Parçalı Fonksiyon
Tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı tanımlara sahip fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir.
Üç aralıktan oluşan örnek bir parçalı fonksiyon aşağıda verilmiştir.
\( f(x) = \begin{cases} 3 & x \lt -3 \\ -x & -3 \le x \lt 2 \\ x & 2 \le x \end{cases} \)
Tanımı verilen \( f \) parçalı fonksiyonu aşağıdaki üç aralıkta üç farklı tanıma sahiptir.
Bir parçalı fonksiyonun belirli bir \( x \) değeri için değerini bulmak için, öncelikle bu \( x \) değerinin fonksiyonun hangi "parçasına" karşılık geldiğini belirlememiz gerekir.
\( x = -4 \) birinci aralıkta olduğu için \( f(x) = 3 \) tanımı geçerlidir.
\( f(-4) = 3 \)
\( x = -1 \) ikinci aralıkta olduğu için \( f(x) = -x \) tanımı geçerlidir.
\( f(-1) = -(-1) = 1 \)
\( x = 5 \) üçüncü aralıkta olduğu için \( f(x) = x \) tanımı geçerlidir.
\( f(5) = 5 \)
\( f \) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir. Grafikte \( x = 2 \) noktasındaki içi boş nokta 2. aralıktaki tanımın bu noktayı kapsamadığını gösterir (\( -3 \le x \textcolor{red}{\lt} 2 \)). Aynı noktadaki içi dolu nokta ise 3. aralıktaki tanımın bu noktayı kapsadığını gösterir (\( 2 \textcolor{red}{\le} x \)).
Bir parçalı fonksiyonun grafiğinde her alt fonksiyon sadece tanımlı olduğu aralıkta çizilmeli, farklı alt fonksiyonların grafikleri belirli \( x \) değerlerinde ya da aralıklarında çakışmamalıdır.
Bir parçalı fonksiyonun farklı tanımlarının geçerli olduğu aralıkların alt ve üst sınır noktalarına kritik nokta denir. Yukarıda grafiğini verdiğimiz parçalı fonksiyonun kritik noktaları fonksiyonun tanımının değiştiği \( x = -3 \) ve \( x = 2 \) noktalarıdır. İleriki bölümlerde göreceğimiz üzere, parçalı fonksiyonların kritik noktalarının limit, süreklilik ve türev gibi konularda özel olarak ele alınması gerekmektedir.
Bir parçalı fonksiyonun parçaları belirli bir aralık için tanımlanabileceği gibi tek bir değer için de tanımlanabilir. Aşağıdaki parçalı fonksiyonun \( x = 2 \) noktasındaki \( g(x) = 4 \) tanımını buna örnek olarak verebiliriz.
\( g(x) = \begin{cases} -2x - 3 & x \lt 2 \\ 4 & x = 2 \\ 3x + 2 & 2 \lt x \end{cases} \)
Parçalı fonksiyonların tanım ve görüntü kümeleri ile ilgili üç önemli nokta aşağıdaki gibidir.
- Bir parçalı fonksiyonun parçalarının tanım aralıkları birbirinden ayrık olmalı, yani kesişim kümeleri boş küme olmalıdır.
- Bir parçalı fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun parçalarının tanım aralıklarının birleşim kümesine eşittir.
- Bir parçalı fonksiyonun görüntü kümesi, fonksiyonun parçalarının görüntülerinin birleşim kümesine eşittir.
Mutlak değer fonksiyonunun parçalı fonksiyon tanımı ve grafiği aşağıdaki gibidir.
\( f(x) = \abs{x} = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x \lt 0 \end{cases} \)
\( f(4) = 4 = \abs{4} \)
\( f(-4) = -(-4) = 4 = \abs{-4} \)
Önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz özel tanımlı bir fonksiyon olan işaret fonksiyonunun parçalı fonksiyon tanımı ve grafiği de aşağıdaki gibidir.
\( g(x) = \sgn(x) = \begin{cases} 1 & x \gt 0 \\ 0 & x = 0 \\ -1 & x \lt 0 \end{cases} \)
\( g(4) = 1 \)
\( g(-4) = -1 \)
\( f(x)= \begin{cases} x^2 + 4 & x \lt -1 \\ 2x + 5 & x \ge -1 \end{cases} \)
olduğuna göre, \( \dfrac{f(-2)}{f(2)} \) kaçtır?
Çözümü Göster\( x = -2 \) parçalı fonksiyonun birinci aralığında tanımlıdır ve \( f(x) = x^2 + 4 \) tanımına karşılık gelir.
\( f(-2) = (-2)^2 + 4 = 8 \)
\( x = 2 \) parçalı fonksiyonun ikinci aralığında tanımlıdır ve \( f(x) = 2x + 5 \) tanımına karşılık gelir.
