Ara Değer Teoremi
Ara değer teoremine göre, \( [a, b] \) kapalı aralığında sürekli olan bir \( f \) fonksiyonu bu aralıkta \( f(a) \) ve \( f(b) \) arasındaki bir \( N \) değerini en az bir kez alır.
\( f \) fonksiyonu \( [a, b] \) kapalı aralığında sürekli olsun.
\( f(a) \ne f(b) \) olmak üzere, \( N \) sayısı \( f(a) \) ile \( f(b) \) arasında herhangi bir sayı ise,
\( f(c) = N \) olacak şekilde en az bir \( c \in (a, b) \) noktası vardır.
Ara değer teoreminin ispatı, reel sayıların tamlık özelliğine dayandığından ve ileri düzey analiz konuları gerektirdiğinden bu kapsamda ele alınmayacaktır.
Ara değer teoremini bir probleme uygularken tanımdaki süreklilik koşulunun sağlandığından emin olunmalıdır. Örneğin teorem \( f(x) = \frac{1}{x} \) fonksiyonuna sürekli olmadığı \( [-1, 1] \) aralığında (hatalı bir şekilde) uygulandığında bu aralıkta sıfır değerini aldığı ve \( x \) eksenini kestiği sonucuna varılabilir.
Ara değer teoreminin bir diğer ifadesine göre, \( [a, b] \) kapalı aralığında sürekli olan bir fonksiyon \( f(a) \) ve \( f(b) \) arasındaki her değeri en az bir kez alır.
Bu teoremin sezgisel olarak daha iyi anlaşılması için gerçek hayattan (grafikleri sürekli olarak kabul edilen) aşağıdaki örnekler verilebilir.
- Yağmur odasındaki klimayı açınca oda sıcaklığı 30°C'tan 20°C'a düşüyor. Ara değer teoremine göre, oda sıcaklığı bu sürede en az bir kez 23,7°C olmuştur.
- Sefer yolda 120 km/sa hızla giderken polis arabasını görüyor ve hızını 60 km/sa'e düşürüyor. Ara değer teoremine göre, aracın hızı bu sürede en az bir kez 78 km/sa olmuştur.
- 15. yaş gününde boyunu 160 cm olarak kaydeden Emre 16. yaş gününde boyunu 168 cm olarak ölçüyor. Ara değer teoremine göre, Emre'nin boyu bu bir yılda en az bir kez 164,5 cm olmuştur.
Kök Varlığı
Ara değer teoreminde \( N = 0 \) seçildiğinde, 0 sayısının birbirinden farklı \( f(a) \) ile \( f(b) \) değerleri arasında olması, bu iki değerin ters işaretli olmasını gerektirir (\( f(a)f(b) \lt 0 \)). Bu durumda ara değer teoremi uygulanarak fonksiyonun \( (a, b) \) aralığında en az bir reel kökü olduğu sonucuna ulaşılır.
Ara değer teoreminin bu sonucu Bolzano teoremi olarak adlandırılır.
\( f \) fonksiyonu \( [a, b] \) kapalı aralığında sürekli olsun.
\( f(a)f(b) \lt 0 \) ise,
\( f(c) = 0 \) olacak şekilde en az bir \( c \in (a, b) \) noktası vardır.
Başka bir ifadeyle fonksiyonun \( (a, b) \) aralığında en az bir reel kökü vardır.
Bolzano teoremi, bir aralıkta en az bir kökün var olduğunu garanti eder, ancak bu köklerin sayısını, yerini veya değerini vermez. Aşağıdaki örneklerde görülebileceği üzere, teorem koşulları sağlandığında fonksiyonun verilen aralıkta herhangi bir sayıda kökü olabilir.
Aşağıdaki fonksiyonun \( [-2, 2] \) aralığında hangi tam sayı aralıklarında kökü olduğunu bulalım.
\( f(x) = x^5 - 5x^2 - x + 3 \)
Fonksiyonun verilen aralıktaki her tam sayı noktadaki fonksiyon değerini bulalım.
\( f(-2) = (-2)^5 - 5(-2)^2 - (-2) + 3 = -47 \)
\( f(-1) = (-1)^5 - 5(-1)^2 - (-1) + 3 = -2 \)
\( f(0) = 0^5 - 5(0)^2 - 0 + 3 = 3 \)
\( f(1) = 1^5 - 5(1)^2 - 1 + 3 = -2 \)
\( f(2) = 2^5 - 5(2)^2 - 2 + 3 = 13 \)
Bu noktaları koordinat düzleminde işaretleyelim.
Bu grafiğe göre her aralıktaki kök durumunu yorumlayalım.
