Bileşke Fonksiyon
Bir \( x \) girdisine önce \( f \) fonksiyonu, elde edilen \( f(x) \) değerine daha sonra \( g \) fonksiyonu uygulanarak iki fonksiyonu tek bir fonksiyonda birleştiren fonksiyona bileşke fonksiyon denir ve \( g \circ f \) şeklinde gösterilir.
\( f: A \to B, \quad g: B \to C \) olmak üzere,
\( g \circ f: A \to C \)
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( f(a) = 3, \quad g(3) = w \) ise,
\( (g \circ f)(a) = g(f(a)) = g(3) = w \)
Bu tanıma göre, bir \( x \) girdisinin \( g \circ f \) bileşke fonksiyonuna göre görüntüsü, elemanın \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü olan \( f(x) \) değerinin \( g \) fonksiyonuna göre görüntüsüdür.
\( x \overset{f}{\longmapsto} f(x) \overset{g}{\longmapsto} g(f(x)) \)
\( x \overset{g \circ f}{\longmapsto} g(f(x)) \)
Dikkat edilirse \( g \circ f \) bileşkesinde önce sağdaki \( f \) fonksiyonu, sonra soldaki \( g \) fonksiyonu uygulanır.
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \) bileşke fonksiyonunda \( f \) fonksiyonuna "içteki fonksiyon", \( g \) fonksiyonuna "dıştaki fonksiyon" da denir.
Aşağıdaki tabloda her sütunda üstte verilen \( x \) değerine karşılık gelen \( f(x) \) ve \( g(x) \) değerleri gösterilmiştir.
Buna göre, \( (f \circ g)(3) + (g \circ f)(-4) \) işleminin sonucu kaçtır?
| \( x \) | \( -4 \) | \( 3 \) | \( 7 \) |
|---|---|---|---|
| \( f(x) \) | \( 7 \) | \( 1 \) | \( -2 \) |
| \( g(x) \) | \( -6 \) | \( 7 \) | \( 3 \) |
\( (f \circ g)(3) + (g \circ f)(-4) = f(g(3)) + g(f(-4)) \)
\( = f(7) + g(7) \)
\( = -2 + 3 = 1 \) bulunur.
Fonksiyon - Makine Benzetmesi
Daha önce yaptığımız fonksiyon - makine benzetmesini bileşke fonksiyona aşağıdaki gibi uyarlayabiliriz.
Bu benzetmede \( f \) bir çamaşır makinesi, \( g \) de bir kurutma makinesi olarak düşünülürse \( g \circ f \) bileşke fonksiyonu önce yıkama, ardından kurutma işlemlerini gerçekleştiren tek bir makine olarak düşünülebilir.
Bileşke Fonksiyonun Bulunması
Sıralı ikili biçiminde tanımlanmış \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının \( g \circ f \) bileşkesinde, önce bir \( x \) elemanının \( f \)'ye göre görüntüsü, ardından elde edilen \( f(x) \) değerinin \( g \)'ye göre görüntüsü bulunur.
\( f \): Dört öğrencinin burçlarını veren fonksiyon
\( f = \) {(Ece, Boğa), (Eda, Yengeç), (Ela, Koç), (Efe, İkizler)}
\( g \): Burçların elementlerini veren fonksiyon
\( g = \) {(Koç, Ateş), (Boğa, Toprak), (İkizler, Hava), (Yengeç, Su), (Aslan, Ateş), ...}
\( g \circ f \): Öğrencilerin burçlarının elementlerini veren bileşke fonksiyon
\( g \circ f = \) {(Ece, Toprak), (Eda, Su), (Ela, Ateş), (Efe, Hava)}
\( (g \circ f)(\text{Eda}) = g(f(\text{Eda})) = g(\text{Yengeç}) = \text{Su} \)
Formülle tanımlanmış \( f \) ve \( g \) fonksiyonları arasındaki \( g \circ f \) bileşke fonksiyonu aşağıdaki yöntemle bulunur.
- \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \) yazılır.
- \( g(x) \) kuralındaki her \( x \) yerine \( f(x) \) karşılığı yazılır.
- Elde edilen ifade sadeleştirilir.
\( f(x) = 3x - 1 \)
\( g(x) = 2x^2 + 4x - 5 \)
\( (g \circ f)(x) = g(\textcolor{red}{f(x)}) \)
\( = g(\textcolor{red}{3x - 1}) \)
\( = 2(\textcolor{red}{3x - 1})^2 + 4(\textcolor{red}{3x - 1}) - 5 \)
\( = 18x^2 - 12x + 2 + 12x - 4 - 5 \)
\( = 18x^2 - 7 \)
\( f(x) = 4x \)
\( g(x) = x^2 \)
\( h(x) = \sqrt{3x} \)
fonksiyonları arasındaki aşağıdaki bileşke fonksiyonları bulunuz.
(a) \( f \circ g \)
(b) \( g \circ f \)
(c) \( f \circ h \)
(d) \( h \circ f \)
(e) \( g \circ h \)
(f) \( h \circ g \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) \)
\( = 4x^2 \)
(b) seçeneği:
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(4x) \)
\( = (4x)^2 = 16x^2 \)
(c) seçeneği:
\( (f \circ h)(x) = f(h(x)) = f(\sqrt{3x}) \)
\( = 4\sqrt{3x} \)
(d) seçeneği:
\( (h \circ f)(x) = h(f(x)) = h(4x) \)
\( = \sqrt{3(4x)} = \sqrt{12x} \)
(e) seçeneği:
\( (g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(\sqrt{3x}) \)
\( = (\sqrt{3x})^2 = 3x \)
(f) seçeneği:
\( (h \circ g)(x) = h(g(x)) = h(x^2) \)
\( = \sqrt{3x^2} = \sqrt{3}\abs{x} \)
Bileşke Fonksiyonun Grafiği
Bir \( g \circ f \) bileşke fonksiyonunun grafiğinde, her \( x \) değeri için önce \( f(x) \), ardından \( g(f(x)) \) bulunur ve \( (x, g(f(x))) \) noktası koordinat düzleminde işaretlenir.
