Sürekliliğin Grafik Yorumu
Konu tekrarı için: Limitin Grafik Yorumu
Aşağıda \( x = a \) noktasında sürekli birkaç örnek fonksiyonun grafiği verilmiştir.
| Grafik | Açıklama | |
|---|---|---|
|
\( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = b \) \( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = b \) \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = b \) \( f(a) = b \) Fonksiyon \( a \) noktasında tanımlıdır, bu noktada limiti vardır ve limit değeri fonksiyon değerine eşittir, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreklidir. |
|
|
\( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = b \) \( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = b \) \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = b \) \( f(a) = b \) Parçalı fonksiyon \( a \) noktasında tanımlıdır, bu noktada limiti vardır ve limit değeri fonksiyon değerine eşittir, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreklidir. |
Aşağıda \( x = a \) noktasında süreksiz birkaç örnek fonksiyonun grafiği verilmiştir.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
\( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = b \) \( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = b \) \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = b \) \( f(a) \) tanımsızdır. Limit olsa da fonksiyon tanımsız olduğu için fonksiyon bu noktada süreksizdir. |
|
\( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = b \) \( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = b \) \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = b \) \( f(a) = c \) Limit vardır ve fonksiyon tanımlıdır, ama limit değeri fonksiyon değerine eşit olmadığı için fonksiyon bu noktada süreksizdir. |
|
\( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = b \) \( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = c \) \( \lim\limits_{x \to a} f(x) \) limiti yoktur. \( f(a) \) tanımsızdır. Soldan ve sağdan limitler birbirine eşit olmadığı ve fonksiyon tanımsız olduğu için fonksiyon bu noktada süreksizdir. |
|
\( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = b \) \( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = c \) \( \lim\limits_{x \to a} f(x) \) limiti yoktur. \( f(a) = b \) Fonksiyon tanımlıdır, ancak soldan ve sağdan limitler birbirine eşit olmadığı için fonksiyon bu noktada süreksizdir. |
|
\( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = -\infty \) \( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \infty \) \( \lim\limits_{x \to a} f(x) \) limiti yoktur. \( f(a) \) tanımsızdır. Limit yoktur ve fonksiyon tanımsızdır, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreksizdir. |
|
\( f(x) = \begin{cases} x & x \le 0 \\ \frac{1}{x} & x \gt 0 \end{cases} \) \( \lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = 0 \) \( \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \infty \) \( \lim\limits_{x \to 0} f(x) \) limiti yoktur. \( f(0) = 0 \) Fonksiyon tanımlıdır, ancak soldan ve sağdan limitler birbirine eşit olmadığı için fonksiyon bu noktada süreksizdir. |
|
\( f(x) = \sin{\dfrac{1}{x}} \) \( \lim\limits_{x \to 0^-} f(x) \) limiti yoktur. \( \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) \) limiti yoktur. \( \lim\limits_{x \to 0} f(x) \) limiti yoktur. \( f(0) \) tanımsızdır. Limit yoktur ve fonksiyon tanımsızdır, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreksizdir. |
Özel Fonksiyonlar
Fonksiyonlar konusunda gördüğümüz özel fonksiyonlar, süreklilik açısından özel olarak incelenmesi gereken fonksiyonlardır.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
İşaret fonksiyonu
İşaret fonksiyonu \( x = 0 \) noktasında süreksiz, diğer noktalarda süreklidir. |
|
Taban fonksiyonu
Taban fonksiyonu \( x \)'in tam sayı değerlerinde süreksiz, diğer noktalarda süreklidir. Fonksiyon \( x \)'in tam sayı değerlerinde sadece sağdan süreklidir. |
|
Tavan fonksiyonu
Tavan fonksiyonu \( x \)'in tam sayı değerlerinde süreksiz, diğer noktalarda süreklidir. Fonksiyon \( x \)'in tam sayı değerlerinde sadece soldan süreklidir. |
|
Ondalık kısım fonksiyonu
Ondalık kısım fonksiyonu \( x \)'in tam sayı değerlerinde süreksiz, diğer noktalarda süreklidir. Fonksiyon \( x \)'in tam sayı değerlerinde sadece sağdan süreklidir. |
Yukarıda \( y = f(x) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. Fonksiyonun verilen aralıkta 4 noktada limiti yoktur.
II. Fonksiyon verilen aralıkta 4 noktada sürekli değildir.
III. Fonksiyon \( x \in [2, 3] \) aralığında süreklidir.
Çözümü GösterI. öncül:
\( x \in \{ -3, 2, 3 \} \) noktalarında soldan ve sağdan limitler olsa da birbirine eşit olmadığı için fonksiyonun bu noktalarda limiti yoktur.
