Fonksiyonlara Giriş
Konu tekrarı için: Sıralı İkililer | Kartezyen Çarpımı | Bağıntı
\( A \) ve \( B \) iki küme olmak üzere, \( A \) kümesinin her elemanını \( B \) kümesinin bir ve yalnız bir elemanı ile eşleyen bağıntıya \( A \)'dan \( B \)'ye tanımlı fonksiyon denir.
Fonksiyonlar genellikle \( f, g, h \) gibi küçük harflerle gösterilir. Bazı özel fonksiyonlar ise \( \sin, \cos, \, \log, \ln, \sgn \) gibi yerleşik gösterimlerle ifade edilir.
\( A \) kümesinin elemanlarını \( B \) kümesinin elemanları ile eşleyen \( f \) fonksiyonu aşağıdaki şekilde gösterilir. Bu tanımdaki üç bileşenden herhangi biri olmadan bir fonksiyon tanımlanamaz.
\( f: A \to B \)
- \( A \), fonksiyonun tanım kümesidir. Bir fonksiyon tanım kümesindeki her elemanı \( B \) kümesindeki bir ve yalnız bir eleman ile eşler.
- \( B \), fonksiyonun değer kümesidir. Değer kümesi \( A \) kümesinin elemanlarının eşlenebileceği elemanları içeren kümedir.
- \( f \), tanım kümesindeki elemanlarla bu fonksiyon kapsamında eşlendikleri değer kümesi elemanlarının oluşturduğu sıralı ikililer kümesidir.
Bir fonksiyonun tanım ve değer kümeleri herhangi iki küme olabilir: \( \mathbb{R}, \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, (0, 10), [0, 2\pi], \{1, 2, 3\} \), bir sınıftaki öğrenciler, alfabedeki harfler, ülkeler vb.
Fonksiyonların Tanımlanma Biçimleri
Bir fonksiyon farklı biçimlerde tanımlanabilir.
Eşleme Şeması
Eşlemelerin tek tek yazılabildiği durumlarda fonksiyon bir eşleme şeması ile tanımlanabilir. Bu gösterimde, tanım ve değer kümelerinin elemanları iki ayrı küme içinde gösterilir ve birbiriyle eşlenen elemanlar oklarla birleştirilir.
\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlı \( f \) fonksiyonu:
Formül Gösterimi
Tanım ve değer kümeleri sayılardan oluşan fonksiyonlarda eşlemeleri belirleyen matematiksel bir eşleme kuralı kullanmak çoğu zaman daha pratiktir. Bu gösterimde, tanım kümesindeki bir \( x \) elemanının görüntüsü \( f(x) \) ile gösterilir ve \( x \) ile \( f(x) \) arasındaki ilişki bir matematiksel ifade ile tanımlanır.
Celsius cinsinden bir sıcaklığı Fahrenheit karşılığı ile eşleyen \( f \) fonksiyonu:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = 1.8x + 32 \)
\( f \) ve \( f(x) \) arasındaki ayrımı vurgulamak gerekirse \( f \) bir fonksiyonun kendisini, \( f(x) \) ise fonksiyonun belirli bir \( x \) değeri için görüntüsünü ifade eder.
Eşleme Gösterimi
Sayısal fonksiyonlarda kullanılabilecek bir diğer yöntem eşleme gösterimidir. Bu gösterimde, tanım kümesindeki bir \( x \) elemanının hangi değerle eşlendiği \( x \longmapsto \ldots \) biçiminde gösterilir.
Celsius cinsinden bir sıcaklığı Fahrenheit karşılığı ile eşleyen \( f \) fonksiyonu:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x \longmapsto 1.8x + 32 \)
Sıralı İkili Gösterimi
Bir fonksiyon eşlemelerinin oluşturduğu sıralı ikililer kümesi ile de tanımlanabilir. Bu gösterimde her eşleme, ilk bileşeni tanım kümesinden, ikinci bileşeni değer kümesinden olan \( (x, f(x)) \) sıralı ikilisi ile gösterilir.
\( f: A \to B \) olmak üzere,
\( f = \{ (x, f(x)) \mid x \in A \} \)
Celsius cinsinden bir sıcaklığı Fahrenheit karşılığı ile eşleyen \( f \) fonksiyonu:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f = \{ (x, 1.8x + 32) \mid x \in \mathbb{R} \} \)
Tanım kümesi sonlu ve küçük olduğunda bu ikililer tek tek listelenebilir.