\( f(x) = x - 3 \)
\( g(x) = 2x^2 + 4x \)
fonksiyonlarının grafikleri ayrı ayrı aşağıdaki gibidir.
Bu iki fonksiyonun bileşkesi olan \( g \circ f \) fonksiyonunun grafiği de aşağıdaki gibidir.
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( = 2x^2 - 8x + 6 \)
Bu grafikler üzerinde işaretli dört nokta aşağıdaki tabloda verilmiştir. İkinci ve üçüncü sütunlardaki fonksiyonlar kullanılarak iki adımda elde edilen görüntü değerlerinin dördüncü sütunda bileşke fonksiyon grafiği ile tek adımda elde edilebildiği görülebilir.
| \( x \) | \( f(x) \) | \( g(f(x)) \) | \( (g \circ f)(x) \) |
|---|---|---|---|
| \( 0 \) | \( f(0) = -3 \) | \( g(f(0)) = g(-3) = 6 \) | \( (g \circ f)(0) = 6 \) |
| \( 1 \) | \( f(1) = -2 \) | \( g(f(1)) = g(-2) = 0 \) | \( (g \circ f)(1) = 0 \) |
| \( 2 \) | \( f(2) = -1 \) | \( g(f(2)) = g(-1) = -2 \) | \( (g \circ f)(2) = -2 \) |
| \( 3 \) | \( f(3) = 0 \) | \( g(f(3)) = g(0) = 0 \) | \( (g \circ f)(3) = 0 \) |
Yukarıda \( f, g, h \) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
\( a = (f \circ g)(2) \)
\( b = (h \circ f)(1) \)
\( c = (g \circ f)(2) \)
\( d = (f \circ h)(0) \)
\( e = (h \circ g)(4) \)
olduğuna göre, \( a, b, c, d, e \) değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözümü GösterGrafiği inceleyerek istenen değerleri sırasıyla bulalım.
\( a = (f \circ g)(2) = f(g(2)) \)
\( = f(1) = 3 \)
\( b = (h \circ f)(1) = h(f(1)) \)
\( = h(3) = 4 \)
\( c = (g \circ f)(2) = g(f(2)) \)
\( = g(4) = 1 \)
\( d = (f \circ h)(0) = f(h(0)) \)
\( = f(1) = 3 \)
\( e = (h \circ g)(4) = h(g(4)) \)
\( = h(1) = 2 \)
Bulduğumuz değerleri küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
\( c \lt e \lt a = d \lt b \)
Üç Fonksiyonun Bileşkesi
Üç fonksiyonun bileşkesi aşağıdaki şekilde tanımlanır.
\( (h \circ g \circ f)(x) = h(g(f(x))) \)
\( f = \{ (a, 3), (b, 1), (c, 2), (d, 4) \} \)
\( g = \{ (1, p), (2, r), (3, p), (4, s) \} \)
\( h = \{ (p, m), (q, m), (r, k), (s, n) \} \)
\( h \circ g \circ f = \{ (a, m), (b, m), (c, k), (d, n) \} \)
İki fonksiyonlu durumda olduğu gibi, bileşke fonksiyonlarda fonksiyonların yazılış sırası uygulama sırasının tersidir. Dolayısıyla \( h \circ g \circ f \) şeklindeki bir bileşke fonksiyonda uygulama sırası \( f \to g \to h \) şeklinde olur.
Fonksiyon - makine benzetmesini üç fonksiyonun bileşke fonksiyonuna aşağıdaki şekilde uyarlanabilir.
Bileşke İşleminin Özellikleri
Bazı durumlarda aynı sonucu verebilse de, genel kural olarak bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. Makine benzetmesini kullanırsak çamaşırları önce yıkayıp sonra kurutmak ile önce kurutup sonra yıkamak farklı sonuçlar verecektir.
\( g \circ f \ne f \circ g \)
\( f(x) = x^2 - 3x \)
\( g(x) = 2x + 1 \) fonksiyonları veriliyor.
\( (f \circ g)(x) \ne (g \circ f)(x) \) olduğunu gösterelim.
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 1) \)
\( = (2x + 1)^2 - 3(2x + 1) \)
\( = 4x^2 - 2x - 2 \)
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2 - 3x) \)
\( = 2(x^2 - 3x) + 1 \)
\( = 2x^2 - 6x + 1 \)
Bulduğumuz iki bileşke fonksiyon birbirine eşit değildir.
\( (f \circ g)(x) \ne (g \circ f)(x) \)
Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır. Buna göre fonksiyonların sırası değiştirilmeden bileşke işlemleri farklı şekillerde gruplanabilir. Bu özellik sayesinde \( h \circ g \circ f \) ifadesi parantezsiz yazılabilir.
\( (h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f) = h \circ g \circ f \)
\( f(x) = 3x + 1 \)
\( g(x) = 2x + 5 \)
\( h(x) = x^2 - 2 \)
\( ((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x) \) olduğunu gösterelim.
Önce ihtiyacımız olacak ikili bileşke fonksiyonları bulalım.
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 5) \)
\( = 3(2x + 5) + 1 = 6x + 16 \)
\( (g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(x^2 - 2) \)
\( = 2(x^2 - 2) + 5 = 2x^2 + 1 \)
Bulduğumuz ikili bileşke fonksiyonlarını ilgili ifadelerde yerine yazalım.
\( ((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ g)(h(x)) \)
\( = (f \circ g)(x^2 - 2) = 6(x^2 - 2) + 16 \)
\( = 6x^2 + 4 \)
\( (f \circ (g \circ h))(x) = f((g \circ h)(x)) \)
\( = f(2x^2 + 1) = 3(2x^2 + 1) + 1 \)
\( = 6x^2 + 4 \)
Her iki durumda da \( 6x^2 + 4 \) ifadesini elde etmiş olduk.
