Fonksiyonların Tanım ve Görüntü Kümesi
\( f: A \to B \) fonksiyonunda \( A \) tanım kümesi, \( B \) değer kümesidir. Bir fonksiyonda tanım kümesinin her elemanı, değer kümesinin bir ve yalnız bir elemanı ile eşlenir.
Tanım kümesindeki bir elemanın değer kümesinde eşlendiği elemana bu elemanın \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü denir. Fonksiyon tanımı gereği, tanım kümesindeki her elemanın bir ve yalnız bir görüntüsü olmak zorundadır.
Tanım kümesindeki tüm elemanların görüntülerinin oluşturduğu kümeye fonksiyonun görüntü kümesi denir ve \( f(A) \) ile gösterilir. Bir fonksiyonun görüntü kümesi değer kümesine eşit (\( f(A) = B \)) ya da değer kümesinin bir öz alt kümesi olabilir (\( f(A) \subsetneq B \)).
Bir fonksiyonun grafiği üzerindeki tüm noktaların \( x \) eksenine izdüşümleri tanım kümesini, \( y \) eksenine izdüşümleri de görüntü kümesini verir.
Bir reel fonksiyonun tanım kümesi ayrıca belirtilmemişse fonksiyon kuralının reel sayılarda anlamlı olduğu en geniş küme tanım kümesi olarak alınır.
Fonksiyonun Tanımsız Olduğu Noktalar
Bir fonksiyonda tanım kümesinin her elemanının bir görüntüsü olması gerektiği için, fonksiyonu tanımsız yapan \( x \) değerleri tanım kümesine dahil edilmez. Bu tanımsızlık durumları aşağıdaki şekillerde olabilir.
Paydayı Sıfır Yapan Değerler
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan \( x \) değerleri ifadeyi tanımsız yapar.
| İfade | Tanımsızlık Noktaları |
|---|---|
| \( \dfrac{1}{x - 2} \) | İfade \( x = 2 \) noktasında tanımsızdır. |
| \( \dfrac{1}{(x + 1)(x - 3)} \) | İfade \( x \in \{ -1, 3 \} \) noktalarında tanımsızdır. |
| \( \dfrac{1}{3^x - 9} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{x} - 2} \) | İfade \( x \in \{ 2, 8 \} \) noktalarında tanımsızdır. |
| \( \dfrac{1}{\cos{x} - 1} \) | İfade \( x \in \{ 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \) noktalarında tanımsızdır. |
Çift Dereceli Köklü İfadeler
Çift sayı dereceli köklü ifadelerin içi reel sayılarda negatif olamayacağı için, kök içini negatif yapan \( x \) değerleri ifadeyi tanımsız yapar.
| İfade | Tanımsızlık Noktaları |
|---|---|
| \( \sqrt{x} \) | İfade \( x \lt 0 \) aralığında tanımsızdır. |
| \( \sqrt{(x - 1)(x - 4)} \) | İfade \( x \in (1, 4) \) aralığında tanımsızdır. |
| \( \sqrt{x - 2} - \sqrt[4]{6 - x} \) | İfade \( x \in (-\infty, 2) \cup (6, \infty) \) değerlerinde tanımsızdır. |
Tanım Kümesi Kısıtlı Temel Fonksiyonlar
Aşağıdaki temel fonksiyonlar belirtilen nokta ya da aralıklarda tanımsızdır.
| Fonksiyon | Tanımsızlık Noktaları |
|---|---|
| \( \tan{x} \) | Fonksiyon \( x \in \{\frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \) noktalarında tanımsızdır. |
| \( \cot{x} \) | Fonksiyon \( x \in \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \) noktalarında tanımsızdır. |
| \( \sec{x} \) | Fonksiyon \( x \in \{\frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \) noktalarında tanımsızdır. |
| \( \csc{x} \) | Fonksiyon \( x \in \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \) noktalarında tanımsızdır. |
| \( \log{x} \) | Fonksiyon \( x \in (-\infty, 0] \) aralığında tanımsızdır. |
| \( \ln{x} \) | Fonksiyon \( x \in (-\infty, 0] \) aralığında tanımsızdır. |
Bileşik İfadeler
Bir fonksiyonu tanımsız yapan \( x \) değerleri, bu fonksiyonları içeren bileşke fonksiyonları da tanımsız yapar.
