Fonksiyonlarla İşlemler
Eşit Fonksiyonlar
Tanım kümeleri aynı olan ve tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü her iki fonksiyonda da aynı olan fonksiyonlara eşit fonksiyon denir. Eşit fonksiyonlar \( f = g \) şeklinde gösterilir.
\( f: A \to B, \quad g: A \to C \) olmak üzere,
her \( x \in A \) için \( f(x) = g(x) \) ise,
\( f \) ve \( g \) eşit fonksiyonlardır.
\( f = \{ (a, 1), (b, 2), (c, 3) \} \)
\( g = \{ (a, 1), (b, 2), (c, 3) \} \)
\( h = \{ (a, 1), (b, 2), (c, 4) \} \)
\( k = \{ (a, 1), (b, 2) \} \)
\( f = g, \quad f \ne h, \quad f \ne k \)
\( f, g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \), \( h: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( f(x) = x^2 \)
\( g(x) = (-x)^2 \)
\( h(x) = x^2 \)
\( f = g, \quad f \ne h \)
\( f(x) = (m + 3)x^2 - 3x + np \)
\( g(x) = mnx + 5 \)
\( f = g \) olduğuna göre, \( m + n + p \) kaçtır?
Çözümü Gösterİki polinom fonksiyonunun eşit olabilmesi için (aynı girdi değerleri için aynı çıktı değerlerini üretebilmesi için) aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır.
\( g \) fonksiyonunda \( x^2 \)'li bir terim olmadığı için \( f \) fonksiyonunda \( x^2 \)'li terimin katsayısı 0 olmalıdır.
\( m + 3 = 0 \Longrightarrow m = -3 \)
İki fonksiyonda \( x \)'li terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
\( -3 = mn \Longrightarrow n = 1 \)
İki fonksiyonda sabit terimler birbirlerine eşit olmalıdır.
\( np = 5 \Longrightarrow p = 5 \)
\( m + n + p = (-3) + 1 + 5 = 3 \) bulunur.
Fonksiyonlarla İşlemler
Tanım kümeleri ayrık olmayan (kesişimleri boş küme olmayan) fonksiyonlar arasında toplama/çıkarma/çarpma/bölme işlemleri yapılabilir ve bu işlemlerin sonucunda yeni birer fonksiyon elde edilir.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları arasındaki toplama/çıkarma/çarpma işlemleri, aşağıdaki iki koşulu sağlayan yeni \( f + g, f - g, fg \) fonksiyonları oluşturur.
- Sonuç fonksiyonunun tanım kümesi, \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişim kümesidir.
- Sonuç fonksiyonunun tanım kümesindeki bir elemanın görüntüsü, bu elemanın \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarındaki görüntülerinin sırasıyla toplamına/farkına/çarpımına eşittir.
\( f: A \to \mathbb{R}, g: B \to \mathbb{R} \),
\( f + g, f - g, fg: A \cap B \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (f + g)(x) = f(x) + g(x) \)
\( (f - g)(x) = f(x) - g(x) \)
\( (fg)(x) = f(x)g(x) \)
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları arasındaki bölme işlemi, aşağıdaki iki koşulu sağlayan yeni \( f/g \) fonksiyonu oluşturur.
- Sonuç fonksiyonunun tanım kümesi, \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişiminin \( g(x) = 0 \) olan \( x \) değerleri kümesinden farkıdır.
- Sonuç fonksiyonunun tanım kümesindeki bir elemanın görüntüsü, bu elemanın \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarındaki görüntülerinin bölümüne eşittir.
\( f: A \to \mathbb{R}, g: B \to \mathbb{R} \),
\( D = \{ x \in A \cap B \mid g(x) = 0 \} \)
\( f/g: (A \cap B) - D \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (f/g)(x) = f(x)/g(x) \)
\( f \) fonksiyonunun bir \( c \) sabit sayısı ile çarpma işlemi, aşağıdaki iki koşulu sağlayan yeni bir \( cf \) fonksiyonu oluşturur.
- Sonuç fonksiyonunun tanım kümesi, \( f \) fonksiyonunun tanım kümesine eşittir.
- Sonuç fonksiyonunun tanım kümesindeki bir elemanın görüntüsü, bu elemanın \( f \) fonksiyonundaki görüntüsünün \( c \) sayısı ile çarpımına eşittir.
\( c \in \mathbb{R} \),
\( f, cf: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (cf)(x) = cf(x) \)
Bu işlemleri sıralı ikili gösterimiyle verilen fonksiyonlar üzerinden bir örnekle gösterelim.
