Parçalı Fonksiyon
Tanım kümesinin farklı alt kümelerinde farklı kurallarla tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir. Parçalı fonksiyonun her bir alt küme üzerinde geçerli olan tanımına fonksiyonun bir parçası ya da dalı denir.
Bir parçalı fonksiyon tanımlanırken sol süslü parantez kullanılır ve her satırda bir fonksiyon kuralı ve bu kuralın geçerli olduğu \( x \) değerleri belirtilir.
Aşağıda üç parçadan oluşan parçalı \( f \) fonksiyonunun tanımı ve grafiği verilmiştir. Buna göre, fonksiyon tanımı mavi ile işaretli \( (-\infty, -3) \) aralığında \( f(x) = 3 \), kırmızı ile işaretli \( [-3, 2) \) aralığında \( f(x) = -x \), yeşil ile işaretli \( [2, \infty) \) aralığında ise \( f(x) = x \) olur.
\( f(x) = \begin{cases} 3 & x \lt -3 \\ -x & -3 \le x \lt 2 \\ x & x \ge 2 \end{cases} \)
Bir parçalı fonksiyonun belirli bir \( x \) değeri için değerini bulmak için, öncelikle bu \( x \) değerinin fonksiyonun hangi parçasına karşılık geldiği belirlenir.
\( x = -4 \) için fonksiyonun \( f(x) = 3 \) kuralı kullanılır.
\( f(-4) = 3 \)
\( x = -1 \) için fonksiyonun \( f(x) = -x \) kuralı kullanılır.
\( f(-1) = -(-1) = 1 \)
\( x = 5 \) için fonksiyonun \( f(x) = x \) kuralı kullanılır.
\( f(5) = 5 \)
Bir parçalı fonksiyonda kullanılan kuralın değiştiği \( x \) değerlerine fonksiyonun geçiş noktaları denir. Yukarıdaki parçalı \( f \) fonksiyonunda \( x = -3 \) ve \( x = 2 \) fonksiyonun geçiş noktalarıdır. İleriki bölümlerde göreceğimiz üzere, parçalı fonksiyonlar limit, süreklilik ve türev gibi açılardan incelenirken geçiş noktaları özel olarak ele alınır.
Bir parçalı fonksiyonun parçaları belirli bir aralık için tanımlanabileceği gibi tek bir değer için de tanımlanabilir. Aşağıdaki parçalı fonksiyonun \( x = 2 \) noktasındaki \( g(x) = 4 \) tanımı buna örnek olarak verilebilir.
\( g(x) = \begin{cases} -2x - 3 & x \lt 2 \\ 4 & x = 2 \\ 3x + 2 & x \gt 2 \end{cases} \)
Bir parçalı fonksiyonun grafiği çizilirken her parçanın grafiği yalnızca o parçanın geçerli olduğu \( x \) değerlerinde çizilir.
Parçalı fonksiyonların tanım ve görüntü kümeleri ile ilgili üç önemli nokta aşağıdaki gibidir.
- Bir parçalı fonksiyonun parçalarının tanım kümeleri birbirinden ayrık olmalı, yani kesişim kümeleri boş küme olmalıdır.
- Parçalı fonksiyonun tanım kümesi, parçaların tanımlı olduğu kümelerin birleşimidir.
- Parçalı fonksiyonun görüntü kümesi, parçaların görüntü kümelerinin birleşimidir.
Mutlak değer fonksiyonu, \( x \)'in işaretine göre iki farklı kuralla tanımlanabilir ve bu nedenle parçalı fonksiyon olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( f(x) = \abs{x} = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x \lt 0 \end{cases} \)
\( f(4) = 4 = \abs{4} \)
\( f(-4) = -(-4) = 4 = \abs{-4} \)
Önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz özel tanımlı bir fonksiyon olan işaret fonksiyonunun parçalı fonksiyon tanımı ve grafiği de aşağıdaki gibidir.
\( g(x) = \sgn(x) = \begin{cases} 1 & x \gt 0 \\ 0 & x = 0 \\ -1 & x \lt 0 \end{cases} \)
\( g(4) = 1 \)
\( g(0) = 0 \)
\( g(-4) = -1 \)
\( f(x)= \begin{cases} x^2 + 4 & x \lt -1 \\ 2x + 5 & x \ge -1 \end{cases} \)
olduğuna göre, \( \dfrac{f(-2)}{f(2) + f(-1)} \) kaçtır?