\( A = \{ \text{Ali}, \text{Ela}, \text{Naz}, \text{Cem} \} \)
\( B = \{ \text{10-A}, \text{10-B}, \text{10-C}, \text{10-D} \} \)
Bir grup öğrencinin okudukları şubelerle eşlemelerini veren \( g \) fonksiyonu:
\( g: A \to B \) olmak üzere,
\( g = \{ (\text{Ali}, \text{10-A}), (\text{Ela}, \text{10-B}), (\text{Naz}, \text{10-B}), (\text{Cem}, \text{10-D}) \} \)
Fonksiyonların sıralı ikili gösterimi, bir fonksiyonun elemanları sıralı ikililer olan bir küme olduğunu da gösterir.
Bir Elemanın Görüntüsü
Bir \( f: A \to B \) fonksiyonunda, bir \( a \in A \) elemanının eşlendiği \( b \in B \) elemanına \( a \)'nın \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü denir ve \( f(a) = b \) şeklinde gösterilir.
10° Celsius'un \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü 50° Fahrenheit'tır.
\( f(10) = 50 \)
Naz'ın \( g \) fonksiyonuna göre görüntüsü 10-B şubesidir.
\( g(\text{Naz}) = \text{10-B} \)
Tanım kümesinin elemanlarını ifade etmek için en sık kullanılan değişken \( x \) olsa da, farklı değişkenler de kullanılabilir.
\( f(t) = 3t^2 - 4 \)
\( g(\theta) = 90 + \dfrac{\theta}{2} \)
Fonksiyonlarla ilgili sık kullanılan iki ifade arasındaki ayrımın bilinmesi önemlidir.
- "Reel sayılarda tanımlı fonksiyon" tanım kümesinin \( \mathbb{R} \), "\( A \) kümesinde tanımlı fonksiyon" ise tanım kümesinin \( A \) olduğunu ifade eder.
- "Reel değerli fonksiyon" ise değer kümesinin reel sayıların bir alt kümesi olduğunu, dolayısıyla tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünün bir reel sayı olduğunu ifade eder.
Fonksiyon - Makine Benzetmesi
Sık kullanılan ve faydalı bir benzetmeye göre, bir \( f \) fonksiyonu tanım kümesinden aldığı her girdiyi (\( x \)) değer kümesindeki bir ve yalnız bir çıktıyla (\( f(x) \)) eşleyen bir makine olarak da düşünülebilir.
Bağımsız ve Bağımlı Değişkenler
Sayısal fonksiyonlarda fonksiyonun girdisini temsil eden \( x \) değişkenine bağımsız değişken, çıktısını temsil eden \( y \) değişkenine ise bağımlı değişken adı verilir.
Bir fonksiyonda bağımlı değişkenin değeri bağımsız değişkenin değerine bağlıdır. Bağımsız değişken farklı değerler aldıkça fonksiyon kuralı bu değerlere karşılık gelen bağımlı değişken değerlerini belirler.
\( f(x) = x^2 - 2x + 3 \) olduğuna göre, \( f(3) + f(0) + f(-2) \) kaçtır?
Çözümü GösterSırasıyla \( x = 3 \), \( x = 0 \) ve \( x = -2 \) için fonksiyon değerlerini bulalım.
\( f(3) = 3^2 - 2(3) + 3 = 6 \)
\( f(0) = 0^2 - 2(0) + 3 = 3 \)
\( f(-2) = (-2)^2 - 2(-2) + 3 = 11 \)
\( f(3) + f(0) + f(-2) = 6 + 3 + 11 = 20 \) bulunur.
\( f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( f \) fonksiyonu tanım kümesindeki her sayıyı, kendisinden büyük ya da kendisine eşit en küçük tam kare sayının karekökü ile eşlemektedir.
Buna göre, \( f(41) - f(19) \) kaçtır?
Çözümü GösterTam kare sayılar bir doğal sayının karesi olan sayılardır.
41'ten büyük ya da 41'e eşit en küçük tam kare sayı 49'dur ve karekökü 7'dir.
\( f(41) = 7 \)
19'dan büyük ya da 19'a eşit en küçük tam kare sayı 25'tir ve karekökü 5'tir.
\( f(19) = 5 \)
\( f(41) - f(19) = 7 - 5 = 2 \) bulunur.
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{x - 3}{2} \)
\( g(x) = 2x + 1 \)
\( f(2a + 1) + g(a - 1) = 10 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen girdi değerleri için fonksiyon değerlerini bulalım.
\( f(2a + 1) = \dfrac{(2a + 1) - 3}{2} = a - 1 \)
\( g(a - 1) = 2(a - 1) + 1 = 2a - 1 \)
Bu ifadeleri verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( f(2a + 1) + g(a - 1) = 10 \)
\( a - 1 + 2a - 1 = 10 \)
\( 3a - 2 = 10 \)
\( a = 4 \) bulunur.
Bir fonksiyon makinesi girdi olarak aldığı her \( x \) değerini \( 2x + 5 \) çıktı değeri ile eşlemektedir.
