Temel Fonksiyonların Sürekliliği
Sıklıkla kullandığımız aşağıdaki temel fonksiyonlar en geniş tanım kümelerinde süreklidir. Bu fonksiyonlar ve sürekli oldukları aralıklar aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.
Bu fonksiyonların tanımında \( x \) olarak belirtilen ifadelerin yerine bir diğer \( g(x) \) fonksiyonu gelmesi durumunda, bu \( g \) fonksiyonunu süreksiz yapan \( x \) değerleri \( f \) fonksiyonunu da süreksiz yapar.
| Fonksiyon | Denklem | En Geniş Tanım Kümesi |
|---|---|---|
| Sabit fonksiyon | \( f(x) = c \) | Tüm reel sayılar |
| Doğrusal fonksiyon | \( f(x) = mx + c \) | Tüm reel sayılar |
| Kuvvet fonksiyonu(\( n \in \mathbb{Z^+} \)) | \( f(x) = x^n \) | Tüm reel sayılar |
| Köklü fonksiyon (çift dereceli)(\( n \in \mathbb{Z^+} \)) | \( f(x) = \sqrt[2n]{x} \) | \( [0, \infty) \) |
| Köklü fonksiyon (tek dereceli)(\( n \in \mathbb{Z^+} \)) | \( f(x) = \sqrt[2n + 1]{x} \) | Tüm reel sayılar |
| Mutlak değer fonksiyonu | \( f(x) = \abs{x} \) | Tüm reel sayılar |
| Polinom fonksiyonu | \( f(x) = a_nx^n + \ldots + a_0 \) | Tüm reel sayılar |
| Rasyonel fonksiyon | \( f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)} \) | Paydayı sıfır yapan noktalar hariç tüm reel sayılar |
| Üstel fonksiyon(\( a \gt 0, a \ne 1 \)) | \( f(x) = a^x \) | Tüm reel sayılar |
| Logaritma fonksiyonu(\( a \gt 0, a \ne 1 \)) | \( f(x) = \log_a{x} \) | \( (0, \infty) \) |
| Sinüs fonksiyonu | \( f(x) = \sin{x} \) | Tüm reel sayılar |
| Kosinüs fonksiyonu | \( f(x) = \cos{x} \) | Tüm reel sayılar |
| Tanjant fonksiyonu | \( f(x) = \tan{x} \) | \( \{ \ldots, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots \} \) hariç tüm reel sayılar |
| Kotanjant fonksiyonu | \( f(x) = \cot{x} \) | \( \{ \ldots, 0, \pi, 2\pi, \ldots \} \) hariç tüm reel sayılar |
| Sekant fonksiyonu | \( f(x) = \sec{x} \) | \( \{ \ldots, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots \} \) hariç tüm reel sayılar |
| Kosekant fonksiyonu | \( f(x) = \csc{x} \) | \( \{ \ldots, 0, \pi, 2\pi, \ldots \} \) hariç tüm reel sayılar |
| Ters sinüs fonksiyonu | \( f(x) = \arcsin{x} \) | \( [-1, 1] \) |
| Ters kosinüs fonksiyonu | \( f(x) = \arccos{x} \) | \( [-1, 1] \) |
| Ters tanjant fonksiyonu | \( f(x) = \arctan{x} \) | Tüm reel sayılar |
| Ters kotanjant fonksiyonu | \( f(x) = \arccot{x} \) | Tüm reel sayılar |
| Ters sekant fonksiyonu | \( f(x) = \arcsec{x} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) |
| Ters kosekant fonksiyonu | \( f(x) = \arccsc{x} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) |
\( f(x) = \dfrac{x + 8}{x^2 - 25} \)
\( g(x) = \sqrt{x - 7} \)
\( h(x) = \log_3(x - 5) \)
\( k(x) = 5^{x - 5} \)
Yukarıdaki fonksiyonlardan hangileri \( x = 5 \) noktasında tanımlı ve süreklidir?
Çözümü Göster\( f(x) = \frac{x + 8}{x^2 - 25} \) fonksiyonu rasyonel bir fonksiyondur ve paydayı sıfır yapan değerler hariç tüm reel sayılarda süreklidir. \( x = 5 \) değeri paydayı sıfır yaptığı için \( f \) fonksiyonu bu noktada tanımlı değildir.
