Parçalı Fonksiyonların Sürekliliği
Konu tekrarı için: Parçalı Fonksiyonlar | Parçalı Fonksiyonların Limiti
Tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı tanımlara sahip olan fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir. Bir parçalı fonksiyonun farklı tanıma sahip olduğu alt aralıklara fonksiyonun dalları ya da parçaları, fonksiyon tanımının değiştiği noktalara fonksiyonun geçiş noktaları denir.
Süreklilik tanımı gereği; bir parçalı fonksiyonun bir geçiş noktasında sürekli olması için, geçiş noktasındaki soldan ve sağdan limitler birbirine ve fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olmalıdır.
\( a, L \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \begin{cases} g(x) & x \lt a \\ L & x = a \\ h(x) & x \gt a \end{cases} \)
parçalı fonksiyonunun \( x = a \) geçiş noktasındaki soldan ve sağdan limitler ve fonksiyon değeri için,
\( \lim\limits_{x \to a^-} g(x) = \lim\limits_{x \to a^+} h(x) = f(a) = L \)
ise fonksiyon bu noktada süreklidir.
Aksi takdirde fonksiyon bu noktada süreksizdir.
Parçalı fonksiyonların geçiş noktalarındaki sürekliliğini birkaç örnek üzerinde gösterelim.
\( f(x) = \begin{cases} -x^2 + 9 & x \lt 4 \\ -7 & x = 4 \\ x - 11 & x \gt 4 \end{cases} \)
fonksiyonunun \( x = 4 \) noktasında sürekli olup olmadığını bulalım.
\( x = 4 \) parçalı fonksiyonun geçiş noktasıdır.
\( x = 4 \) noktasındaki soldan limiti bulalım.
Fonksiyon bu aralıkta ikinci dereceden bir polinom olduğu için süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini bulabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to 4^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 4^-} (-x^2 + 9) = -4^2 + 9 = -7 \)
\( x = 4 \) noktasındaki sağdan limiti bulalım.
Fonksiyon bu aralıkta doğrusal olduğu için süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini bulabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to 4^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 4^+} (x - 11) = 4 - 11 = -7 \)
\( x = 4 \) noktasındaki fonksiyon değerini bulalım.
\( f(4) = -7 \)
Bu noktada soldan ve sağdan limitler vardır ve birbirine eşittir, ayrıca fonksiyon bu noktada tanımlıdır ve değeri limit değerine eşittir, dolayısıyla fonksiyon \( x = 4 \) noktasında süreklidir.
\( \lim\limits_{x \to 4^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 4^+} f(x) = f(4) = -7 \)
Aşağıdaki grafikte fonksiyonun bu noktada sürekli olduğu görülebilir.
\( f(x) = \begin{cases} 2x - 4 & x \lt 5 \\ 3 & x = 5 \\ -x + 11 & x \gt 5 \end{cases} \)
fonksiyonunun \( x = 5 \) noktasında sürekli olup olmadığını bulalım.
\( x = 5 \) parçalı fonksiyonun geçiş noktasıdır.
\( x = 5 \) noktasındaki soldan limiti bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 5^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 5^-} (2x - 4) = 2(5) - 4 = 6 \)
\( x = 5 \) noktasındaki sağdan limiti bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 5^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 5^+} (-x + 11) = -5 + 11 = 6 \)
\( x = 5 \) noktasındaki fonksiyon değerini bulalım.
\( f(5) = 3 \)
Bu noktada soldan ve sağdan limitler vardır ve birbirine eşittir, ayrıca fonksiyon bu noktada tanımlıdır, ancak değeri limit değerinden farklıdır, dolayısıyla fonksiyon \( x = 5 \) noktasında sürekli değildir.
Fonksiyonun bu noktadaki süreksizliği kaldırılabilir süreksizliktir.
Aşağıdaki grafikte fonksiyonun bu noktada sürekli olmadığı görülebilir.
