Sürekli Fonksiyonlarla İşlemler
Bu bölümde süreklilik durumu bilinen fonksiyonlar arasındaki işlemler sonucunda elde edilen fonksiyonların süreklilik durumlarını inceleyeceğiz.
Sürekli Fonksiyonlar Arasında İşlemler
Cebirsel İşlemler
\( x = a \) noktasında sürekli olan iki fonksiyon arasındaki aşağıdaki işlemlerin sonucu olan fonksiyonlar da bu noktada süreklidir.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları \( x = a \) noktasında sürekli ise,
- \( f + g \) fonksiyonu
- \( f - g \) fonksiyonu
- \( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere, \( cf \) fonksiyonu
- \( fg \) fonksiyonu
\( x = a \) noktasında süreklidir.
- \( f/g \) fonksiyonu
\( g(a) \ne 0 \) ise \( x = a \) noktasında süreklidir.
İSPATI GÖSTER
Süreklilik tanımına göre, \( f \) ve \( g \) fonksiyonları \( x = a \) noktasında sürekli ise aşağıdaki iki eşitlik sağlanır.
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = f(a) \)
\( \lim\limits_{x \to a} {g(x)} = g(a) \)
Toplama İşlemi:
Her iki limit de var olduğu için limit toplama kuralını kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim\limits_{x \to a} {f(x)} + \lim\limits_{x \to a} {g(x)} \)
\( = f(a) + g(a) \)
Fonksiyonlarda toplama işleminin tanımını hatırlayalım.
\( (f + g)(x) = f(x) + g(x) \)
Bu tanımda \( x = a \) yazalım.
\( (f + g)(a) = f(a) + g(a) \)
Bu eşitlikleri limit ifadesinde yerine koyalım.
\( \lim\limits_{x \to a} [(f + g)(x)] = (f + g)(a) \)
Buna göre, \( f + g \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasındaki limiti, fonksiyonun bu noktadaki değerine eşittir, dolayısıyla süreklilik tanımına göre \( f + g \) fonksiyonu bu noktada süreklidir.
Çıkarma İşlemi:
Yukarıdaki ispat toplama işlemi yerine çıkarma işlemi kullanılarak çıkarma işlemine uyarlanabilir.
Çarpma İşlemi:
Her iki limit de var olduğu için limit çarpma kuralını kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to a} [f(x)g(x)] = \lim\limits_{x \to a} {f(x)} \cdot \lim\limits_{x \to a} {g(x)} \)
\( = f(a)g(a) \)
Fonksiyonlarda çarpma işleminin tanımını hatırlayalım.
\( (fg)(x) = f(x)g(x) \)
Bu tanımda \( x = a \) yazalım.
\( (fg)(a) = f(a)g(a) \)
Bu eşitlikleri limit ifadesinde yerine koyalım.
\( \lim\limits_{x \to a} {(fg)(x)} = (fg)(a) \)
Buna göre, \( fg \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasındaki limiti, fonksiyonun bu noktadaki değerine eşittir, dolayısıyla süreklilik tanımına göre \( fg \) fonksiyonu bu noktada süreklidir.
Sabit Çarpım İşlemi:
Birinci limit var olduğu için limit sabit çarpım kuralını kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to a} [cf(x)] = c\lim\limits_{x \to a} {f(x)} \)
\( = cf(a) \)
Fonksiyonlarda sabit çarpım işleminin tanımını hatırlayalım.
\( (cf)(x) = cf(x) \)
Bu tanımda \( x = a \) yazalım.
\( (cf)(a) = cf(a) \)
Bu eşitlikleri limit ifadesinde yerine koyalım.
\( \lim\limits_{x \to a} {(cf)(x)} = (cf)(a) \)
Buna göre, \( cf \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasındaki limiti, fonksiyonun bu noktadaki değerine eşittir, dolayısıyla süreklilik tanımına göre \( cf \) fonksiyonu bu noktada süreklidir.
Bölme İşlemi:
\( g(a) \ne 0 \) olduğunu varsayalım.
Her iki limit de var olduğu ve \( g(a) \ne 0 \) olduğu için limit bölme kuralını kullanabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to a} [f(x)/g(x)] = \lim\limits_{x \to a} {f(x)} / \lim\limits_{x \to a} {g(x)} \)
\( = f(a)/g(a) \)
Fonksiyonlarda bölme işleminin tanımını hatırlayalım.