\( g(x) = \sqrt{x - 7} \) çift dereceli köklü bir fonksiyondur ve kök içinin sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olduğu durumlarda tanımlı ve sürekli olur. \( x = 5 \) değeri kök içini negatif yaptığı için \( g \) fonksiyonu bu noktada tanımlı değildir.
\( h(x) = \log_3(x - 5) \) bir logaritma fonksiyonudur ve logaritması alınan değerin pozitif olduğu \( x \) değerlerinde tanımlı ve süreklidir. \( x = 5 \) değeri logaritması alınan değeri sıfır yaptığı için \( h \) fonksiyonu bu noktada tanımlı değildir.
\( k(x) = 5^{x - 5} \) fonksiyonu tüm reel sayılarda tanımlı ve süreklidir. Dolayısıyla \( k \) fonksiyonu bu noktada tanımlı ve süreklidir.
Buna göre yalnız \( k \) fonksiyonu \( x = 5 \) noktasında tanımlı ve süreklidir.
\( f(x) = \dfrac{12}{x^2 - (m - 1)x + 9} \)
fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli olduğuna göre, \( m \)'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterRasyonel fonksiyonlar paydalarını sıfır yapan noktalar hariç tüm reel sayılarda tanımlı ve süreklidir.
Paydadaki ikinci dereceden ifadenin tüm reel sayı \( x \) değerleri için sıfırdan farklı olması için reel kökü bulunmamalıdır, yani deltası sıfırdan küçük olmalıdır.
\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)
\( a = 1, \quad b = m - 1, \quad c = 9 \)
\( (m - 1)^2 - 4(1)(9) \lt 0 \)
\( (m - 1)^2 - 36 \lt 0 \)
\( \abs{m - 1} \lt 6 \)
\( -6 \lt m - 1 \lt 6 \)
\( -5 \lt m \lt 7 \)
\( m \)'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı:
\( (-4) + (-3) + \ldots + 5 + 6 = 11 \) bulunur.
\( f(x) = \dfrac{\sin{x}}{x} \) fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaları ve bu noktalardaki süreksizlik tipini belirleyiniz.
Çözümü Göster\( \dfrac{\sin{x}}{x} \) rasyonel ifadesinin payı ve paydası ayrı ayrı tüm reel sayılarda süreklidir.
\( f \) fonksiyonu paydasını sıfır yapan \( x = 0 \) noktasında tanımsız ve süreksizdir.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = 1 \) olduğunu biliyoruz, bu nedenle \( f \) fonksiyonunun \( x = 0 \) noktasındaki süreksizliği kaldırılabilir süreksizliktir.
\( f \) fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.
\( f(x) = \sqrt{x^2 - 6x - 7} \)
\( g(x) = \dfrac{1}{\sin(2x) + 1} \)
\( h(x) = \tan(4x - \frac{\pi}{2}) \)
\( k(x) = \log_3(5 - x) \)
Yukarıdaki fonksiyonların sürekli oldukları en geniş aralıkları bulunuz.
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonu çift dereceli bir köklü fonksiyondur, dolayısıyla kök içini sıfır ya da pozitif yapan değerlerde tanımlı ve süreklidir.
\( x^2 - 6x - 7 \ge 0 \)
\( (x + 1)(x - 7) \ge 0 \)
Buna göre fonksiyon \( (-1, 7) \) aralığı hariç tüm reel sayılarda tanımlı ve süreklidir.
\( g \) fonksiyonu paydasını sıfır yapan değerler için tanımsızdır, diğer tüm değerlerde tanımlı ve süreklidir.
Paydayı sıfır yapan \( x \) değerlerini bulalım.
\( \sin(2x) + 1 = 0 \)
\( \sin(2x) = -1 \)
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi \)
Buna göre fonksiyon aşağıdaki \( x \) değerleri hariç tüm reel sayılarda tanımlı ve süreklidir.
\( x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi \)
\( h \) fonksiyonu tanjant fonksiyonunu tanımsız yapan değerler için tanımsızdır, diğer tüm değerlerde tanımlı ve süreklidir.
