Fonksiyonlarda Görüntü Kümesini Bulma
Bir fonksiyonun görüntü kümesini bulmak için tek bir yöntem yoktur ve kullanılacak yöntem fonksiyonun kuralına ve sahip olduğu özelliklere göre değişir.
Bir \( y \) değerinin fonksiyonun görüntü kümesine ait olması için, tanım kümesinde \( y = f(x) \) eşitliğini sağlayan en az bir \( x \) değeri bulunmalıdır.
Fonksiyon Kuralını \( x \) İçin Çözme
Bu yöntem, \( y = f(x) \) eşitliğinin \( x \) için çözülebildiği durumlarda kullanılır. Bir fonksiyonun görüntü kümesini bulmak için \( y = f(x) \) eşitliğinde \( x \), \( y \) cinsinden ifade edilir. Elde edilen denklemde, fonksiyonun tanım kümesinde bulunan en az bir \( x \) değeri veren \( y \) değerleri fonksiyonun görüntü kümesini oluşturur.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = x^2 - 4x - 5 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
\( y = f(x) \) eşitliği \( x \) için çözülebilir.
İfadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( y = (x - 2)^2 - 9 \)
\( (x - 2)^2 = y + 9 \)
\( x = 2 \pm \sqrt{y + 9} \)
Fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılardır.
Bir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.
Her \( y \ge -9 \) değeri reel sayı bir \( x \) değeri verdiği için fonksiyonun görüntü kümesindedir.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R}) = [-9, \infty) \)
Aynı örneği kısıtlanmış bir tanım kümesi için çözelim.
\( f: [1, 6] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = x^2 - 4x - 5 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
\( x \) değişkenini \( y \) değişkeni cinsinden aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( x = 2 \pm \sqrt{y + 9} \)
Eşitliğin iki durumunu ayrı ayrı inceleyelim.
\( x = 2 + \sqrt{y + 9} \) için:
Fonksiyonun tanım kümesini yazalım.
\( 1 \le x \le 6 \)
\( 1 \le 2 + \sqrt{y + 9} \le 6 \)
\( -1 \le \sqrt{y + 9} \le 4 \)
Reel sayılarda karekök ifadesi negatif değer alamaz.
\( 0 \le \sqrt{y + 9} \le 4 \)
\( 0 \le y + 9 \le 16 \)
\( -9 \le y \le 7 \)
\( x = 2 - \sqrt{y + 9} \) için:
Fonksiyonun tanım kümesini yazalım.
\( 1 \le x \le 6 \)
\( 1 \le 2 - \sqrt{y + 9} \le 6 \)
\( -1 \le -\sqrt{y + 9} \le 4 \)
\( -4 \le \sqrt{y + 9} \le 1 \)
Reel sayılarda karekök ifadesi negatif değer alamaz.
\( 0 \le \sqrt{y + 9} \le 1 \)
\( 0 \le y + 9 \le 1 \)
\( -9 \le y \le -8 \)
Fonksiyonun tanım kümesinde bulunan en az bir \( x \) değeri veren \( y \) değerleri fonksiyonun görüntü kümesini oluşturur. Bu nedenle iki durumdan elde edilen \( y \) kümelerinin birleşimi alınır.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([1, 6]) = [-9, 7] \)
Aynı yöntem payının ve paydasının dereceleri 1 olan ve \( y = f(x) \) eşitliğinin \( x \) için çözülebildiği rasyonel fonksiyonlara da uygulanabilir.
\( f: \mathbb{R} - \{3\} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3} \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
\( y = f(x) \) eşitliği \( x \) için çözülebilir.
\( y = \dfrac{2x + 1}{x - 3} \)
\( y(x - 3) = 2x + 1 \)
\( yx - 3y = 2x + 1 \)
\( yx - 2x = 3y + 1 \)
\( x(y - 2) = 3y + 1 \)
\( x = \dfrac{3y + 1}{y - 2} \)
Fonksiyonun tanım kümesinde bulunan en az bir \( x \) değeri veren \( y \) değerleri fonksiyonun görüntü kümesini oluşturur.
Bu ifade \( y = 2 \) için tanımsız olduğu için bu değer görüntü kümesinin elemanı olamaz.
Fonksiyonun tanım kümesinde bulunmayan \( x = 3 \) değerini veren bir \( y \) değeri olmadığını kontrol edelim.
\( 3 = \dfrac{3y + 1}{y - 2} \)
\( 3y - 6 = 3y + 1 \)
\( -6 = 1 \)
Bir çelişki elde edildiğinden hiçbir \( y \) değeri için \( x = 3 \) elde edilmez.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R} - \{3\}) = \mathbb{R} - \{2\} \)
\( f \) fonksiyonu birebir olduğu durumda, \( y = f(x) \) eşitliği \( x \) için çözüldüğünde elde edilen ifade fonksiyonun ters fonksiyonu (\( f^{-1} \)) olur ve \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi ters fonksiyonun tanım kümesine eşit olur.
\( f: [-1, 3) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = 5x - 2 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( y = f(x) \) eşitliği \( x \) için çözülebilir.
\( y = 5x - 2 \)
\( 5x = y + 2 \)
\( x = \dfrac{y + 2}{5} \)
Fonksiyonun tanım kümesini yazalım.
\( -1 \le x \lt 3 \)
\( -1 \le \dfrac{y + 2}{5} \lt 3 \)
Eşitsizliğin taraflarını 5 ile çarpalım.