\( f(2) = 2(2) + 5 = 9 \)
\( \dfrac{f(-2)}{f(2)} = \dfrac{8}{9} \) olarak bulunur.
\( f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( f(x)= \begin{cases} x^2 - 2 & x \bmod{3} = 0 \\ x + 2 & x \bmod{3} = 1 \\ x^2 + 2 & x \bmod{3} = 2 \end{cases} \)
olduğuna göre, \( f(4) + f(5) + f(6) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterParçalı fonksiyon tanımına göre, \( x \) 3 ile tam bölünüyorsa birinci tanım, 1 kalanını veriyorsa ikinci tanım, 2 kalanını veriyorsa üçüncü tanım geçerlidir.
4 3'e bölündüğünde 1 kalanını verdiği için ikinci tanım geçerlidir.
\( f(4) = 4 + 2 = 6 \)
5 3'e bölündüğünde 2 kalanını verdiği için üçüncü tanım geçerlidir.
\( f(5) = 5^2 + 2 = 27 \)
6 3'e tam bölündüğü için birinci tanım geçerlidir.
\( f(6) = 6^2 - 2 = 34 \)
Buna göre, \( f(4) + f(5) + f(6) = 6 + 27 + 34 = 67 \) bulunur.
\( f \) fonksiyonu \( x \) sayısı 4'ten büyük olduğunda \( x + f(x - 2) \), 4 ya da 4'ten küçük olduğunda \( 3x \) şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre \( f(11) \) kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyonu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
\( f(x) = \begin{cases} 3x & x \le 4 \\ x + f(x - 2) & x \gt 4 \end{cases} \)
\( f(11) = 11 + f(9) \)
\( f(9) = 9 + f(7) \)
\( f(7) = 7 + f(5) \)
\( f(5) = 5 + f(3) \)
\( f(3) = 3 \cdot 3 = 9 \)
Yukarıdaki ifadeleri taraf tarafa topladığımızda \( f(11) \) dışındaki fonksiyon terimleri birbirini götürür.
\( f(11) = 11 + 9 + 7 + 5 + 9 = 41 \) bulunur.
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - x + 1 & x \lt 3 \\ x^2 + x + 1 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( g(x) = \begin{cases} 3x & x \le 1 \\ 8 - 7x & x \gt 1 \end{cases} \)
olduğuna göre, \( (f + g)(x) \) fonksiyonunun tanımını bulunuz.
Çözümü Gösterİki ya da daha fazla fonksiyon arasında yapılan işlemin sonucunun tanım kümesi, işlemin terimi olan fonksiyonların tanım kümelerinin kesişim kümesine eşittir.
Daha rahat işlem yapmak için parçalı fonksiyonları tanım aralıkları aynı olacak şekilde düzenleyelim.
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - x + 1 & x \le 1 \\ x^2 - x + 1 & 1 \lt x \lt 3 \\ x^2 + x + 1 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( g(x) = \begin{cases} 3x & x \le 1 \\ 8 - 7x & 1 \lt x \lt 3 \\ 8 - 7x & x \ge 3 \end{cases} \)
Fonksiyonların ortak tanım aralıkları arasında toplama işlemi yaparak \( f + g \) fonksiyonunu bulalım.
\( (f + g)(x) = \begin{cases} x^2 + 2x + 1 & x \le 1 \\ x^2 - 8x + 9 & 1 \lt x \lt 3 \\ x^2 - 6x + 9 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} (x + 1)^2 & x \le 1 \\ x^2 - 8x + 9 & 1 \lt x \lt 3 \\ (x - 3)^2 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( f(x) = \begin{cases} 2x & x \le 1 \\ x^{2} & x \gt 1 \end{cases} \)
\( g(x) = \begin{cases} 3x - 2 & x \lt 0 \\ x - 1 & x \ge 0 \end{cases} \)
olduğuna göre, \( (f \cdot g)(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü GösterBirinci fonksiyonun kritik noktası \( x = 1 \), ikinci fonksiyonun kritik noktası \( x = 0 \) olur.
İki fonksiyonun kritik noktaları birlikte değerlendirildiğinde aşağıdaki tablodaki gibi üç aralık oluşur.