\( (f/g)(x) = f(x)/g(x) \)
Bu tanımda \( x = a \) yazalım.
\( (f/g)(a) = f(a)/g(a) \)
Bu eşitlikleri limit ifadesinde yerine koyalım.
\( \lim\limits_{x \to a} {(f/g)(x)} = (f/g)(a) \)
Buna göre, \( f/g \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasındaki limiti, fonksiyonun bu noktadaki değerine eşittir, dolayısıyla süreklilik tanımına göre \( f/g \) fonksiyonu bu noktada süreklidir.
Bir noktadaki süreklilik özelliklerini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( f(x) = \sqrt{x} \)
\( g(x) = \log{x} \)
fonksiyonları \( x = 5 \) noktasında sürekli oldukları için,
\( (f + g)(x) = \sqrt{x} + \log{x} \)
\( (f - g)(x) = \sqrt{x} - \log{x} \)
\( (3f)(x) = 3\sqrt{x} \)
\( (fg)(x) = \sqrt{x}\log{x} \)
fonksiyonları \( x = 5 \) noktasında süreklidir.
\( (f/g)(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{\log{x}} \)
fonksiyonu \( \log{5} \ne 0 \) olduğu için \( x = 5 \) noktasında süreklidir.
Süreklilik her noktada ayrı ayrı incelenen bir özellik olduğu için, yukarıda bir nokta için verdiğimiz kurallar fonksiyonların sürekli olduğu aralıklar için de geçerlidir.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları \( I \subseteq \mathbb{R} \) aralığında sürekli ise,
- \( f + g \) fonksiyonu
- \( f - g \) fonksiyonu
- \( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere, \( cf \) fonksiyonu
- \( fg \) fonksiyonu
\( I \) aralığında süreklidir.
- \( f/g \) fonksiyonu
\( g(x) = 0 \) olan noktalar hariç \( I \) aralığında süreklidir.
Bir aralıktaki süreklilik özelliklerini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( f(x) = \sin{x} \)
\( g(x) = x^2 - 1 \)
fonksiyonları tüm reel sayılarda sürekli oldukları için,
\( (f + g)(x) = \sin{x} + (x^2 - 1) \)
\( (f - g)(x) = \sin{x} - (x^2 - 1) \)
\( (3f)(x) = 3\sin{x} \)
\( (fg)(x) = (x^2 - 1)\sin{x} \)
fonksiyonları tüm reel sayılarda süreklidir.
\( (f/g)(x) = \dfrac{\sin{x}}{x^2 - 1} \)
fonksiyonu \( x \in \{-1, 1\} \) noktaları hariç tüm reel sayılarda süreklidir.
Farklı aralıklarda sürekli olan iki fonksiyon arasındaki aşağıdaki işlemlerin sonucu olan fonksiyonlar bu aralıkların kesişim kümesinde (diğer bir ifadeyle, tüm fonksiyonların sürekli olduğu en geniş aralıkta) süreklidir.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları sırasıyla \( I_f \subseteq \mathbb{R} \) ve \( I_g \subseteq \mathbb{R} \) aralıklarında sürekli ise,
- \( f + g \) fonksiyonu
- \( f - g \) fonksiyonu
- \( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere, \( cf \) fonksiyonu
- \( fg \) fonksiyonu
\( I_f \cap I_g \) aralığında süreklidir.
- \( f/g \) fonksiyonu
\( g(x) = 0 \) olan noktalar hariç \( I_f \cap I_g \) aralığında süreklidir.
Süreklilik durumu farklı terimlerden oluşan bir fonksiyonun sürekliliğini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( f(x) = \dfrac{5x + 4}{x^2 - 4} + \abs{x^2 - 1} + \sqrt{4x + 8} \)
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralığı bulalım.
\( f \) fonksiyonunun her teriminin sürekli olduğu en geniş aralığı bulalım.
\( \dfrac{5x + 4}{x^2 - 4} \) için:
Rasyonel fonksiyon paydasını sıfır yapan noktalar hariç tüm reel sayılarda tanımlı ve süreklidir.
Süreklilik aralığı: \( x \in \mathbb{R} - \{ -2, 2 \} \)
\( \abs{x^2 - 1} \) için:
Mutlak değer fonksiyonu tüm reel sayılarda tanımlı ve süreklidir.