\( -5 \le y + 2 \lt 15 \)
Eşitsizliğin taraflarından 2 çıkaralım.
\( -7 \le y \lt 13 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([-1, 3)) = [-7, 13) \)
\( f: \mathbb{R} - \{-4\} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{3x - 2}{x + 4} \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( y = f(x) \) eşitliği \( x \) için çözülebilir.
\( y = \dfrac{3x - 2}{x + 4} \)
\( y(x + 4) = 3x - 2 \)
\( yx + 4y = 3x - 2 \)
\( yx - 3x = -4y - 2 \)
\( x(y - 3) = -(4y + 2) \)
\( x = \dfrac{4y + 2}{3 - y} \)
Fonksiyonun tanım kümesinde bulunan en az bir \( x \) değeri veren \( y \) değerleri fonksiyonun görüntü kümesini oluşturur.
Bu ifade \( y = 3 \) için tanımsız olduğu için bu değer görüntü kümesinin elemanı olamaz.
Fonksiyonun tanım kümesinde bulunmayan \( x = -4 \) değerini veren bir \( y \) değeri olmadığını kontrol edelim.
\( -4 = \dfrac{4y + 2}{3 - y} \)
\( -12 + 4y = 4y + 2 \)
\( -12 = 2 \)
Bir çelişki elde edildiğinden hiçbir \( y \) değeri için \( x = -4 \) elde edilmez.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R} - \{-4\}) = \mathbb{R} - \{3\} \)
\( f: [-4, 3) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = (x + 2)^3 - 5 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( y = f(x) \) eşitliği \( x \) için çözülebilir.
\( y = (x + 2)^3 - 5 \)
\( (x + 2)^3 = y + 5 \)
Eşitliğin her iki tarafının küpkökünü alalım.
\( x + 2 = \sqrt[3]{y + 5} \)
\( x = \sqrt[3]{y + 5} - 2 \)
Fonksiyonun tanım kümesini yazalım.
\( -4 \le x \lt 3 \)
\( -4 \le \sqrt[3]{y + 5} - 2 \lt 3 \)
Eşitsizliğin taraflarına 2 ekleyelim.
\( -2 \le \sqrt[3]{y + 5} \lt 5 \)
Eşitsizliğin taraflarının küpünü alalım.
\( -8 \le y + 5 \lt 125 \)
Eşitsizliğin taraflarından 5 çıkaralım.
\( -13 \le y \lt 120 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([-4, 3)) = [-13, 120) \)
Diskriminant (Delta) Yöntemi
Bu yöntem, \( y = f(x) \) eşitliği \( A(y)x^2 + B(y)x + C(y) = 0 \) formunda \( x \) değişkenine göre ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülebildiği durumlarda kullanılır. Belirli bir \( y \) değerinin fonksiyonun görüntü kümesinde olması için, bu ikinci dereceden denklemin fonksiyonun tanım kümesinde bulunan en az bir \( x \) çözümüne (köküne) sahip olması gerekir. Fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar olduğunda bu koşul, ikinci dereceden denklemin deltasının pozitif ya da sıfır olmasıyla sağlanır.
Bu yöntemi yukarıda kullandığımız ilk örneğe uygulayalım.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = x^2 - 4x - 5 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
Denklemi \( x \) değişkenine göre ikinci dereceden denklem formuna getirelim.
\( y = x^2 - 4x - 5 \)
\( x^2 - 4x - (y + 5) = 0 \)
Fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar olduğu için, denklemin deltasını pozitif ya da sıfır yapan \( y \) değerleri fonksiyonun görüntü kümesini oluşturur.
\( \Delta = b^2 - 4ac \ge 0 \)
\( (-4)^2 - 4(1)(-(y + 5)) \ge 0 \)
\( 36 + 4y \ge 0 \)
\( y \ge -9 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R}) = [-9, \infty) \)
Bu yöntemi şimdi de yukarıda kullandığımız kısıtlı tanım kümeli ikinci örneğe uygulayalım.
\( f: [1, 6] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = x^2 - 4x - 5 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
Yukarıdaki örnekte \( y = f(x) \) eşitliğini aşağıdaki şekilde düzenlemiştik.
\( x^2 - 4x - (y + 5) = 0 \)
Kök bulma formülü ile bu denklemin köklerini bulalım.
\( x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{36 + 4y}}{2(1)} \)
\( = 2 \pm \sqrt{y + 9} \)
Bulduğumuz iki kökten en az birinin tanım kümesi içinde olmasını sağlayan \( y \) değerlerini bulalım.
\( x = 2 + \sqrt{y + 9} \) için:
\( 1 \le 2 + \sqrt{y + 9} \le 6 \)
\( -1 \le \sqrt{y + 9} \le 4 \)
Reel sayılarda karekök ifadesi negatif değer alamaz.
\( 0 \le \sqrt{y + 9} \le 4 \)
\( 0 \le y + 9 \le 16 \)
\( -9 \le y \le 7 \)
\( x = 2 - \sqrt{y + 9} \) için:
\( 1 \le 2 - \sqrt{y + 9} \le 6 \)
\( -1 \le -\sqrt{y + 9} \le 4 \)
\( -4 \le \sqrt{y + 9} \le 1 \)
Reel sayılarda karekök ifadesi negatif değer alamaz.