\( (-2, -1) \) aralığı: Fonksiyon bu aralığın her iki ucunda aynı işaretli olduğu için bu aralıkta bir kök olduğundan %100 emin olamayız. Grafik bu aralıkta \( x \) eksenini hiç kesmeyebilir (yeşil çizgi) ya da çift sayıda noktada kesebilir (mor çizgi).
\( (-1, 0) \) aralığı: Fonksiyon bu aralığın her iki ucunda ters işaretli olduğu için bu aralıkta bir kök olduğundan %100 emin olabiliriz. Grafik bu aralıkta \( x \) eksenini bir kez kesebilir (turuncu çizgi) ya da tek sayıda daha fazla noktada kesebilir (mavi çizgi).
\( (0, 1) \) aralığı: \( (-1, 0) \) aralığı için yaptığımız yorum bu aralık için de geçerlidir.
\( (1, 2) \) aralığı: \( (-1, 0) \) aralığı için yaptığımız yorum bu aralık için de geçerlidir.
\( f \) fonksiyonunun gerçek grafiği aşağıda verilmiştir.
\( x^3 - 3x^2 + x - 1 = 0 \) denkleminin \( [2, 3] \) aralığında en az bir kökünün olduğunu gösteriniz.
Çözümü GösterVerilen eşitliğin sol tarafını bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1 \)
Polinom fonksiyonları tüm reel sayılarda süreklidir.
Verilen aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini bulalım.
\( f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 - 1 = -3 \)
\( f(3) = 3^3 - 3(3)^2 + 3 - 1 = 2 \)
Fonksiyon bu aralıkta sürekli olduğu ve işaret değiştirdiği için, Bolzano (ara değer) teoremine göre en azından bir kez \( x \) eksenini keser, yani bu aralıkta en az bir kökü vardır.
\( f \) fonksiyonu \( [-2, 4] \) aralığında süreklidir.
\( f(-2) = 5 \) ve \( f(4) = 13 \) olduğuna göre, \( f \) fonksiyonu bu aralıkta aşağıdaki değerlerden hangilerini kesinlikle alır?
I. \( 6 \)
II. \( 10 \)
III. \( 13 \)
IV. \( 15 \)
Çözümü GösterAra değer teoremine göre, kapalı bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyon, bu aralığın uç noktalarındaki değerler arasındaki ara değerlerin tümünü en az bir kez alır.
\( f(-2) = 5 \) ve \( f(4) = 13 \) olduğundan, fonksiyon \( [-2, 4] \) aralığında \( [5, 13] \) aralığındaki her bir reel sayı değerini kesinlikle alır.
6, 10 ve 13 değerleri bu aralıkta yer aldığından, fonksiyon bu aralıkta bu değerlerin tümünü kesinlikle alır.
15 değeri bu aralığın dışında kaldığından fonksiyon bu aralıkta 15 değerini aldığından emin olamayız.
Buna göre fonksiyon I., II. ve III. öncüllerdeki değerleri kesinlikle alır.
\( f \) fonksiyonunun \( [-2, 6] \) aralığında sürekli olduğu bilindiğine göre, aşağıdaki durumlardan hangilerinde verilen aralığa Bolzano teoremi uygulanabilir?
I. \( f(1) = 3, \quad f(5) = -2 \)
II. \( f(-2) = 4, \quad f(6) = 7 \)
III. \( f(-1) = -1, \quad f(7) = 5 \)
Çözümü GösterBolzano teoreminin uygulanabilmesi için, fonksiyon ilgili kapalı aralıkta sürekli olmalı ve aralığın uç noktalarındaki değerler ters işaretli olmalıdır (\( f(a)f(b) \lt 0 \)).
I. öncül:
\( f(1) = 3, \quad f(5) = -2 \)
Fonksiyon \( [1, 5] \) aralığında süreklidir.
\( f(1)f(5) = 3 \cdot (-2) = -6 \)
\( f(1)f(5) \lt 0 \) olduğu için fonksiyona bu aralıkta Bolzano teoremi uygulanabilir.
II. öncül:
\( f(-2) = 4, \quad f(6) = 7 \)
Fonksiyon \( [-2, 6] \) aralığında süreklidir.
\( f(-2)f(6) = 4 \cdot 7 = 28 \)
\( f(-2)f(6) \gt 0 \) olduğu için fonksiyona bu aralıkta Bolzano teoremi uygulanamaz.
III. öncül:
\( f(-1) = -1, \quad f(7) = 5 \)
Fonksiyon \( [-1, 7] \) aralığının tümünde sürekli değildir.
Süreklilik şartı sağlanmadığı için fonksiyona bu aralıkta Bolzano teoremi uygulanamaz.