İSPATI GÖSTER
\( ((h \circ g) \circ f)(x) = (h \circ (g \circ f))(x) \) eşitliğini gösterelim.
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \) tanımını aşağıdaki adımlarda kullanalım.
\( ((h \circ g) \circ f)(x) \) ifadesi \( h \circ g \) ve \( f \) fonksiyonları arasında bileşke işlemidir.
\( ((h \circ g) \circ f)(x) = (h \circ g)(f(x)) \)
Bu işlem \( h \) ve \( g \) fonksiyonları arasında bileşke işlemidir.
\( = h(g(f(x))) \)
\( g(f(x)) \) ifadesi \( g \) ve \( f \) fonksiyonları arasında bileşke işlemidir.
\( = h((g \circ f)(x)) \)
\( h((g \circ f)(x)) \) ifadesi \( h \) ve \( g \circ f \) fonksiyonları arasında bileşke işlemidir.
\( = (h \circ (g \circ f))(x) \)
Birleşme özelliğini makine benzetmesine uyarlarsak üç makine sıraları aynı kalmak koşuluyla herhangi bir şekilde ikili ya da üçlü birleştirilebilir.
Bileşke işleminin etkisiz elemanı birim fonksiyondur. \( A \) kümesi üzerindeki birim fonksiyon \( I_A(x) = x \) şeklinde tanımlanır. Yukarıda kullandığımız çamaşır/kurutma makinesi benzetmesine giysilere hiçbir işlem uygulamayan ve giysilerin girdiği şekliyle çıktığı bir makine daha eklediğimizi varsayalım (\( h(x) = I = x \)). Çamaşırları böyle bir makineye çamaşır ya da kurutma makinesinden önce ya da sonra atmamızın işlem sonucuna bir etkisi olmayacaktır.
\( f: A \to B \) olmak üzere,
\( f \circ I_A = I_B \circ f = f \)
İSPATI GÖSTER
\( g(x) = I = x \)
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( g(x) = x \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( f(x) \) koyarsak \( f(x) \) elde ederiz.
\( = f(x) \)
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
\( f(x) \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(x) = x \) koyarsak yine \( f(x) \) elde ederiz.
\( = f(x) \)
Her iki bileşke işleminde de sonuç olarak \( f(x) \) elde ederiz.
Bileşke Fonksiyonlarda Birebirlik ve Örtenlik
Bu bölümde \( f: A \to B \) ve \( g: B \to C \) fonksiyonları ve bileşkelerinin birebir ve örten olma durumları arasındaki ilişkileri inceleyeceğiz.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları birebir ise \( g \circ f \) bileşkesi de birebirdir.
Birebir fonksiyon tanımı kullanılarak bir \( f \) fonksiyonunun birebir olduğu aşağıdaki şekilde gösterilir.
- Tanım kümesinin elemanı olan herhangi iki \( x_1, x_2 \) elemanı seçilir.
- \( f(x_1) = f(x_2) \) olduğu varsayılır.
- \( x_1 = x_2 \) olduğu gösterilmeye çalışılır.
\( f: A \to B \) ve \( g: B \to C \) fonksiyonları verilmiş olsun.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının birebir olduğunu varsayalım.
\( g \circ f \) fonksiyonunun birebir olduğunu göstermeye çalışalım.
\( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olan herhangi iki eleman seçelim.
\( x_1, x_2 \in A \)
\( (g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2) \) olduğunu varsayalım.
Bu eşitliği aşağıdaki şekilde de ifade edebiliriz.
\( g(f(x_1)) = g(f(x_2)) \)
\( g \) fonksiyonu birebir olduğu için görüntüsü aynı olan iki elaman aynı eleman olmak zorundadır, dolayısıyla parantez içleri eşit olur.
\( f(x_1) = f(x_2) \)
Benzer şekilde \( f \) fonksiyonu da birebir olduğu için görüntüsü aynı olan iki elaman aynı eleman olmak zorundadır, dolayısıyla parantez içleri eşit olur.
\( x_1 = x_2 \)
Buna göre \( g \circ f \) fonksiyonu birebirdir.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları örten ise \( g \circ f \) bileşkesi de örtendir.
\( f: A \to B \) ve \( g: B \to C \) fonksiyonları verilmiş olsun.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının örten olduğunu varsayalım.
\( g \circ f \) fonksiyonunun örten olduğunu göstermeye çalışalım.
\( g \) fonksiyonunun değer kümesinin elemanı olan herhangi bir eleman seçelim.
\( c \in C \)
\( g \) fonksiyonu örten olduğu için, görüntüsü \( c \) olan bir \( b \in B \) elemanı mutlaka vardır.
\( g(b) = c \)
\( f \) fonksiyonu örten olduğu için, görüntüsü \( b \) olan bir \( a \in A \) elemanı mutlaka vardır.
\( f(a) = b \)
Bu ikinci eşitlikteki \( b \) değerini birinci eşitlikte yerine koyalım.
\( g(f(a)) = c \)
\( (g \circ f)(a)) = c \)
Bu eşitlik, seçilecek her \( c \in C \) elemanı için \( g \circ f \) bileşke fonksiyonundaki görüntüsü \( c \) olan bir \( a \in A \) elemanının bulunduğunu gösterir.
Buna göre \( g \circ f \) fonksiyonu örtendir.
\( g \circ f \) bileşkesi birebir ise \( f \) fonksiyonu da birebirdir.
Birebir fonksiyon tanımı kullanılarak bir \( f \) fonksiyonunun birebir olduğu aşağıdaki şekilde gösterilir.
- Tanım kümesinin elemanı olan herhangi iki \( x_1, x_2 \) elemanı seçilir.