| İfade | Gerekli Koşul |
|---|---|
| \( \dfrac{1}{g(x)} \) | \( g(x) \ne 0 \) |
| \( \sqrt[2k]{g(x)} \) | \( g(x) \ge 0 \) |
| \( \dfrac{1}{\sqrt[2k]{g(x)}} \) | \( g(x) \gt 0 \) |
| \( \tan{g(x)} \) | \( g(x) \ne \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \) |
| \( \log{g(x)} \) | \( g(x) \gt 0 \) |
\( A = \{4, 5, 7, 8\} \)
\( B = \{10, 12, 13, 15, 19, 22\} \)
\( f: A \to B \) olmak üzere,
\( f(x) = 3x - 2 \) fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
Çözümü GösterTanım kümesindeki elemanların görüntülerini bularak \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
\( f(4) = 3(4) - 2 = 10 \)
\( f(5) = 3(5) - 2 = 13 \)
\( f(7) = 3(7) - 2 = 19 \)
\( f(8) = 3(8) - 2 = 22 \)
\( f(A) = \{10, 13, 19, 22\} \) olarak bulunur.
\( f: A \to B \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{x - 2}{2} \) fonksiyonu için \( f(A) = \{2, 4, 6\} \) olduğuna göre, \( A \) kümesi nedir?
Çözümü Göster\( f(A) \) fonksiyonun görüntü kümesidir.
\( f \) doğrusal ve kesin artan bir fonksiyondur, dolayısıyla tanım kümesindeki iki farklı elemanın görüntüsü aynı olamaz.
Buna göre verilen görüntü değerlerini ve fonksiyon kuralını kullanarak tanım kümesinin elemanlarını bulabiliriz.
\( \dfrac{x - 2}{2} = 2 \Longrightarrow x = 6 \)
\( \dfrac{x - 2}{2} = 4 \Longrightarrow x = 10 \)
\( \dfrac{x - 2}{2} = 6 \Longrightarrow x = 14 \)
\( A = \{ 6, 10, 14 \} \) olarak bulunur.
Yukarıda verilen \( f \) fonksiyon grafiğine göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
I. \( f(0) = 7 \)
II. Tanım kümesi \( [-3, 6) \) aralığıdır.
III. Görüntü kümesi \( [-3, 7] \) aralığıdır.
IV. Fonksiyonun \( [-3, 6] \) aralığında tanımsız olduğu 3 nokta vardır.
V. \( f(-3) = f(4) \)
Çözümü GösterI. öncül:
Fonksiyonun \( x = 0 \) noktasındaki değeri 2 değil 7'dir.
Bu öncül doğrudur.
II. öncül:
Fonksiyon \( x = 4 \) noktasında tanımsız olduğu için tanım kümesi \( [-3, 6) - \{4\} \) olur.
Bu öncül yanlıştır.
III. öncül:
Fonksiyon \( [-3, 7] \) aralığındaki tüm değerleri alır.
Bu öncül doğrudur.
IV. öncül:
Fonksiyonun belirtilen aralıkta tanımsız olduğu noktalar \( x = 4 \) ve \( x = 6 \)'dır. Fonksiyon \( x = 0 \) noktasında tanımlıdır ve değeri 7'dir.
Bu öncül yanlıştır.
V. öncül:
Fonksiyon \( x = 4 \) noktasında tanımsızdır.
Bu öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve III. öncüller doğrudur.
\( f = \{ (1, 2), (2, 1), (3, 4), (4, 1) \} \) fonksiyonunun tanım, değer ve görüntü kümelerinden hangileri \( \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) olabilir?
Çözümü GösterFonksiyonun elemanı olan ikililerdeki birinci bileşenler tanım kümesini oluşturur. Buna göre \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( \{ 1, 2, 3, 4 \} \) olur.