Süreklilik aralığı: \( x \in \mathbb{R} \)
\( \sqrt{4x + 8} \) için:
Karekök ifadesi kök içini pozitif ya da sıfır yapan noktalarda tanımlı ve süreklidir.
\( 4x + 8 \ge 0 \)
Süreklilik aralığı: \( x \in [-2, \infty) \)
Buna göre fonksiyonun tanımlı ve sürekli olduğu en geniş aralık aşağıdaki gibidir.
\( f \) fonksiyonu tüm bu aralıkların kesişim kümesinde sürekli olur.
Süreklilik aralığı: \( x \in (-2, \infty) - \{ 2 \} \)
Bileşke İşlemi
Fonksiyonlar arasında yeni bir fonksiyon oluşturan bir diğer işlem bileşke işlemidir.
\( x = a \) noktasında sürekli olan \( g \) fonksiyonu ile \( x = g(a) \) noktasında sürekli olan \( f \) fonksiyonu arasındaki bileşke işleminin sonucu olan \( f \circ g \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında süreklidir.
\( f(x) = 2x \)
\( g(x) = \tan{x} \)
\( f \circ g \) ve \( g \circ f \) fonksiyonlarının \( x = \frac{\pi}{4} \) noktasındaki sürekliliğini inceleyelim.
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = 2\tan{x} \)
\( g \) fonksiyonu \( x = \frac{\pi}{4} \) noktasında süreklidir.
\( f \) fonksiyonu \( x = g(\frac{\pi}{4}) = 1 \) noktasında süreklidir.
Buna göre \( f \circ g \) fonksiyonu \( x = \frac{\pi}{4} \) noktasında süreklidir.
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = \tan(2x) \)
\( f \) fonksiyonu \( x = \frac{\pi}{4} \) noktasında süreklidir.
\( g \) fonksiyonu \( x = f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} \) noktasında tanımsızdır, dolayısıyla sürekli değildir.
Buna göre \( g \circ f \) fonksiyonu \( x = \frac{\pi}{4} \) noktasında sürekli değildir.
Sürekli ve Süreksiz Fonksiyonlar Arasında İşlemler
\( x = a \) noktasında biri sürekli diğeri süreksiz iki fonksiyon arasındaki toplama ve çıkarma işlemlerinin sonucu olan fonksiyonlar bu noktada süreksizdir.
Toplama İşlemi:
\( f \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasında sürekli, \( g \) fonksiyonunun aynı noktada süreksiz olduğunu varsayalım.
\( f + g \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasında süreksiz olduğunu göstermek için çelişki ile ispat yöntemini kullanalım ve fonksiyonun bu noktada sürekli olduğunu varsayalım.
\( g \) fonksiyonunu aşağıdaki gibi iki fonksiyonun farkı şeklinde yazalım.
\( g = (f + g) - f \)
\( f \) ve \( f + g \) fonksiyonlarının \( x = a \) noktasında sürekli olduğunu varsaymıştık, yukarıda ispatıyla birlikte paylaştığımız üzere, belirli bir noktada sürekli iki fonksiyonun farkı da bu noktada süreklidir, dolayısıyla \( g \) fonksiyonu da sürekli olmalıdır.
\( g \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasında süreksiz olduğunu varsaydığımız için bir çelişki elde etmiş olduk.
Buna göre yaptığımız \( f + g \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasında sürekli olma varsayımı doğru olamaz, dolayısıyla \( f + g \) fonksiyonu bu noktada süreksiz olmalıdır.
Çıkarma İşlemi:
\( f \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasında sürekli, \( g \) fonksiyonunun aynı noktada süreksiz olduğunu varsayalım.
\( f - g \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasında süreksiz olduğunu göstermek için çelişki ile ispat yöntemini kullanalım ve fonksiyonun bu noktada sürekli olduğunu varsayalım.
\( g \) fonksiyonunu aşağıdaki gibi iki fonksiyonun farkı şeklinde yazalım.
\( g = f - (f - g) \)
\( f \) ve \( f - g \) fonksiyonlarının \( x = a \) noktasında sürekli olduğunu varsaymıştık, yukarıda ispatıyla birlikte paylaştığımız üzere, belirli bir noktada sürekli iki fonksiyonun farkı da bu noktada süreklidir, dolayısıyla \( g \) fonksiyonu da sürekli olmalıdır.