Buna göre yalnızca I. durumda Bolzano teoremi uygulanabilir.
\( \sqrt[3]{x} = 1 - x \) denkleminin \( (0, 1) \) aralığında en az bir reel kökü olduğunu gösteriniz.
Çözümü GösterVerilen denklemi düzenleyelim.
\( \sqrt[3]{x} + x - 1 = 0 \)
Bu denklemin çözüm kümesi, aşağıdaki fonksiyonun kökleri ile aynıdır.
\( f(x) = \sqrt[3]{x} + x - 1 \)
\( \sqrt[3]{x} \) ve \( x - 1 \) fonksiyonları \( [0, 1] \) aralığında sürekli oldukları için toplamları olan \( f \) fonksiyonu da bu aralıkta süreklidir.
Fonksiyonun bu aralığın uç noktalarındaki değerini bulalım.
\( f(0) = \sqrt[3]{0} + 0 - 1 = -1 \lt 0 \)
\( f(1) = \sqrt[3]{1} + 1 - 1 = 1 \gt 0 \)
Fonksiyon bu aralıkta sürekli olduğu ve işaret değiştirdiği için, Bolzano (ara değer) teoremine göre bu aralıkta en azından bir kez \( x \) eksenini keser, yani bu aralıkta en az bir kökü vardır.
\( \ln{x} = e^{-x} \) denkleminin \( (1, e) \) aralığında en az bir reel kökü olduğunu gösteriniz.
Çözümü GösterVerilen denklemi düzenleyelim.
\( \ln{x} - e^{-x} = 0 \)
Bu denklemin çözüm kümesi, aşağıdaki fonksiyonun kökleri ile aynıdır.
\( f(x) = \ln{x} - e^{-x} \)
\( \ln{x} \) ve \( e^{-x} \) fonksiyonları \( [1, e] \) aralığında sürekli oldukları için farkları olan \( f \) fonksiyonu da bu aralıkta süreklidir.
Fonksiyonun bu aralığın uç noktalarındaki değerini bulalım.
\( f(1) = \ln{1} - e^{-1} = 0 - \dfrac{1}{e} = -\dfrac{1}{e} \lt 0 \)
\( f(e) = \ln{e} - e^{-e} = 1 - \dfrac{1}{e^e} \gt 0 \)
Fonksiyon bu aralıkta sürekli olduğu ve işaret değiştirdiği için, Bolzano (ara değer) teoremine göre bu aralıkta en azından bir kez \( x \) eksenini keser, yani bu aralıkta en az bir kökü vardır.
\( a, b, c, d \in \mathbb{R}, a \neq 0 \) ve \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = ax^5 + bx^3 + cx + d \) polinom fonksiyonunun en az bir reel kökü olduğunu ara değer teoremi ile gösteriniz.
Çözümü Göster\( f \) bir polinom fonksiyonu olduğu için tüm reel sayılarda tanımlı ve süreklidir.
Fonksiyonun başkatsayısının işaretine göre oluşan iki durumu ayrı ayrı inceleyelim.
Durum 1: \( a \gt 0 \)
Fonksiyonun negatif ve pozitif sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {f(x)} = \lim\limits_{x \to -\infty} (ax^5 + bx^3 + cx + d) \)
\( x \to -\infty \) iken \( ax^5 \to -\infty \) olur.
\( = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} {f(x)} = \lim\limits_{x \to \infty} (ax^5 + bx^3 + cx + d) \)
\( x \to \infty \) iken \( ax^5 \to \infty \) olur.
\( = \infty \)
Fonksiyon bu aralıkta işaret değiştirdiği için, ara değer teoremine göre en azından bir kez \( x \) eksenini kestiğini, yani bir kökü olduğunu söyleyebiliriz.
Durum 2: \( a \lt 0 \)
Fonksiyonun negatif ve pozitif sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {f(x)} = \lim\limits_{x \to -\infty} (ax^5 + bx^3 + cx + d) \)
\( x \to -\infty \) iken \( ax^5 \to \infty \) olur.
\( = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} {f(x)} = \lim\limits_{x \to \infty} (ax^5 + bx^3 + cx + d) \)
\( x \to \infty \) iken \( ax^5 \to -\infty \) olur.
\( = -\infty \)
Fonksiyon bu aralıkta işaret değiştirdiği için, ara değer teoremine göre en azından bir kez \( x \) eksenini kestiğini, yani bir kökü olduğunu söyleyebiliriz.
Sonuç olarak her iki durumda da \( f \) fonksiyonunun en az bir reel kökü vardır.
\( f(x) = \sqrt{x^3 + 1} \) fonksiyonu veriliyor.