\( 0 \le \sqrt{y + 9} \le 1 \)
\( 0 \le y + 9 \le 1 \)
\( -9 \le y \le -8 \)
Bulduğumuz iki kökten en az birinin tanım kümesi içinde olmasını sağlayan \( y \) değerleri fonksiyonun görüntü kümesini oluşturur. Bu nedenle iki durumdan elde edilen \( y \) kümelerinin birleşimi alınır.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([1, 6]) = [-9, 7] \)
Aynı yöntem \( x \) değişkenine göre ikinci dereceden denklem formuna getirilebilen rasyonel fonksiyonlara da uygulanabilir.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1} \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
Denklemi \( x \) değişkenine göre ikinci dereceden denklem formuna getirelim.
\( y = \dfrac{2x}{x^2 + 1} \)
\( y(x^2 + 1) = 2x \)
\( yx^2 - 2x + y = 0 \)
Fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar olduğu için, denklemin deltasını pozitif ya da sıfır yapan \( y \) değerleri fonksiyonun görüntü kümesini oluşturur.
\( \Delta = b^2 - 4ac \ge 0 \)
\( (-2)^2 - 4(y)(y) \ge 0 \)
\( -4y^2 + 4 \ge 0 \)
\( -1 \le y \le 1 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R}) = [-1, 1] \)
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1} \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü GösterDenklemi \( x \) değişkenine göre ikinci dereceden denklem formuna getirelim.
\( y = \dfrac{1}{x^2 + 1} \)
\( y(x^2 + 1) = 1 \)
\( yx^2 + y - 1 = 0 \)
Bu denklemin ikinci dereceden bir denklem olabilmesi için \( x^2 \)'li terimin katsayısı sıfırdan farklı olmalıdır (\( y \ne 0 \)).
Durum 1: \( y = 0 \)
Denklemde \( y = 0 \) yazarak bu değeri veren bir reel \( x \) değeri olup olmadığını kontrol edelim.
\( 0 \cdot x^2 + 0 - 1 = 0 \Longrightarrow -1 = 0 \)
Bir çelişki elde edildiğinden hiçbir \( x \) değeri için \( y = 0 \) elde edilmez, dolayısıyla \( 0 \) görüntü kümesinde yer almaz.
Durum 2: \( y \ne 0 \)
\( yx^2 + (y - 1) = 0 \)
Fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar olduğu için, denklemin deltasını pozitif ya da sıfır yapan \( y \) değerleri fonksiyonun görüntü kümesini oluşturur.
\( \Delta = b^2 - 4ac \ge 0 \)
\( 0^2 - 4(y)(y - 1) \ge 0 \)
\( -4y(y - 1) \ge 0 \)
\( y(y - 1) \le 0 \)
\( 0 \le y \le 1 \)
\( 0 \) görüntü kümesinde yer almaz.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R}) = (0, 1] \)
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{2\sqrt{2}x + 1}{x^2 + 1} \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü GösterDenklemi \( x \) değişkenine göre ikinci dereceden denklem formuna getirelim.
\( y = \dfrac{2\sqrt{2}x + 1}{x^2 + 1} \)
\( y(x^2 + 1) = 2\sqrt{2}x + 1 \)
\( yx^2 - 2\sqrt{2}x + (y - 1) = 0 \)
Bu denklemin ikinci dereceden bir denklem olabilmesi için \( x^2 \)'li terimin katsayısı sıfırdan farklı olmalıdır (\( y \ne 0 \)).
Durum 1: \( y = 0 \)
Denklemde \( y = 0 \) yazarak bu değeri veren bir reel \( x \) değeri olup olmadığını kontrol edelim.
\( 0 \cdot x^2 - 2\sqrt{2}x + (0 - 1) = 0 \)
\( -2\sqrt{2}x - 1 = 0 \Longrightarrow x = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \)
\( x = -\frac{1}{2\sqrt{2}} \) fonksiyonun tanım kümesinde bulunduğundan \( y = 0 \) değeri görüntü kümesine dahildir.
Durum 2: \( y \ne 0 \)
Fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar olduğu için, denklemin deltasını pozitif ya da sıfır yapan \( y \) değerleri fonksiyonun görüntü kümesini oluşturur.
\( \Delta = b^2 - 4ac \ge 0 \)
\( (-2\sqrt{2})^2 - 4(y)(y - 1) \ge 0 \)
\( 8 - 4y^2 + 4y \ge 0 \)
\( y^2 - y - 2 \le 0 \)
\( (y - 2)(y + 1) \le 0 \)
\( -1 \le y \le 2 \)
Yukarıda bulduğumuz \( y = 0 \) değeri de bu aralığa dahildir.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R}) = [-1, 2] \)
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü GösterDenklemi \( x \) değişkenine göre ikinci dereceden denklem formuna getirelim.
\( y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \)
\( y(x^2 + x + 1) = x^2 - x + 1 \)
\( yx^2 + yx + y = x^2 - x + 1 \)
\( (y - 1)x^2 + (y + 1)x + (y - 1) = 0 \)
Bu denklemin ikinci dereceden bir denklem olabilmesi için \( x^2 \)'li terimin katsayısı sıfırdan farklı olmalıdır (\( y \ne 1 \)).
Durum 1: \( y = 1 \)
\( x^2 \)'li terimin katsayısını sıfır yapan \( y = 1 \) değerini kontrol edelim.