\( x = 0 \) noktasında ise soldan ve sağdan limitler mevcut ve birbirine eşit olduğu için fonksiyonun bu noktada limiti vardır.
I. öncül yanlıştır.
II. öncül:
Verilen grafiğe göre fonksiyon \( x \in \{ -3, 0, 2, 3 \} \) noktalarında sürekli değildir.
II. öncül doğrudur.
III. öncül:
Bir fonksiyon \( (a, b) \) aralığında tüm noktalarda sürekli ise ve ayrıca \( a \) noktasında sağdan ve \( b \) noktasında soldan sürekli ise \( [a, b] \) kapalı aralığında süreklidir.
\( f \) fonksiyonu \( (2, 3) \) açık aralığında süreklidir, ayrıca \( x = 2 \) noktasında sağdan ve \( x = 3 \) noktasında soldan süreklidir. Dolayısıyla fonksiyon \( [2, 3] \) kapalı aralığında süreklidir.
III. öncül doğrudur.
Buna göre II. ve III. öncüller doğrudur.
Yukarıda \( (-6, 5] \) aralığında tanımlı \( y = f(x) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre \( f \) fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( (-6, -4) \) aralığında süreklidir.
II. \( x = -4 \) apsisli noktada süreksizdir.
III. \( x = 2 \) apsisli noktada süreklidir.
IV. \( [3, 5] \) aralığında süreklidir.
Çözümü GösterI. öncül:
Bir fonksiyonun bir açık aralıkta sürekli olması için fonksiyon bu açık aralıktaki tüm noktalarda sürekli olmalıdır. \( f \) fonksiyonu \( (-6, -4) \) açık aralığındaki tüm noktalarda süreklidir.
I. öncül doğrudur.
II. öncül:
\( x = -4 \) apsisli noktada fonksiyonun iki taraflı limiti yoktur, dolayısıyla bu noktada fonksiyon süreksizdir.
II. öncül doğrudur.
III. öncül:
\( x = 2 \) apsisli noktada fonksiyonun iki taraflı limiti vardır, ancak bu noktadaki fonksiyon değerine eşit değildir. Dolayısıyla \( x = 2 \) noktasında fonksiyon süreksizdir.
III. öncül yanlıştır.
VI. öncül:
Bir fonksiyonun bir kapalı aralıkta sürekli olması için fonksiyon tüm ara noktalarda iki taraflı, uç noktalarda da tek taraflı sürekli olmalıdır. \( f \) fonksiyonu \( (3, 5) \) açık aralığındaki tüm noktalarda süreklidir, ayrıca \( x = 3 \) noktasında sağdan, \( x = 5 \) noktasında soldan süreklidir.
IV. öncül doğrudur.
Buna göre I., II. ve IV. öncüller doğrudur.
Yukarıda \( y = f(x) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, verilen aralıkta fonksiyonun limitinin olduğu, ancak sürekli olmadığı kaç nokta vardır?
Çözümü Göster\( x = -3 \) noktasında fonksiyonun soldan ve sağdan limitleri birbirine eşit olmadığı için iki taraflı limiti yoktur.
\( x = -2 \) noktasında fonksiyonun soldan ve sağdan limitleri birbirine eşit olduğu için limiti vardır, ancak fonksiyon bu noktada tanımlı olmadığı için sürekli değildir.
\( x = 2 \) noktasında fonksiyonun soldan ve sağdan limitleri birbirine eşit olmadığı için iki taraflı limiti yoktur.
\( x = 3 \) noktasında fonksiyonun soldan ve sağdan limitleri birbirine eşit olduğu için limiti vardır, ancak bu noktadaki fonksiyon değeri limit değerinden farklı olduğu için fonksiyon bu noktada sürekli değildir.
Buna göre, fonksiyonun limitinin olduğu halde sürekli olmadığı \( x = -2 \) ve \( x = 3 \) olmak üzere iki nokta vardır.
Yukarıda \( f \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre \( y = \abs{f(x)} \) fonksiyonu \( (-5, 5) \) aralığında apsisi tam sayı olan kaç noktada süreklidir?
Çözümü Göster\( y = \abs{f(x)} \) fonksiyonunun grafiğini oluşturmak için \( x \) ekseninin altında kalan kısmın \( x \) eksenine göre simetriğini alalım.
Bu grafikte \( (-5, 5) \) aralığında apsisi tam sayı olan sürekli noktaları bulalım.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktada soldan ve sağdan limit değerleri birbirine eşit olmalı ve limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşit olmalıdır.
İstenen koşulları sağlayan 6 nokta vardır.
\( x \in \{ -4, -3, -1, 1, 2, 3 \} \)