Fonksiyon Olma Koşulları
Önceki bölümde verdiğimiz tanıma göre, \( A \) kümesinin her elemanını \( B \) kümesinin bir ve yalnız bir elemanı ile eşleyen bağıntıya \( A \)'dan \( B \)'ye tanımlı fonksiyon denir.
Buna göre her fonksiyon bir bağıntıdır, ancak her bağıntı bir fonksiyon değildir. \( A \)'dan \( B \)'ye tanımlı bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için iki koşul sağlanmalıdır.
Koşul 1 (Varlık): \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinin en az bir elemanı ile eşlenmelidir.
Her \( a \in A \) için,
\( (a, b) \in f \) olan en az bir \( b \in B \) vardır.
Koşul 2 (Teklik): \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinin en fazla bir elemanı ile eşlenmelidir.
Her \( a \in A \) ve \( b, c \in B \) için,
\( (a, b) \in f \) ve \( (a, c) \in f \) ise \( b = c \) olur.
Bu iki koşulun birlikte sağlanması, \( A \) kümesinin her elemanının \( B \) kümesinin bir ve yalnız bir elemanı ile eşlenmesi anlamına gelir.
\( A \)'dan \( B \)'ye tanımlı aşağıdaki \( R \) bağıntısının bir fonksiyon olup olmadığını inceleyelim.
- \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinin en az bir elemanı ile eşlenir, buna göre birinci fonksiyon olma koşulu (varlık) sağlanır.
- \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinin en fazla bir elemanı ile eşlenir, buna göre ikinci fonksiyon olma koşulu (teklik) sağlanır.
Buna göre verilen bağıntı bir fonksiyondur.
Yukarıdaki gibi bir eşleme şemasında bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, \( A \) kümesinin her elemanından bir ve yalnız bir ok çıktığını kontrol etmek yeterlidir. \( B \) kümesinde eşlemelerin nasıl gerçekleştiğinin ya da \( B \) kümesinde açıkta eleman kalıp kalmadığının bir bağıntının fonksiyon olup olmaması açısından bir önemi yoktur.
Benzer bir örneği liste yöntemi ile tanımlanmış bir bağıntı üzerinden de verebiliriz.
\( A = \{ a, b, c, d \} \)
\( B = \{ 1, 2, 3 \} \) olmak üzere,
\( A \)'dan \( B \)'ye tanımlı aşağıdaki bağıntıların birer fonksiyon olup olmadığını inceleyelim.
Aşağıdaki iki bağıntıda \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinin bir ve yalnız bir elemanı ile eşlenir, dolayısıyla bu bağıntılar birer fonksiyondur.
\( R_1 = \{ (a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 3) \} \)
\( R_2 = \{ (a, 2), (b, 2), (c, 2), (d, 2) \} \)
Aşağıdaki bağıntıda \( A \) kümesinin "d" elemanı \( B \) kümesinin hiçbir elemanı ile eşlenmez, dolayısıyla birinci fonksiyon olma koşulu (varlık) sağlanmaz.
\( R_3 = \{ (a, 1), (b, 2), (c, 3) \} \)
Aşağıdaki bağıntıda \( A \) kümesinin "a" elemanı \( B \) kümesinin iki farklı elemanı ile eşlenir, dolayısıyla ikinci fonksiyon olma koşulu (teklik) sağlanmaz.
\( R_4 = \{ \textcolor{red}{(a, 1)}, \textcolor{red}{(a, 2)}, (b, 3), (c, 2), (d, 1) \} \)
Liste yöntemiyle verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, tanım kümesindeki her elemanın sıralı ikililerin birinci bileşeninde bir ve yalnız bir kez yer aldığını kontrol etmek yeterlidir.
Bağıntı ve Fonksiyon Örnekleri
Aşağıda fonksiyon olma koşullarını sağlayan iki bağıntı verilmiştir. Bu bağıntılar \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinin bir ve yalnız bir elemanı ile eşlendiği için birer fonksiyondur.