\( 4x - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \)
\( 4x = \pi + k\pi \)
Buna göre fonksiyon aşağıdaki \( x \) değerleri hariç tüm reel sayılarda tanımlı ve süreklidir.
\( x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{4} \)
\( k \) fonksiyonu logaritma fonksiyonudur, dolayısıyla logaritma içini pozitif yapan değerlerde tanımlı ve süreklidir.
\( 5 - x \gt 0 \)
\( x \lt 5 \)
Buna göre fonksiyon \( (-\infty, 5) \) aralığında tanımlı ve süreklidir.
Özel fonksiyonlar bölümünde incelediğimiz işaret, taban, tavan ve ondalık kısım fonksiyonlarının süreksiz oldukları noktaları bulup bu noktalardaki süreksizlik tipini belirleyiniz.
Çözümü Gösterİşaret fonksiyonu:
İşaret fonksiyonu \( x \) değeri pozitif bir sayı ise \( +1 \), negatif bir sayı ise \( -1 \), sıfır ise 0 değeri veren bir parçalı fonksiyondur.
Yukarıda grafikte görebileceğimiz gibi işaret fonksiyonu \( x = 0 \) noktasında süreksiz, diğer tüm noktalarda süreklidir. Fonksiyonun bu noktadaki süreksizliği sıçrama süreksizliğidir.
Taban fonksiyonu:
Taban fonksiyonu girdi olarak aldığı \( x \) değerinden küçük ya da \( x \)'e eşit en büyük tam sayıyı verir.
Yukarıda grafikte görebileceğimiz gibi taban fonksiyonu \( x \)'in tam sayı değerlerinde süreksiz, diğer tüm noktalarda süreklidir. Fonksiyonun bu noktadaki süreksizliği sıçrama süreksizliğidir.
Tavan fonksiyonu:
Tavan fonksiyonu girdi olarak aldığı \( x \) değerinden büyük ya da \( x \)'e eşit en küçük tam sayıyı verir.
Yukarıda grafikte görebileceğimiz gibi tavan fonksiyonu \( x \)'in tam sayı değerlerinde süreksiz, diğer tüm noktalarda süreklidir. Fonksiyonun bu noktadaki süreksizliği sıçrama süreksizliğidir.
Ondalık kısım fonksiyonu:
Ondalık kısım fonksiyonu girdi olarak aldığı \( x \) değeri ile bu değerin taban fonksiyon değeri arasındaki farkı verir.
Yukarıda grafikte görebileceğimiz gibi ondalık kısım fonksiyonu \( x \)'in tam sayı değerlerinde süreksiz, diğer tüm noktalarda süreklidir. Fonksiyonun bu noktadaki süreksizliği sıçrama süreksizliğidir.
\( f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - kx + 9}}{x^2 + k} \) fonksiyonunun tüm reel sayılarda sürekli olması için \( k \) değer aralığı ne olmalıdır?
Çözümü GösterBir rasyonel ifade paydasını sıfır yapan veya içerdiği ifadeleri tanımsız yapan \( x \) değerlerinde tanımsız ve süreksiz olur.
Durum 1: Paydayı sıfır yapan değerler
\( x^2 + k \ne 0 \)
\( x^2 \) ifadesi her reel sayı \( x \) değeri için sıfır ya da pozitiftir.
Buna göre paydanın her \( x \) değeri için sıfırdan farklı olması için \( k \gt 0 \) olmalıdır.
Durum 2: Kök içini negatif yapan değerler
Çift dereceli köklü ifadeler kök içini negatif yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( x^2 - kx + 9 \ge 0 \)
Bu ifade kolları yukarı yönlü bir parabole ait olduğu için tüm reel sayılarda sıfır ya da pozitif olması için deltası sıfır ya da negatif olmalıdır.
\( \Delta = b^2 - 4ac \le 0 \)
\( (-k)^2 - 4(1)(9) \le 0 \)
\( k^2 - 36 \le 0 \)
\( -6 \le k \le 6 \)
Bu iki durumun da sağlandığı durumda fonksiyon tanımlı ve sürekli olacağı için \( k \) değer aralığı bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesi olur.
\( k \in (0, 6] \)