- \( f(x_1) = f(x_2) \) olduğu varsayılır.
- \( x_1 = x_2 \) olduğu gösterilmeye çalışılır.
\( f: A \to B \) ve \( g: B \to C \) fonksiyonları verilmiş olsun.
\( g \circ f \) fonksiyonunun birebir olduğunu varsayalım.
\( f \) fonksiyonunun birebir olduğunu göstermeye çalışalım.
\( f \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olan herhangi iki eleman seçelim.
\( x_1, x_2 \in A \)
\( f(x_1) = f(x_2) \) olduğunu varsayalım.
Eşitliğin taraflarının \( g \) fonksiyonu ile bileşkesini alalım.
\( g(f(x_1)) = g(f(x_2)) \)
Bu eşitliği aşağıdaki şekilde de ifade edebiliriz.
\( (g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2) \)
\( g \circ f \) fonksiyonu birebir olduğu için görüntüsü aynı olan iki eleman aynı eleman olmak zorundadır, dolayısıyla parantez içleri eşit olur.
\( x_1 = x_2 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonu birebirdir.
\( g \circ f \) bileşkesi birebir ise \( g \) fonksiyonu birebir olabilir ya da olmayabilir. Aşağıda \( g \circ f \) birebir iken \( g \)'nin birebir olmadığı duruma bir örnek verilmiştir.
\( g \circ f \) bileşkesi örten ise \( g \) fonksiyonu da örtendir.
Örten fonksiyon tanımı kullanılarak bir \( f \) fonksiyonunun örten olduğu aşağıdaki şekilde gösterilir.
- Değer kümesinin elemanı olan herhangi bir \( b \) elemanı seçilir.
- \( f(a) = b \) fonksiyon tanımı kullanılarak \( b \) değerini üreten \( a \) değeri \( b \) cinsinden yazılır.
- Birinci olarak \( a \)'nın tanım kümesinin bir elemanı olduğu gösterilir (\( a \in A \)).
- İkinci olarak \( a \)'nın \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsünün \( b \) olduğu gösterilir (\( f(a) = b \)).
\( f: A \to B \) ve \( g: B \to C \) fonksiyonları verilmiş olsun.
\( g \circ f \) fonksiyonunun örten olduğunu varsayalım.
\( g \) fonksiyonunun örten olduğunu göstermeye çalışalım.
\( g \) fonksiyonunun değer kümesinin elemanı olan herhangi bir eleman seçelim.
\( c \in C \)
\( g \circ f \) fonksiyonu örten olduğu için, görüntüsü \( c \) olan bir \( a \in A \) elemanı mutlaka vardır.
\( (g \circ f)(a) = c \)
Bu eşitliği aşağıdaki şekilde de ifade edebiliriz.
\( g(f(a)) = c \)
Bu eşitlik, seçilecek her \( c \in C \) elemanı için \( g \) fonksiyonundaki görüntüsü \( c \) olan bir \( f(a) \in B \) elemanının bulunduğunu gösterir.
Buna göre \( g \) fonksiyonu örtendir.
\( g \circ f \) bileşkesi örten ise \( f \) fonksiyonu örten olabilir ya da olmayabilir. Yukarıdaki şekil \( g \circ f \) örten iken \( f \) fonksiyonunun örten olmadığı duruma da bir örnektir.
\( g \circ f \) bileşkesi örten ise \( g \) fonksiyonu da örtendir.
Yukarıdaki durumları özetlersek, \( g \circ f \) birebir ise bu özellik içteki \( f \) fonksiyonuna, örten ise bu özellik dıştaki \( g \) fonksiyonuna geçer.
\( f: \{ (1, a), (2, b), (3, c), (4, d) \} \)
\( g: \{ (a, 3), (b, 5), (c, 7), (d, 9) \} \) olduğuna göre,
\( (g \circ f)(4) + (g \circ f \circ g)(a) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterSorudaki ifadeyi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( g(f(4)) + g(f(g(a))) \)
Birinci terimin sonucunu bulalım.
\( f(4) = d \)
\( g(f(4)) = g(d) = 9 \)
İkinci terimin sonucunu bulalım.
\( g(a) = 3 \)
\( f(g(a)) = f(3) = c \)
\( g(f(g(a))) = g(c) = 7 \)
İşlemin sonucunu bulalım.
\( g(f(4)) + g(f(g(a))) = 9 + 7 = 16 \) bulunur.
\( f(x) = 4x + 5 \) ve \( (f \circ g)(2) = 17 \) olduğuna göre, \( g(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ g)(2) = f(g(2)) = 17 \)
\( f \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(2) \) yazalım.
\( 4g(2) + 5 = 17 \)
\( g(2) = 3 \) bulunur.
\( f(x) = 2x \)
\( g(x) = x^3 + 4\sqrt{x} - 2^x \)
olduğuna göre, \( (g \circ f)(2) \) kaçtır?
Çözümü GösterBu soruyu iki yöntemle çözebiliriz.
1. yöntem:
\( (g \circ f)(2) = g(f(2)) \)
\( f(2) \) değerini bulmak için \( f \) fonksiyonunda \( x = 2 \) yazalım.
\( f(2) = 2(2) = 4 \)
Bu değeri yukarıdaki ifadede yerine koyalım.
\( (g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(4) \)
\( g(4) \) değerini bulmak için \( g \) fonksiyonunda \( x = 4 \) yazalım.
\( g(4) = 4^3 + 4\sqrt{4} - 2^4 \)
\( = 64 + 8 - 16 = 56 \)
2. yöntem:
\( g \circ f \) bileşke fonksiyonunu bulalım.
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( = g(2x) \)
\( g \) fonksiyon tanımında her \( x \) yerine \( 2x \) yazalım.
\( = (2x)^3 + 4\sqrt{2x} - 2^{2x} \)
\( = 8x^3 + 4\sqrt{2x} - 2^{2x} \)
\( (g \circ f)(2) \) değerini bulmak için \( g \circ f \) fonksiyonunda \( x = 2 \) yazalım.