\( (1 - 1)x^2 + (1 + 1)x + (1 - 1) = 0 \)
\( 2x = 0 \Longrightarrow x = 0 \)
\( x = 0 \) reel sayısı fonksiyonun tanım kümesinde bulunduğundan \( y = 1 \) değeri görüntü kümesine dahildir.
Durum 2: \( y \ne 1 \)
Fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar olduğu için, denklemin deltasını pozitif ya da sıfır yapan \( y \) değerleri fonksiyonun görüntü kümesini oluşturur.
\( \Delta = b^2 - 4ac \ge 0 \)
\( (y + 1)^2 - 4(y - 1)(y - 1) \ge 0 \)
\( (y^2 + 2y + 1) - 4(y^2 - 2y + 1) \ge 0 \)
\( y^2 + 2y + 1 - 4y^2 + 8y - 4 \ge 0 \)
\( 3y^2 - 10y + 3 \le 0 \)
\( (3y - 1)(y - 3) \le 0 \)
\( \dfrac{1}{3} \le y \le 3 \)
Yukarıda bulduğumuz \( y = 1 \) değeri de bu aralığa dahildir.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R}) = \left[ \dfrac{1}{3}, 3 \right] \)
Monotonluk Özelliklerinden Yararlanma
Süreklilik ve monotonluk özelliklerinin, bir fonksiyonun görüntü kümesi üzerinde önemli sonuçları vardır.
- Kapalı bir aralıkta tanımlı bir fonksiyon monoton (artan ya da azalan) ise, en küçük ve en büyük değerlerini tanım aralığının uç noktalarında alır.
- Fonksiyon sürekli ise, en küçük ve en büyük değerleri arasındaki tüm değerleri de alır, dolayısıyla fonksiyonun görüntü kümesi bu iki değer arasındaki aralığın tamamı olur.
Bir \( f \) fonksiyonu, her biri kendisine uygulanan aralıkta sürekli ve monoton olan daha basit fonksiyonların bileşkesi olarak yazılabiliyorsa, \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi tanım aralığından başlanıp bu fonksiyonların görüntüleri sırayla bulunarak elde edilebilir.
\( f = h_n \circ h_{n-1} \circ \ldots \circ h_1 \)
Bileşkede yer alan fonksiyonlar artan ya da azalan olabilir. Artan fonksiyonlarda ilgili aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerlerinin sırası korunur, azalan fonksiyonlarda ise tersine döner.
\( f: [-2, 3] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = 2x^3 - 7 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
\( h_1(x) = x^3, h_2(x) = 2x, h_3(x) = x - 7 \)
\( f = h_3 \circ h_2 \circ h_1 \)
Fonksiyonu, her biri kendisine uygulanan aralıkta sürekli ve monoton olan daha basit fonksiyonların bileşkesi olarak yazabildiğimiz için, görüntü kümesini tanım aralığından başlayıp adım adım elde edebiliriz.
\( -2 \le x \le 3 \)
Eşitsizliğin taraflarının küpünü alalım. Küp alma işlemi artan olduğundan eşitsizliklerin yönü değişmez.
\( -8 \le x^3 \le 27 \)
Eşitsizliğin taraflarını \( 2 \) ile çarpalım.
\( -16 \le 2x^3 \le 54 \)
Eşitsizliğin taraflarından \( 7 \) çıkaralım.
\( -23 \le 2x^3 - 7 \le 47 \)
Ortadaki ifade \( f(x) \)'e eşittir.
\( -23 \le f(x) \le 47 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([-2, 3]) = [-23, 47] \)
Daha kısa bir yöntem olarak, fonksiyonun tanım aralığında sürekli ve monoton olduğu biliniyorsa, aynı görüntü kümesi yalnızca tanım aralığının uç noktalarındaki fonksiyon değerleri hesaplanarak da bulunabilir.
\( f \) fonksiyonu \( [a, b] \) aralığında sürekli ve monoton olsun.
- Fonksiyon artan ise tanım aralığının sol ve sağ uç noktalarındaki fonksiyon değerleri sırasıyla fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini verir (\( f([a, b]) = [f(a), f(b)] \))
- Fonksiyon azalan ise tanım aralığının sol ve sağ uç noktalarındaki fonksiyon değerleri sırasıyla fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini verir (\( f([a, b]) = [f(b), f(a)] \))
\( f: [-2, 3] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = 2x^3 - 7 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
\( x^3 \) fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli ve artandır. Pozitif bir sayıyla çarpmak ve sabit eklemek bu iki özelliği de korur.
Dolayısıyla \( f \) fonksiyonu tanım aralığında sürekli ve artandır.
Fonksiyon artan olduğu için, en küçük ve en büyük değerlerini tanım aralığının sırasıyla sol ve sağ uç noktalarında alır. Fonksiyon sürekli olduğu için, en küçük ve en büyük değerleri arasındaki tüm değerleri de alır, dolayısıyla fonksiyonun görüntü kümesi bu iki değer arasındaki aralığın tamamı olur.
\( f(-2) = 2(-2)^3 - 7 = -23 \)
\( f(3) = 2(3)^3 - 7 = 47 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([-2, 3]) = [-23, 47] \)
Zincir yönteminde fonksiyonu oluşturan basit fonksiyonların ayrı ayrı süreklilik ve monotonluk özelliklerinden yararlanılırken, uç nokta yönteminde fonksiyonun bir bütün olarak sürekli ve monoton olması kullanılır.
