Süreklilik Tanımı
Sürekliliğin sezgisel tanımlarından birine göre, bir fonksiyonun tanımlı olduğu bir noktada grafiğinde herhangi bir kesinti bulunmuyorsa fonksiyon bu noktada süreklidir, aksi durumda süreksizdir. Bu nedenle süreklilik, bir fonksiyonun grafiğinin tanımlı olduğu bir noktadan geçerken kalem kaldırmadan çizilebilmesi şeklinde düşünülebilir.
Sürekliliğin en yaygın tanımlarından biri limit kavramına dayanır. Aşağıda bu tanımı inceleyecek, önümüzdeki bölümde ise sürekliliğin standart matematiksel tanımı olan epsilon-delta tanımını ele alacağız.
Bir fonksiyonun sürekliliği bir nokta, bir aralık veya fonksiyonun tümü için incelenebilir.
Sürekliliğin Limit Tanımı
Bir Noktada Süreklilik
Bir \( f \) fonksiyonunun uç nokta olmayan bir \( x = a \) noktasında sürekli olması için aşağıdaki üç koşul sağlanmalıdır.
- Fonksiyonun bu noktada (iki taraflı) limiti olmalıdır (\( \lim\limits_{x \to a} f(x) \)).
- Fonksiyon bu noktada tanımlı olmalıdır (\( f(a) \)).
- Fonksiyonun bu noktadaki limit değeri fonksiyon değerine eşit olmalıdır (\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)) \).
Bu üç koşuldan herhangi biri sağlanmıyorsa (fonksiyonun bu noktada limiti yoksa, fonksiyon bu noktada tanımlı değilse ya da limit değeri fonksiyon değerine eşit değilse) \( f \) fonksiyonu bu noktada süreksizdir.
\( f \) fonksiyonu \( a \) noktasını içeren bir açık aralıkta tanımlı olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} f(x) \) mevcut, \( f(a) \) tanımlı ve \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) \) ise,
\( f \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında süreklidir.
Aksi takdirde, \( f \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında süreksizdir.
Bu tanım iki yönlüdür, yani bir fonksiyon bir noktada sürekli ise o noktada limiti vardır, fonksiyon tanımlıdır ve o noktadaki limit ve fonksiyon değerleri birbirine eşittir.
Aşağıdaki eşitlik yukarıdaki üç koşulun da sağlanmasını gerektirdiği için, süreklilik aşağıdaki eşdeğer ifadeyle de tanımlanabilir.
\( \lim\limits_{x \to a} [f(x) - f(a)] = 0 \) ise,
\( f \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında süreklidir.
İSPATI GÖSTER
İspat 1:
Önce verilen eşitlik doğru ise süreklilik tanımındaki üç koşulun sağlandığını gösterelim.
Süreklilik tanımına göre, \( f \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasında sürekli olması için aşağıdaki üç koşul sağlanmalıdır.
- Fonksiyonun bu noktada limiti olmalıdır (\( \lim\limits_{x \to a} f(x) \)).
- Fonksiyon bu noktada tanımlı olmalıdır (\( f(a) \)).
- Fonksiyonun bu noktadaki limit değeri fonksiyon değerine eşit olmalıdır (\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)) \).
Aşağıdaki eşitlik doğru ise bu üç koşulun da sağlandığını gösterelim.
\( \lim\limits_{x \to a} [f(x) - f(a)] = 0 \)
Koşul 2:
\( f(a) \) tanımsız olursa \( f(x) - f(a) \) ifadesi de tanımsız olur, dolayısıyla bu ifadenin \( x = a \) noktasında limiti olamaz.
Buna göre verilen limitin olması için \( f(a) \) tanımlı olmalı ve ikinci süreklilik koşulu sağlanmalıdır.
Koşul 1:
\( f(x) \) fonksiyonunu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( f(x) = [f(x) - f(a)] + f(a) \)
\( x \to a \) iken iki tarafın limitini alalım.
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = \lim\limits_{x \to a} ([f(x) - f(a)] + f(a)) \)
\( \lim\limits_{x \to a} [f(x) - f(a)] \) limiti 0 olarak veriliyor.