\( (g \circ f)(2) = 8(2)^3 + 4\sqrt{2(2)} - 2^{2(2)} \)
\( = 64 + 8 - 16 = 56 \)
\( f(4x + 5) = x^2 - 4x - 7 \) olduğuna göre, \( f(-3) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( x \)'in hangi değerinde verilen fonksiyon tanımında \( f(-3) \) ifadesini elde edeceğimizi bulmak için parantez içindeki ifadeyi -3'e eşitleyelim.
\( 4x + 5 = -3 \)
\( x = -2 \)
Verilen fonksiyon tanımında \( x = -2 \) yazalım.
\( f(4(-2) + 5) = (-2)^2 - 4(-2) - 7 \)
\( f(-3) = 4 + 8 - 7 = 5 \) bulunur.
\( f(x) = 2x + 5 \) ve \( (f \circ g)(x) = 6x - 7 \) olduğuna göre, \( g(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü Göster\( (f \circ g)(x) = 6x - 7 \)
\( f(g(x)) = 6x - 7 \)
\( f \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(x) \) yazalım.
\( 2g(x) + 5 = 6x - 7 \)
\( g(x) = 3x - 6 \) bulunur.
\( \mathbb{Q} \) rasyonel sayılar kümesi olmak üzere,
\( f(x)= \begin{cases} 3x - 2 & x \in \mathbb{Q} \\ x^2 - 1 & x \notin \mathbb{Q} \end{cases} \)
olduğuna göre, \( (f \circ f)(\frac{\sqrt{3}}{3}) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ f)(\frac{\sqrt{3}}{3}) = f(f(\frac{\sqrt{3}}{3})) \)
\( \frac{\sqrt{3}}{3} \) sayısı rasyonel olmadığı için parçalı fonksiyonun ikinci tanımı kullanılır.
\( f(\frac{\sqrt{3}}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 - 1 \)
\( = -\dfrac{2}{3} \)
\( f(f(\frac{\sqrt{3}}{3})) = f(-\frac{2}{3}) \)
\( -\frac{2}{3} \) sayısı rasyonel olduğu için parçalı fonksiyonun ilk tanımı kullanılır.
\( f(-\frac{2}{3}) = 3(-\frac{2}{3}) - 2 \)
\( = -4 \) bulunur.
\( f(x) = 2x - 5 \)
\( (f \circ g)(x) = 3g(x) + 2x - 2 \)
olduğuna göre, \( g(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ g)(x) = 3g(x) + 2x - 2 \)
\( f(g(x)) = 3g(x) + 2x - 2 \)
\( f \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(x) \) yazalım.
\( 2g(x) - 5 = 3g(x) + 2x - 2 \)
\( g(x) = -2x - 3 \)
\( g(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.
\( g(2) = -2(2) - 3 = -7 \) bulunur.
\( f(x) = x^2 + 4 \)
\( g(x) = 3x + 2 \)
\( (f \circ g)(a) = 3(g \circ f)(a) - 2 \)
eşitliğini sağlayan \( a \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ g)(a) = 3(g \circ f)(a) - 2 \)
\( f(g(a)) = 3g(f(a)) - 2 \)
\( f(3a + 2) = 3g(a^2 + 4) - 2 \)
\( (3a + 2)^2 + 4 = 3(3(a^2 + 4) + 2) - 2 \)
\( 9a^2 + 12a + 4 + 4 = 3(3a^2 + 12 + 2) - 2 \)
\( 9a^2 + 12a + 8 = 9a^2 + 40 \)
\( 12a = 32 \)
\( a = \dfrac{8}{3} \) bulunur.
\( f(x) = x + 2 \)
\( g(x) = 3x + 1 \)
\( h(x) = x^2 - 1 \) olduğuna göre,
\( (f \circ g \circ h)(x) = 12 \) eşitliğini sağlayan \( x \) doğal sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x))) = 12 \)
Dıştan içe doğru fonksiyon değerlerini bulalım.
\( f \) fonksiyonunda görüntüsü 12 olan \( x \) değerini bulalım.
\( f(x) = x + 2 = 12 \Longrightarrow x = 10 \)
Buna göre \( g(h(x)) = 10 \) olur.
\( g \) fonksiyonunda görüntüsü 10 olan \( x \) değerini bulalım.
\( g(x) = 3x + 1 = 10 \Longrightarrow x = 3 \)
Buna göre \( h(x) = 3 \) olur.
\( h \) fonksiyonunda görüntüsü 3 olan \( x \) değerini bulalım.
\( h(x) = x^2 - 1 = 3 \Longrightarrow x = \pm 2 \)
Doğal sayı \( x \) değeri 2 olarak bulunur.
\( f \) bir polinom fonksiyonudur.
\( (f \circ f)(x) = 9x + 4 \) olduğuna göre,
\( f(2) \)'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Gösterİki polinomun bileşkesinin derecesi polinomların derecelerinin çarpımına eşittir.
Buna göre sabit bir polinom fonksiyonunun kendisiyle bileşkesinin derecesi sıfır, birinci dereceden bir polinom fonksiyonunun kendisiyle bileşkesinin derecesi 1, ikinci dereceden bir polinom fonksiyonunun kendisiyle bileşkesinin derecesi 4 olur.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun derecesi 1 olur.
\( f(x) = ax + b \)
\( (f \circ f)(x) = f(f(x)) = 9x + 4 \)
\( a(ax + b) + b = 9x + 4 \)
\( a^2x + ab + b = 9x + 4 \)
İki polinomun eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
\( a^2 = 9 \)
\( a = 3 \) ya da \( a = -3 \)
\( ab + b = 4 \)
\( a = 3 \) için:
\( 3b + b = 4 \Longrightarrow b = 1 \)
\( a = -3 \) için:
\( -3b + b = 4 \Longrightarrow b = -2 \)
Buna göre \( (a, b) \) ikilisinin alabileceği değerler \( (3, 1) \) ve \( (-3, -2) \) olur.
