Doğrusal Fonksiyon
\( f(x) = mx + c \) formundaki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir.
\( m, c \in \mathbb{R} \),
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = mx + c \) doğrusal bir fonksiyondur.
\( m = 0 \) olduğu durumda doğrusal fonksiyon aynı zamanda bir sabit fonksiyondur.
Doğrusal fonksiyonun en geniş tanım kümesi tüm reel sayılardır. Görüntü kümesi \( m \ne 0 \) durumunda tüm reel sayılar, \( m = 0 \) durumunda fonksiyonun \( \{ c \} \) sabit değeridir.
Doğrusal fonksiyonların grafiği birer doğrudur. Koordinat düzleminde gördüğümüz üzere, \( m \) katsayısı doğrunun eğimini, \( c \) değeri de doğrunun \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatını verir.
\( f(0) = c \)
Doğrusal fonksiyonları daha detaylı şekilde doğrunun analitiği bölümünde inceleyeceğiz.
\( f(x) = (a - 3)x^3 + (b + 2)x^2 + ax + 4 \) doğrusal bir fonksiyon olduğuna göre, \( ab \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonu doğrusal olduğu için sadece birinci dereceden \( x \)'li terim ve sabit terim içerebilir.
Bu durumda \( x^3 \) ve \( x^2 \)'li terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır.
\( a - 3 = 0 \Longrightarrow a = 3 \)
\( b + 2 = 0 \Longrightarrow b = -2 \)
\( ab = 3(-2) = -6 \) bulunur.
\( f \) doğrusal bir fonksiyondur.
\( f(-3) = -15 \) ve \( f(2) = 5 \) olduğuna göre, \( f(6) \) kaçtır?
Çözümü GösterDenklemi iki yöntemle çözebiliriz.
1. yöntem:
\( f(x) = mx + c \) olarak kabul edelim.
\( f(-3) = -3m + c = -15 \)
\( f(2) = 2m + c = 5 \)
İkinci denklemden birinci denklemi taraf tarafa çıkaralım.
\( 2m - (-3m) = 5 - (-15) \)
\( m = 4 \)
\( c = -3 \)
\( f \) fonksiyonunun tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = 4x - 3 \)
\( f(6) = 4(6) - 3 = 21 \)
2. yöntem:
Doğrusal bir fonksiyonda ortalama değişim oranı (eğim) tüm doğru boyunca sabittir.
\( x \) değeri \( 2 - (-3) = 5 \) birim arttığında \( f(x) \) değeri \( 5 - (-15) = 20 \) birim artmıştır.
Buna göre \( x \) değeri 1 birim arttığında \( f(x) \) değeri 4 birim artmaktadır. Bu da doğrunun eğiminin 4 olduğu anlamına gelir.
Fonksiyon \( x = 2 \)'den \( x = 6 \)'ya 4 birim arttığında \( f(x) \) değeri \( 4 \cdot 4 = 16 \) birim artacaktır.
\( f(6) = f(2) + 16 = 21 \)
\( f \) doğrusal bir fonksiyondur.
\( f(x) + f(x + 2) = 6x + 14 \) eşitliği her \( x \) için sağlandığına göre, \( f(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) doğrusal bir fonksiyondur.
\( f(x) = mx + c \)
\( f(x) + f(x + 2) = 6x + 14 \)
\( mx + c + m(x + 2) + c = 6x + 14 \)
\( 2mx + 2m + 2c = 6x + 14 \)
\( mx + m + c = 3x + 7 \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
\( m = 3 \)
\( m + c = 7 \Longrightarrow c = 4 \)
Buna göre fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = 3x + 4 \)
\( f(2) = 3(2) + 4 = 10 \) bulunur.
Yukarıda doğrusal \( f \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
\( f(3) + 8 = f(5) \) olduğuna göre, \( f(9) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) doğrusal bir fonksiyondur.
\( f(x) = mx + c \)
Soruda verilen eşitliği kullanarak \( m \) katsayısını bulalım.
\( f(3) = 3m + c \)
\( f(5) = 5m + c \)
\( 3m + c + 8 = 5m + c \)
\( m = 4 \)
\( f(x) = 4x + c \)
Verilen grafiğe göre fonksiyon \( (2, 0) \) noktasından geçmektedir.
\( f(2) = 0 \)
\( 4(2) + c = 0 \)
\( c = -8 \)
\( f(x) = 4x - 8 \)
\( f(9) \) değerini bulalım.
\( f(9) = 4(9) - 8 = 28 \) bulunur.
\( f \) doğrusal bir fonksiyondur.
\( f(x) = (a - 2)x^2 - (b + 2)x + c + 3 \)
\( f(a) = -2 \) ve \( f(3) = 6 \) olduğuna göre, \( c \) kaçtır?
Çözümü GösterDoğrusal fonksiyonların denklemi \( f(x) = mx + c \) formundadır, dolayısıyla \( x^2 \)'li terim içermezler.
\( a - 2 = 0 \Longrightarrow a = 2 \)
\( f(x) = -(b + 2)x + c + 3 \)
\( f(a) = f(2) = -2 \)
\( f(x) \) fonksiyonunda \( x = 2 \) ve \( x = 3 \) yazalım.
\( f(2) = -(b + 2)2 + c + 3 = -2 \)
\( -2b + c = -1 \)
\( f(3) = -(b + 2)3 + c + 3 = 6 \)
\( -3b + c = 9 \)
Birinci denklemden ikinci denklemi taraf tarafa çıkaralım.
\( b = -10 \)
Bu değeri birinci denklemde yerine koyalım.
\( -2(-10) + c = -1 \)
\( c = -21 \) bulunur.
Yukarıda grafiği verilen doğrusal \( f \) fonksiyonunda \( f(9) = -3 \) olduğuna göre, taralı bölgenin alanı kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) doğrusal bir fonksiyondur.
\( f \) fonksiyonu orijinden geçtiğine göre denklemi sabit terim içermez.
\( f(x) = mx \)
Soruda verilen noktayı kullanarak \( m \) katsayısını bulalım.
\( f(9) = m(9) = -3 \)
\( m = -\dfrac{1}{3} \)
\( f(x) = -\dfrac{1}{3}x \)
Fonksiyonun \( x = -12 \) noktasındaki değerini bulalım.
\( f(-12) = -\dfrac{1}{3}(-12) = 4 \)
Taralı bölgenin oluşturduğu üçgenin alanını hesaplayalım.
\( A = \dfrac{12 \cdot 4}{2} = 24 \) bulunur.