\( \lim\limits_{x \to a} {f(a)} \) limiti \( f(a) \) tanımlı olduğu için sabit \( f(a) \) değerine eşittir.
Her iki limit de olduğu için toplamları olan \( f(x) \) fonksiyonunun da \( x = a \) noktasında limiti vardır.
Buna göre birinci süreklilik koşulu sağlanır.
Koşul 3:
İkinci maddedeki eşitliği kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = \lim\limits_{x \to a} ([f(x) - f(a)] + f(a)) \)
Her iki limitin de olduğunu gösterdiğimiz için limit toplam kuralını kullanabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to a} [f(x) - f(a)] + \lim\limits_{x \to a} {f(a)} \)
Birinci limit sıfıra, ikinci limit sabit \( f(a) \) değerine eşittir.
\( = 0 + f(a) = f(a) \)
Buna göre üçüncü süreklilik koşulu sağlanır.
İspat 2:
Şimdi de süreklilik tanımındaki üç koşul sağlanıyorsa verilen eşitliğin sağlandığını gösterelim.
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = f(a) \)
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} - f(a) = 0 \)
Sabit bir değerin limiti değerin kendisine eşittir.
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} - \lim\limits_{x \to a} {f(a)} = 0 \)
Her iki limit ifadesi de tanımlı olduğu için limit toplam kuralını kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to a} [f(x) - f(a)] = 0 \)
Soldan ve Sağdan Süreklilik
Limite benzer şekilde, bir noktada soldan ve sağdan süreklilik de tanımlanabilir.
\( x = a \) noktasının solunda tanımlı olmak üzere, bir fonksiyonun (uç nokta olan ya da olmayan) bir \( x = a \) noktasındaki soldan limiti bu noktadaki fonksiyon değerine eşitse fonksiyon bu noktada soldan süreklidir.
\( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) \) mevcut, \( f(a) \) tanımlı ve \( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = f(a) \) ise,
\( f \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında soldan süreklidir.
Aksi takdirde, \( f \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında soldan sürekli değildir.
\( x = a \) noktasının sağında tanımlı olmak üzere, bir fonksiyonun (uç nokta olan ya da olmayan) bir \( x = a \) noktasındaki sağdan limiti bu noktadaki fonksiyon değerine eşitse fonksiyon bu noktada sağdan süreklidir.
\( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) \) mevcut, \( f(a) \) tanımlı ve \( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = f(a) \) ise,
\( f \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında sağdan süreklidir.
Aksi takdirde, \( f \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında sağdan sürekli değildir.
Uç Noktalarda Süreklilik
\( [a, b] \) aralığında tanımlı bir fonksiyonun uç noktalardaki sürekliliğinde, sadece fonksiyonun tanımlı olduğu yönlerdeki (\( x = a \) noktasında sağdan, \( x = b \) noktasında soldan) sürekliliğe bakılır.
\( f: [a, b] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = f(a) \) ise,
\( f \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında süreklidir.
\( \lim\limits_{x \to b^-} f(x) = f(b) \) ise,
\( f \) fonksiyonu \( x = b \) noktasında süreklidir.
Buna göre \( [a, b] \) aralığında tanımlı aşağıdaki \( f \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında sürekli iken \( x = b \) noktasında süreksizdir. Uç noktalardaki süreklilik tek taraflı sürekliliğe bağlı olduğu için \( x = a \) noktası için sadece "sağdan sürekli" değil, bir yön belirtmeden "sürekli" ifadesi de kullanılabilir.
\( f: [a, b] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = f(a) \)
\( \lim\limits_{x \to b^-} f(x) \ne f(b) \)
İç ve uç noktalardaki sürekliliği özetlemek gerekirse, bir fonksiyonun bir iç noktasında sürekli olması için (\( x = c \) noktası) o noktada hem soldan hem de sağdan sürekli olmalıdır. Fonksiyonun bir uç noktasında (\( x = a \) ve \( x = b \) noktaları) sürekli olması için ise tanımlı olduğu yönde (soldan ya da sağdan) sürekli olması yeterlidir.
