Fonksiyonlarda Görüntü Kümesini Bulma
Bir fonksiyonun görüntü kümesini bulmak için tek bir yöntem yoktur ve kullanılacak yöntem fonksiyonun kuralına ve sahip olduğu özelliklere göre değişir.
Bir fonksiyonda belirli bir \( y \) değeri için \( y = f(x) \) eşitliğini sağlayan en az bir \( x \) değeri varsa bu \( y \) değeri fonksiyonun görüntü kümesinin bir elemanıdır.
Fonksiyon Kuralını \( x \) İçin Çözme
Bu yöntem, \( y = f(x) \) eşitliğinin \( x \) için çözülebildiği durumlarda kullanılır. Buna göre, bir fonksiyonun görüntü kümesini bulmak için \( y = f(x) \) eşitliği \( x \) için çözülür. Elde edilen denklemde, fonksiyonun tanım kümesinde bulunan en az bir \( x \) çözümü veren \( y \) değerleri fonksiyonun görüntü kümesini oluşturur.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = x^2 - 4x - 5 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
Verilen fonksiyonda \( x \) değişkeni \( y \) değişkeni cinsinden çözülebilir.
İfadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( y = (x - 2)^2 - 9 \)
\( (x - 2)^2 = y + 9 \)
\( x = \pm \sqrt{y + 9} + 2 \)
Her \( y + 9 \ge 0 \) için bu eşitliği sağlayan ve \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinde bulunan en az bir \( x \) çözümü vardır.
\( \pm \sqrt{y + 9} + 2 \in \mathbb{R} \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R}) = [-9, \infty) \)
Aynı örneği kısıtlanmış bir tanım kümesi için çözelim.
\( f: [4, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = x^2 - 4x - 5 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
\( x \) değişkenini \( y \) değişkeni cinsinden aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( x = \pm \sqrt{y + 9} + 2 \)
Eşitliğin iki durumunu ayrı ayrı inceleyelim.
\( x = \sqrt{y + 9} + 2 \) için:
\( \sqrt{y + 9} + 2 \ge 4 \)
\( \sqrt{y + 9} \ge 2 \)
\( y + 9 \ge 4 \)
\( y \ge -5 \)
\( x = -\sqrt{y + 9} + 2 \) için:
\( -\sqrt{y + 9} + 2 \ge 4 \)
\( \sqrt{y + 9} \le -2 \)
Karekök ifadesi negatif olamayacağı için bu eşitsizliği sağlayan \( y \) değeri yoktur.
\( y \in \emptyset \)
\( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi, iki durum için bulduğumuz \( y \) değerlerinin birleşimidir.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([4, \infty)) = [-5, \infty) \)
Aynı yöntem \( y = f(x) \) eşitliğinin \( x \) için çözülebildiği payının ve paydasının dereceleri 1 olan rasyonel fonksiyonlara da uygulanabilir.
\( f: \mathbb{R} - \{3\} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3} \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
Verilen fonksiyonda \( x \) değişkeni \( y \) değişkeni cinsinden çözülebilir.
\( y = \dfrac{2x + 1}{x - 3} \)
\( y(x - 3) = 2x + 1 \)
\( yx - 3y = 2x + 1 \)
\( yx - 2x = 3y + 1 \)
\( x(y - 2) = 3y + 1 \)
\( x = \dfrac{3y + 1}{y - 2} \)
Her \( y \ne 2 \) için bu eşitliği sağlayan ve \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinde bulunan en az bir \( x \) çözümü vardır.
Eşitliğin hiçbir \( y \) değeri için fonksiyonun tanım kümesinde bulunmayan \( x = 3 \) değerini vermediğini gösterelim.
