Fonksiyon Sayısı
Bağıntı konusunda \( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlanabilecek bağıntı sayısını aşağıdaki formülle hesaplamıştık.
\( s(A) = n, \quad s(B) = k \) olmak üzere,
\( A \)'dan \( B \)'ye bağıntı sayısı \( = 2^{s(A \times B)} = 2^{n \cdot k} \)
4 elemanlı \( A \) kümesinden 5 elemanlı \( B \) kümesine tanımlanabilecek bağıntı sayısı:
Bağıntı sayısı \( = 2^{4 \cdot 5} \)
\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlanabilecek fonksiyon sayısı ise aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( s(A) = n, \quad s(B) = k \) olmak üzere,
\( A \)'dan \( B \)'ye fonksiyon sayısı \( = k^n \)
4 elemanlı \( A \) kümesinden 5 elemanlı \( B \) kümesine tanımlanabilecek fonksiyon sayısı:
Fonksiyon sayısı \( = 5^4 \)
İSPATI GÖSTER
\( n \) elemanlı \( A \) kümesinden \( k \) elemanlı \( B \) kümesine tanımlı bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için, \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinin tek bir elemanı ile eşlenmelidir.
\( A \) kümesinin birinci elemanının \( B \) kümesinde eşlenebileceği \( k \) farklı eleman/seçenek vardır. Benzer şekilde, \( A \) kümesinin ikinci elemanının da \( B \) kümesinde eşlenebileceği \( k \) farklı seçenek vardır. Aynı durum \( A \) kümesinin \( n \) elemanının tümü için geçerlidir.
\( A \) kümesinin her elemanı için yapılacak bu eşlemeler birbirinden bağımsız seçimler olduğu için (bir eleman için yapılan eşleme diğer bir elemanın eşlenebileceği seçenek sayısını değiştirmediği için), çarpma kuralını kullanarak toplam farklı eşleme sayısını \( k^n \) olarak buluruz.
Fonksiyon sayısı \( = \underbrace{k \cdot k \cdot \ldots \cdot k}_\text{n adet} = k^n \)
\( A = \{2, 3, 5, 7\} \)
\( B = \{d, e, f\} \)
\( A \)'dan \( B \)'ye tanımlanabilecek fonksiyon sayısı, \( B \)'den \( A \)'ya tanımlanabilecek fonksiyon sayısından kaç fazladır?
Çözümü Göster\( s(A) = 4, \quad s(B) = 3 \)
\( A \)'dan \( B \)'ye \( 3^4 = 81 \) fonksiyon tanımlanabilir.
\( B \)'den \( A \)'ya \( 4^3 = 64 \) fonksiyon tanımlanabilir.
Buna göre cevap \( 81 - 64 = 17 \) olarak bulunur.
\( A = \{ -1, 0, 1, 2 \} \) ve \( B = \{ x, y, z, t \} \) olmak üzere,
\( A \)'dan \( B \)'ye \( f(0) = x \) koşulunu sağlayan kaç \( f \) fonksiyonu yazılabilir?
Çözümü GösterHerhangi ek bir koşul olmadan \( A \)'dan \( B \)'ye yazılabilecek fonksiyon sayısı \( s(B)^{s(A)} = 4^4 = 256 \) olur.
\( f(0) = x \) koşulu ile tanım kümesindeki bir elemanın değer kümesindeki bir elemanla eşlemesini yapmış oluruz, dolayısıyla tanım kümesinden bir eleman eksilmiş olur.
Kalan 3 elemanlı tanım kümesinden 4 elemanlı değer kümesine tanımlanabilecek fonksiyon sayısını bulalım.
\( s(B)^{s(A) - 1} = 4^3 = 64 \) bulunur.
\( A = \{ 3, 4, 5 \} \)
\( B = \{ 4, 5, 6, 7 \} \)
\( f: A \to B \) olduğuna göre,
Her \( m \in A \) için, \( m + f(m) \le 9 \) koşulunu sağlayan kaç farklı fonksiyon yazılabilir?
Çözümü GösterTanım kümesindeki 3 elemanı değer kümesindeki 4, 5, 6 elemanları ile eşlendiğinde verilen koşul sağlanır.
Tanım kümesindeki 4 elemanı değer kümesindeki 4, 5 elemanları ile eşlendiğinde verilen koşul sağlanır.
Tanım kümesindeki 5 elemanı değer kümesindeki 4 elemanı ile eşlendiğinde verilen koşul sağlanır.
Tanım kümesindeki her elemanın eşlemesi birbirinden bağımsız olaylar olduğu için bu farklı durumları çarparak toplam fonksiyon sayısına ulaşırız.
\( 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \) farklı fonksiyon yazılabilir.