Tanım aralığının bir uç noktası aralığa dahil değilse, bu uç nokta kullanılarak elde edilen sınır değeri görüntü kümesine dahil edilmez.
\( f: [0, 16) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = -2\sqrt{3x + 1} + 5 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
Karekök fonksiyonu \( [0, \infty) \) aralığında sürekli ve artandır. Negatif bir sayıyla çarpmak sürekliliği korurken monotonluk yönünü tersine çevirir, sabit eklemek ise bu iki özelliği de korur.
Dolayısıyla \( f \) fonksiyonu tanım aralığında sürekli ve azalandır.
Fonksiyon azalan olduğu için, en küçük ve en büyük değerlerini tanım aralığının sırasıyla sağ ve sol uç noktalarında alır. Fonksiyon sürekli olduğu için, en küçük ve en büyük değerleri arasındaki tüm değerleri de alır, dolayısıyla fonksiyonun görüntü kümesi bu iki değer arasındaki aralığın tamamı olur.
\( f(0) = -2\sqrt{3(0) + 1} + 5 = 3 \)
\( -2\sqrt{3(16) + 1} + 5 = -9 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([0, 16)) = (-9, 3] \)
Tanım aralığının uç noktalarından biri \( \pm\infty\) ise bu uçta bir fonksiyon değeri hesaplanamaz. Bunun yerine fonksiyonun ilgili yöndeki limiti bulunur. Bu limit sonluysa fonksiyon o değere yaklaşır ama onu almaz, bu nedenle görüntü kümesine dahil edilmez.
\( f: (-5, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = 4 \cdot 2^{-x} - 3 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
\( 2^{-x} \) fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli ve azalandır. Pozitif bir sayıyla çarpmak ve sabit eklemek bu iki özelliği de korur.
Dolayısıyla \( f \) fonksiyonu tanım aralığında sürekli ve azalandır.
Azalan bir fonksiyonda tanım aralığının sol ve sağ uç noktalarındaki fonksiyon değerleri sırasıyla fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini verir.
\( 4 \cdot 2^{-(-5)} - 3 = 125 \)
\( x \to \infty \) iken \( 2^{-x} \to 0 \) ve \( 4 \cdot 2^{-x} - 3 \to -3 \) olur.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f((-5, \infty)) = (-3, 125) \)
\( f: (0, 5] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{1}{x + 1} \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen rasyonel fonksiyon tanım kümesi içinde süreklidir.
Pozitif \( x \) değerleri için \( x \) arttıkça \( x + 1 \) artar ve \( \frac{1}{x + 1} \) azalır. Bu nedenle \( f \) fonksiyonu tanım kümesi içinde kesin azalandır.
Tanım kümesinin uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini inceleyelim.
Kesin azalan fonksiyon en küçük değerini, tanım kümesinin kapalı üst uç noktası olan \( x = 5 \) noktasında alır.
\( f(5) = \dfrac{1}{5 + 1} = \dfrac{1}{6} \)
Tanım kümesinin açık uç noktası olan \( 0 \) noktasına yaklaşırken fonksiyonun yaklaştığı değeri bulalım.
\( \dfrac{1}{0 + 1} = 1 \)
\( 0 \) tanım kümesine dahil olmadığından 1 görüntü kümesine dahil edilmez.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f((0, 5]) = \left[ \dfrac{1}{6}, 1 \right) \)
\( f: [0, 20) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \sqrt{3x + 4} \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen kök fonksiyonu tanım kümesi içinde süreklidir.
\( x \) arttıkça \( 3x + 4 \) ve \( \sqrt{3x + 4} \) artar. Bu nedenle \( f \) fonksiyonu tanım kümesi içinde kesin artandır.
Tanım kümesinin uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini inceleyelim.
Kesin artan fonksiyon en küçük değerini, tanım kümesinin kapalı alt uç noktası olan \( x = 0 \) noktasında alır.
\( f(0) = \sqrt{3(0) + 4} = \sqrt{4} = 2 \)
Tanım kümesinin açık uç noktası olan \( 20 \) noktasına yaklaşırken fonksiyonun yaklaştığı değeri bulalım.
\( \sqrt{3(20) + 4} = \sqrt{64} = 8 \)
\( 20 \) tanım kümesine dahil olmadığından 8 görüntü kümesine dahil edilmez.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([0, 20)) = [2, 8) \)
Temel Fonksiyonlar ve Dönüşümlerden Yararlanma
Bazı fonksiyonların görüntü kümeleri, bilinen temel fonksiyonların görüntü kümeleri ve bu fonksiyonlara uygulanan dönüşümlerin etkileri izlenerek kolayca belirlenebilir.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = 3\sin(x - \pi) - 5 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
Sinüs fonksiyonunun görüntü kümesinin \( [-1, 1] \) olduğunu biliyoruz.
\( -1 \le \sin(x - \pi) \le 1 \)
Eşitsizliğin taraflarını 3 ile çarpalım.
\( -3 \le 3\sin(x - \pi) \le 3 \)
Eşitsizliğin taraflarından 5 çıkaralım.
\( -8 \le 3\sin(x - \pi) - 5 \le -2 \)
Elde ettiğimiz ifade \( f \) fonksiyonuna eşittir.
\( -8 \le f(x) \le -2 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R}) = [-8, -2] \)
Yatay öteleme, daralma/genişleme ve yansıma dönüşümleri, fonksiyonun grafiğinde yatay yönde (\( x \) ekseni boyunca) konum veya biçim değişiklikleri oluşturduğu için fonksiyonun görüntü kümesini değiştirmez.