Bir parçalı fonksiyonun geçiş noktası olmayan bir noktasında sürekli olup olmadığını bulmak için, fonksiyonun bu noktanın bulunduğu parçadaki tanımı kullanılır.
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & x \lt 3 \\ -x + 8 & x \ge 3 \end{cases} \)
fonksiyonunun \( x = 5 \) noktasında sürekli olup olmadığını bulalım.
\( x = 5 \) parçalı fonksiyonun bir geçiş noktası değildir, dolayısıyla fonksiyonun ilgili aralıktaki tanımının bu noktadaki sürekliliğini bulalım.
\( x = 5 \) noktasının bulunduğu aralıktaki \( -x + 8 \) tanımının doğrusal ve sürekli olduğunu bildiğimiz için, bu tanımın geçerli olduğu aralıktaki tüm noktalarda parçalı fonksiyon sürekli olur, dolayısıyla fonksiyon \( x = 5 \) noktasında da süreklidir.
Aşağıdaki grafikte fonksiyonun bu noktada sürekli olduğu görülebilir.
\( f(x) = \begin{cases} -2x + 6, & x \lt 2 \\ -2x + 14, & 2 \le x \lt 6 \\ 2x - 10, & 6 \le x \end{cases} \)
parçalı fonksiyonunun geçiş noktalarında sürekli olup olmadığını bulunuz.
Çözümü GösterTanımı verilen parçalı fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.
Fonksiyonun \( x = 2 \) ve \( x = 6 \) olmak üzere iki geçiş noktası vardır.
Bir parçalı fonksiyonun bir geçiş noktasında sürekli olması için, bu noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri ve fonksiyon değeri tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.
Önce \( x = 2 \) noktasındaki sürekliliği inceleyelim.
\( x = 2 \) noktasındaki soldan limit:
\( \lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 2^-} (-2x + 6) = -2(2) + 6 = 2 \)
\( x = 2 \) noktasındaki sağdan limit:
\( \lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 2^+} (-2x + 14) = -2(2) + 14 = 10 \)
\( x = 2 \) noktasındaki fonksiyon değeri:
\( f(2) = -2(2) + 14 = 10 \)
Soldan ve sağdan limitler mevcut olsa da birbirine eşit olmadıkları için fonksiyonun bu noktada limiti yoktur, dolayısıyla fonksiyon bu noktada sürekli değildir. Nitekim "kalem" testini uyguladığımızda fonksiyon grafiğinin bu noktada bir sıçrama yaptığını görebiliriz.
Şimdi de \( x = 6 \) noktasındaki sürekliliği inceleyelim.
\( x = 6 \) noktasındaki soldan limit:
\( \lim\limits_{x \to 6^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 6^-} (-2x + 14) = -2(6) + 14 = 2 \)
\( x = 6 \) noktasındaki sağdan limit:
\( \lim\limits_{x \to 6^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 6^+} (2x - 10) = 2(6) - 10 = 2 \)
\( x = 6 \) noktasındaki fonksiyon değeri:
\( f(6) = 2(6) - 10 = 2 \)
Bu noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri mevcut, fonksiyon değeri tanımlı ve birbirine eşittir, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreklidir. Nitekim "kalem" testini uyguladığımızda fonksiyon grafiğinin bu noktada herhangi bir kesintiye uğramadığını görebiliriz.
\( \lim\limits_{x \to 6^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 6^+} f(x) = f(6) = 2 \)
\( f(x) = \begin{cases} x^2 + a, & x \lt 3 \\ 4, & x = 3 \\ -2x - b, & x \gt 3 \end{cases} \)
parçalı fonksiyonunun sürekli bir fonksiyon olması için \( a \) ve \( b \) reel sayılarının alması gereken değerleri bulunuz.
Çözümü GösterParçalı fonksiyonun \( x \lt 3 \) aralığındaki parçası ikinci dereceden bir polinom, \( x \gt 3 \) aralığındaki parçası birinci dereceden bir polinomdur (doğrudur). Her ikisi de sürekli fonksiyonlar oldukları için fonksiyonun sürekliliğini sadece geçiş noktaları için kontrol etmemiz yeterlidir.