Fonksiyonun elemanı olan ikililerdeki ikinci bileşenler görüntü kümesini oluşturur. Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( \{ 1, 2, 4 \} \) olur.
Değer kümesi görüntü kümesini kapsayan herhangi bir küme olabilir. \( \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) görüntü kümesini kapsadığı için fonksiyonun değer kümesi olabilir.
Buna göre sadece değer kümesi \( \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) olabilir.
\( f(x) = \dfrac{3x + 1}{\abs{x + 1} - 2} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterBir rasyonel ifade paydasını sıfır yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
Paydayı sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \abs{x + 1} - 2 = 0 \)
\( \abs{x + 1} = 2 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( x + 1 = 2 \)
\( x = 1 \)
Durum 2:
\( x + 1 = -2 \)
\( x = -3 \)
Buna göre fonksiyonun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.
Tanım kümesi: \( x \in \mathbb{R} - \{-3, 1\} \)
\( f(x) = \dfrac{2x + 6}{x^2 - 2x - 8} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterBir rasyonel ifade paydasını sıfır yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
Paydayı sıfır yapan değerleri bulalım.
\( x^2 - 2x - 8 = 0 \)
\( (x + 2)(x - 4) = 0 \)
Buna göre fonksiyonun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.
Tanım kümesi: \( x \in \mathbb{R} - \{ -2, 4 \} \)
\( f(x) = \sqrt{x^2 + 4x - 21} \) reel değerli fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterBir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.
\( x^2 + 4x - 21 \ge 0 \)
\( (x + 7)(x - 3) \ge 0 \)
Bu eşitsizlik \( (-\infty, -7] \cup [3, \infty) \) için sağlanır.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.
Tanım kümesi: \( x \in (-\infty, -7] \cup [3, \infty) \)
\( f(x) = \sqrt{3 - \abs{x + 1}} \) reel değerli fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde kaç tam sayı eleman vardır?
Çözümü GösterBir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.
\( 3 - \abs{x + 1} \ge 0 \)
\( \abs{x + 1} \le 3 \)
\( -3 \le x + 1 \le 3 \)
\( -4 \le x \le 2 \)
Buna göre fonksiyonun en geniş tanım aralığında \( 2 - (-4) + 1 = 7 \) tam sayı eleman vardır.
\( f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{4x - 8} - 2} \) reel değerli fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterBir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.
\( 4x - 8 \ge 0 \)
\( x \ge 2 \)
Bir rasyonel ifade paydasını sıfır yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( \sqrt{4x - 8} - 2 \ne 0 \)
\( \sqrt{4x - 8} \ne 2 \)
\( 4x - 8 \ne 4 \)
\( x \ne 3 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.
Tanım kümesi: \( x \in [2, \infty) - \{3\} \)
\( f(x) = \dfrac{2xf(x) + 3x + 1}{3x - 2} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü Göster\( f(x) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( f(x)(3x - 2) = 2xf(x) + 3x + 1 \)
\( 3xf(x) - 2f(x) = 2xf(x) + 3x + 1 \)
\( xf(x) - 2f(x) = 3x + 1 \)
\( f(x)(x - 2) = 3x + 1 \)
\( f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2} \)
Bu rasyonel ifade paydasını sıfır yapan \( x = 2 \) değerinde tanımsızdır.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.
Tanım kümesi: \( x \in \mathbb{R} - \{ 2 \} \)
\( f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 3} + \sqrt{7 - x}}{x^2 - 9x + 20} \) reel değerli fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.
\( x - 3 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 3 \)
\( 7 - x \ge 0 \Longrightarrow x \le 7 \)
\( 3 \le x \le 7 \)
Bir rasyonel ifade paydasını sıfır yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( x^2 - 9x + 20 \ne 0 \)
\( (x - 4)(x - 5) \ne 0 \)
\( x \ne 4 \) ve \( x \ne 5 \)
Buna göre fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayı değerleri \( \{ 3, 6, 7 \} \) olur.
\( 3 + 6 + 7 = 16 \) bulunur.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{9x + 3a}{(2a + 2)x + 2} \) olduğuna göre, \( f(a) \) kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar olduğu için tanımsız olduğu bir nokta yoktur, dolayısıyla payda hiçbir \( x \) değeri için sıfır olamaz.
