Çok Değişkenli Fonksiyonlar
Konu tekrarı için: 3 Boyutlu Koordinat Sistemi
Çok değişkenli fonksiyonlar girdi olarak birden fazla değişken kabul eden fonksiyonlardır.
Tek Değişkenli Fonksiyonlar
Şu ana kadar tanımladığımız tek değişkenli fonksiyonlar bir \( A \) kümesinin her elemanını diğer bir \( B \) kümesinin tek bir elemanı ile eşleyen fonksiyonlardı. Bu fonksiyonlar girdi olarak bir \( x \) değeri alırlar ve çıktı olarak \( y = f(x) \) değeri üretirler.
\( f: A \to B \) olmak üzere,
\( y = f(x) \)
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( y = f(x) = 3x^2 \)
\( f(5) = 3 \cdot 5^2 = 75 \)
Buna göre fonksiyonun \( x = 5 \) için değeri \( y = f(5) = 75 \) olur.
\( f = \{ \ldots, (5, 75), \ldots \} \)
Tek değişkenli bir fonksiyonun grafiği, fonksiyonun tanım kümesindeki her \( x \) değeri için hesaplanan \( (x, y) \) sıralı ikililerinin iki boyutlu koordinat sisteminde işaretlenmesi ile oluşur.
İki Değişkenli Fonksiyonlar
Girdi olarak iki değişken kabul eden ve bu değişkenlerin oluşturduğu her \( (x, y) \) sıralı ikilisini değer kümesinde tek bir değer ile eşleyen fonksiyonlara iki değişkenli fonksiyon denir. Bu fonksiyonlar girdi olarak \( x \) ve \( y \) gibi iki değişken değeri alırlar ve çıktı olarak \( z = f(x, y) \) değeri üretirler.
\( f: X \to C \) olmak üzere,
\( z = f(x, y) \)
Yukarıda \( X \) ile gösterilen iki değişkenli fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun girdisini oluşturan \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin tanım kümelerinin kartezyen çarpımına karşılık gelir. Buna göre \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin farklı tanım kümelerine göre iki değişkenli fonksiyonun tanım kümesi aşağıdaki gibi olur.
| \( x \) Tanım Kümesi | \( y \) Tanım Kümesi | \( f \) Tanım Kümesi |
|---|---|---|
| \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 \) |
| \( \mathbb{R^+} \) | \( \mathbb{Z} \) | \( \mathbb{R^+} \times \mathbb{Z} \) |
| \( A \) | \( A \) | \( A \times A = A^2 \) |
| \( A \) | \( B \) | \( A \times B \) |
| \( \{a, b\} \) | \( \{1, 2\} \) | \( \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)\}\) |
\( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = f(x, y) = 3x^2 + 4y \)
\( f(5, 2) = 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 2 = 83 \)
Buna göre fonksiyonun \( (x, y) = (5, 2) \) için değeri \( z = f(5, 2) = 83 \) olur.
\( f = \{ \ldots, (5, 2, 83), \ldots \} \)
İki değişkenli bir fonksiyonun grafiği, fonksiyonun tanım kümesindeki her \( x \) ve \( y \) değeri için hesaplanan \( (x, y, z) \) sıralı üçlülerinin üç boyutlu koordinat sisteminde işaretlenmesi ile oluşur.
Çok Değişkenli Fonksiyonlar
Benzer bir yaklaşımla daha fazla sayıda değişkenden oluşan fonksiyonlar da tanımlayabiliriz. Genel bir tanım olarak bu fonksiyonlar girdi olarak \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) şeklinde \( n \) değişken değeri alırlar ve çıktı olarak \( y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \) değeri üretirler.
\( f: X \to B \) olmak üzere,
\( y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \)
\( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( y = f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 - x_2x_3 \)
\( f(5, 2, 3) = 5^2 - 2 \cdot 3 = 19 \)
Buna göre fonksiyonun \( (x_1, x_2, x_3) = (5, 2, 3) \) için değeri \( y = f(5, 2, 3) = 19 \) olur.
\( f = \{ \ldots, (5, 2, 3, 19), \ldots \} \)
\( f: \mathbb{R^2} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x, y) = 3x - 2y + 1 \) olduğuna göre, \( f(f(1, 3), 2) \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) iki değişkenli bir fonksiyondur.