Fonksiyonun tek geçiş noktası \( x = 3 \) noktasıdır.
Bir parçalı fonksiyonun bir geçiş noktasında sürekli olması için, bu noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri ve fonksiyon değeri tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.
\( x = 3 \) noktasındaki soldan limit:
\( \lim\limits_{x \to 3^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 3^-} (x^2 + a) = 3^2 + a = 9 + a \)
\( x = 3 \) noktasındaki sağdan limit:
\( \lim\limits_{x \to 3^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 3^+} (-2x - b) = -2(3) - b = -6 - b \)
\( x = 3 \) noktasındaki fonksiyon değeri:
\( f(3) = 4 \)
\( x = 3 \) noktasındaki fonksiyon değerini bildiğimiz için bu noktadaki sürekliliğin sağlanması için soldan ve sağdan limitler bu değere eşit olmalıdır.
\( 9 + a = 4 \)
\( a = -5 \)
\( -6 - b = 4 \)
\( b = -10 \)
Buna göre istenen değerler \( a = -5 \) ve \( b = -10 \) olur.
\( f(x) = \begin{cases} x - 3n + m & x \lt 2 \\ 3m + 5 & x = 2 \\ x + 4m & x \gt 2 \end{cases} \)
fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli olduğuna göre, \( m + n \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterParçalı fonksiyonun üç tanımındaki doğrusal fonksiyonlar tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla fonksiyonun sadece geçiş noktalarındaki sürekliliğini kontrol etmemiz yeterlidir.
Fonksiyonun tek geçiş noktası \( x = 2 \) noktasıdır.
Bir parçalı fonksiyonun bir geçiş noktasında sürekli olması için bu noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri mevcut, fonksiyon değeri tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.
\( x = 2 \) noktasındaki soldan limit:
\( \lim\limits_{x \to 2^-} (x - 3n + m) = 2 - 3n + m \)
\( x = 2 \) noktasındaki sağdan limit:
\( \lim\limits_{x \to 2^+} (x + 4m) = 2 + 4m \)
\( x = 2 \) noktasındaki fonksiyon değeri:
\( f(2) = 3m + 5 \)
Bu noktadaki sürekliliğin sağlanması için soldan ve sağdan limitler birbirine ve fonksiyon değerine eşit olmalıdır.
\( 2 - 3n + m = 2 + 4m = 3m + 5 \)
İkinci ve üçüncü eşitliği çözelim.
\( 2 + 4m = 3m + 5 \)
\( m = 3 \)
Bu değeri kullanarak ilk iki eşitliği çözelim.
\( 2 - 3n + 3 = 2 + 4(3) \)
\( n = -3 \)
Buna göre \( m + n = 3 + (-3) = 0 \) bulunur.
\( f(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{x} & x \lt -1 \\ 1 - x^2 & -1 \le x \le 1 \\ \dfrac{1}{x} & x \gt 1 \end{cases} \)
fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaları ve bu noktalardaki süreksizlik tipini bulunuz.
Çözümü Göster\( 1 - x^2 \) ifadesi bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda süreklidir.
\( \frac{1}{x} \) ve \( -\frac{1}{x} \) ifadeleri birer rasyonel fonksiyondur ve paydayı sıfır yapan \( x = 0 \) değeri dışında tüm reel sayılarda süreklidir, ancak verilen parçalı fonksiyonda \( x = 0 \) noktasında \( 1 - x^2 \) fonksiyon tanımı geçerlidir, dolayısıyla \( x = 0 \) değeri için bir tanımsızlık/süreksizlik söz konusu değildir.
\( f \) bir parçalı fonksiyon olduğu için ayrıca geçiş noktalardaki sürekliliğini incelemeliyiz.
