Periyodik Fonksiyon
Fonksiyon değerleri ve grafiği \( x \) ekseni boyunca düzenli aralıklarla kendini tekrarlayan fonksiyonlara periyodik fonksiyon denir.
\( f: A \to B \) olmak üzere,
Her \( x \in A \) için \( x + T \in A \) ve \( f(x + T) = f(x) \) koşulunu sağlayan bir \( T \gt 0 \) varsa,
\( f \) fonksiyonu periyodik bir fonksiyondur ve \( T \) bu fonksiyonun bir periyodudur.
\( f \) periyodu 5 olan bir fonksiyon ise tanım kümesi içinde aşağıdaki eşitlikler sağlanır.
\( \ldots = f(-5) = f(0) = f(5) = f(10) = \ldots \)
\( \ldots = f(-2) = f(3) = f(8) = f(13) = \ldots \)
\( T \) periyodik bir fonksiyonun periyodu ise \( T \)'nin pozitif tam sayı katları için de aşağıdaki eşitlik sağlanır. Buna göre, bir fonksiyonun periyodu \( T \) ise \( 2T, 3T, 4T \) vb. de fonksiyonun birer periyodudur.
\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( f(x + kT) = f(x) \)
\( f \) periyodu 10 olan bir fonksiyon ise aşağıdaki eşitlikler hem \( T = 10 \) hem de \( T = 20 \) için sağlanır.
\( \ldots = f(0) = f(10) = f(20) = \ldots \)
\( \ldots = f(0) = f(20) = f(40) = \ldots \)
Bir periyodik fonksiyonun pozitif periyotları arasında en küçük olanı varsa bu değere fonksiyonun esas periyodu denir. Bir fonksiyonun periyodu dendiğinde anlaşılması gereken fonksiyonun esas periyodudur.
Aşağıdaki şekildeki \( f \) fonksiyonu kendini tekrarlayan bir periyoda sahip olmadığı ve her salınımda \( y \) gittikçe büyüyen değerler aldığı için periyodik değildir. \( g \) fonksiyonu ise ardışık salınımları özdeş olmasa da iki salınımda bir kendini tekrar ettiği için periyodiktir.
Örnek Periyodik Fonksiyonlar
Temel trigonometrik fonksiyonların tümü periyodiktir. Sinüs (grafik), kosinüs (grafik), sekant (grafik) ve kosekant (grafik) fonksiyonlarının esas periyodu \( 2\pi \), tanjant (grafik) ve kotanjant (grafik) fonksiyonlarının esas periyodu \( \pi \)'dir.
\( \ldots = \sin(x - 2\pi) = \sin{x} = \sin(x + 2\pi) = \ldots \)
\( \ldots = \cos(x - 2\pi) = \cos{x} = \cos(x + 2\pi) = \ldots \)
\( \ldots = \tan(x - \pi) = \tan{x} = \tan(x + \pi) = \ldots \)
Trigonometrik fonksiyonların periyodu konusunda daha detaylı bilgi için ilgili konu anlatımını inceleyebilirsiniz.
Sabit fonksiyonlar periyodik fonksiyon tanımını sağladıkları için periyodiktir, ancak her pozitif reel sayı bir periyot olduğu için esas periyotları yoktur.
Ayrıca özel fonksiyonlar bölümünde göreceğimiz ondalık kısım fonksiyonu (grafik) da esas periyodu 1 olan periyodik bir fonksiyondur.
Periyodik Fonksiyonlarda Dönüşüm
Fonksiyon dönüşümleri konusunda detaylı göreceğimiz üzere, bir fonksiyonun tanımında belirli değişiklikler yaparak fonksiyon grafiğinde \( y \) ve \( x \) eksenleri boyunca şekil ve konum değişiklikleri yapılabilir.
\( g(x) = -a \cdot f(-b(x + c)) + k \)
Dikey dönüşümler (\( a \gt 0 \) ve \( k \) değerleri) grafikte \( y \) ekseni boyunca değişikliklere yol açtığı için periyodik bir fonksiyonun esas periyodunu değiştirmez.
Yatay öteleme dönüşümü (\( c \) değeri) grafiğin şeklini değiştirmeden \( x \) ekseni boyunca konum değişikliğine yol açtığı için periyodik bir fonksiyonun esas periyodunu değiştirmez.
\( b \) katsayısının işaretini değiştirmek grafiğin \( y \) eksenine göre yansımasına karşılık gelir ve fonksiyonun esas periyodunu değiştirmez.
