0 \) için sağlayan bir \( \delta = \delta(\varepsilon) \gt 0 \) ifadesi bulmaya çalışalım.
\( \abs{(5x + 2) - 12} \lt \varepsilon \)
\( \abs{5x - 10} \lt \varepsilon \)
\( \abs{5(x - 2)} \lt \varepsilon \)
\( 5\abs{x - 2} \lt \varepsilon \)
\( \abs{x - 2} \lt \delta \) olduğu için, \( \abs{x - 2} \) ifadesinin üst sınır değerini \( \delta \) cinsinden \( 5\delta \) şeklinde ifade edebiliriz.
\( 5\abs{x - 2} \lt 5\delta \le \varepsilon \)
Bu durumda her \( \varepsilon \gt 0 \) için önermeyi sağlayacak \( \delta \) değerini aşağıdaki şekilde seçebiliriz.
\( 0 \lt \delta \le \dfrac{\varepsilon}{5} \)
Adım 3: İspat
Herhangi bir \( \varepsilon \gt 0 \) verilmiş olsun.
\( \delta = \dfrac{\varepsilon}{5} \) olarak seçelim ve bu \( \delta \) sayısı için aşağıdaki önermenin sağlandığını gösterelim.
\( 0 \lt \abs{x - 2} \lt \delta \Longrightarrow \abs{(5x + 2) - 12} \lt \varepsilon \)
\( 0 \lt \abs{x - 2} \lt \delta \) olarak kabul edelim.
\( \abs{(5x + 2) - 12} = \abs{5x - 10} \)
\( = \abs{5(x - 2)} = 5\abs{x - 2} \)
\( \abs{x - 2} \) ifadesi için üst sınır değeri olarak \( \delta \) kullanabiliriz.
\( 5\abs{x - 2} \lt 5\delta \)
\( \delta = \dfrac{\varepsilon}{5} \) yazalım.
\( = 5\left(\dfrac{\varepsilon}{5}\right) = \varepsilon \)
Verilen limitin doğruluğunu epsilon-delta tanımını kullanarak göstermiş olduk.
Adım 4: Öncüllerin İncelenmesi
3. adımda elde ettiğimiz \( 0 \lt \delta \le \frac{\varepsilon}{5} \) aralığına göre öncülleri değerlendirelim.
\( \frac{\varepsilon}{10} \) ve \( \frac{\varepsilon}{5} \) değerleri bu aralıkta yer aldığı için \( \delta \) olarak seçilebilir.
Ancak \( \frac{\varepsilon}{3} \) değeri \( \frac{\varepsilon}{5} \)'ten büyük olduğu için bu aralığın dışındadır ve seçilemez.
Buna göre doğru cevap I ve II'dir.