Paydadaki \( x \)'in katsayısı sıfırdan farklı olduğunda paydayı sıfır yapan bir \( x \) değeri mutlaka olur, dolayısıyla \( x \)'in katsayısı sıfır olmalıdır.
\( 2a + 2 = 0 \Longrightarrow a = -1 \)
Fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \dfrac{9x - 3}{2} \)
\( f(a) = f(-1) = \dfrac{9(-1) - 3}{2} = -6 \) bulunur.
\( f(x) = \sqrt{x - \sqrt{x + 2}} \) reel değerli fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterBir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.
İçteki karekök ifadesi için:
\( x + 2 \ge 0 \)
\( x \ge -2 \)
Dıştaki karekök ifadesi için:
\( x - \sqrt{x + 2} \ge 0 \)
\( \sqrt{x + 2} \le x \)
Eşitsizliğin sol tarafı negatif olamayacağı için \( x \ge 0 \) olmalıdır.
\( x + 2 \le x^2 \)
\( x^2 - x - 2 \ge 0 \)
\( (x + 1)(x - 2) \ge 0 \)
\( x \ge 2 \)
Bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesi \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesidir.
Tanım kümesi: \( x \in [2, \infty) \)
\( f(x) = (x - 16x^{-1})^{-1} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterBir rasyonel ifade paydasını sıfır yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
Fonsiyonu üslerden kurtaralım.
\( f(x) = \left( x - \dfrac{16}{x} \right)^{-1} \)
Bu ifade \( \frac{16}{x} \) ifadesinin paydasını sıfır yapan \( x = 0 \) değerinde tanımsızdır.
\( = \left( \dfrac{x^2 - 16}{x} \right)^{-1} \)
\( = \dfrac{x}{x^2 - 16} \)
\( = \dfrac{x}{(x - 4)(x + 4)} \)
Bu rasyonel ifade paydasını sıfır yapan \( x = -4 \) ve \( x = 4 \) değerlerinde tanımsızdır.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.
Tanım kümesi: \( x \in \mathbb{R} - \{ -4, 0, 4 \} \)
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri \( \mathbb{R^-} \to \mathbb{R} \) şeklinde tanımlı olabilir?
I. \( f(x) = \sqrt{-3x^3} \)
II. \( g(x) = \sqrt{-3x^2} \)
III. \( h(x) = \sqrt[3]{3x^3} \)
IV. \( k(x) = \sqrt{3x} \)
Çözümü Göster\( \mathbb{R^-} \) aralığı tüm negatif reel sayılara karşılık gelir.
I. öncül:
\( f(x) = \sqrt{-3x^3} \)
\( x \) negatif olduğunda \( x^3 \) negatif, \( -3x^3 \) pozitif olur.
İfade pozitif bir sayının karekökü olduğu için belirtilen şekilde tanımlı olabilir.
II. öncül:
\( g(x) = \sqrt{-3x^2} \)
\( x \) negatif olduğunda \( x^2 \) pozitif, \( -3x^2 \) negatif olur.
İfade negatif bir sayının karekökü olduğu için belirtilen şekilde tanımlı olamaz.
III. öncül:
\( h(x) = \sqrt[3]{3x^3} \)
Küpkök fonksiyonu kök içinin tüm reel sayı değerlerinde tanımlıdır.
IV. öncül:
\( k(x) = \sqrt{3x} \)
\( x \) negatif olduğunda \( 3x \) negatif olur.
İfade negatif bir sayının karekökü olduğu için belirtilen şekilde tanımlı olamaz.
Buna göre I. ve III. öncüllerdeki fonksiyonlar belirtilen tanım ve ve değer kümesi için tanımlı olabilir.
\( f(x) = \sqrt{2 - \sqrt{1 + \sqrt{x^2 - 6x + 9}}} \) reel değerli fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterEn dıştaki köklü ifadeden en içtekine doğru adım adım ilerleyerek fonksiyonun tanım kümesini bulalım.
Bir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.