Parçalı fonksiyonun tanımının değiştiği \( x = -1 \) ve \( x = 1 \) noktaları fonksiyonun geçiş noktalarıdır.
\( x = -1 \) noktasındaki süreklilik için soldan ve sağdan limit değerlerini ve bu noktadaki fonksiyon değerini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to (-1)^-} \left( -\dfrac{1}{x} \right) = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to (-1)^+} (1 - x^2) = 0 \)
\( f(-1) = 0 \)
Soldan ve sağdan limit değerleri farklı olduğu için fonksiyon \( x = -1 \) noktasında süreksizdir.
\( x = 1 \) noktasındaki sürekliliği inceleyelim.
\( \lim\limits_{x \to 1^-} (1 - x^2) = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{1}{x} = 1 \)
\( f(1) = 0 \)
Soldan ve sağdan limit değerleri farklı olduğu için fonksiyon \( x = 1 \) noktasında süreksizdir.
Buna göre fonksiyon iki noktada süreksizdir.
Her iki noktada da soldan ve sağdan limit değerleri mevcut, ancak farklı olduğu için bu noktalarda sıçrama süreksizliği vardır.
\( f(x) = \begin{cases} 2\cos{x} & x \lt 0 \\ a\cos{x} + b & 0 \le x \lt \pi \\ - \sin{x} & x \ge \pi \end{cases} \)
fonksiyonunun tüm reel sayılarda sürekli olması için \( a \) ve \( b \) kaç olmalıdır?
Çözümü GösterParçalı fonksiyonun üç tanımındaki sinüs ve kosinüs fonksiyonları tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla fonksiyonun sadece geçiş noktalarındaki sürekliliğini kontrol etmemiz yeterlidir.
Parçalı fonksiyonun geçiş noktaları \( x = 0 \) ve \( x = \pi \) noktalarıdır.
Bir parçalı fonksiyonun bir geçiş noktasında sürekli olması için bu noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri mevcut, fonksiyon değeri tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.
\( x = 0 \) noktası için:
\( \lim\limits_{x \to 0^-} (2\cos{x}) = 2 \cdot 1 = 2 \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} (a\cos{x} + b) = a \cdot 1 + b = a + b \)
\( f(0) = a \cdot 1 + b = a + b \)
Buna göre fonksiyonun bu noktada sürekli olması için aşağıdaki eşitlik sağlanmalıdır.
\( a + b = 2 \)
\( x = \pi \) noktası için:
\( \lim\limits_{x \to \pi^-} (a\cos{x} + b) = a \cdot (-1) + b = -a + b \)
\( \lim\limits_{x \to \pi^+} (-\sin{x}) = 0 \)
\( f(\pi) = -\sin{\pi} = 0 \)
Buna göre fonksiyonun bu noktada sürekli olması için aşağıdaki eşitlik sağlanmalıdır.
\( -a + b = 0 \)
İki bilinmeyenli iki denklemi çözelim.
\( a = 1 \) ve \( b = 1 \) bulunur.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \begin{cases} ax + 3 & x \lt 2 \\ \dfrac{x^2 - bx + 6}{x - 3} & 2 \le x \lt 3 \\ cx^2 + 1 & x \ge 3 \end{cases} \)
parçalı fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli olduğuna göre, \( a + b + c \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonunun her bir parçasındaki fonksiyon (sırasıyla doğrusal, rasyonel ve ikinci dereceden polinom fonksiyonu) tanımlı olduğu aralıkta süreklidir.
Buna göre fonksiyonun tüm reel sayılarda sürekli olması için, geçiş noktaları olan \( x = 2 \) ve \( x = 3 \) noktalarında sürekli olmalıdır.
\( x = 2 \) noktasındaki sürekliliği inceleyelim.