Bir fonksiyonun görüntü kümesini bulmak için kullanılabilecek diğer bazı yöntemler aşağıdaki gibidir.
- Parçalı fonksiyonlar: Parçalı fonksiyonlarda her parçanın tanımlı olduğu aralık dikkate alınarak ayrı ayrı görüntü kümesi bulunur. Bulunan görüntü kümelerinin birleşimi fonksiyonun görüntü kümesini verir.
- Fonksiyon grafiği: Bir fonksiyonun grafiğinin \( y \) ekseni üzerindeki dik izdüşümü fonksiyonun görüntü kümesini verir.
- Türevlenebilir fonksiyonlar: Türevlenebilir fonksiyonlarda fonksiyonun artan-azalan olduğu aralıklar ile yerel ve mutlak ekstremumları belirlenerek görüntü kümesi bulunabilir.
\( f: [1, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = (x - 3)^2 + 2 \) fonksiyonunun grafiğini çizerek görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü GösterParabolün başkatsayısı pozitif olduğu için kolları yukarı yönlüdür.
\( f(x) = (x - r)^2 + k \) formundaki bir parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) noktasıdır.
Buna göre verilen parabolün tepe noktası \( T(3, 2) \) olur.
\( x = 1 \) noktasındaki fonksiyon değerini bulalım.
\( f(1) = (1 - 3)^2 + 2 = 6 \)
Buna göre parabolün \( x \in [1, \infty) \) aralığındaki grafiği aşağıdaki gibidir.
Grafikte görülebileceği üzere, parabolün en küçük değeri tepe noktasındaki \( y = 2 \) değeridir, ayrıca parabol \( x \) sonsuza giderken pozitif sonsuza gider.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([1, \infty)) = [2, \infty) \)
\( f: [2, 8] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 4x + 3 \) fonksiyonunun grafiğini çizerek görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü GösterParabolün başkatsayısı negatif olduğu için kolları aşağı yönlüdür.
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{4}{2(-\frac{1}{2})} = 4 \)
\( k = f(4) \)
\( = -\dfrac{1}{2}(4)^2 + 4(4) + 3 = 11 \)
Buna göre verilen parabolün tepe noktası \( T(4, 11) \) olur.
Fonksiyonun tanım kümesinin uç noktalarındaki değerini bulalım.
\( f(2) = -\dfrac{1}{2}(2)^2 + 4(2) + 3 = 9 \)
\( f(8) = -\dfrac{1}{2}(8)^2 + 4(8) + 3 = 3 \)
Buna göre parabolün \( x \in [2, 8] \) aralığındaki grafiği aşağıdaki gibidir.
Grafikte görülebileceği üzere, parabolün en küçük değeri \( B \) noktasındaki \( y = 3 \) değeri, en büyük değeri tepe noktasındaki \( y = 11 \) değeridir.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([2, 8]) = [3, 11] \)
\( x \in [0, 100] \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{12 - 5x}{4} \) fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
Çözümü Göster\( x \) tanım aralığı ile başlayarak adım adım \( f(x) \) ifadesini elde edelim.
\( 0 \le x \le 100 \)
Eşitsizliğin her tarafını \( -5 \) ile çarpalım (negatif sayı ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir).
\( -500 \le -5x \le 0 \)
Eşitsizliğin taraflarına 12 ekleyelim.
\( -488 \le 12 - 5x \le 12 \)
Eşitsizliğin taraflarını 4'e bölelim.
\( -122 \le \dfrac{12 - 5x}{4} \le 3 \)
Ortadaki ifade \( f(x) \) fonksiyonuna eşittir.
\( -122 \le f(x) \le 3 \)
Fonksiyon doğrusal olduğu ve tanımlı olduğu aralıktaki fonksiyon değerlerini hiçbir sıçrama yapmadan aldığı (bu aralıkta sürekli olduğu) için, bulduğumuz en küçük ve en büyük değerler arasındaki tüm değerleri de alır.
Buna göre fonksiyonun görüntü kümesi aşağıdaki gibidir.
Görüntü kümesi: \( [-122, 3] \)
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = -2\cos(3x + 1) + 5 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü GösterKosinüs fonksiyonunun görüntü kümesinin \( [-1, 1] \) olduğunu biliyoruz.
\( -1 \le \cos(3x + 1) \le 1 \)
Eşitsizliğin taraflarını \( -2 \) ile çarpalım. Bu durumda eşitsizlik yön değiştirir.
\( -2 \le -2\cos(3x + 1) \le 2 \)
Eşitsizliğin taraflarına 5 ekleyelim.
\( 3 \le -2\cos(3x + 1) + 5 \le 7 \)
Elde ettiğimiz ifade \( f \) fonksiyonuna eşittir.
\( 3 \le f(x) \le 7 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R}) = [3, 7] \)
\( x \in [-2, 6] \) olmak üzere,
\( f(x) = x^2 - 8x - 8 \) fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
Çözümü Gösterİfadeyi tam kare formuna getirerek tek bir değişkene bağlı yazalım.
\( f(x) = (x^2 - 8x + 16) - 16 - 8 \)
\( f(x) = (x - 4)^2 - 24 \)
\( x \) tanım aralığı ile başlayarak adım adım \( f(x) \) ifadesini elde edelim.