\( f(1, 3) = 3(1) - 2(3) + 1 = -2 \)
\( f(f(1, 3), 2) = f(-2, 2) \)
\( = 3(-2) - 2(2) + 1 = -9 \) bulunur.
\( f(x, y) = \begin{cases} x^2 - 2y + 7 & x + y \text{ tek ise} \\ 4x + y^2 & x + y \text{ çift ise} \end{cases} \)
olduğuna göre, \( f(7, 4) - f(2, 6) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( 7 + 4 \) tek sayı olduğu için \( f(7, 4) \) değerini bulmak için parçalı fonksiyonun birinci tanımı kullanılır.
\( f(7, 4) = 7^2 - 2(4) + 7 = 48 \)
\( 2 + 6 \) çift sayı olduğu için \( f(2, 6) \) değerini bulmak için parçalı fonksiyonun ikinci tanımı kullanılır.
\( f(2, 6) = 4(2) + 6^2 = 44 \)
\( f(7, 4) - f(2, 6) = 48 - 44 = 4 \) bulunur.
\( f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2 - 1} + \sqrt{1 - x^2 - y^2} \)
iki değişkenli fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterFonksiyonun tanımlı olması için birinci karekök ifadesinin içi sıfır ya da sıfırdan büyük olmalıdır.
\( x^2 + y^2 - 1 \ge 0 \)
\( x^2 + y^2 \ge 1 \)
Fonksiyonun tanımlı olması için ikinci karekök ifadesinin de içi sıfır ya da sıfırdan büyük olmalıdır.
\( 1 - x^2 - y^2 \ge 0 \)
\( x^2 + y^2 \le 1 \)
\( x^2 + y^2 \) için iki eşitsizliğin kesişim kümesini alalım.
\( (x, y) \in \mathbb{R}^2 \)
\( x^2 + y^2 = 1 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonu birim çember üzerinde tanımlı bir fonksiyondur.
\( A = \{(-2, 1), (3, 0), (4, 5), (8, -2)\} \)
\( f: A \to \mathbb{R} \)
\( f(x, y) = 4x + 2y + 1 \)
olduğuna göre, \( f(A) \) görüntü kümesi nedir?
Çözümü Göster\( A \) kümesindeki her elemanın görüntüsünü bulalım.
\( f(-2, 1) = 4(-2) + 2(1) + 1 = -5 \)
\( f(3, 0) = 4(3) + 2(0) + 1 = 13 \)
\( f(4, 5) = 4(4) + 2(5) + 1 = 27 \)
\( f(8, -2) = 4(8) + 2(-2) + 1 = 29 \)
\( f(A) = \{-5, 13, 27, 29\} \) bulunur.
Aşağıdaki çok değişkenli fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz.
(a) \( f(x, y, z) = \sqrt{3 - x^2 - y^2 - z^2} \)
(b) \( g(x, y, z, t) = \log{\dfrac{1 + x^2}{y - z - t}} \)
(c) \( h(x, y, z, t) = \dfrac{x^2 + y^2}{z^2 + t^2} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f(x, y, z) = \sqrt{3 - x^2 - y^2 - z^2} \)
\( f \) fonksiyonunda karekök içi sıfır ya da sıfırdan büyük olmalıdır.
\( 3 - x^2 - y^2 - z^2 \ge 0 \)
\( (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \)
\( x^2 + y^2 + z^2 \le 3 \)
(b) seçeneği:
\( g(x, y, z, t) = \log{\dfrac{1 + x^2}{y - z - t}} \)
\( g \) fonksiyonunda logaritma içi pozitif olmalıdır.
Pay her zaman pozitif olduğuna göre paydanın pozitif olma koşulunu yazalım.
\( (x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \)
\( y - z - t \gt 0 \)
(c) seçeneği:
\( h(x, y, z, t) = \dfrac{x^2 + y^2}{z^2 + t^2} \)
\( h \) fonksiyonunda payda sıfırdan farklı olmalıdır.
\( (x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \)
\( (z, t) \ne (0, 0) \)