\( f = \{ (a, 10), (b, 20), (c, 30), (d, 40) \} \)
\( g = \{ (b, 4), (c, 3), (d, 0), (e, 10) \} \)
olduğuna göre, \( f + g, f - g, fg, f/g, 5f \) fonksiyonlarını bulalım.
Toplama/çıkarma/çarpma işlemlerinde sonucun tanım kümesi, \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişim kümesidir.
\( f + g = \{ (b, 24), (c, 33), (d, 40) \} \)
\( f - g = \{ (b, 16), (c, 27), (d, 40) \} \)
\( fg = \{ (b, 80), (c, 90), (d, 0) \} \)
Bölme işleminde sonucun tanım kümesi, \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişiminin \( g(x) = 0 \) olan \( x \) değerleri kümesinden farkıdır.
\( f/g = \{ (b, 5), (c, 10) \} \)
Sabit ile çarpma işleminde sonucun tanım kümesi, \( f \) fonksiyonunun tanım kümesine eşittir.
\( 5f = \{ (a, 50), (b, 100), (c, 150), (d, 200) \} \)
Şimdi de bu işlemleri fonksiyon kuralları cebirsel olarak verilen bir örnek üzerinde gösterelim.
\( f: [1, 5] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = x^3 - x^2 \)
\( g: (3, 8] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( g(x) = x - 4 \)
Toplama/çıkarma/çarpma işlemlerinde sonucun tanım kümesi, \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişim kümesidir.
\( f + g, f - g, fg: (3, 5] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (f + g)(x) = (x^3 - x^2) + (x - 4) \)
\( (f - g)(x) = (x^3 - x^2) - (x - 4) \)
\( (fg)(x) = (x^3 - x^2)(x - 4) \)
Bölme işleminde sonucun tanım kümesi, \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişiminin \( g(x) = 0 \) olan \( x \) değerleri kümesinden farkıdır.
\( f/g: (3, 5] - \{4\} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (f/g)(x) = \dfrac{x^3 - x^2}{x - 4} \)
Sabit ile çarpma işleminde sonucun tanım kümesi, \( f \) fonksiyonunun tanım kümesine eşittir.
\( 5f: [1, 5] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (5f)(x) = 5(x^3 - x^2) \)
\( f = \{(-1, 2), (0, 3), (1, -2)\} \)
\( g = \{(-1, 5), (0, 4), (1, -1)\} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{(fg)(1)}{(f + g)(0)} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİki fonksiyon arasındaki toplama/çarpma işleminde, sonuç fonksiyonunun tanım kümesindeki bir elemanın görüntüsü, bu elemanın her bir fonksiyondaki görüntülerinin toplamına/çarpımına eşittir.
\( \dfrac{(fg)(1)}{(f + g)(0)} = \dfrac{f(1)g(1)}{f(0) + g(0)} \)
\( = \dfrac{-2 \cdot (-1)}{3 + 4} = \dfrac{2}{7} \) bulunur.
\( f = \{(1, 7), (2, 6), (3, 4)\} \)
\( g = \{(0, 2), (1, 4), (2, -3), (4, 10)\} \)
olduğuna göre, \( f - g \) fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
Çözümü Göster\( f - g \) fonksiyonunun tanım kümesi, iki kümenin tanım kümelerinin kesişim kümesidir.
\( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( \{1, 2, 3\} \), \( g \) fonksiyonunun tanım kümesi \( \{0, 1, 2, 4\} \) olduğu için, \( f - g \) fonksiyonunun tanım kümesi \( \{1, 2\} \) olur.
\( 1 \) elemanının \( f - g \) fonksiyonuna göre görüntüsünü bulalım.
\( (f - g)(1) = f(1) - g(1) = 7 - 4 = 3 \)
\( 2 \) elemanının \( f - g \) fonksiyonuna göre görüntüsünü bulalım.
\( (f - g)(2) = f(2) - g(2) = 6 - (-3) = 9 \)
\( f - g \) fonksiyonu aşağıdaki gibi olur.
\( f - g = \{(1, 3), (2, 9)\} \)
Buna göre \( f - g \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( \{3, 9\} \) olur.
\( (f + g)(x) = x^2 + 3 \)
\( (f - g)(2x) = x + 2 \)
olduğuna göre, \( f(2)g(2) \) kaçtır?
Çözümü GösterBirinci eşitlikte \( x = 2 \) yazalım.
\( (f + g)(2) = f(2) + g(2) = 2^2 + 3 = 7 \)
İkinci eşitlikte \( x = 1 \) yazalım.
