Sürekliliğin epsilon-delta tanımı aşağıdaki gibidir.
SÜREKLİLİĞİN TANIMI:
,
reel sayılar kümesinde tanımlı, noktasını içeren açık bir aralık olmak üzere,
her değeri için aşağıdaki koşullu önermeyi sağlayan bir değeri bulunabiliyorsa fonksiyonu noktasında süreklidir.
Her değeri için,
Sürekliliğin epsilon-delta tanımı
Birbirine çok benzer tanımlar olmakla birlikte, sürekliliğin ve limitin epsilon-delta tanımları arasında aşağıdaki gibi bir fark vardır.
Limit tanımında noktasının tanım kümesinin bir elemanı olma zorunluluğu yoktur ve nokta eşitsizliği ile tanımdaki koşulun dışında tutulur.
Süreklilik tanımında noktası tanım kümesinin bir elemanıdır ve eşitsizliği ile tanımdaki koşula dahil edilir.
Bu tanımdaki değeri değerine bağlı olan ve cinsinden ifade edilen bir değişkendir, bu yüzden soru ve ispatlarda şeklinde de ifade edilebilir.
ÖRNEK:
fonksiyonunun noktasında sürekli olduğunu epsilon-delta tanımını kullanarak gösterelim.
Fonksiyonun sürekliliğini epsilon-delta tanımına göre gösterebilmek için aşağıdaki koşulun her durumda sağlandığı bir değerini cinsinden ifade edebilmemiz gerekir.
ve olmak üzere, fonksiyonun tanım kümesindeki her değeri için,
koşulunu sağlayan değerini cinsinden bulmaya çalışalım.
Soruda verilen bilgileri bu koşullu önermede yerine koyalım.
olmak üzere,
İkinci önermeyi aşağıdaki gibi düzenleyelim.
Amacımız fonksiyonun tanım kümesindeki her değeri için tanımdaki koşullu önermeyi sağlayacak değerini cinsinden ifade etmekti. Elde ettiğimiz eşitsizliğinin eşitsizliği ile benzer olduğunu görüyoruz, dolayısıyla olarak seçtiğimiz durumda yukarıdaki koşullu önermenin her zaman sağlanacağını söyleyebiliriz.
olarak seçtiğimiz durumda, fonksiyonun tanım kümesindeki her değeri için,
koşullu önermesi sağlanır. Bu yüzden fonksiyon noktasında süreklidir.
Tek Taraflı Süreklilik
Sürekliliğin epsilon-delta tanımını tek taraflı sürekliliğe küçük değişikliklerle aşağıdaki şekilde uyarlayabiliriz.
Sağdan Süreklilik
Sağdan sürekliliğin epsilon-delta tanımında, 'ya sağdan yaklaştığı için eşitsizliği yerine kullanılır.
SAĞDAN SÜREKLİLİĞİN TANIMI:
Yukarıda tanımını yaptığımız fonksiyonu için,
her değeri için aşağıdaki koşullu önermeyi sağlayan bir değeri bulunabiliyorsa fonksiyonu noktasında sağdan süreklidir.
Her değeri için,
Sağdan sürekliliğin epsilon-delta tanımı
Soldan Süreklilik
Soldan sürekliliğin epsilon-delta tanımında, 'ya soldan yaklaştığı için eşitsizliği yerine kullanılır.
SOLDAN SÜREKLİLİĞİN TANIMI:
Yukarıda tanımını yaptığımız fonksiyonu için,
her değeri için aşağıdaki koşullu önermeyi sağlayan bir değeri bulunabiliyorsa fonksiyonu noktasında soldan süreklidir.