Bu iki farklı fonksiyon tanımı için \( f(2) \) değerlerini bulalım.
\( f(x) = 3x + 1 \) için:
\( f(2) = 3(2) + 1 = 7 \)
\( f(x) = -3x - 2 \) için:
\( f(2) = -3(2) - 2 = -8 \)
\( f(2) \)'nin alabileceği değerler toplamı \( 7 + (-8) = -1 \) olarak bulunur.
\( (g \circ f)(x) = 3f^2(x) - f(x) + 5 \) olduğuna göre, \( g(4) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = 3f^2(x) - f(x) + 5 \)
Bu eşitlik \( (g \circ f)(x) \) fonksiyonunu bulmak için \( g(x) \) fonksiyonunda tüm \( x \) değişkenleri yerine \( f(x) \) yazılmış fonksiyondur, dolayısıyla \( f(x) \) gördüğümüz yere \( x \) yazarak \( g(x) \) tanımını bulabiliriz.
\( g(x) = 3x^2 - x + 5 \)
\( g(4) \) değerini bulmak için \( x = 4 \) yazalım.
\( g(4) = 3(4)^2 - 4 + 5 = 49 \) bulunur.
\( f(x) = x^3 + 6 \)
\( f(x + 4) = g(x - 2) \)
olduğuna göre, \( (f \circ g)(-7) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x + 4) \) fonksiyonunu elde etmek için \( f(x) \) fonksiyonu tanımında \( x \) yerine \( x + 4 \) yazalım.
\( f(x + 4) = (x + 4)^3 + 6 \)
\( f(x + 4) = g(x - 2) \) eşitliği veriliyor.
\( g(x - 2) = (x + 4)^3 + 6 \)
\( g(x) \) fonksiyonunu elde etmek için \( g(x - 2) \) fonksiyonu tanımında \( x \) yerine \( x + 2 \) yazalım.
\( g(x + 2 - 2) = (x + 2 + 4)^3 + 6 \)
\( g(x) = (x + 6)^3 + 6 \)
Sorudaki ifadenin değerini bulalım.
\( (f \circ g)(-7) = f(g(-7)) \)
\( g(-7) = (-7 + 6)^3 + 6 = 5 \)
\( (f \circ g)(-7) = f(g(-7)) = f(5) \)
\( = 5^3 + 6 = 131 \) bulunur.
\( f(x) = 2x - 2 \)
\( g(x) = 3x + 1 \) olduğuna göre,
\( (f \circ g)(a) = (\underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_\text{25 tane})(2) \) eşitliğini sağlayan \( a \) değeri nedir?
Çözümü Göster\( f(2) = 2 \cdot 2 - 2 = 2 \)
\( f(2) = 2 \) olduğu için aynı işlem 25 kez yapıldığında da sonuç 2 olur.
\( f(2) = f(f(2)) = f(f(f(2))) = \ldots = 2 \)
\( (f \circ g)(a) = 2 \)
\( f(g(a)) = 2 \)
\( f \) fonksiyonunda görüntüsü 2 olan \( x \) değeri 2 olduğu için \( g(a) = 2 \) olur.
\( g(a) = 3a + 1 = 2 \)
\( a = \dfrac{1}{3} \) bulunur.
\( f(x) = 2x^2 \)
\( g(x) = 4^x \)
olduğuna göre, \( (f \circ f \circ f \circ g \circ g)(-1) \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü GösterSorudaki ifadeyi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( (f \circ f \circ f \circ g \circ g)(-1) = f(f(f(g(g(-1))))) \)
Önce \( g(-1) \) değerini bulalım.
\( g(-1) = 4^{-1} = \dfrac{1}{4} \)
\( g(g(-1)) = g(\frac{1}{4}) \) değerini bulalım.
\( g(\frac{1}{4}) = 4^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \)
\( f(g(g(-1))) = f(\sqrt{2}) \) değerini bulalım.
\( f(\sqrt{2}) = 2(\sqrt{2})^2 = 4 \)
\( f(f(g(g(-1)))) = f(4) \) değerini bulalım.
\( f(4) = 2(4)^2 = 32 \)
\( f(f(f(g(g(-1))))) = f(32) \) değerini bulalım.
\( f(32) = 2(32)^2 = 2048 \) bulunur.
\( f(x) = 4x^2 + 6x + 1 \)
\( g(x) = x^2 + bx + c \)
\( (f \circ g)(x) = 4x^4 + 16x^3 + 14x^2 - 4x - 1 \)
olduğuna göre, \( b + c \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
\( = 4(x^2 + bx + c)^2 + 6(x^2 + bx + c) + 1 \)
Üç terimli parantez karesi ifadesinin açılımını yazalım.
\( = 4(x^4 + b^2x^2 + c^2 + 2(bx^3 + cx^2 + bcx)) + 6(x^2 + bx + c) + 1 \)
\( = 4x^4 + 4b^2x^2 + 4c^2 + 8bx^3 + 8cx^2 + 8bcx + 6x^2 + 6bx + 6c + 1 \)
\( = 4x^4 + 8bx^3 + (4b^2 + 8c + 6)x^2 + (6b + 8bc)x + 4c^2 + 6c + 1 \)
Bu ifade soruda verilen \( f \circ g \) fonksiyonuna eşittir.
\( = 4x^4 + 16x^3 + 14x^2 - 4x - 1 \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
\( 8b = 16 \Longrightarrow b = 2 \)
\( 4b^2 + 8c + 6 = 14 \)
\( 4(2)^2 + 8c + 6 = 14 \)
\( c = -1 \)
\( b + c = 2 + (-1) = 1 \) olarak bulunur.