Aşağıda fonksiyon olma koşullarını sağlamayan iki bağıntı verilmiştir. Birinci bağıntıda \( A \) kümesinin son elemanı \( B \) kümesinin hiçbir elemanı ile eşlenmez, dolayısıyla birinci fonksiyon olma koşulu (varlık) sağlanmaz. İkinci bağıntıda \( A \) kümesinin ilk elemanı \( B \) kümesinin iki farklı elemanı ile eşlenir, dolayısıyla ikinci fonksiyon olma koşulu (teklik) sağlanmaz.
Aşağıda diğer bazı bağıntılar fonksiyon olup olmadıklarına dair açıklamalarla birlikte verilmiştir.
| Bağıntı | Fonksiyon? | Açıklama |
|---|---|---|
| Bir sınıftaki öğrenciler (\( A \)) ve doğum tarihleri (\( B \)) | Fonksiyon | Her öğrencinin bir ve yalnız bir doğum tarihi vardır. Belirli bir günde doğmuş öğrenci olmaması ya da birden fazla öğrenci olması bağıntının fonksiyon olmasına engel değildir. |
| Reel sayılar (\( A \)) ve bu sayıların kareleri (\( B \)) | Fonksiyon | Her reel sayının bir ve yalnız bir karesi vardır. Bir sayının ve ters işaretlisinin karelerinin aynı olması bağıntının fonksiyon olmasına engel değildir. |
| Bir lisede son sınıftaki öğrenciler (\( A \)) ve YKS sınavında yerleştikleri bölümler (\( B \)) | Fonksiyon Değil | Her öğrenci en fazla bir bölüme yerleşebilir, ancak bazı öğrenciler hiçbir programa yerleşmeyebilir, dolayısıyla birinci fonksiyon olma koşulu sağlanmaz. \( A \) kümesi sınavda bir bölüme yerleşen öğrenciler olarak tanımlanırsa bu bağıntı bir fonksiyon olur. |
| Bir üniversitedeki öğrenciler (\( A \)) ve vatandaşı oldukları ülkeler (\( B \)) | Fonksiyon Değil | Her öğrenci en az bir ülkenin vatandaşıdır, ancak bazı öğrenciler çifte vatandaş olabilir, dolayısıyla ikinci fonksiyon olma koşulu sağlanmaz. |
\( A = \{ 1, 2, 3 \} \)
\( B = \{ a, b \} \) olmak üzere,
Aşağıdaki kümelerden hangileri \( A \)'dan \( B \)'ye bir fonksiyondur?
I. \( R_1 = \{ (1, a), (2, a), (3, a) \} \)
II. \( R_2 = \{ (1, b), (3, c) \} \)
III. \( R_3 = \{ (1, c), (3, b), (2, a), (3, a) \} \)
IV. \( R_4 = \{ (2, c), (1, b), (3, d) \} \)
V. \( R_5 = \{ (3, a), (2, b), (1, c), (4, a) \} \)
Çözümü Göster\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlı bir fonksiyon, \( A \) kümesinin her elemanını \( B \) kümesinin bir ve yalnız bir elemanı ile eşler.
I. öncül:
\( R_1 = \{ (1, a), (2, a), (3, a) \} \)
\( R_1 \) kümesi iki koşulu da sağladığı için \( A \)'dan \( B \)'ye bir fonksiyondur.
II. öncül:
\( R_2 = \{ (1, b), (3, c) \} \)
\( R_2 \) kümesi "2" elemanını bir elemanla eşlemediği için \( A \)'dan \( B \)'ye bir fonksiyon değildir.
III. öncül:
\( R_3 = \{ (1, c), (3, b), (2, a), (3, a) \} \)
\( R_3 \) kümesi "3" elemanını birden fazla elemanla eşlediği için \( A \)'dan \( B \)'ye bir fonksiyon değildir.
IV. öncül:
\( R_4 = \{ (2, c), (1, b), (3, d) \} \)
\( R_4 \) kümesi "3" elemanı \( B \) kümesinde olmayan bir elemanla eşlediği için \( A \)'dan \( B \)'ye bir fonksiyon (ya da bağıntı) değildir.
V. öncül:
\( R_5 = \{ (3, a), (2, b), (1, c), (4, a) \} \)
\( R_5 \) kümesi birinci bileşeni \( A \) kümesinde olmayan bir eleman içerdiği için \( A \)'dan \( B \)'ye bir fonksiyon (ya da bağıntı) değildir.
Buna göre sadece I. öncüldeki küme bir fonksiyondur.