\( g \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasında süreksiz olduğunu varsaydığımız için bir çelişki elde etmiş olduk.
Buna göre yaptığımız \( f - g \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasında sürekli olma varsayımı doğru olamaz, dolayısıyla \( f - g \) fonksiyonu bu noktada süreksiz olmalıdır.
\( x = a \) noktasında biri sürekli diğeri süreksiz iki fonksiyon arasındaki çarpma ve bölme işlemlerinin sonucu olan fonksiyonlar bu noktada sürekli de süreksiz de olabilir.
\( x = a \) noktasında süreksiz iki fonksiyon arasındaki toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin sonucu olan fonksiyonlar bu noktada sürekli de süreksiz de olabilir.
Her biri belirli bir noktada süreksiz olan, ancak toplamları bu noktada sürekli olan iki fonksiyon örneği veriniz.
Çözümü GösterAşağıdaki \( f \) ve \( g \) fonksiyonları \( x = 3 \) noktasında süreksizdir, ancak toplamları olan \( h = f + g \) fonksiyonu bu noktada süreklidir.
\( f(x) = \begin{cases} 4 & x \lt 3 \\ 3 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( g(x) = \begin{cases} 1 & x \lt 3 \\ 2 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( h(x) = f(x) + g(x) = 5 \)
Üç fonksiyonun grafikleri aşağıda verilmiştir.
Her biri belirli bir noktada süreksiz olan, ancak çarpımları bu noktada sürekli olan iki fonksiyon örneği veriniz.
Çözümü GösterAşağıdaki \( f \) ve \( g \) fonksiyonları \( x = 3 \) noktasında süreksizdir, ancak çarpımları olan \( h = fg \) fonksiyonu bu noktada süreklidir.
\( f(x) = \begin{cases} -2 & x \lt 0 \\ 3 & x \ge 0 \end{cases} \)
\( g(x) = \begin{cases} -3 & x \lt 0 \\ 2 & x \ge 0 \end{cases} \)
\( h(x) = f(x)g(x) = 6 \)
Üç fonksiyonun grafikleri aşağıda verilmiştir.
Her biri belirli bir noktada süreksiz olan, ancak bölümleri bu noktada sürekli olan iki fonksiyon örneği veriniz.
Çözümü GösterAşağıdaki \( f \) ve \( g \) fonksiyonları \( x = 3 \) noktasında süreksizdir, ancak bölümleri olan \( h = f/g \) fonksiyonu bu noktada süreklidir.
\( f(x) = \begin{cases} 8 & x \le 3 \\ 6 & x \gt 3 \end{cases} \)
\( g(x) = \begin{cases} 4 & x \le 3 \\ 3 & x \gt 3 \end{cases} \)
\( h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} = 2 \)
Üç fonksiyonun grafikleri aşağıda verilmiştir.
Her biri belirli bir noktada süreksiz olan, ancak bileşkeleri bu noktada sürekli olan iki fonksiyon örneği veriniz.
Çözümü GösterAşağıdaki \( f \) ve \( g \) fonksiyonları \( x = 0 \) noktasında süreksizdir, ancak bileşkeleri olan \( h = f \circ g \) fonksiyonu bu noktada süreklidir.
\( f(x) = \sgn{x} \)
\( g(x) = \begin{cases} 2 & x \lt 0 \\ 3 & x \ge 0 \end{cases} \)
\( g \) fonksiyonunun değeri her \( x \) için pozitiftir, dolayısıyla \( f \circ g \) fonksiyonu her \( x \) için 1 olur.
\( h(x) = (f \circ g)(x) = 1 \)
Üç fonksiyonun grafikleri aşağıda verilmiştir.
Yukarıda \( y = f(x) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
\( g(x) = \dfrac{5x - 3}{f^2(x) - 16} \) fonksiyonu tanımlanıyor.
Buna göre \( g(x) \) fonksiyonu verilen aralıkta kaç noktada sürekli değildir?
Çözümü Göster\( g \) fonksiyonu \( f \) fonksiyonuna bağlı olduğu için \( f \) fonksiyonunun süreksiz olduğu noktalarda \( g \) fonksiyonu da süreksiz olur.
\( f(x) \) fonksiyonu \( x \in \{-2, -1, 1, 2\} \) noktalarında süreksizdir.