\( -2 \le x \le 6 \)
Eşitsizliğin taraflarından 4 çıkaralım.
\( -6 \le x - 4 \le 2 \)
Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım. Bu aralıktaki sayıların karesinin alt sınır değeri \( 0 \), üst sınır değeri ise mutlak değeri en büyük olan sayının karesidir.
\( 0 \le (x - 4)^2 \le 36 \)
Eşitsizliğin taraflarından 24 çıkaralım.
\( -24 \le (x - 4)^2 - 24 \le 12 \)
Ortadaki ifade \( f(x) \) fonksiyonuna eşittir.
\( -24 \le f(x) \le 12 \)
Fonksiyon ikinci dereceden bir polinom olduğu ve tanımlı olduğu aralıktaki fonksiyon değerlerini hiçbir sıçrama yapmadan aldığı (bu aralıkta sürekli olduğu) için, bulduğumuz en küçük ve en büyük değerler arasındaki tüm değerleri de alır.
Buna göre fonksiyonun görüntü kümesi aşağıdaki gibidir.
Görüntü kümesi: \( [-24, 12] \)
\( x \in [-8, 5] \) olmak üzere,
\( f(x) = \sqrt{x^2 + 36} + 5 \) fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
Çözümü Göster\( x \) tanım aralığı ile başlayarak adım adım \( f(x) \) ifadesini elde edelim.
\( -8 \le x \le 5 \)
Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım. Bu aralıktaki sayıların karesinin alt sınır değeri \( 0 \), üst sınır değeri ise mutlak değeri en büyük olan sayının karesidir.
\( 0 \le x^2 \le 64 \)
Eşitsizliğin taraflarına 36 ekleyelim.
\( 36 \le x^2 + 36 \le 100 \)
Eşitsizliğin taraflarının karekökünü alalım.
\( 6 \le \sqrt{x^2 + 36} \le 10 \)
Eşitsizliğin taraflarına 5 ekleyelim.
\( 11 \le \sqrt{x^2 + 36} + 5 \le 15 \)
Ortadaki ifade \( f(x) \) fonksiyonuna eşittir.
\( 11 \le f(x) \le 15 \)
Fonksiyon tanımlı olduğu aralıktaki fonksiyon değerlerini hiçbir sıçrama yapmadan aldığı (bu aralıkta sürekli olduğu) için, bulduğumuz en küçük ve en büyük değerler arasındaki tüm değerleri de alır.
Buna göre fonksiyonun görüntü kümesi aşağıdaki gibidir.
Görüntü kümesi: \( [11, 15] \)
\( f(x) = 3^{2 - x} + 5 \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki görüntü kümesi nedir?
Çözümü GösterFonksiyonu tanımsız yapan bir ifade olmadığı için fonksiyonun en geniş tanım kümesi tüm reel sayılardır.
Fonksiyonu düzenleyelim.
\( f(x) = 3^2 \cdot 3^{-x} + 5 \)
\( = 9 \cdot 3^{-x} + 5 \)
\( 3^{-x} \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( (0, \infty) \) aralığıdır.
\( 0 \lt 3^{-x} \lt \infty \)
Eşitsizliğin taraflarını 9 ile çarpalım.
\( 0 \lt 9 \cdot 3^{-x} \lt \infty \)
Eşitsizliğin taraflarına 5 ekleyelim.
\( 5 \lt 9 \cdot 3^{-x} + 5 \lt \infty \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R}) = (5, \infty) \)
\( f: [-3, 4] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = -2\abs{x - 1} + 3 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( x \) tanım aralığı ile başlayarak adım adım \( f(x) \) ifadesini elde edelim.
\( -3 \le x \le 4 \)
Eşitsizliğin taraflarından 1 çıkaralım.
\( -4 \le x - 1 \le 3 \)
\( [-4, 3] \) aralığı 0'ı içerdiğinden \( \abs{x - 1} \) ifadesinin en küçük değeri 0'dır. En büyük değeri ise uç noktaların mutlak değerlerinden büyük olanı, yani 4'tür.
\( 0 \le \abs{x - 1} \le 4 \)
Eşitsizliğin taraflarını \( -2 \) ile çarpalım. Bu durumda eşitsizlik yön değiştirir.
\( -8 \le -2\abs{x - 1} \le 0 \)
Eşitsizliğin taraflarına 3 ekleyelim.
\( -5 \le -2\abs{x - 1} + 3 \le 3 \)
Ortadaki ifade \( f(x) \) fonksiyonuna eşittir.
\( -5 \le f(x) \le 3 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([-3, 4]) = [-5, 3] \)
\( f: (-2, 4] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{4x + 1}{2} \) fonksiyonunun görüntü kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyonu düzenleyelim.
\( f(x) = 2x + \dfrac{1}{2} \)
Fonksiyon bir doğru olduğu için tanım kümesinin sınır değerlerini fonksiyonda yerine koyarak görüntü kümesinin sınır değerlerini bulabiliriz.
\( \dfrac{4(-2) + 1}{2} = -\dfrac{7}{2} \)
\( \dfrac{4(4) + 1}{2} = \dfrac{17}{2} \)
Görüntü kümesi: \( (-\frac{7}{2}, \frac{17}{2}] \)
Fonksiyon sürekli olduğu için bu aralıktaki her reel sayı değeri alır.
Buna göre görüntü kümesindeki tam sayı değerler aşağıdaki gibidir.
\( \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} \)
Bu sayıların toplamı \( 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30 \) olur.