\( f(x) = k^x \) olduğuna göre, \( f(kx) \) ifadesinin sonucu \( f(x) \) cinsinden nedir?
Çözümü Göster\( f(kx) \) ifadesi için \( x \) yerine \( kx \) yazalım.
\( f(kx) = k^{kx} \)
\( = (k^x)^k \)
\( = [f(x)]^k \) bulunur.
\( f(x) = 2x - 1 \) ve \( g(x) = ax + b \) fonksiyonları veriliyor.
\( (f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) \) olduğuna göre, \( g(1) \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen fonksiyonların bileşkelerini bulalım.
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
\( = 2g(x) - 1 = 2(ax + b) - 1 \)
\( = 2ax + 2b - 1 \)
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( = af(x) + b = a(2x - 1) + b \)
\( = 2ax - a + b \)
İki bileşke fonksiyon birbirine eşit olarak veriliyor.
\( 2ax + 2b - 1 = 2ax - a + b \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimleri katsayıları birbirine eşittir.
\( 2b - 1 = -a + b \)
\( a + b = 1 \)
\( g(1) \) değerini bulalım.
\( g(1) = a(1) + b \)
\( = a + b = 1 \) bulunur.
\( a \ne b \) olmak üzere,
\( f(x) = ax + b, \quad g(x) = bx + a \)
\( (f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) = a - b \) olduğuna göre \( a + b \) kaçtır?
Çözümü Gösterİki fonksiyon arasındaki bileşke fonksiyonları bulalım.
\( (f \circ g)(x) = a(bx + a) + b = abx + a^2 + b \)
\( (g \circ f)(x) = b(ax + b) + a = abx + b^2 + a \)
Bu değerleri verilen eşitlikte yerlerine yazalım.
\( (abx + a^2 + b) - (abx + b^2 + a) = a - b \)
\( a^2 - b^2 + 2b - 2a = 0 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (a - b)(a + b) - 2(a - b) = 0 \)
\( (a - b)(a + b - 2) = 0 \)
\( a \) ve \( b \) farklı sayılar oldukları için \( a - b = 0 \) denklemin bir çözümü değildir.
\( a + b = 2 \) bulunur.
\( f \) pozitif eğimli doğrusal bir fonksiyondur.
\( (f \circ f \circ f \circ f)(x) = 16x + 75 \) olduğuna göre, \( f(1) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) pozitif eğimli doğrusal bir fonksiyon olduğuna göre denklemini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( m \gt 0 \) olmak üzere,
\( f(x) = mx + c \)
\( (f \circ f)(x) \) bileşke fonksiyonunu bulalım.
\( (f \circ f)(x) = f(f(x)) \)
\( = m(mx + c) + c \)
\( = m^2x + mc + c \)
\( (f \circ f \circ f)(x) \) bileşke fonksiyonunu bulalım.
\( (f \circ f \circ f)(x) = (f \circ f)(f(x)) \)
\( = m^2(mx + c) + mc + c \)
\( = m^3x + m^2c + mc + c \)
\( (f \circ f \circ f \circ f)(x) \) bileşke fonksiyonunu bulalım.
\( (f \circ f \circ f \circ f)(x) = (f \circ f \circ f)(f(x)) \)
\( = m^3(mx + c) + m^2c + mc + c \)
\( = m^4x + m^3c + m^2c + mc + c \)
Bu ifadeyi soruda verilen ifadeye eşitleyelim.
\( m^4x + m^3c + m^2c + mc + c = 16x + 75 \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
\( 16 = m^4 \)
\( m \) pozitif olduğundan \( m = 2 \) olur.
\( m \) değerini yerine yazalım ve sabit terimlerin eşitliğinden \( c \) değerini bulalım.
\( m^3c + m^2c + mc + c = 75 \)
\( 8c + 4c + 2c + c = 75 \)
\( c = 5 \)
Buna göre \( f \) fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = mx + c = 2x + 5 \)
\( f(1) = 2(1) + 5 = 7 \) bulunur.
\( f \) bir polinom fonksiyonudur.
\( f(x^2 + 2) = x^4 + 3x^2 + 2 \)
olduğuna göre, \( f(x^2 - 3) \) ifadesini bulunuz.
Çözümü GösterAşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( x^2 + 2 = u \)
\( \Longrightarrow x^2 = u - 2 \)
Verilen eşitlikte \( x^2 \) yerine \( u - 2 \) yazalım.
\( f(x^2 + 2) = x^4 + 3x^2 + 2 \)
\( f(u) = (u - 2)^2 + 3(u - 2) + 2 \)
\( = u^2 - 4u + 4 + 3u - 6 + 2 \)
\( = u^2 - u \)
\( f(u) \) fonksiyonunda \( u = x^2 - 3 \) yazalım.
\( f(x^2 - 3) = (x^2 - 3)^2 - (x^2 - 3) \)
\( = x^4 - 6x^2 + 9 - x^2 + 3 \)
\( = x^4 - 7x^2 + 12 \) bulunur.
Yukarıda verilen \( f \) fonksiyon grafiğine göre, \( (\underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_\text{103 tane})(0) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonunun kendisiyle ilk beş bileşkesini grafiği kullanarak bulalım.
\( f(0) = -3 \)
\( f(-3) = -5 \)
\( f(-5) = 3 \)
\( f(3) = 0 \)
\( f(0) = -3 \)
Buna göre bileşke fonksiyonun değeri \( x = 0 \) için her dört işlemde bir kendini tekrar etmektedir.
103 sayısının 4'e bölümünden kalanı bulalım.
\( 103 = 4 \cdot 25 + 3 \)
\( (\underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_\text{103 tane})(0) = (f \circ f \circ f)(0) \)
\( = f(f(f(0))) = f(f(-3)) = f(-5) = 3 \) bulunur.
\( f(x) + f(2x + 1) = x^2 \) olduğuna göre, \( f(1) + f(15) \) kaça eşittir?