Bir Aralıkta Süreklilik
Yukarıda yaptığımız iç ve uç noktalardaki süreklilik tanımları, bir aralıkta sürekliliğe aşağıdaki şekilde uyarlanabilir.
\( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığındaki tüm noktalarda sürekli ise \( (a, b) \) açık aralığında süreklidir.
\( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığındaki tüm noktalarda sürekli ve ayrıca \( a \) noktasında sağdan sürekli ise \( [a, b) \) yarı açık aralığında süreklidir.
\( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığındaki tüm noktalarda sürekli ve ayrıca \( b \) noktasında soldan sürekli ise \( (a, b] \) yarı açık aralığında süreklidir.
\( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığındaki tüm noktalarda sürekli ve ayrıca \( a \) noktasında sağdan, \( b \) noktasında soldan sürekli ise \( [a, b] \) kapalı aralığında süreklidir.
Bir Fonksiyonun Sürekliliği
Bir fonksiyon tanım kümesindeki tüm noktalarda süreklilik koşullarını sağlıyorsa sürekli bir fonksiyondur. Buna göre, bir fonksiyonun sürekli bir fonksiyon olup olmadığına karar vermek için sadece tanımlı olduğu noktalardaki sürekliliği incelemek yeterlidir.
Buna göre reel sayıların bir alt kümesinde tanımlı olan aşağıdaki fonksiyonlar yukarıdaki koşulları sağladıkları için sürekli fonksiyonlardır.
- Tanım kümesi \( [0, \infty) \) olan karekök fonksiyonu
- Tanım kümesi \( (0, \infty) \) olan logaritma fonksiyonu
Benzer şekilde tanımsız noktaları olan aşağıdaki fonksiyonlar da yukarıdaki koşulları sağladıkları için sürekli fonksiyonlardır.
- Tanım kümesi \( \{\frac{\pi}{2} + k\pi\} \) hariç tüm reel sayılar olan tanjant fonksiyonu
- Tanım kümesi \( \{k\pi\} \) hariç tüm reel sayılar olan kotanjant fonksiyonu
Tanımsız Noktalarda Süreklilik
Bir fonksiyonun tanımlı olduğu bir noktadaki sürekliliği yukarıdaki tanımlar doğrultusunda incelenebilir ve fonksiyonun o noktada sürekli ya da süreksiz olduğuna karar verilebilir.
Bir fonksiyonun tanımsız olduğu bir noktanın süreklilik açısından nasıl değerlendirileceği konusunda iki farklı yaklaşım bulunmaktadır.
- Birinci görüşe göre, fonksiyonun tanımsız olduğu bir noktada süreksiz olduğundan da bahsedilemez, bu nokta süreklilik açısından incelenemez.
- İkinci görüşe göre, süreklilik koşullarını sağlamayan her nokta süreksiz olarak kabul edilir. Bu nedenle fonksiyonun tanımsız olduğu noktalar da süreksiz noktalar arasında değerlendirilir. Biz de bu konu anlatımında bu görüşü benimseyeceğiz.
Aşağıdaki fonksiyon tanım kümesindeki tüm noktalarda sürekli olduğu için sürekli bir fonksiyondur. Bahsettiğimiz birinci görüşe göre, fonksiyonun tanımsız olduğu \( x = 5 \) noktasında sürekliliği incelenmez ve bu noktada süreksiz olduğundan bahsedilemez. İkinci görüşe göre ise, fonksiyonun bu noktada süreksiz olduğu (ya da süreksizlik içerdiği) söylenebilir.
Benimsediğimiz görüşe göre, bir noktada süreklilikten söz edebilmek için fonksiyonun o noktada tanımlı olması gerekir, süreksizlik ise fonksiyonun tanımsız olduğu noktalar için de kullanılabilir.
Bir fonksiyonun sürekli bir fonksiyon olup olmadığı ise yalnızca tanım kümesindeki noktalara bakılarak belirlenir. Bu nedenle bir fonksiyon, sürekli bir fonksiyon olduğu halde süreksizlik noktaları içerebilir. Örnek olarak tanjant fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur, ancak \( x \in \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \} \) noktalarında süreksizlik içerir.