\( (f - g)(2) = f(2) - g(2) = 1 + 2 = 3 \)
Elde ettiğimiz iki denklemi taraf tarafa toplayalım ve \( f(2) \) ve \( g(2) \) değerleri için çözelim.
\( 2f(2) = 10 \)
\( f(2) = 5 \)
\( g(2) = 2 \)
\( f(2)g(2) = 5 \cdot 2 = 10 \) olarak bulunur.
\( f \) fonksiyonu doğrusal ve birebirdir.
\( (f + f)(x) = (f \circ f)(x) \) olduğuna göre, \( f(5) \) kaçtır?
Çözümü GösterDoğrusal \( f \) fonksiyonunu aşağıdaki şekilde tanımlayalım.
\( f(x) = ax + b \)
\( (f + f)(x) = (f \circ f)(x) \)
\( (ax + b) + (ax + b) = a(ax + b) + b \)
\( 2ax + 2b = a^2x + ab + b \)
İki polinomun eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olur.
\( 2a = a^2 \Longrightarrow a \in \{0, 2\} \)
Fonksiyonun birebir olduğu verildiği için \( a = 0 \) olamaz, aksi durumda fonksiyon sabit fonksiyon olur ve birebir olmaz.
\( a = 2 \)
\( 2b = 2b + b \Longrightarrow b = 0 \)
Buna göre fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = 2x \)
\( f(5) = 10 \) olarak bulunur.
Yukarıdaki şekilde \( y - x \) değişkeninin \( y + x \) değişkenine göre grafiği verilmiştir.
Buna göre \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre grafiğini çiziniz.
Çözümü Göster\( y - x \) ve \( y + x \) değişkenleri arasındaki ilişki, orijinden geçen ve eğimi \( \frac{6}{3} = 2 \) olan bir doğru ile ifade edilebilir.
\( y - x = 2(y + x) \)
\( y = -3x \)
Buna göre \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre grafiği \( y = -3x \) doğrusudur.
\( f(x) = 2f(x - 1) - x \) ve \( f(0) = 1 \) olduğuna göre, \( f(3) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(1) \) değerini bulmak için fonksiyonda \( x = 1 \) yazalım.
\( f(1) = 2f(0) - 1 = 2(1) - 1 = 1 \)
\( f(2) \) değerini bulmak için fonksiyonda \( x = 2 \) yazalım.
\( f(2) = 2f(1) - 2 = 2(1) - 2 = 0 \)
\( f(3) \) değerini bulmak için fonksiyonda \( x = 3 \) yazalım.
\( f(3) = 2f(2) - 3 = 2(0) - 3 = -3 \) bulunur.
\( f(x + 1) = f(x) + 5 \) ve \( f(1) = 3 \) olduğuna göre, \( f(32) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(2) \) değerini bulmak için fonksiyonda \( x = 1 \) yazalım.
\( f(2) = f(1) + 5 = 3 + 5 = 8 \)
\( f(3) \) değerini bulmak için fonksiyonda \( x = 2 \) yazalım.
\( f(3) = f(2) + 5 = 8 + 5 = 13 \)
\( f(4) \) değerini bulmak için fonksiyonda \( x = 3 \) yazalım.
\( f(4) = f(3) + 5 = 13 + 5 = 18 \)
Görüldüğü üzere, \( x \) bir arttıkça \( f(x) \) beş artmaktadır.
Bu örüntüyü kullanarak fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlayabiliriz.
\( f(x) = 5(x - 1) + 3 = 5x - 2 \)
\( f(32) \) değerini bulmak için \( x = 32 \) yazalım.
\( f(32) = 5(32) - 2 = 158 \) bulunur.
\( x \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( f(x + 1) = f(x) + f(x - 1) \)
\( f(7) = 102, \quad f(11) = 849 \)
Buna göre \( f(6) \) kaçtır?
Çözümü GösterEşitlikte sırasıyla \( x = 7 \), \( x = 8 \), \( x = 9 \), \( x = 10 \) yazalım.
\( f(8) = f(7) + f(6) \)
\( f(9) = f(8) + f(7) \)
\( f(10) = f(9) + f(8) \)
\( f(11) = f(10) + f(9) \)
Bilinmeyen her terimin yerine bir üst satırdaki karşılığını yazalım.
\( f(9) = f(8) + f(7) \)
\( = f(7) + f(6) + f(7) \)
\( = 2f(7) + f(6) \)
\( f(10) = f(9) + f(8) \)
\( = 2f(7) + f(6) + f(7) + f(6) \)
\( = 3f(7) + 2f(6) \)
\( f(11) = f(10) + f(9) \)
\( = 3f(7) + 2f(6) + 2f(7) + f(6) \)
\( = 5f(7) + 3f(6) \)
Soruda verilen değerleri bu eşitlikte yerine koyalım.