\( x = 2 \) noktasındaki soldan limit:
\( \lim\limits_{x \to 2^-} {f(x)} = \lim\limits_{x \to 2^-} (ax + 3) \)
\( = 2a + 3 \)
\( x = 2 \) noktasındaki sağdan limit:
\( \lim\limits_{x \to 2^+} {f(x)} = \lim\limits_{x \to 2^+} \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 3} \)
\( = \dfrac{2^2 - 5(2) + 6}{2 - 3} = 0 \)
Bu noktadaki fonksiyon değeri sağdan limit değerine eşittir.
Fonksiyonun bu noktada sürekli olması için soldan ve sağdan limit değerleri birbirine ve bu noktadaki fonksiyon değerine eşit olmalıdır.
\( 2a + 3 = 0 \)
\( a = -\dfrac{3}{2} \)
\( x = 3 \) noktasındaki sürekliliği inceleyelim.
\( x = 3 \) noktasındaki soldan limit:
\( \lim\limits_{x \to 3^-} {f(x)} = \lim\limits_{x \to 3^-} \dfrac{x^2 - bx + 6}{x - 3} \)
Bu limitin reel bir sayı olarak tanımlı olabilmesi için payda \( x = 3 \) için 0 olduğunda pay da 0 olmalı, dolayısıyla bir tanımsızlık değil belirsizlik oluşmalıdır.
Payda \( x = 3 \) değerini yerine koyalım.
\( 3^2 - b(3) + 6 = 0 \)
\( b = 5 \)
\( \lim\limits_{x \to 3^-} \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 3} = \lim\limits_{x \to 3^-} {\dfrac{(x - 2)(x - 3)}{x - 3}} \)
\( x - 3 \) çarpanlarını sadeleştirerek belirsizliği giderelim.
\( = \lim\limits_{x \to 3^-} (x - 2) = 3 - 2 = 1 \)
\( x = 3 \) noktasındaki sağdan limit:
\( \lim\limits_{x \to 3^+} {f(x)} = \lim\limits_{x \to 3^+} (cx^2 + 1) \)
\( = c(3)^2 + 1 = 9c + 1 \)
Bu noktadaki fonksiyon değeri sağdan limit değerine eşittir.
Fonksiyonun bu noktada sürekli olması için soldan ve sağdan limit değerleri birbirine ve bu noktadaki fonksiyon değerine eşit olmalıdır.
\( 9c + 1 = 1 \)
\( c = 0 \)
\( a + b + c = -\dfrac{3}{2} + 5 + 0 = \dfrac{7}{2} \) bulunur.
\( f \) parçalı fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır.
\( f(x) = \begin{cases} 4x - 1 & x \lt 1 \\ 3x + 2 & x \ge 1 \end{cases} \)
\( (3f + g)(x) \) fonksiyonu \( x = 1 \) noktasında sürekli olduğuna göre,
\( \lim\limits_{x \to 1^+} g(x) - \lim\limits_{x \to 1^-} g(x) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterBir fonksiyon bir noktada sürekli ise o noktada soldan ve sağdan limitleri birbirine eşittir.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} (3f + g)(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} (3f + g)(x) \)
Limit işlem özelliklerini kullanarak limit işlemini parantez içindeki terimlere dağıtalım.
\( 3\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) + \lim\limits_{x \to 1^+} g(x) = 3\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) + \lim\limits_{x \to 1^-} g(x) \)
\( f(x) \) fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasındaki soldan ve sağdan limitlerini bulalım.
\( x \lt 1 \) için fonksiyonun \( f(x) = 4x - 1 \) tanımı kullanılır.
\( \lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} (4x - 1) = 4(1) - 1 = 3 \)
\( x \gt 1 \) için fonksiyonun \( f(x) = 3x + 2 \) tanımı kullanılır.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^+} (3x + 2) = 3(1) + 2 = 5 \)
Bulduğumuz limit değerlerini bulduğumuz eşitlikte yerine koyalım.