\( 2 - \sqrt{1 + \sqrt{x^2 -6x + 9}} \ge 0 \)
\( \sqrt{1 + \sqrt{x^2 - 6x + 9}} \le 2 \)
Kök işaretinden kurtulmak için eşitsizliğin her iki tarafının karesini alalım. Ayrıca karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi negatif olamaz.
\( 0 \le 1 + \sqrt{x^2 - 6x + 9} \le 4 \)
\( -1 \le \sqrt{x^2 - 6x + 9} \le 3 \)
Reel değerli bir karekök ifadesinin sonucu negatif olamayacağı için eşitsizliğin alt sınırını sıfır yapabiliriz.
\( 0 \le \sqrt{x^2 - 6x + 9} \le 3 \)
\( 0 \le \sqrt{(x - 3)^2} \le 3 \)
\( 0 \le \abs{x - 3} \le 3 \)
\( -3 \le x - 3 \le 3 \)
\( 0 \le x \le 6 \)
Tanım kümesi: \( x \in [0, 6] \)
Aşağıdaki reel değerli fonksiyonların en geniş tanım kümeleri nedir?
(a) \( f(x) = \dfrac{\sqrt{25 - x^2}}{\sqrt{x - 4}} \)
(b) \( g(x) = \sqrt{\dfrac{25 - x^2}{x - 4}} \)
Çözümü GösterBir rasyonel ifade paydasını sıfır yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
Ayrıca bir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.
(a) seçeneği:
\( f(x) = \dfrac{\sqrt{25 - x^2}}{\sqrt{x - 4}} \)
Paydaki karekök ifadesinin içi negatif olamaz.
\( 25 - x^2 \ge 0 \)
\( x^2 \le 25 \)
\( -5 \le x \le 5 \)
Paydadaki karekök ifadesinin içi sıfır ya da negatif olamaz.
\( x - 4 \gt 0 \)
\( x \gt 4 \)
Bulduğumuz aralıkların kesişim kümesi \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini verir.
Tanım kümesi: \( x \in (4, 5] \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = \sqrt{\dfrac{25 - x^2}{x - 4}} \)
Karekök ifadesinin içi negatif olamaz.
\( \dfrac{25 - x^2}{x - 4} \ge 0 \)
\( \dfrac{(5 - x)(5 + x)}{x - 4} \ge 0 \)
Bu eşitsizliği çözmek için bir işaret tablosu hazırlayalım.
Buna göre bu eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdaki aralıktır.
\( x \in (-\infty, -5] \cup (4, 5] \)
Tanım kümesi: \( x \in (-\infty, -5] \cup (4, 5] \)
\( f(x) = \sqrt{\dfrac{4^{-x} - 2}{3^x - 1 }} \) reel değerli fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterBir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.
\( \dfrac{4^{-x} - 2}{3^x - 1} \ge 0 \)
Payı sıfır yapan değeri bulalım.
\( 4^{-x} - 2 = 0 \)
\( 4^{-x} = 2 \)
\( 2^{-2x} = 2^1 \)
\( -2x = 1 \)
\( x = -\dfrac{1}{2} \)
Paydayı sıfır yapan değeri bulalım.
\( 3^x - 1 = 0 \)
\( 3^x = 1 \)
\( x = 0 \)
Bu değerleri kullanarak eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için bir işaret tablosu hazırlayalım.
Bu tabloyu hazırlarken \( 4^{-x} \) fonksiyonunun azalan, \( 3^x \) fonksiyonunun da artan olduğuna dikkat edilmelidir.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.
Tanım kümesi: \( x \in \left[ -\dfrac{1}{2}, 0 \right) \)
\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = x^2 - 5 \) fonksiyonu veriliyor.
\( f(A) = \{4, 11, 20\} \) olduğuna göre, \( A \) kümesinin elemanları toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
(a) \( 0 \quad \) (b) \( 2 \quad \) (c) \( 6 \quad \) (d) \( 8 \quad \) (e) \( 10 \)
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü \( f(A) \) kümesinin elemanları olabilecek değerleri bulalım.