Çözümü Göster\( x = -2 \) için fonksiyonun birinci parçası kullanılır.
\( f(-2) = (-2)^2 + 4 = 8 \)
\( x = 2 \) için fonksiyonun ikinci parçası kullanılır.
\( f(2) = 2(2) + 5 = 9 \)
\( x = -1 \) için fonksiyonun ikinci parçası kullanılır.
\( f(-1) = 2(-1) + 5 = 3 \)
\( \dfrac{f(-2)}{f(2) + f(-1)} = \dfrac{8}{9 + 3} = \dfrac{2}{3} \) olarak bulunur.
\( f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( f(x)= \begin{cases} x^2 - 2 & x \bmod{3} = 0 \\ x + 2 & x \bmod{3} = 1 \\ x^2 + 2 & x \bmod{3} = 2 \end{cases} \)
olduğuna göre, \( f(4) + f(5) + f(6) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen fonksiyon tanımına göre, \( x \) sayısı 3 ile tam bölünüyorsa birinci parça, 1 kalanını veriyorsa ikinci parça, 2 kalanını veriyorsa üçüncü parça geçerlidir.
4 sayısı 3'e bölündüğünde 1 kalanını verdiği için ikinci parça kullanılır.
\( f(4) = 4 + 2 = 6 \)
5 sayısı 3'e bölündüğünde 2 kalanını verdiği için üçüncü parça kullanılır.
\( f(5) = 5^2 + 2 = 27 \)
6 sayısı 3'e tam bölündüğü için birinci parça kullanılır.
\( f(6) = 6^2 - 2 = 34 \)
\( f(4) + f(5) + f(6) = 6 + 27 + 34 = 67 \) bulunur.
\( f(x)= \begin{cases} 5x - 2 & x \lt 1 \\ 2x + 1 & x \ge 1 \end{cases} \)
\( g(x)= \begin{cases} 2x + 4 & x \le 3 \\ 6x - 1 & x \gt 3 \end{cases} \)
olduğuna göre, \( (g \circ f)(1) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (g \circ f)(1) = g(f(1)) \)
\( x = 1 \) için \( f \) parçalı fonksiyonunun ikinci parçası kullanılır.
\( f(1) = 2(1) + 1 = 3 \)
\( g(f(1)) = g(3) \)
\( x = 3 \) için \( g \) parçalı fonksiyonun birinci parçası kullanılır.
\( g(3) = 2(3) + 4 = 10 \)
\( g(f(1)) = g(3) = 10 \) bulunur.
\( f(x) = \begin{cases} x + 1 & x \lt 0 \\ 3x - 4 & x \ge 0 \end{cases} \)
olduğuna göre, \( f(x + 2) \) fonksiyonunun tanımını bulunuz.
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonunun tanımında tüm \( x \) değişkenleri yerine \( x + 2 \) yazalım.
\( f(x + 2) = \begin{cases} (x + 2) + 1 & x + 2 \lt 0 \\ 3(x + 2) - 4 & x + 2 \ge 0 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} x + 3 & x \lt -2 \\ 3x + 2 & x \ge -2 \end{cases} \)
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - x + 1 & x \lt 3 \\ x^2 + x + 1 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( g(x) = \begin{cases} 3x & x \le 1 \\ 8 - 7x & x \gt 1 \end{cases} \)
olduğuna göre, \( (f + g)(x) \) fonksiyonunun tanımını bulunuz.
Çözümü Gösterİki fonksiyon da tüm reel sayılarda tanımlıdır.
Daha rahat işlem yapmak için parçalı fonksiyonları her parçanın tanım kümesi aynı olacak şekilde düzenleyelim.
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - x + 1 & x \le 1 \\ x^2 - x + 1 & 1 \lt x \lt 3 \\ x^2 + x + 1 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( g(x) = \begin{cases} 3x & x \le 1 \\ 8 - 7x & 1 \lt x \lt 3 \\ 8 - 7x & x \ge 3 \end{cases} \)
Birbirine karşılık gelen aralıklar arasında toplama işlemi yaparak \( f + g \) fonksiyonunu bulalım.
