Doğrudan Yerine Koyma Yöntemi
Önceki bölümde polinom fonksiyonlarının ve rasyonel fonksiyonların limitinin, ilgili fonksiyonda \( x = a \) yazarak tek adımda hesaplanabildiğini gördük. Bu şekilde limit hesaplama yöntemine doğrudan yerine koyma yöntemi denir.
\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) \)
Limit tanımında, limitin bir noktadaki fonksiyon değeri ile değil, fonksiyonun o nokta civarındaki davranışı ile ilgili olduğunu belirtmiştik. Bu açıdan bakınca, limit değerini bulmak için fonksiyonun o noktadaki değerini hesaplıyor olmamız bir çelişki gibi gözükebilir.
Önümüzdeki bölümde detaylı inceleyeceğimiz süreklilik kavramına göre, bir fonksiyon bir noktada sürekli ise fonksiyonun o noktada limiti vardır ve o noktadaki fonksiyon değerine eşittir. Dolayısıyla belirli bir noktada sürekli olduğu bilinen bir fonksiyonun o noktadaki limiti yerine aynı noktadaki fonksiyon değeri kullanılabilir.
Temel fonksiyonların önemli bir kısmı en geniş tanım kümeleri içinde süreklidirler, dolayısıyla bu fonksiyonların aşağıdaki tabloda belirtilen aralıklarda limitini hesaplamak için doğrudan yerine koyma yöntemi kullanılabilir.
| Fonksiyon | Denklem | En Geniş Tanım Kümesi |
|---|---|---|
| Sabit fonksiyon | \( f(x) = c \) | Tüm reel sayılar |
| Doğrusal fonksiyon | \( f(x) = mx + c \) | Tüm reel sayılar |
| Kuvvet fonksiyonu(\( n \in \mathbb{Z^+} \)) | \( f(x) = x^n \) | Tüm reel sayılar |
| Köklü fonksiyon (çift dereceli)(\( n \in \mathbb{Z^+} \)) | \( f(x) = \sqrt[2n]{x} \) | \( [0, \infty) \) |
| Köklü fonksiyon (tek dereceli)(\( n \in \mathbb{Z^+} \)) | \( f(x) = \sqrt[2n + 1]{x} \) | Tüm reel sayılar |
| Mutlak değer fonksiyonu | \( f(x) = \abs{x} \) | Tüm reel sayılar |
| Polinom fonksiyonu | \( f(x) = a_nx^n + \ldots + a_0 \) | Tüm reel sayılar |
| Rasyonel fonksiyon | \( f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)} \) | Paydayı sıfır yapan noktalar hariç tüm reel sayılar |
| Üstel fonksiyon(\( a \gt 0, a \ne 1 \)) | \( f(x) = a^x \) | Tüm reel sayılar |
| Logaritma fonksiyonu(\( a \gt 0, a \ne 1 \)) | \( f(x) = \log_a{x} \) | \( (0, \infty) \) |
| Sinüs fonksiyonu | \( f(x) = \sin{x} \) | Tüm reel sayılar |
| Kosinüs fonksiyonu | \( f(x) = \cos{x} \) | Tüm reel sayılar |
| Tanjant fonksiyonu | \( f(x) = \tan{x} \) | \( \{ \ldots, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots \} \) hariç tüm reel sayılar |
| Kotanjant fonksiyonu | \( f(x) = \cot{x} \) | \( \{ \ldots, 0, \pi, 2\pi, \ldots \} \) hariç tüm reel sayılar |
| Sekant fonksiyonu | \( f(x) = \sec{x} \) | \( \{ \ldots, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots \} \) hariç tüm reel sayılar |
| Kosekant fonksiyonu | \( f(x) = \csc{x} \) | \( \{ \ldots, 0, \pi, 2\pi, \ldots \} \) hariç tüm reel sayılar |
| Ters sinüs fonksiyonu | \( f(x) = \arcsin{x} \) | \( [-1, 1] \) |
| Ters kosinüs fonksiyonu | \( f(x) = \arccos{x} \) | \( [-1, 1] \) |
| Ters tanjant fonksiyonu | \( f(x) = \arctan{x} \) | Tüm reel sayılar |
| Ters kotanjant fonksiyonu | \( f(x) = \arccot{x} \) | Tüm reel sayılar |
| Ters sekant fonksiyonu | \( f(x) = \arcsec{x} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) |
| Ters kosekant fonksiyonu | \( f(x) = \arccsc{x} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) |
Yukarıdaki fonksiyon tanımlarındaki \( x \) değişkenleri yerine bir diğer fonksiyon gelmesi durumunda, bu fonksiyonu süreksiz/tanımsız yapan noktaların \( f \) fonksiyonunu da süreksiz/tanımsız yapacağı akılda tutulmalıdır.
Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
(a) \( \lim\limits_{x \to 5} (4x^2 - x + 5) \)
(b) \( \lim\limits_{h \to -2} (h^4 + 2h^3 - 7h + 1) \)
(c) \( \lim\limits_{y \to 3} (2y^3 + 3y - 2) \)
Çözümü GösterTüm seçeneklerde limiti alınan ifadeler polinom fonksiyonudur, dolayısıyla tüm reel sayılarda süreklidir. Buna göre doğrudan yerine koyma yöntemini kullanarak limit değerini bulabiliriz.
(a) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 5} (4x^2 - x + 5) \)
\( = 4(5)^2 - 5 + 5 \)
\( = 100 - 5 + 5 = 100 \)
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{h \to -2} (h^4 + 2h^3 - 7h + 1) \)
\( = (-2)^4 + 2(-2)^3 - 7(-2) + 1 \)
\( = 16 - 16 + 14 + 1 = 15 \)
(c) seçeneği:
\( \lim\limits_{y \to 3} (2y^3 + 3y - 2) \)
\( = 2(3)^3 + 3(3) - 2 \)
\( = 54 + 9 - 2 = 61 \)
Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
(a) \( \lim\limits_{x \to 2} (x^2 - \sqrt{x} + 3^x) \)
(b) \( \lim\limits_{x \to 4} (e^{x+1} + \sqrt{x + 5} - \sin(x\pi)) \)
(c) \( \lim\limits_{x \to -13} (\sqrt[3]{2x - 1} + \abs{x} + \cos(x\pi)) \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 2} (x^2 - \sqrt{x} + 3^x) \)
\( \sqrt{x} \) ifadesi sıfır ve pozitif reel sayılarda, diğer terimler tüm reel sayılarda sürekli oldukları için \( x = 2 \) noktasında süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.
\( = 2^2 - \sqrt{2} + 3^2 \)
\( = 4 - \sqrt{2} + 9 \)
\( = 13 - \sqrt{2} \)
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 4} (e^{x+1} + \sqrt{x + 5} - \sin(x\pi)) \)
\( \sqrt{x + 5} \) ifadesi \( x \ge -5 \) için, diğer terimler tüm reel sayılarda sürekli oldukları için \( x = 4 \) noktasında süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.
\( = e^{4+1} + \sqrt{4 + 5} - \sin(4\pi) \)
\( = e^5 + \sqrt{9} - 0 \)
\( = e^5 + 3 \)
(c) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to -13} (\sqrt[3]{2x - 1} + \abs{x} + \cos(x\pi)) \)
Tüm terimler tüm reel sayılarda sürekli oldukları için \( x = -13 \) noktasında süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.
\( = \sqrt[3]{2(-13) - 1} + \abs{-13} + \cos(-13\pi) \)
\( = \sqrt[3]{-27} + 13 + (-1) \)
\( = 9 \)
\( \lim\limits_{a \to 3} \dfrac{a\sqrt{a} - a}{a - 2} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterÖnce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.
Paydaki \( \sqrt{a} \) ifadesi sıfır ve pozitif reel sayılarda, diğer terimler tüm reel sayılarda sürekli oldukları için \( a = 3 \) noktasında süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.