\( f(x) = -3\sqrt{4 - x^2} - 7 \) reel değerli fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki görüntü kümesi nedir?
Çözümü GösterFonksiyonun en geniş tanım kümesini bulalım.
Karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.
\( 4 - x^2 \ge 0 \)
\( (2 - x)(2 + x) \ge 0 \)
\( x \in [-2, 2] \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.
Tanım kümesi: \( [-2, 2] \)
\( x \) tanım aralığını yazalım.
\( -2 \le x \le 2 \)
Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım.
\( 0 \le x^2 \le 4 \)
Eşitsizliğin taraflarını \( -1 \) ile çarpalım.
\( -4 \le -x^2 \le 0 \)
Eşitsizliğin taraflarına 4 ekleyelim.
\( 0 \le 4 - x^2 \le 4 \)
Eşitsizliğin taraflarının karekökünü alalım.
\( 0 \le \sqrt{4 - x^2} \le 2 \)
Eşitsizliğin taraflarını \( -3 \) ile çarpalım.
\( -6 \le -3\sqrt{4 - x^2} \le 0 \)
Eşitsizliğin taraflarından 7 çıkaralım.
\( -13 \le -3\sqrt{4 - x^2} - 7 \le -7 \)
Elde ettiğimiz ifade \( f \) fonksiyonuna eşittir.
\( -13 \le f(x) \le -7 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R}) = [-13, -7] \)
Yukarıdaki \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğine göre aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( y = -f(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-3 , \infty) \) aralığıdır.
II. \( y = 2f(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( (-\infty, 6] \) aralığıdır.
III. \( y = f^2(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( [9, \infty) \) aralığıdır.
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( (- \infty, 3] \) aralığıdır.
I. öncül:
\( y = -f(x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \) eksenine göre simetriğidir ve görüntü kümesi \( [-3 , \infty) \) aralığıdır.
Bu öncül doğrudur.
II. öncül:
\( 2f(x) \) fonksiyonunda grafik üzerindeki tüm noktalar \( x \) ekseninden iki kat uzaklaşır ve görüntü kümesi \( (-\infty, 6] \) olur.
Bu öncül doğrudur.
III. öncül:
\( f^2(x) \) fonksiyonunda ordinat değeri 0 ya da pozitif olan noktaların ordinat değerlerinin karesi alınır ve bu noktaların görüntü kümesi \( [0, 9] \) olur. Ordinat değeri negatif olan noktalar ise eksenin pozitif tarafına taşınır ve bu noktaların görüntü kümesi \( [0, \infty] \) olur. Sonuç olarak fonksiyonun görüntü kümesi \( [0, \infty] \) olur.
Bu öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve II öncüller doğrudur.
\( f(x) = \begin{cases} 2\sin{x} + 3 & 0 \le x \le \pi \\ -2\cos{x} & \pi \lt x \le 2\pi \end{cases} \)
parçalı fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
Çözümü GösterVerilen parçalı fonksiyonun iki aralığı için görüntü kümesini ayrı ayrı bulalım.
Aralık 1:
\( 0 \le x \le \pi \)
Sinüs fonksiyonu bu aralıkta \( [0, 1] \) aralığında değer alır.
\( 0 \le \sin{x} \le 1 \)
\( 0 \le 2\sin{x} \le 2 \)
\( 3 \le 2\sin{x} + 3 \le 5 \)
Aralık 2:
\( \pi \lt x \le 2\pi \)
Kosinüs fonksiyonu bu aralıkta \( (-1, 1] \) aralığında değer alır.
\( -1 \lt \cos{x} \le 1 \)
\( -2 \le -2\cos{x} \lt 2 \)
Bulduğumuz iki aralığın birleşim kümesi \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini verir.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([0, 2\pi]) = [-2, 2) \cup [3, 5] \)
\( f(x) = 3 + 2^{2x - x^2} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki görüntü kümesi nedir?
Çözümü GösterÜstel fonksiyonu tanımsız yapan bir değer olmadığı için fonksiyonun en geniş tanım kümesi tüm reel sayılardır.
Tanım kümesi: \( \mathbb{R} \)
\( 2^{2x - x^2} \) ifadesi tabanı 1'den büyük olan, dolayısıyla artan bir üstel fonksiyondur. Buna göre fonksiyon en küçük değerini üssünün en küçük değerinde, en büyük değerini de üssünün en büyük değerinde alır.
Üsteki \( 2x - x^2 \) ifadesi bir paraboldür ve başkatsayısı negatif olduğu için en küçük değeri \( -\infty \) olur, en büyük değerini de tepe noktasında alır.
Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,
\( a = -1, \quad b = 2, \quad c = 0 \)
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2(-1)} = 1 \)
Buna göre \( x = 1 \) noktasında \( 2x - x^2 \) parabolü, dolayısıyla \( 2^{2x - x^2} \) ifadesi ve \( f(x) \) fonksiyonu en büyük değerini alır.
\( f(1) = 3 + 2^{2 \cdot 1 - 1^2} = 5 \)
Fonksiyonun en küçük değerini bulalım.
\( 2x - x^2 \to -\infty \) iken \( 2^{2x - x^2} \to 0 \) olur, ama 0 değerini almaz. \( f(x) \) de bu durumda sabit terim olan 3'e yaklaşır, ama 3 değerini almaz.
Görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R}) = (3, 5] \)