\( 3(5) + \lim\limits_{x \to 1^+} g(x) = 3(3) + \lim\limits_{x \to 1^-} g(x) \)
\( 15 + \lim\limits_{x \to 1^+} g(x) = 9 + \lim\limits_{x \to 1^-} g(x) \)
Eşitliği soruda istenen ifadeyi elde edecek şekilde düzenleyelim.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} g(x) - \lim\limits_{x \to 1^-} g(x) = 9 - 15 = -6 \) bulunur.
\( f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{2x+1} - \sqrt{x+5}}{x - 4} & x \neq 4 \\ k & x = 4 \end{cases} \)
fonksiyonu \( x = 4 \) noktasında sürekli olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü Göster\( x = 4 \) noktası verilen parçalı fonksiyonun geçiş noktasıdır.
Bir parçalı fonksiyonun geçiş noktasında sürekli olması için, bu noktadaki soldan ve sağdan limitler birbirine ve fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olmalıdır.
\( x \) değişkeni \( 4 \)'e soldan ve sağdan yaklaşırken \( x \neq 4 \) koşulu sağlandığı için her iki durumda da fonksiyonun birinci parçası kullanılır.
\( \lim\limits_{x \to 4^-} \dfrac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x + 5}}{x - 4} = \lim\limits_{x \to 4^+} \dfrac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x + 5}}{x - 4} \)
Pay ve paydadaki ifadelerin limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 4^-} (\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x + 5}) = \sqrt{2(4) + 1} - \sqrt{4 + 5} = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to 4^-} (x - 4) = 0 \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için ifadenin payını ve paydasını payın eşleniği ile çarpalım.
\( = \lim\limits_{x \to 4^-} \dfrac{(\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x + 5})(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x + 5})}{(x - 4)(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x + 5})} \)
\( = \lim\limits_{x \to 4^-} \dfrac{(2x + 1) - (x + 5)}{(x - 4)(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x + 5})} \)
\( = \lim\limits_{x \to 4^-} \dfrac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x + 5})} \)
\( = \lim\limits_{x \to 4^-} \dfrac{1}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x + 5}} \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt{9} + \sqrt{9}} = \dfrac{1}{6} \)
Fonksiyonun \( x = 4 \) noktasında sürekli olması için bu noktadaki fonksiyon değeri de \( \frac{1}{6} \) olmalıdır.
\( k = \dfrac{1}{6} \) bulunur.
\( f(x) = \begin{cases} a^2 - ax^3 & x \lt 1 \\ x^2 + a & x \ge 1 \end{cases} \)
fonksiyonu yalnız bir noktada süreksiz olduğuna göre, \( a \)'nın alamayacağı değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen parçalı fonksiyonun iki aralığında tanımlı ifadeler birer polinom fonksiyonudur. Polinom fonksiyonları tüm reel sayılarda süreklidir.
Buna göre fonksiyonun sürekli olmayabileceği tek nokta parçalı fonksiyonun geçiş noktası olan \( x = 1 \) noktasıdır.
Bir parçalı fonksiyonun bir geçiş noktasında sürekli olması için bu noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri mevcut, fonksiyon değeri tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.
\( \lim\limits_{x \to 1^-} (a^2 - ax^3) = a^2 - a \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} (x^2 + a) = 1 + a \)
Fonksiyonun bu noktada süreksiz olması için bu iki limit değeri birbirinden farklı olmalıdır.
\( a^2 - a \ne 1 + a \)
\( a^2 - 2a - 1 \ne 0 \)
\( a \)'nın alamayacağı değerler \( a^2 - 2a - 1 = 0 \) denkleminin kökleridir. Bu denklemin kökler toplamı da \( a \)'nın alamayacağı değerlerin toplamını verir.
Kökler toplamı:
\( = -\dfrac{-2}{1} = 2 \) bulunur.
\( f(x) = \begin{cases} \arcsin{\dfrac{1 - x}{2}} & 0 \lt x \lt 3 \\ \dfrac{\pi}{2} & x = 3 \\ \arctan{\dfrac{x}{3 - x}} & x \gt 3 \end{cases} \)
fonksiyonunun \( x = 3 \) noktasındaki sürekliliğini inceleyiniz.