\( \lim\limits_{a \to 3} (a\sqrt{a} - a) = 3\sqrt{3} - 3 \)
\( \lim\limits_{a \to 3} (a - 2) = 3 - 2 = 1 \)
Pay ve paydadaki ifadelerin limiti olduğu ve paydadaki ifadenin limiti sıfırdan farklı olduğu için limit bölme kuralını kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{a \to 3} \dfrac{a\sqrt{a} - a}{a - 2} = \dfrac{\lim\limits_{a \to 3} (a\sqrt{a} - a)}{\lim\limits_{a \to 3} (a - 2)} \)
\( = \dfrac{3\sqrt{3} - 3}{1} = 3\sqrt{3} - 3 \) bulunur.
\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 5x + 4}{\sqrt[3]{x^3 + 3x - 6}} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterÖnce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.
Pay ve paydadaki ifadeler tüm reel sayılarda sürekli oldukları için \( x = 2 \) noktasında süreklidirler, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to 2} (x^2 + 5x + 4) = 2^2 + 5(2) + 4 = 18 \)
\( \lim\limits_{x \to 2} \sqrt[3]{x^3 + 3x - 6} = \sqrt[3]{2^3 + 3(2) - 6} \)
\( = \sqrt[3]{8} = 2 \)
Pay ve paydadaki ifadelerin limiti olduğu ve paydadaki ifadenin limiti sıfırdan farklı olduğu için limit bölme kuralını kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 5x + 4}{\sqrt[3]{x^3 + 3x - 6}} = \dfrac{\lim\limits_{x \to 2} (x^2 + 5x + 4)}{\lim\limits_{x \to 2} \sqrt[3]{x^3 + 3x - 6}} \)
\( = \dfrac{18}{2} = 9 \) bulunur.
Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
(a) \( \lim\limits_{x \to 5} (x^2\log_5{x} - 3\sqrt{5x}) \)
(b) \( \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{2^x}{x} - 4^x + 5\ln{x} \right) \)
(c) \( \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{3}{x + 1} + \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} \right) \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 5} (x^2\log_5{x} - 3\sqrt{5x}) \)
\( x^2 \) ifadesi tüm reel sayılarda, \( \log_5{x} \) ifadesi pozitif reel sayılarda ve \( 3\sqrt{5x} \) ifadesi sıfır ve pozitif reel sayılarda sürekli oldukları için \( x = 5 \) noktasında süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.
\( = 5^2\log_5{5} - 3\sqrt{5 \cdot 5} \)
\( = 25 \cdot 1 - 3\sqrt{25} \)
\( = 10 \)
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{2^x}{x} - 4^x + 5\ln{x} \right) \)
\( 2^x \) ve \( x \) ifadeleri tüm reel sayılarda süreklidir, \( \frac{2^x}{x} \) ifadesi ise \( x = 0 \) hariç tüm reel sayılarda süreklidir.
\( 4^x \) ifadesi tüm reel sayılarda, \( 5\ln{x} \) ifadesi pozitif reel sayılarda süreklidir.
Buna göre limit ifadesindeki terimler \( x = 1 \) noktasında süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.
\( = \dfrac{2^1}{1} - 4^1 + 5\ln{1} \)
\( = 2 - 4 + 0 \)
\( = -2 \)
(c) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{3}{x + 1} + \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} \right) \)
Verilen ifadedeki terimler paydalarını sıfır yapan \( x \) değerleri hariç tüm reel sayılarda süreklidir.
Buna göre limit ifadesindeki tüm terimler \( x = 0 \) noktasında süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.
\( = \dfrac{3}{0 + 1} + \dfrac{\sin{0}}{\cos{0}} \)
\( = 3 + \dfrac{0}{1} \)
\( = 3 \)
\( \lim\limits_{x \to e} \dfrac{\ln{x} - e^2}{\frac{x}{e} - x} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterÖnce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.