Çözümü Göster\( f(1) + f(15) \) toplamını bulabilmek için birinci eşitlikte \( x \)'e farklı değerler verelim.
\( x = 1 \) verelim.
\( f(1) + f(3) = 1^2 = 1 \)
\( x = 7 \) verelim.
\( f(7) + f(15) = 7^2 = 49 \)
İki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( f(1) + f(3) + f(7) + f(15) = 50 \)
\( f(3) \) ve \( f(7) \) ifadelerinden kurtulmak için bu iki ifadenin bulunduğu bir eşitlik daha yazalım.
\( x = 3 \) verelim.
\( f(3) + f(7) = 3^2 = 9 \)
Bu eşitliği bir önceki eşitlikten çıkaralım.
\( f(1) + f(15) = 50 - 9 = 41 \) bulunur.
\( f(x) = \sin{x} \)
\( g(x) = x^2 \)
Aşağıdaki her seçenekteki \( h \) fonksiyonunu elde etmek için, \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarından oluşan bileşke fonksiyon ne olmalıdır?
(a) \( h(x) = \sin{x^2} \)
(b) \( h(x) = \sin{x^4} \)
(c) \( h(x) = \sin(\sin^2{x}) \)
(d) \( h(x) = \sin^4{x^2} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( h(x) = \sin{x^2} \)
\( f \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(x) = x^2 \) yazıldığında \( f(g(x)) = \sin{x^2} \) elde edilir.
\( h(x) = f(g(x)) = (f \circ g)(x) \)
(b) seçeneği:
\( h(x) = \sin{x^4} \)
\( g \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(x) = x^2 \) yazıldığında \( g(g(x)) = x^4 \) elde edilir.
Daha sonra \( f \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(g(x)) = x^4 \) yazıldığında \( f(g(g(x))) = \sin{x^4} \) elde edilir.
\( h(x) = f(g(g(x))) = (f \circ g \circ g)(x) \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = \sin(\sin^2{x}) \)
\( g \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( f(x) = \sin{x} \) yazıldığında \( g(f(x)) = \sin^2{x} \) elde edilir.
Daha sonra \( f \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(f(x)) = \sin^2{x} \) yazıldığında \( f(g(f(x))) = \sin(\sin^2{x}) \) elde edilir.
\( h(x) = f(g(f(x))) = (f \circ g \circ f)(x) \)
(d) seçeneği:
\( h(x) = \sin^4{x^2} \)
\( f \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(x) = x^2 \) yazıldığında \( f(g(x)) = \sin{x^2} \) elde edilir.
\( g \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( f(g(x)) = \sin{x^2} \) yazıldığında \( g(f(g(x))) = \sin^2{x^2} \) elde edilir.
\( g \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(f(g(x))) = \sin^2{x^2} \) yazıldığında \( g(g(f(g(x)))) = \sin^4{x^2} \) elde edilir.
\( h(x) = g(g(f(g(x)))) = (g \circ g \circ f \circ g)(x) \)
\( A = \{1, 2, 3, 4\} \)
\( f: A \to A \) olmak üzere,
\( (f \circ f)(x) = x \) koşulunu sağlayan kaç fonksiyon yazılabilir?
Çözümü Gösterİstenen durum 3 farklı şekilde sağlanır.
Durum 1:
Bu durumda her eleman kendisiyle eşlenir.
\( f_1 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)\} \)
Bu şekilde tek bir fonksiyon yazılabilir.
Durum 2:
Bu durumda elemanlar ikişerli şekilde birbiriyle eşlenir.
\( f_2 = \{(1, 2), (2, 1), (3, 4), (4, 3)\} \)
\( f_3 = \{(1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)\} \)
\( \vdots \)
Bu şekilde 4 eleman içinden 2 elemanın farklı seçim sayısı kadar (\( C(4, 2) = 6 \)) fonksiyon yazılabilir.
Durum 3:
Bu durumda iki eleman ikişerli şekilde birbiriyle eşlenirken diğer iki eleman kendisiyle eşlenir.
\( f_8 = \{(1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)\} \)
\( f_9 = \{(1, 3), (3, 1), (2, 2), (4, 4)\} \)
\( \vdots \)
Bu şekilde 4 eleman içinden 2 elemanın farklı seçim sayısı kadar (\( C(4, 2) = 6 \)) fonksiyon yazılabilir.
Buna göre istenen koşulu sağlayan \( 1 + 6 + 6 = 13 \) fonksiyon yazılabilir.
\( f: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( f \) girdi olarak aldığı sayının rakamları toplamını veren bir fonksiyondur.
Örnek: \( f(175) = 1 + 7 + 5 = 13 \)
\( a \) iki basamaklı bir sayı olmak üzere,
\( (f \circ f)(a) = 4 \) eşitliğini sağlayan kaç \( a \) sayısı vardır?
Çözümü Göster\( (f \circ f)(a) = f(f(a)) = 4 \)
\( f(a) = b \) diyelim.
\( f(b) = 4 \) sonucunu veren \( b \) sayılarını bulalım.
\( a \) iki basamaklı olduğu için rakamları toplamı en az 1 (10), en çok 18 (99) olabilir.
\( 1 \le b \le 18 \)
\( f(b) = 4 \) ve \( 1 \le b \le 18 \) koşullarını sağlayan \( b \) değerlerini bulalım.
\( b \in \{4, 13\} \)
\( f(a) = b = 4 \) koşulunu sağlayan iki basamaklı \( a \) sayılarını bulalım.
\( a \in \{13, 22, 31, 40\} \)
\( f(a) = b = 13 \) koşulunu sağlayan iki basamaklı \( a \) sayılarını bulalım.
\( a \in \{49, 58, 67, 76, 85, 94\} \)
Buna göre istenen koşulu sağlayan \( 4 + 6 = 10 \) tane \( a \) sayısı vardır.