\( f(11) = 5f(7) + 3f(6) \)
\( 849 = 5(102) + 3f(6) \)
\( f(6) = 113 \) bulunur.
\( f(n) \) yinelemeli bir fonksiyon olmak üzere,
\( f(n) = \begin{cases} f(n - 1) + 1 & n \text{ tek sayı ise} \\ f(n - 3) + 4 & n \text{ çift sayı ise} \end{cases} \)
\( f(2) = 2 \) olduğuna göre, \( f(2023) \) kaça eşittir?
Çözümü GösterBir örüntü bulabilmek için \( n \)'ye birkaç değer verelim.
\( n = 2023 \Longrightarrow f(2023) = f(2022) + 1 \)
\( n = 2022 \Longrightarrow f(2022) = f(2019) + 4 \)
\( f(2022) \) değerini birinci eşitlikte yerine koyalım.
\( f(2023) = f(2022) + 1 = f(2019) + 4 + 1 \)
\( = f(2019) + 5 \)
Uyguladığımız iki adım sonunda \( n \) yine tek sayı olduğu için bu döngü her iki adımda bir tekrarlanacaktır.
Buna göre bu iki adımı tek adım olarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( n \) tek sayı olmak üzere,
\( f(n) = f(n - 4) + 5 \)
\( 4 \cdot 505 + 3 = 2023 \)
Buna göre \( f(2023) \) değeri \( f(3) \) değerine 505 kez 5 eklenmesi ile oluşur.
\( f(2023) = f(3) + 505 \cdot 5 \)
\( = f(3) + 2525 \)
Orijinal fonksiyon tanımını kullanarak \( f(3) \) değerini \( f(2) \) cinsinden yazalım.
\( f(3) = f(2) + 1 \)
\( f(2023) = f(3) + 2525 \)
\( = f(2) + 1 + 2525 \)
\( = 2 + 1 + 2525 \)
\( = 2528 \) bulunur.
Bir \( f \) fonksiyonunun tanımı \( x \ge 1 \) için aşağıdaki şekilde veriliyor.
- \( x \) 2'ye bölünüp 5'e bölünmüyorsa: \( f(x) = f(x - 1) + 2 \)
- \( x \) 5'e bölünüp 2'ye bölünmüyorsa: \( f(x) = f(x - 1) - 3 \)
- \( x \) hem 2'ye hem 5'e bölünüyorsa: \( f(x) = f(x - 1) + 4 \)
- \( x \) ne 2'ye ne 5'e bölünmüyorsa: \( f(x) = f(x - 1) + 1 \)
\( f(0) = 0 \) olduğuna göre, \( f(4000) \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen fonksiyon tanımlarını incelediğimizde, her tam sayının görüntüsü ile bir eksiğinin görüntüsü arasında bir eşitlik kurulduğunu görüyoruz.
1 - 4000 arasındaki tam sayıları inceleyerek sadece 2'ye bölünen, sadece 5'e bölünen, iki sayıya da bölünen ve iki sayıya da bölünmeyen kaç tam sayı olduğunu bulalım.
2'ye bölünen sayılar:
\( x \in \{2, 4, \ldots, 3998, 4000\} \)
2'ye bölünen 2000 tam sayı bulunur.
5'e bölünen sayılar:
\( x \in \{5, 10, \ldots, 3995, 4000\} \)
5'e bölünen 800 tam sayı bulunur.
Hem 2'ye hem 5'e (10'a) bölünen sayılar:
\( x \in \{10, 20, \ldots, 3990, 4000\} \)
10'a bölünen 400 tam sayı bulunur.
2'ye bölünen ama 5'e bölünmeyen \( 2000 - 400 = 1600 \) tam sayı bulunur.
5'e bölünen ama 2'ye bölünmeyen \( 800 - 400 = 400 \) tam sayı bulunur.
Ne 2'ye ne de 5'e bölünen \( 4000 - 1600 - 400 - 400 = 1600 \) tam sayı bulunur.
Buna göre fonksiyon \( f(1) \) ve \( f(4000) \) arasında 1600 kez 2 artar, 400 kez 3 azalır, 400 kez 4 artar, 1600 kez de 1 artar.
Buna göre \( f(4000) \) değerini bulalım.
\( f(4000) = 0 + 1600 \cdot 2 + 400 \cdot (-3) + 400 \cdot 4 + 1600 \cdot 1 \)
\( = 3200 - 1200 + 1600 + 1600 \)
\( = 5200 \) bulunur.