\( b \) katsayısının mutlak değer olarak değerindeki değişiklikler ise grafikte \( x \) ekseni boyunca daralma/genişlemeye yol açar ve fonksiyonun esas periyodu bu sayı ile ters orantılı olarak değişir.
\( f \) esas periyodu \( T \) olan periyodik bir fonksiyon ve \( b \ne 0 \) olmak üzere,
\( f(bx) \) fonksiyonunun esas periyodu \( \dfrac{T}{\abs{b}} \) olur.
\( f \) fonksiyonunun esas periyodu \( T \) ise, aşağıdaki fonksiyonların tümünün periyodu \( \frac{T}{2} \) olur.
\( f(\textcolor{red}{2}x + 5) - 3 \)
\( 3f(-\textcolor{red}{2}x - 4) \)
\( -5f(\textcolor{red}{2}(x + 1)) - 7 \)
Yukarıda bahsettiğimiz dönüşümler periyodik bir fonksiyon olan sinüs fonksiyonuna uygulandığında fonksiyon grafiği aşağıdaki linkteki uygulamadaki gibi değişim gösterir.
İnteraktif uygulama: Sinüs Fonksiyonunda Dönüşümler
Periyodik Fonksiyonlar Arasında İşlemler
Periyodik \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının esas periyotları sırasıyla \( p \) ve \( q \) olsun. Bu iki fonksiyon arasındaki herhangi bir aritmetik işlem (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) sonucunda oluşan yeni fonksiyona \( h \) diyelim.
\( p \) ve \( q \) periyotlarının en küçük ortak (pozitif tam sayı) katı (EKOK'u) tanımlı ise \( h \) fonksiyonu da periyodik bir fonksiyondur ve periyotlarından biri \( EKOK(p, q) \) olur. \( h \) fonksiyonunun esas periyodu ise bu EKOK değeri ya da bu değerin bir pozitif tam sayı böleni olabilir.
\( f(x) = \sin{x}, \quad g(x) = \cos{x} \)
\( f \) ve \( g \)'nin esas periyotları \( 2\pi \)'dir.
\( h(x) = f(x) \cdot g(x) = \sin{x} \cdot \cos{x} = \frac{1}{2} \sin(2x) \) olmak üzere,
\( EKOK(2\pi, 2\pi) = 2\pi \)
\( h \) fonksiyonu da periyodiktir, ancak esas periyodu \( 2\pi \) değil, dönüşüm başlığı altında gördüğümüz üzere \( \frac{2\pi}{2} = \pi \)'dir.
\( k(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tan{x} \) olmak üzere,
\( k \) fonksiyonu periyodiktir, ancak esas periyodu \( 2\pi \) değil, \( \pi \)'dir.
\( p \) ve \( q \) periyot değerlerinin EKOK'u tanımlı değilse \( h \) fonksiyonu burada detaylarına girmeyeceğimiz istisnai bazı fonksiyonlar dışında periyodik olmaz.
\( f(x) = \sin{x}, \quad g(x) = \cos(2\pi x) \)
\( f \)'nin esas periyodu \( 2\pi \), \( g \)'nin esas periyodu \( 1 \)'dir.
\( h(x) = \sin{x} + \cos(2\pi x) \)
\( EKOK(2\pi, 1) \) tanımlı değildir.
Buna göre \( h \) fonksiyonu periyodik değildir.
İki sayının EKOK'unun tanımlı olmadığı durum, sayıların oranının irrasyonel olduğu durumdur. Örneğin aşağıdaki sayı ikililerinin EKOK'ları tanımlı değildir.
\( \sqrt{2} \) ve \( 1 \)
\( \sqrt{2} \) ve \( \sqrt{3} \)
\( \pi \) ve \( 1 \)
Aşağıdaki sayı ikililerinin ikisi de irrasyonel olsa da oranları rasyonel sayı olduğu için EKOK'ları tanımlıdır.
\( EKOK(\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} \)
\( EKOK(2\pi, 3\pi) = 6\pi \)
Periyodu \( T \) olan periyodik bir fonksiyonun pozitif tam sayı kuvvetleri de periyodiktir. Fonksiyonun tek sayı kuvvetlerinin periyodu yine \( T \) olurken çift sayı kuvvetlerinin periyodu \( T \) ya da daha küçük bir değer olabilir.
- Sinüs, kosinüs, sekant ve kosekant fonksiyonlarının periyodu \( 2\pi \)'dir. Bu fonksiyonların tek sayı kuvvetlerinin periyodu yine \( 2\pi \) iken çift sayı kuvvetlerinin periyodu \( \pi \) olur.
- Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu \( \pi \)'dir. Bu fonksiyonların hem tek hem çift sayı kuvvetlerinin periyodu yine \( \pi \) olur.
Reel sayılarda tanımlı ve sabit fonksiyon olmayan \( f \) fonksiyonunun periyodu 6 olduğuna göre,
\( g(x) = f(\frac{3x + 4}{2}) + 1 \) fonksiyonunun periyodu kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonunun esas periyodu \( T \) ise \( f(bx + c) + k \) fonksiyonunun esas periyodu \( \frac{T}{\abs{b}} \) olur.
\( g(x) = f\left( \dfrac{3x + 4}{2} \right) + 1 = f\left( \dfrac{3}{2}x + 2 \right) + 1 \)
Buna göre \( b = \frac{3}{2} \) olur.
\( T_g = \dfrac{6}{\frac{3}{2}} = 4 \) olarak bulunur.
Reel sayılarda tanımlı \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının periyotları sırasıyla 5 ve 6'dır.
\( f(48) = 2 \) ve \( g(49) = 3 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{f(23) + g(19)}{f(-12) - g(-11)} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterPeriyodik bir fonksiyon \( x \)'in her bir periyot kadar artışında aynı değeri alır.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( f(x) = f(x + 5k) \)
\( g(x) = g(x + 6k) \)
Değeri verilen ifadeleri inceleyelim.
\( f(48) = f(3 + 5 \cdot 9) = f(3) = 2 \)
\( g(49) = g(1 + 6 \cdot 8) = g(1) = 3 \)
Sorudaki ifadeleri bu iki ifade cinsinden yazmaya çalışalım.
\( f(23) = f(3 + 5 \cdot 4) = f(3) = 2 \)
\( f(-12) = f(3 + 5 \cdot (-3)) = f(3) = 2 \)
\( g(19) = g(1 + 6 \cdot 3) = g(1) = 3 \)
\( g(-11) = g(1 + 6 \cdot (-2)) = g(1) = 3 \)
Bu değerleri sorudaki ifadede yerlerine koyalım.
\( \dfrac{f(23) + g(19)}{f(-12) - g(-11)} = \dfrac{2 + 3}{2 - 3} = -5 \) bulunur.
\( f(x) = \begin{cases} \abs{3x} & x \in [-15, 15] \\ f(x - 30) & x \not\in [-15, 15] \end{cases} \)
olduğuna göre, \( f(257) \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen tanıma göre \( f \) fonksiyonu periyodiktir ve \( [-15, 15] \) aralığındaki davranışını her 30 periyotta bir tekrarlamaktadır.
\( x = 257 \) apsis değerli noktanın fonksiyonda \( [-15, 15] \) aralığında karşılık geldiği noktayı bulalım.
\( f(227) = f(197) = f(167) = \ldots = f(17) = f(-13) \)
\( f(-13) = \abs{3(-13)} = 39 \) bulunur.
\( f \) ve \( g \) periyodik fonksiyonlardır.
\( f(3x - 4) = g(5x + 7) \)
\( f(x) \) fonksiyonunun periyodu 6 olduğuna göre, \( g(x) \) fonksiyonunun periyodu kaçtır?
Çözümü Göster\( f(3x - 4) = g(5x + 7) = h(x) \) diyelim.
\( f(x), g(x), h(x) \) fonksiyonlarının periyoduna sırasıyla \( T_f, T_g, T_h \) diyelim.
\( T_f = 6 \) olarak veriliyor.
Periyodik bir \( k(x) \) fonksiyonun periyodu \( T \) ise \( k(bx + c) \) fonksiyonunun periyodu \( \frac{T}{\abs{b}} \) olur.
Bu formülü \( f(x) \) ve \( f(3x - 4) \) fonksiyonlarına uygulayalım.
\( \dfrac{T_f}{\abs{b}} = \dfrac{6}{\abs{3}} = 2 = T_h \)
Buna göre \( f(3x - 4) = g(5x + 7) = h(x) \) eşitliğindeki fonksiyonların periyodu 2'dir.
Aynı formülü \( g(x) \) ve \( g(5x + 7) \) fonksiyonlarına uygulayalım.
\( T_h = \dfrac{T_g}{\abs{b}} = \dfrac{T_g}{\abs{5}} = 2 \)
\( T_g = 10 \) olarak bulunur.