Çözümü Göster\( x = 3 \) noktası parçalı fonksiyonun geçiş noktasıdır.
Bu noktadaki soldan ve sağdan limiti bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 3^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 3^-} \arcsin{\dfrac{1 - x}{2}} \)
\( = \arcsin(-1) = -\dfrac{\pi}{2} \)
\( \lim\limits_{x \to 3^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 3^+} \arctan{\dfrac{x}{3 - x}} \)
\( = \arctan(-\infty) = -\dfrac{\pi}{2} \)
Fonksiyonun \( x = 3 \) noktasında soldan ve sağdan limitleri mevcut ve birbirine eşit olduğu için bu noktada iki taraflı limit vardır ve bu limit değerine eşittir.
\( \lim\limits_{x \to 3} f(x) = -\dfrac{\pi}{2} \)
\( f(3) = \dfrac{\pi}{2} \)
Bu noktadaki fonksiyon değeri limit değerinden farklı olduğu için fonksiyon \( x = 3 \) noktasında süreksizdir. Fonksiyonun bu noktadaki süreksizliği kaldırılabilir süreksizliktir.
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 25 & x \le a \\ 30 & a \lt x \le b \\ 5x + 5 & x \gt b \end{cases} \)
parçalı fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli olduğuna göre, \( f(ab) \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonunun her bir parçasındaki fonksiyon (sırasıyla ikinci dereceden polinom, sabit ve doğrusal fonksiyon) tanımlı olduğu aralıkta süreklidir.
Buna göre fonksiyonun tüm reel sayılarda sürekli olması için geçiş noktaları olan \( x = a \) ve \( x = b \) noktalarında sürekli olmalıdır.
\( x = a \) noktasında sürekliliği inceleyelim.
\( x = a \) noktasındaki soldan limit:
\( \lim\limits_{x \to a^-} {f(x)} = \lim\limits_{x \to a^-} (x^2 - 4x + 25) \)
\( = a^2 - 4a + 25 \)
\( x = a \) noktasındaki sağdan limit:
\( \lim\limits_{x \to a^+} {f(x)} = \lim\limits_{x \to a^+} {30} = 30 \)
Bu noktadaki fonksiyon değeri soldan limit değerine eşittir.
Fonksiyonun bu noktada sürekli olması için soldan ve sağdan limit değerleri birbirine ve bu noktadaki fonksiyon değerine eşit olmalıdır.
\( a^2 - 4a + 25 = 30 \)
\( a^2 - 4a - 5 = 0 \)
\( (a - 5)(a + 1) = 0 \)
\( a = 5 \) ya da \( a = -1 \)
\( x = b \) noktasında sürekliliği inceleyelim.
\( x = b \) noktasındaki soldan limit:
\( \lim\limits_{x \to b^-} {f(x)} = \lim\limits_{x \to b^-} {30} = 30 \)
\( x = b \) noktasındaki sağdan limit:
\( \lim\limits_{x \to b^+} {f(x)} = \lim\limits_{x \to b^+} (5x + 5) \)
\( = 5b + 5 \)
Bu noktadaki fonksiyon değeri soldan limit değerine eşittir.
Fonksiyonun bu noktada sürekli olması için soldan ve sağdan limit değerleri birbirine ve bu noktadaki fonksiyon değerine eşit olmalıdır.
\( 5b + 5 = 30 \)
\( b = 5 \)
Parçalı fonksiyonun tanım aralıklarının birbirinden ayrık olması gerektiği için \( a \lt b \) olmalıdır.
Buna göre \( a = -1 \) olmalıdır.
\( f(ab) = f(-1 \cdot 5) = f(-5) \)
Bu noktada fonksiyonun \( x \le a = -1 \) tanımı geçerlidir.
\( = (-5)^2 - 4(-5) + 25 \)
\( = 25 + 20 + 25 = 70 \) bulunur.