Bu fonksiyon makinesine \( K = \{ -\frac{1}{2}, 2, 3, \frac{7}{2} \} \) kümesinin elemanları girdi olarak verildiğinde elde edilen çıktı değerlerinin toplamı kaç olur?
Çözümü GösterBu fonksiyonun kuralını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( f(x) = 2x + 5 \)
\( K \) kümesinin elemanlarını fonksiyonda yerine koyarak çıktı değerlerini bulalım.
\( f\left( -\dfrac{1}{2} \right) = 2\left( -\dfrac{1}{2} \right) + 5 = 4 \)
\( f(2) = 2(2) + 5 = 9 \)
\( f(3) = 2(3) + 5 = 11 \)
\( f\left( \dfrac{7}{2} \right) = 2\left( \dfrac{7}{2} \right) + 5 = 12 \)
Elde ettiğimiz çıktı değerlerinin toplamı \( 4 + 9 + 11 + 12 = 36 \) olarak bulunur.
\( f: \{ 1, 2, 3, 4 \} \to B \) fonksiyonunun değer tablosu aşağıdaki gibidir.
| \( x \) | \( 1 \) | \( 2 \) | \( 3 \) | \( 4 \) |
|---|---|---|---|---|
| \( f(x) \) | \( 3 \) | \( a \) | \( 2 \) | \( a - 4 \) |
\( f(1) \cdot f(3) = f(2) \cdot f(4) + 10 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterTabloya göre her bir eleman için fonksiyon değeri aşağıdaki gibidir.
\( f(1) = 3, f(2) = a, f(3) = 2, f(4) = a - 4 \)
Bu değerleri verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( f(1) \cdot f(3) = f(2) \cdot f(4) + 10 \)
\( 3 \cdot 2 = a \cdot (a - 4) + 10 \)
\( a^2 - 4a + 4 = 0 \)
\( (a - 2)^2 = 0 \)
\( a = 2 \) bulunur.
\( f: [0, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{x^2 - 15}{2} \) fonksiyonunun kendisi ile eşlediği eleman hangisidir?
Çözümü GösterSoruda fonksiyonun tanım kümesindeki görüntüsü kendisine eşit olan eleman istenmektedir.
Bu koşulu sağlayan elemana \( a \) diyelim.
\( f(a) = a \)
\( \dfrac{a^2 - 15}{2} = a \)
\( a^2 - 2a - 15 = 0 \)
\( (a + 3)(a - 5) = 0 \)
\( a = -3 \) fonksiyonun tanım kümesinde bulunmadığı için istenen koşulu sağlayan değer \( a = 5 \) olur.
Bu değerin istenen koşulu sağladığını gösterelim.
\( f(5) = \dfrac{5^2 - 15}{2} = 5 \)
4 yanlışın bir doğruyu götürdüğü 25 soruluk bir sınavda tüm soruları cevaplayan ve doğru cevap sayısı \( n \) olan bir öğrencinin net sayısını veren fonksiyonu bulunuz.
Çözümü GösterÖğrencinin \( n \) adet cevabı doğru ise \( 25 - n \) adet cevabı yanlıştır.
4 yanlış 1 doğruyu götürdüğü için \( 25 - n \) yanlış \( \frac{25 - n}{4} \) doğruyu götürür.
Buna göre öğrencinin net sayısını veren fonksiyon aşağıdaki gibi olur.
\( f: [0, 25] \to \mathbb{Q} \) olmak üzere,
\( f(n) = n - \dfrac{25 - n}{4} = \dfrac{5n - 25}{4} \)
\( A = \{ 1, 2, 3 \} \)
\( B = \{ 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \} \)
\( f: A \to B \) olmak üzere,
\( f(1) + f(2) + f(3) \) toplamı kaç farklı değer alabilir?
Çözümü Göster\( f(1), f(2), f(3) \) ifadelerinden her birinin değeri \( B \) kümesindeki sayılardan herhangi biri olabilir.
İstenen toplam en küçük değerini \( f(1) = f(2) = f(3) = 4 \) olduğunda alır.
\( f(1) + f(2) + f(3) = 4 + 4 + 4 = 12 \)
İstenen toplam en büyük değerini \( f(1) = f(2) = f(3) = 10 \) olduğunda alır.
\( f(1) + f(2) + f(3) = 10 + 10 + 10 = 30 \)
\( B \) kümesinin elemanları ardışık tam sayılar olduğu için, \( f(1) + f(2) + f(3) \) toplamı bulduğumuz en küçük ve en büyük değerler arasındaki her tam sayı değeri alır.
\( f(1) + f(2) + f(3) \in \{ 12, 13, 14, \ldots, 29, 30 \} \)
Bu aralıkta \( 30 - 12 + 1 = 19 \) farklı tam sayı vardır.