\( A = \{a, b, c\} \)
\( B = \{1, 2\} \) olmak üzere,
\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlanabilecek tüm fonksiyonları listeleyin.
Çözümü Göster\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlı bir fonksiyon, \( A \) kümesinin her elemanını \( B \) kümesinin bir ve yalnız bir elemanı ile eşler.
Buna göre \( A \)'dan \( B \)'ye aşağıdaki fonksiyonlar tanımlanabilir. Dikkat edilirse, her fonksiyonda \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinin herhangi bir elemanı ile eşlenecek şekilde üç eleman vardır.
\( f_1 = \{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\} \)
\( f_2 = \{(a, 1), (b, 1), (c, 2)\} \)
\( f_3 = \{(a, 1), (b, 2), (c, 1)\} \)
\( f_4 = \{(a, 1), (b, 2), (c, 2)\} \)
\( f_5 = \{(a, 2), (b, 1), (c, 1)\} \)
\( f_6 = \{(a, 2), (b, 1), (c, 2)\} \)
\( f_7 = \{(a, 2), (b, 2), (c, 1)\} \)
\( f_8 = \{(a, 2), (b, 2), (c, 2)\} \)
Aşağıdaki bağıntılardan hangileri bir fonksiyon belirtir?
I. \( R_1: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, R_1(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 4} \)
II. \( R_2: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}, R_2(x) = 2x + 4 \)
III. \( R_3: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}, R_3(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 2} \)
IV. \( R_4: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, R_4(x) = \sqrt{x^3 - 4} \)
V. \( R_5: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, R_5(x) = \sqrt[3]{x^3 - 5} \)
Çözümü GösterI. öncül:
\( R_1: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, R_1(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 4} \)
Verilen rasyonel ifade tanım kümesindeki "4" elemanı için tanımlı değildir.
Bağıntı fonksiyon değildir.
II. öncül:
\( R_2: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}, R_2(x) = 2x + 4 \)
Tanım kümesindeki -3 ve daha küçük tam sayıların görüntüsü doğal sayı değildir.
\( R_2(-5) = 2(-5) + 4 = -6 \)
Bağıntı fonksiyon değildir.
III. öncül:
\( R_3: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}, R_3(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 2} \)
Verilen rasyonel ifade her tam sayı için tanımlıdır.
Bağıntı fonksiyondur.
IV. öncül:
\( R_4: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, R_4(x) = \sqrt{x^3 - 4} \)
Karekök ifadesi \( x^3 - 4 \lt 0 \) eşitsizliğini sağlayan \( x \) değerlerinde reel sayı sonuç vermez (örneğin 0).
Bağıntı fonksiyon değildir.
V. öncül:
\( R_5: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, R_5(x) = \sqrt[3]{x^3 - 5} \)
Tek dereceli köklü ifadeler tüm reel sayılarda tanımlıdır.
Bağıntı fonksiyondur.
Buna göre III. ve V. öncüldeki bağıntılar birer fonksiyondur.
Aşağıdaki bağıntılardan hangileri bir fonksiyon belirtir?
I. \( R_1: \mathbb{R} \to \mathbb{R^+}, R_1(x) = x^4 \)
II. \( R_2: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}, R_2(x) = \abs{x} \)
III. \( R_3: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{Q}, R_3(x) = \sqrt{x} \)
Çözümü GösterI. öncül:
\( R_1: \mathbb{R} \to \mathbb{R^+}, R_1(x) = x^4 \)
\( x = 0 \) için \( x^4 = 0 \) pozitif reel sayı değildir.
Bağıntı fonksiyon değildir.
II. öncül:
\( R_2: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}, R_2(x) = \abs{x} \)
(Pozitif, negatif ve sıfır) tüm tam sayıların mutlak değeri doğal sayılarda tanımlıdır.
Bağıntı fonksiyondur.
III. öncül:
\( R_3: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{Q}, R_3(x) = \sqrt{x} \)
Sadece tam kare olan (4, 9, 16 vb.) pozitif tam sayıların karekökü rasyoneldir, diğer pozitif tam sayıların karekökü irrasyoneldir.
Bağıntı fonksiyon değildir.
Buna göre sadece II. öncüldeki bağıntı bir fonksiyondur.