Buna göre \( (f \cdot g)(x) \) fonksiyonunu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( (f \cdot g)(x) = \begin{cases} 6x^{2} - 4x & x \lt 0 \\ 2x^{2} - 2x & 0 \le x \le 1 \\ x^{3} - x^{2} & x \gt 1 \end{cases} \)
\( f(x)= \begin{cases} 5x - 2 & x \lt 1 \\ 2x + 1 & x \ge 1 \end{cases} \)
\( g(x)= \begin{cases} 2x + 4 & x \le 3 \\ 6x - 1 & x \gt 3 \end{cases} \)
olduğuna göre, \( (g \circ f)(1) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (g \circ f)(1) = g(f(1)) \)
\( x = 1 \) değeri \( f \) parçalı fonksiyonunun ikinci aralığında tanımlıdır ve \( f(x) = 2x + 1 \) tanımına karşılık gelir.
\( f(1) = 2(1) + 1 = 3 \)
\( (g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(3) \)
\( x = 3 \) değeri \( g \) parçalı fonksiyonun birinci aralığında tanımlıdır ve \( g(x) = 2x + 4 \) tanımına karşılık gelir.
\( g(3) = 2(3) + 4 = 10 \)
\( (g \circ f)(1) = g(3) = 10 \) bulunur.
\( f(x) = \begin{cases} 3x - 4 & x \ge 0 \\ x + 1 & x \lt 0 \end{cases} \)
olduğuna göre, \( f(x + 2) \) fonksiyonunun tanımı nedir?
Çözümü Göster\( x \) yerine \( x + 2 \) yazalım.
\( f(x + 2) = \begin{cases} 3(x + 2) - 4 & x + 2 \ge 0 \\ (x + 2) + 1 & x + 2 \lt 0 \end{cases} \)
\( f(x + 2) = \begin{cases} 3x + 2 & x \ge -2 \\ x + 3 & x \lt -2 \end{cases} \)
\( f(x) = \begin{cases} 1 & x = 0 \\ \dfrac{f^2(\frac{x}{2})}{5} & x \text{ (sıfır hariç) çift ise,} \\ kf(x - 1) & x \text{ tek ise} \end{cases} \)
\( f(3) = 25 \) olduğuna göre, \( k \) sayısı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen parçalı fonksiyon \( x \) değerinin sıfır, tek ya da çift olmasına göre üç farklı tanıma sahiptir.
Öncelikle \( f(0) \) değerini kullanarak \( f(1) \) değerini bulalım.
\( f(1) = k \cdot f(0) = k \)
Şimdi \( f(1) \) değerini kullanarak \( f(2) \) değerini bulalım.
\( f(2) = \dfrac{f^2(\frac{2}{2})}{5} = \dfrac{f^2(1)}{5} \)
\( = \dfrac{k^2}{5} \)
Şimdi de \( f(2) \) değerini kullanarak \( f(3) \) değerini bulalım.
\( f(3) = k \cdot f(2) = k \cdot \dfrac{k^2}{5} \)
\( = \dfrac{k^3}{5} \)
Bulduğumuz değeri \( f(3) = 25 \) değerine eşitleyelim.
\( \dfrac{k^3}{5} = 25 \)
\( k^3 = 125 \)
\( k = 5 \) bulunur.
\( f(n) = \begin{cases} 2n & n \text{ tek ise} \\ n + 5 & n \text{ çift ise} \end{cases} \)
\( f(f(f(k))) = 30 \) olduğuna göre, \( k \) tam sayısı kaça eşittir?
Çözümü Göster\( k \) değerini bulmak için \( f(f(f(k))) = 30 \) ifadesini dıştan içe doğru inceleyelim.
\( f(f(k)) = a, \quad f(a) = 30 \)
\( f(a) = 30 \) yapan \( a \) değerini bulmak için iki fonksiyon tanımını ayrı ayrı 30'a eşitleyelim.
\( n \) tek ise:
\( 2a = 30 \Rightarrow a = 15 \)
\( n \) çift ise:
\( n + 5 = 30 \Rightarrow a = 25 \)
\( a = 25 \) çift sayı olmadığı için \( a = 15 \) bulunur.
\( f(f(k)) = a = 15 \)
\( f(k) = b, \quad f(b) = 15 \)
\( f(b) = 15 \) yapan \( b \) değerini bulmak için iki fonksiyon tanımını ayrı ayrı 15'e eşitleyelim.
\( n \) tek ise:
\( 2b = 15 \Rightarrow b = 7,5 \)
\( n \) çift ise:
\( b + 5 = 15 \Rightarrow b = 10 \)
\( b = 7,5 \) tek sayı olmadığı için \( b = 10 \) bulunur.
\( f(k) = b = 10 \)
\( f(k) = 10 \) yapan \( k \) değerini bulmak için iki fonksiyon tanımını ayrı ayrı 10'a eşitleyelim.
\( n \) tek ise:
\( 2k = 10 \Rightarrow k = 5 \)
\( n \) çift ise:
\( k + 5 = 10 \Rightarrow k = 5 \)
Buna göre \( k = 5 \) bulunur.