Paydaki logaritma fonksiyonu pozitif reel sayılarda, paydadaki doğrusal fonksiyon tüm reel sayılarda sürekli oldukları için \( x = e \) noktasında süreklidirler, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to e} (\ln{x} - e^2) = \ln{e} - e^2 = 1 - e^2 \)
\( \lim\limits_{x \to e} \left( \dfrac{x}{e} - x \right) = \dfrac{e}{e} - e = 1 - e \)
Pay ve paydadaki ifadelerin limiti olduğu ve paydadaki ifadenin limiti sıfırdan farklı olduğu için limit bölme kuralını kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to e} \dfrac{\ln{x} - e^2}{\frac{x}{e} - x} = \dfrac{\lim\limits_{x \to e} (\ln{x} - e^2)}{\lim\limits_{x \to e} (\frac{x}{e} - x)} \)
\( = \dfrac{1 - e^2}{1 - e} \)
Paydaki ifadeye kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
\( = \dfrac{(1 - e)(1 + e)}{1 - e} \)
\( = 1 + e \) bulunur.
\( \lim\limits_{x \to 4} [\log_3(x^3 + 2x^2 - 9x - 18)] - \lim\limits_{x \to 4} [\log_3(x^2 + 5x + 6)] \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterLogaritma ifadelerinin içindeki polinomları çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \)
\( x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = x^2(x + 2) - 9(x + 2) \)
\( = (x + 2)(x^2 - 9) = (x + 2)(x - 3)(x + 3) \)
Limit ifadesini çarpanları cinsinden yazalım.
\( \lim\limits_{x \to 4} [\log_3(x + 2)(x - 3)(x + 3)] - \lim\limits_{x \to 4} [\log_3(x + 2)(x + 3)] \)
İki limitin farkı farkların limitine eşittir.
\( = \lim\limits_{x \to 4} [\log_3(x + 2)(x - 3)(x + 3)] - \log_3(x + 2)(x + 3)] \)
İki logaritma ifadesinin farkı logaritması alınan ifadelerin bölümünün aynı tabanda logaritmasına eşittir.
\( = \lim\limits_{x \to 4} \log_3 \dfrac{(x + 2)(x - 3)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} \)
Logaritma ifadesinin payı ve paydası sadeleşir.
\( = \lim\limits_{x \to 4} \log_3 (x - 3) \)
Logaritma fonksiyonu tüm pozitif reel sayılarda tanımlı ve sürekli olduğu için logaritmanın limiti o noktadaki logaritma değerine eşittir.
\( = \log_3 (4 - 3) \)
\( = 0 \) bulunur.
\( \lim\limits_{x \to a^-} \abs{x - 4} + \lim\limits_{x \to a^+} \abs{7 - x} = 3 \) olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( \abs{ax + b} \) şeklindeki bir mutlak değer fonksiyonun grafiği süreklidir, dolayısıyla fonksiyonun herhangi bir noktadaki soldan ve sağdan limitleri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
Buna göre verilen limit değerlerini direkt yerine koyma yöntemi ile bulabiliriz.
\( \abs{a - 4} + \abs{7 - a} = 3 \)
Bu denklemin kritik noktaları \( a = 4 \) ve \( a = 7 \)'dir. Buna göre bu kritik noktaların oluşturduğu üç aralık için ayrı denklemler yazalım.
Durum 1: \( a \lt 4 \) için:
\( -(a - 4) + (7 - a) = 3 \)
\( -a + 4 + 7 - a = 3 \)
\( a = 4 \)
\( a = 4 \) ilgili aralıkta olmadığı için bu aralıkta geçerli bir çözüm değildir.
Durum 2: \( 4 \le a \lt 7 \) için:
\( (a - 4) + (7 - a) = 3 \)
\( 3 = 3 \)
Her durumda geçerli bir eşitlik elde ettiğimiz için bu aralıktaki tüm \( a \) tam sayı değerleri geçerli birer çözümdür.
\( a \in \{4, 5, 6\} \)
Durum 3: \( 7 \le a \) için:
\( (a - 4) - (7 - a) = 3 \)
\( a - 4 - 7 + a = 3 \)
\( a = 7 \)
\( a = 7 \) ilgili aralıkta olduğu için geçerli bir çözümdür.
Eşitliğin çözüm kümesi üç aralık için bulduğumuz çözümlerin birleşim kümesidir.
\( a \in \{4, 5, 6, 7\} \)
\( 4 + 5 + 6 + 7 = 22 \) bulunur.