Her \( k \in (1, 3) \) için \( f(c) = k \) olacak şekilde en az bir \( c \in (0, 2) \) sayısının var olduğunu ara değer teoremi ile gösteriniz.
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonu \( [0, 2] \) aralığında tanımlı ve süreklidir.
Fonksiyonun bu aralığın uç noktalarındaki değerini bulalım.
\( f(0) = \sqrt{0^3 + 1} = 1 \)
\( f(2) = \sqrt{2^3 + 1} = \sqrt{9} = 3 \)
Fonksiyon \( [0, 2] \) aralığında sürekli olduğu için, ara değer teoremine göre, bu aralıkta \( (1, 3) \) arasındaki her değeri en az bir kez alır.
Dolayısıyla her \( k \in (1, 3) \) için \( f(c) = k \) olacak şekilde en az bir \( c \in (0, 2) \) sayısı vardır.
Bu \( c \) sayısını denklemde yerine koyarak \( k \) cinsinden bulalım.
\( f(c) = k \)
\( \sqrt{c^3 + 1} = k \)
\( c^3 + 1 = k^2 \)
\( c = \sqrt[3]{k^2 - 1} \)
Bulduğumuz \( c \) değerinin \( (0, 2) \) aralığında olduğunu gösterelim.
\( 1 \lt k \lt 3 \)
Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım.
\( 1 \lt k^2 \lt 9 \)
Eşitsizliğin taraflarından \( 1 \) çıkaralım.
\( 0 \lt k^2 - 1 \lt 8 \)
Eşitsizliğin taraflarının küp kökünü alalım.
\( 0 \lt \sqrt[3]{k^2 - 1} \lt 2 \)
\( 0 \lt c \lt 2 \)
Böylece \( c \) değerinin \( (0, 2) \) arasında olduğunu göstermiş olduk.
\( x^2 = \cos{x} \) denkleminin \( (0, \frac{\pi}{2}) \) aralığında en az bir reel kökü olduğunu gösteriniz.
Çözümü GösterVerilen denklemi düzenleyelim.
\( x^2 - \cos{x} = 0 \)
Bu denklemin çözüm kümesi, aşağıdaki fonksiyonun kökleri ile aynıdır.
\( f(x) = x^2 - \cos{x} \)
Tüm reel sayılarda sürekli \( x^2 \) ve \( \cos{x} \) fonksiyonlarının farkı olan \( f \) fonksiyonu da tüm reel sayılarda, dolayısıyla \( [0, \frac{\pi}{2}] \) aralığında süreklidir.
Fonksiyonun bu aralığın iki uç noktasındaki değerini bulalım.
\( f(0) = 0^2 - \cos{0} = 0 - 1 = -1 \lt 0 \)
\( f\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = \left( \dfrac{\pi}{2} \right)^2 - \cos{\dfrac{\pi}{2}} = \dfrac{\pi^2}{4} - 0 = \dfrac{\pi^2}{4} \gt 0 \)
Fonksiyon bu aralıkta işaret değiştirdiği için, ara değer teoremine göre bu aralıkta en azından bir kez \( x \) eksenini kestiğini, yani bir kökü olduğunu söyleyebiliriz.
\( x \in \mathbb{R} - \{ 0 \} \) olmak üzere,
\( f(x) = 3^x - \dfrac{12}{x} \) fonksiyonunun reel kökü olup olmadığını bulunuz.
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonu tüm tanım kümesinde süreklidir.
Fonksiyonun tanım kümesini iki alt aralığa bölelim.
\( \mathbb{R} - \{ 0 \} = (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \)
Durum 1: \( x \in (-\infty, 0) \)
Bu aralıkta \( \frac{12}{x} \lt 0 \) olduğu için her \( x \) için \( f(x) \gt 0 \) olur.
Fonksiyon bu aralıkta daima pozitif değerler alır, dolayısıyla grafiği \( x \) eksenini kesmez, yani bu aralıkta \( f \) fonksiyonunun reel kökü yoktur.
Durum 2: \( x \in (0, \infty) \)
Fonksiyonun bu aralığın iki ucundaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} \left( 3^x - \dfrac{12}{x} \right) \)
\( x \to 0^+ \) iken \( \frac{12}{x} \to \infty \) olur.
\( = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \infty} \left( 3^x - \dfrac{12}{x} \right) \)
\( x \to \infty \) iken \( 3^x \to \infty \) olur.
\( x \to \infty \) iken \( \frac{12}{x} \to 0 \) olur.
\( = \infty \)
Fonksiyon bu aralıkta işaret değiştirdiği için ara değer teoremine göre bu aralıkta en az bir kez \( x \) eksenini kestiğini, yani bir reel kökü olduğunu söyleyebiliriz.