Ek olarak \( g \) fonksiyonu paydasını sıfır yapan noktalarda tanımsız olacağı için bu noktalarda da süreksiz olur.
\( f^2(x) - 16 = 0 \)
\( f(x) = 4 \) ya da \( f(x) = -4 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun değerinin 4 ya da -4 olduğu noktalarda \( g \) fonksiyonu süreksiz olur.
Grafikte görülebileceği gibi, \( y = 4 \) doğrusunun \( f \) eğrisini kestiği 2 noktada \( f(x) = 4 \) olur. Aynı şekilde \( y = -4 \) doğrusunun \( f \) eğrisini kestiği 2 noktada \( f(x) = -4 \) olur.
Buna göre \( g \) fonksiyonu \( 4 + 2 + 2 = 8 \) noktada sürekli değildir.
Yukarıda \( y = f(x) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, \( g(x) = (f \circ f)(x) \) fonksiyonunun verilen aralıkta süreksiz olduğu noktaları bulunuz.
Çözümü Göster\( x = a \) noktasında sürekli olan \( g \) fonksiyonu ile \( x = g(a) \) noktasında sürekli olan \( f \) fonksiyonu arasındaki bileşke işleminin sonucu olan \( f \circ g \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında süreklidir.
\( f \) fonksiyonu verilen aralıkta sadece \( x = 2 \) noktasında süreksizdir, dolayısıyla \( f \circ f \) fonksiyonunun süreksiz olabileceği noktalar \( x = 2 \) ve \( f(x) = 2 \) olan noktalardır.
Durum 1: \( x = 2 \) noktası:
Fonksiyonun \( x = 2 \) noktasında sürekli olması için aşağıdaki eşitlik sağlanmalıdır.
\( \lim\limits_{x \to 2^-} {g(x)} = \lim\limits_{x \to 2^+} {g(x)} = g(2) \)
\( x = 2 \) noktasındaki soldan limiti bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 2^-} {g(x)} = \lim\limits_{x \to 2^-} {f(f(x))} \)
\( x \to 2^- \) iken \( f(x) \to 1^+ \) olur.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {f(x)} = 2 \)
\( x = 2 \) noktasındaki sağdan limiti bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 2^+} {g(x)} = \lim\limits_{x \to 2^+} {f(f(x))} \)
\( x \to 2^+ \) iken \( f(x) \to 3^+ \) olur.
\( \lim\limits_{x \to 3^+} {f(x)} = 4 \)
Fonksiyon grafiğini kullanarak \( g(2) \) değerini bulalım.
\( g(2) = f(f(2)) = f(3) = 4 \)
\( x = 1 \) noktasında soldan ve sağdan limitler vardır, ancak değerleri birbirine eşit değildir, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreksizdir.
Soldan ve sağdan limitler farklı olduğu için bu noktada sıçrama süreksizliği vardır.
Durum 2: \( f(x) = 2 \) olan noktalar:
Fonksiyon verilen aralıkta \( f(x) = 2 \) değerini sadece \( x = 1 \) noktasında alır.
Fonksiyonun \( x = 1 \) noktasında sürekli olması için aşağıdaki eşitlik sağlanmalıdır.
\( \lim\limits_{x \to 1^-} {g(x)} = \lim\limits_{x \to 1^+} {g(x)} = g(1) \)
\( x = 1 \) noktasındaki soldan limiti bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 1^-} {g(x)} = \lim\limits_{x \to 1^-} {f(f(x))} \)
\( x \to 1^- \) iken \( f(x) \to 2^- \) olur.
\( \lim\limits_{x \to 2^-} {f(x)} = 1 \)
\( x = 1 \) noktasındaki sağdan limiti bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {g(x)} = \lim\limits_{x \to 1^+} {f(f(x))} \)
\( x \to 1^+ \) iken \( f(x) \to 2^- \) olur.
\( \lim\limits_{x \to 2^-} {f(x)} = 1 \)
Fonksiyon grafiğini kullanarak \( g(1) \) değerini bulalım.
\( g(1) = f(f(1)) = f(2) = 3 \)
\( x = 1 \) noktasında soldan ve sağdan limitler vardır ve birbirine eşittir, ancak bu noktadaki fonksiyon değerine eşit değildir, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreksizdir.
Soldan ve sağdan limitler eşit ve fonksiyon değerinden farklı olduğu için bu noktada kaldırılabilir süreksizlik vardır.