\( x^2 - 5 = 4 \Longrightarrow x \in \{-3, 3\} \)
Hem -3 hem de 3'ün görüntüsü 4 olduğu için, tanım kümesi bu iki değerden en az birini içermelidir.
\( x^2 - 5 = 11 \Longrightarrow x \in \{-4, 4\} \)
Benzer şekilde, tanım kümesi bu iki değerden en az birini içermelidir.
\( x^2 - 5 = 20 \Longrightarrow x \in \{-5, 5\} \)
Benzer şekilde, tanım kümesi bu iki değerden en az birini içermelidir.
Buna göre tanım kümesi 3, 4, 5 ya da 6 elemanlı olabilir.
Seçeneklerden hangisinin tanım kümesindeki elemanların toplamı olabileceğini bulalım.
(a) \( A = \{-3, 3, -4, 4, -5, 5\} \) olduğu durumda elemanların toplamı 0 olur.
(b) \( A = \{-3, -4, 4, 5\} \) olduğu durumda elemanların toplamı 2 olur.
(c) \( A = \{-3, 4, 5\} \) olduğu durumda elemanların toplamı 6 olur.
(d) \( A = \{3, -4, 4, 5\} \) olduğu durumda elemanların toplamı 8 olur.
(e) Bu 6 değerle elemanları toplamı 10 olan bir tanım kümesi oluşturulamaz.
Doğru seçenek (e) olur.
\( A = \{x, y, z, t\} \)
\( B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \)
\( f(y) = 5 \) olmak üzere,
\( f: A \to B \) fonksiyonunun görüntü kümesi kaç farklı şekilde olabilir?
Çözümü GösterFonksiyonun tanım kümesi 4 elemanlı olduğu için bu 4 eleman hiçbir zaman değer kümesindeki 7 elemanla eşlenemez, dolayısıyla görüntü kümesi en fazla 4 elemanlı olabilir.
7 elemanlı değer kümesinin elemanları arasından belirli sayıda eleman aşağıdaki şekillerde seçilebilir.
Durum 1: 1 elemanlı görüntü kümeleri
\( f(y) = 5 \) olarak verildiği için 1 elemanlı sadece bir görüntü kümesi olabilir.
Durum 2: 2 elemanlı görüntü kümeleri
Değer kümesinde "5" dışındaki 6 eleman arasından 1 eleman \( C(6, 1) = 6 \) farklı şekilde seçilebilir.
Durum 3: 3 elemanlı görüntü kümeleri
Değer kümesinde "5" dışındaki 6 eleman arasından 2 eleman \( C(6, 2) = 15 \) farklı şekilde seçilebilir.
Durum 4: 4 elemanlı görüntü kümeleri
Değer kümesinde "5" dışındaki 6 eleman arasından 3 eleman \( C(6, 3) = 20 \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre fonksiyonun görüntü kümesi \( 1 + 6 + 15 + 20 = 42 \) farklı şekilde olabilir.
\( A = \{2, 3, 4, 5\} \)
\( B = \{0, 1, 2, 3, 4\} \) olmak üzere,
\( f: A \to B \) fonksiyonunun görüntü kümesi kaç farklı şekilde olabilir?
Çözümü GösterFonksiyonun tanım kümesi 4 elemanlı olduğu için bu 4 eleman hiçbir zaman değer kümesindeki 5 elemanla eşlenemez, dolayısıyla görüntü kümesi en fazla 4 elemanlı olabilir.
5 elemanlı değer kümesinin elemanları arasından belirli sayıda eleman aşağıdaki şekillerde seçilebilir.
Durum 1: 1 elemanlı görüntü kümeleri
\( C(5, 1) = 5 \)
Durum 2: 2 elemanlı görüntü kümeleri
\( C(5, 2) = 10 \)
Durum 3: 3 elemanlı görüntü kümeleri
\( C(5, 3) = 10 \)
Durum 4: 4 elemanlı görüntü kümeleri
\( C(5, 4) = 5 \)
Buna göre fonksiyonun görüntü kümesi \( 5 + 10 + 10 + 5 = 30 \) farklı şekilde olabilir.