Sürekliliğin Epsilon-Delta Tanımı
Konu tekrarı için: Limitin Epsilon-Delta Tanımı
Giriş bölümünde sürekliliğin limit tanımını vermiştik. Bu bölümde limitin epsilon-delta tanımına benzer bir tanım olan sürekliliğin epsilon-delta tanımından bahsedeceğiz.
Sürekliliğin epsilon-delta tanımı aşağıdaki gibidir.
\( A \subseteq \mathbb{R}, \quad a \in A \),
\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
Her \( \varepsilon \gt 0 \) değeri için aşağıdaki koşullu önermeyi sağlayan bir \( \delta \gt 0 \) değeri bulunabiliyorsa \( f \) fonksiyonu \( a \) noktasında süreklidir.
Her \( x \in A \) değeri için, \( \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{f(x) - f(a)} \lt \varepsilon \)
Bu tanımın limitin epsilon-delta tanımından farkı, limit tanımında \( a \) noktasının tanım kümesinin bir elemanı olma zorunluluğunun bulunmaması ve \( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \) ifadesi ile noktanın koşul dışında tutulması, süreklilik tanımında ise noktanın tanım kümesine ve \( \abs{x - a} \lt \delta \) ifadesi ile koşula dahil edilmesidir.
Bu tanımdaki \( \delta \) değeri \( \varepsilon \) değerine bağlı olan ve \( \varepsilon \) cinsinden ifade edilen bir değişkendir, bu yüzden soru ve ispatlarda \( \delta = \delta(\varepsilon) \) şeklinde de ifade edilebilir.
\( f(x) = 2x + 6 \) fonksiyonunun \( x = 4 \) noktasında sürekli olduğunu epsilon-delta tanımını kullanarak gösterelim.
Fonksiyonun sürekliliğini epsilon-delta tanımına göre gösterebilmek için aşağıdaki koşulun her durumda sağlandığı bir \( \delta \) değerini \( \varepsilon \) cinsinden ifade edebilmemiz gerekir.
\( \varepsilon \gt 0 \) ve \( \delta \gt 0 \) olmak üzere, fonksiyonun tanım kümesindeki her \( x \) değeri için,
\( \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{f(x) - f(a)} \lt \varepsilon \)
koşulunu sağlayan \( \delta \) değerini \( \varepsilon \) cinsinden bulmaya çalışalım.
Soruda verilen bilgileri bu koşullu önermede yerine koyalım.
\( f(4) = 2(4) + 6 = 14 \) olmak üzere,
\( \abs{x - 4} \lt \delta \Longrightarrow \abs{(2x + 6) - 14} \lt \varepsilon \)
İkinci önermeyi aşağıdaki gibi düzenleyelim.
\( \abs{(2x + 6) - 14} \lt \varepsilon \)
\( \abs{2x - 8} \lt \varepsilon \)
\( \abs{2(x - 4)} \lt \varepsilon \)
\( 2\abs{x - 4} \lt \varepsilon \)
\( \abs{x - 4} \lt \dfrac{\varepsilon}{2} \)
Amacımız fonksiyonun tanım kümesindeki her \( x \) değeri için tanımdaki koşullu önermeyi sağlayacak \( \delta \) değerini \( \varepsilon \) cinsinden ifade etmekti. Elde ettiğimiz \( \abs{x - 4} \lt \frac{\varepsilon}{2} \) eşitsizliğinin \( \abs{x - 4} \lt \delta \) eşitsizliği ile benzer olduğunu görüyoruz, dolayısıyla \( \delta = \frac{\varepsilon}{2} \) olarak seçtiğimiz durumda yukarıdaki koşullu önermenin her zaman sağlanacağını söyleyebiliriz.
\( \delta = \frac{\varepsilon}{2} \) olarak seçtiğimiz durumda, fonksiyonun tanım kümesindeki her \( x \) değeri için,
\( \abs{x - 4} \lt \delta \Longrightarrow \abs{(2x + 6) - 14} \lt \varepsilon \)
koşullu önermesi sağlanır. Bu yüzden fonksiyon \( x = 4 \) noktasında süreklidir.