\( (f + g)(x) = \begin{cases} x^2 + 2x + 1 & x \le 1 \\ x^2 - 8x + 9 & 1 \lt x \lt 3 \\ x^2 - 6x + 9 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} (x + 1)^2 & x \le 1 \\ x^2 - 8x + 9 & 1 \lt x \lt 3 \\ (x - 3)^2 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( f(x) = \begin{cases} 2x & x \le 1 \\ x^{2} & x \gt 1 \end{cases} \)
\( g(x) = \begin{cases} 3x - 2 & x \lt 0 \\ x - 1 & x \ge 0 \end{cases} \)
olduğuna göre, \( (fg)(x) \) fonksiyonunun tanımını bulunuz.
Çözümü Gösterİki fonksiyon da tüm reel sayılarda tanımlıdır.
Daha rahat işlem yapmak için parçalı fonksiyonları her parçanın tanım kümesi aynı olacak şekilde düzenleyelim.
\( f(x) = \begin{cases} 2x & x \lt 0 \\ 2x & 0 \le x \le 1 \\ x^{2} & x \gt 1 \end{cases} \)
\( g(x) = \begin{cases} 3x - 2 & x \lt 0 \\ x - 1 & 0 \le x \le 1 \\ x - 1 & x \gt 1 \end{cases} \)
Birbirine karşılık gelen aralıklar arasında çarpma işlemi yaparak \( fg \) fonksiyonunu bulalım.
\( (fg)(x) = \begin{cases} 6x^{2} - 4x & x \lt 0 \\ 2x^{2} - 2x & 0 \le x \le 1 \\ x^{3} - x^{2} & x \gt 1 \end{cases} \)
\( f \) fonksiyonu \( x \) sayısı 4'ten büyük ise \( x + f(x - 2) \), 4'ten küçük ya da 4'e eşit ise \( 3x \) şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre \( f(11) \) kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyonu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
\( f(x) = \begin{cases} 3x & x \le 4 \\ x + f(x - 2) & x \gt 4 \end{cases} \)
\( f(11) = 11 + f(9) \)
\( f(9) = 9 + f(7) \)
\( f(7) = 7 + f(5) \)
\( f(5) = 5 + f(3) \)
\( f(3) = 3 \cdot 3 = 9 \)
Yukarıdaki eşitlikleri taraf tarafa topladığımızda \( f(11) \) dışındaki fonksiyon terimleri birbirini götürür.
\( f(11) = 11 + 9 + 7 + 5 + 9 = 41 \) bulunur.
\( f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( f(n) = \begin{cases} 2n & n \text{ tek ise} \\ n + 5 & n \text{ çift ise} \end{cases} \)
\( f(f(f(k))) = 30 \) olduğuna göre, \( k \) tam sayısı kaça eşittir?
Çözümü Göster\( k \) değerini bulmak için \( f(f(f(k))) = 30 \) ifadesini dıştan içe doğru inceleyelim.
\( f(f(k)) = a, \quad f(a) = 30 \)
Görüntüsü 30 olan \( a \) değerini bulmak için fonksiyonun iki parçasını ayrı ayrı 30'a eşitleyelim.
\( n \) tek ise:
\( 2a = 30 \Longrightarrow a = 15 \)
\( n \) çift ise:
\( n + 5 = 30 \Longrightarrow a = 25 \)
25 çift sayı olmadığı için bu parça geçerli değildir.
Buna göre \( a = 15 \) olur.
\( f(f(k)) = a = 15 \)
\( f(k) = b, \quad f(b) = 15 \)
Görüntüsü 15 olan \( b \) değerini bulmak için fonksiyonun iki parçasını ayrı ayrı 15'e eşitleyelim.
\( n \) tek ise:
\( 2b = 15 \Longrightarrow b = 7,5 \)
7,5 tam sayı (ve tek sayı) olmadığı için bu parça geçerli değildir.
\( n \) çift ise:
\( b + 5 = 15 \Longrightarrow b = 10 \)
Buna göre \( b = 10 \) olur.
\( f(k) = b = 10 \)
Görüntüsü 10 olan \( k \) değerini bulmak için fonksiyonun iki parçasını ayrı ayrı 10'a eşitleyelim.
\( n \) tek ise:
\( 2k = 10 \Longrightarrow k = 5 \)
\( n \) çift ise:
\( k + 5 = 10 \Longrightarrow k = 5 \)
5 çift sayı olmadığı için bu parça geçerli değildir.
Buna göre \( k = 5 \) olur.
Bulduğumuz sonucun sağlamasını yapalım.
\( f(f(f(5))) = f(f(10)) = f(15) = 30 \)