Gerçek Hayattan Örnekler
Sürekli fonksiyonlara gerçek hayattan aşağıdaki örnekler verilebilir. Bu fonksiyonların değeri anlık sıçramalar içermez, örneğin bir odanın sıcaklığı 20 dereceden 22 dereceye bir anda çıkmaz, aradaki tüm reel sayı değerleri alarak sürekli bir değişim gösterir.
- Bir ağacın boyunun zamana göre grafiği
- Bir aracın konumunun zamana göre grafiği
- Bir aracın hızının zamana göre grafiği
- Bir gün içindeki hava sıcaklığının zamana göre grafiği
Sürekli olmayan fonksiyonlara aşağıdaki örnekler verilebilir.
- Bir banka hesabındaki bakiyenin zamana göre grafiği: Gelen ve giden transferlerle bakiyede anlık değişimler oluşur.
- Bir ürünün fiyatının zamana göre grafiği: Fiyat belirli aralıklarda sabit kalır, belirli noktalarda anlık değişimler gösterir.
\( \lim\limits_{x \to 2} f(x) = 5 \) olduğuna göre, \( f(x) \) fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangileri kesinlikle doğrudur?
I. \( x = 2 \) noktasında süreklidir.
II. \( x = 2 \) noktasında tanımlıdır.
III. \( f(2) = 5 \)
IV. \( x = 2 \) noktasındaki soldan ve sağdan limitleri birbirine eşittir.
Çözümü GösterBir fonksiyonun belirli bir noktada limitinin olması, fonksiyonun o noktada sürekli olmasını gerektirmez.
Bu nedenle I. öncül kesinlikle doğrudur diyemeyiz.
Fonksiyonun bir \( x \) noktasında limitinin olması için fonksiyonun o noktada tanımlı olması ya da o noktadaki fonksiyon değerinin soldan/sağdan limit değerine eşit olması gerekli değildir.
Bu nedenle II. ve III. öncüller kesinlikle doğrudur diyemeyiz.
Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limitleri birer reel sayı olarak mevcut ve birbirine eşitse fonksiyonun o noktada iki taraflı limiti vardır ve soldan ve sağdan limit değerine eşittir.
\( \lim\limits_{x \to 2} f(x) = 5 \) olduğuna göre, \( x = 2 \) noktasındaki soldan ve sağdan limitler \( 5 \)'e eşittir.
\( \lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = 5 = \lim\limits_{x \to 2^+} f(x) \)
Bu nedenle IV. öncül kesinlikle doğrudur.
Sonuç olarak, verilen ifadelerden sadece IV. öncül kesinlikle doğrudur.
Bir fonksiyonun bir noktadaki iki taraflı limiti ve sürekliliği ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?
I. Sürekli ise tanımlıdır.
II. Sürekli ise limiti vardır.
III. Limiti varsa süreklidir.
IV. Limiti varsa tanımlıdır.
Çözümü GösterBir \( f \) fonksiyonunun bir \( x = a \) noktasında sürekli olması için aşağıdaki üç koşul sağlanmalıdır.
- Fonksiyonun bu noktada (iki taraflı) limiti olmalıdır (\( \lim\limits_{x \to a} f(x) \)).
- Fonksiyon bu noktada tanımlı olmalıdır (\( f(a) \)).
- Fonksiyonun bu noktadaki limit değeri fonksiyon değerine eşit olmalıdır (\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)) \).
Dolayısıyla I. ve II. ifadeler doğrudur.
Yukarıdaki tanıma göre bir fonksiyonun bir noktada tanımlı olması ya da limitinin var olması tek başına o noktada sürekli olması için yeterli değildir.
Buna göre III. ifade her zaman doğru değildir.
Bir noktanın limitinin olması için fonksiyonun o noktada tanımlı olma koşulu yoktur.
IV. öncül her zaman doğru değildir.
Buna göre I. ve II. ifadeler her zaman doğrudur.