\( f(x) = \abs{\abs{x - 2} - 3} \) fonksiyonunda \( f(x) \le 6 \) eşitsizliğini sağlayan \( x \) tam sayılarının toplamı kaçtır?
Çözümü GösterSoruda \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü 6'dan küçük ya da 6'ya eşit olan tam sayı \( x \) değerleri isteniyor.
\( \abs{\abs{x - 2} - 3} \le 6 \)
\( -6 \le \abs{x - 2} - 3 \le 6 \)
\( -3 \le \abs{x - 2} \le 9 \)
Mutlak değerli bir ifade negatif değer alamayacağı için eşitsizliğin alt sınırı 0'dan küçük olamaz.
\( 0 \le \abs{x - 2} \le 9 \)
\( -9 \le x - 2 \le 9 \)
\( -7 \le x \le 11 \)
Bu aralıktaki tam sayıların toplamını bulalım.
\( [-7, 7] \) aralığındaki tam sayıların toplamı sıfırdır, dolayısıyla bu aralıktaki tam sayıların toplamı \( 8 + 9 + 10 + 11 = 38 \) olarak bulunur.
\( f(x) = ax^2 + bx \) fonksiyonunun katsayıları ardışık iki tam sayıdır.
\( f(2) - f(1) = 35 \) olduğuna göre, \( f(-1) \) kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyon kuralı hangi katsayının büyük olduğuna göre iki şekilde olabilir.
Durum 1:
\( a \lt b \)
\( f(x) = ax^2 + (a + 1)x \)
\( f(2) \) ve \( f(1) \) değerlerini bulalım.
\( f(2) = a(2)^2 + (a + 1)(2) = 6a + 2 \)
\( f(1) = a(1)^2 + (a + 1)(1) = 2a + 1 \)
\( f(2) - f(1) = 4a + 1 = 35 \)
\( a = \dfrac{34}{4} \)
Bulduğumuz değer tam sayı olmadığı için soruda istenen koşulu sağlamaz.
Durum 2:
\( a \gt b \)
\( f(x) = ax^2 + (a - 1)x \)
\( f(2) \) ve \( f(1) \) değerlerini bulalım.
\( f(2) = a(2)^2 + (a - 1)(2) = 6a - 2 \)
\( f(1) = a(1)^2 + (a - 1)(1) = 2a - 1 \)
\( f(2) - f(1) = 4a - 1 = 35 \)
\( a = 9 \)
Buna göre fonksiyon tanımı aşağıdaki gibidir.
\( f(x) = 9x^2 + 8x \)
\( f(-1) \) değerini bulalım.
\( f(-1) = 9(-1)^2 + 8(-1) = 1 \) bulunur.
Pozitif tam sayılarda tanımlı \( f \) fonksiyonu, girdi değerine eşit ya da ondan küçük olan asal sayıların çarpımını çıktı olarak vermektedir.
\( f(a) = 30030 \) olduğuna göre, \( a \) sayısının alabileceği tam sayı değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster30030 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
\( 30030 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \)
30030 sayısı 2 ve 13 arasındaki asal sayıların çarpımına eşittir.
Buna göre 30030 sayısı 13 asal çarpanını içerdiği için \( a \) 13'ten küçük olamaz. Ayrıca 30030 sayısı bir sonraki asal sayı olan 17 çarpanını içermediği için \( a \) 17 ya da daha büyük olamaz
\( a \in \{ 13, 14, 15, 16 \} \)
\( a \) sayısının alabileceği tam sayı değerlerin toplamını bulalım.
\( 13 + 14 + 15 + 16 = 58 \) bulunur.
\( f(x) = \ln{\dfrac{e - x}{e + x}} \) fonksiyonu veriliyor.
\( f(a) + f(a + 1) = 0 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(a) + f(a + 1) = 0 \)
\( \ln{\dfrac{e - a}{e + a}} + \ln{\dfrac{e - (a + 1)}{e + (a + 1)}} = 0 \)
\( \ln{\dfrac{e - a}{e + a}} + \ln{\dfrac{e - a - 1}{e + a + 1}} = 0 \)
Aynı tabanda iki ifadenin logaritmalarının toplamı, çarpımlarının logaritmasına eşittir.
\( \ln\left( \dfrac{e - a}{e + a} \cdot \dfrac{e - a - 1}{e + a + 1} \right) = 0 \)
Logaritma ifadesini üstel ifade olarak yazalım.
\( \dfrac{e - a}{e + a} \cdot \dfrac{e - a - 1}{e + a + 1} = e^0 = 1 \)
\( (e - a)(e - a - 1) = (e + a)(e + a + 1) \)
\( e^2 - ea - e - ea + a^2 + a = e^2 + ea + e + ea + a^2 + a \)
\( - ea - e - ea = ea + e + ea \)
\( 4ea = -2e \)
\( a = -\dfrac{1}{2} \) bulunur.