\( 3 = \dfrac{3y + 1}{y - 2} \)
\( 3y - 6 = 3y + 1 \)
\( -6 \ne 1 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R} - \{3\}) = \mathbb{R} - \{2\} \)
Diskriminant (Delta) Yöntemi
Bu yöntem, \( y = f(x) \) eşitliği \( x \) değişkenine göre ikinci dereceden denklem formuna getirilebildiği durumlarda kullanılır. Buna göre, bir fonksiyonun görüntü kümesini bulmak için \( y = f(x) \) eşitliği \( A(y)x^2 + B(y)x + C(y) = 0 \) formuna getirilir ve \( y \) değişkenine bağlı diskriminantı (deltası) hesaplanır. Belirli bir \( y \) değerinin görüntü kümesinde bulunması için, bu ikinci dereceden denklemin fonksiyonun tanım kümesinde en az bir \( x \) çözümüne (köküne) sahip olması gerekir. Fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar olduğunda bu koşul, ikinci dereceden denklemin deltasının pozitif ya da sıfır olmasıyla belirlenir.
Bu yöntemi yukarı kullandığımız ilk örneğe uygulayalım.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = x^2 - 4x - 5 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
Denklemi \( x \) değişkenine göre ikinci dereceden denklem formuna getirelim.
\( y = x^2 - 4x - 5 \)
\( x^2 - 4x - (y + 5) = 0 \)
Denklemin \( y \) değişkenine bağlı deltasını bulalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-(y + 5)) \)
\( = 36 + 4y \)
Bulduğumuz delta değeri pozitif ya da sıfır olduğunda ikinci dereceden denklemin en az bir \( x \) çözümü (kökü) vardır.
\( 36 + 4y \ge 0 \)
\( y \ge -9 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R}) = [-9, \infty) \)
Bu yöntemi şimdi de yukarıda kullandığımız kısıtlı tanım kümeli ikinci örneğe uygulayalım.
\( f: [4, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = x^2 - 4x - 5 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
Yukarıdaki örnekte ikinci dereceden denklemi aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( x^2 - 4x - (y + 5) = 0 \)
Kök bulma formülü ile bu denklemin köklerini bulalım.
\( x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{36 + 4y}}{2(1)} \)
\( = 2 \pm \sqrt{9 + y} \)
Bulduğumuz iki kökten en az birinin tanım kümesi içinde olmasını sağlayan \( y \) değerlerini bulalım.
\( x = 2 + \sqrt{9 + y} \) için:
\( 2 + \sqrt{9 + y} \ge 4 \)
\( \sqrt{9 + y} \ge 2 \)
\( 9 + y \ge 4 \)
\( y \ge -5 \)
\( x = 2 - \sqrt{9 + y} \) için:
\( 2 - \sqrt{9 + y} \ge 4 \)
\( \sqrt{9 + y} \le -2 \)
Karekök ifadesi negatif olamayacağı için bu eşitsizliği sağlayan \( y \) değeri yoktur.
\( y \in \emptyset \)
\( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi, iki durum için bulduğumuz \( y \) değerlerinin birleşimidir.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([4, \infty)) = [-5, \infty) \)
Aynı yöntem \( x \) değişkenine göre ikinci dereceden denklem formuna getirilebilen rasyonel fonksiyonlara da uygulanabilir.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1} \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
Denklemi \( x \) değişkenine göre ikinci dereceden denklem formuna getirelim.
\( y = \dfrac{2x}{x^2 + 1} \)
\( y(x^2 + 1) = 2x \)
\( yx^2 - 2x + y = 0 \)
Denklemin \( y \) değişkenine bağlı deltasını bulalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(y)(y) \)
\( = -4y^2 + 4 \)
Bulduğumuz delta değeri pozitif ya da sıfır olduğunda ikinci dereceden denklemin en az bir \( x \) çözümü (kökü) vardır.
\( -4y^2 + 4 \ge 0 \)
\( -1 \le y \le 1 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R}) = [-1, 1] \)
Temel Fonksiyonlar ve Dönüşümlerden Yararlanma
Bazı fonksiyonların görüntü kümeleri, bilinen temel fonksiyonların görüntü kümeleri ve bu fonksiyonlara uygulanan dönüşümlerin etkileri izlenerek kolayca belirlenebilir.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = 3\sin(x - \pi) - 5 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
Sinüs fonksiyonunun görüntü kümesinin \( [-1, 1] \) olduğunu biliyoruz.
\( -1 \le \sin(x - \pi) \le 1 \)
Eşitsizliğin taraflarını 3 ile çarpalım.
\( -3 \le 3\sin(x - \pi) \le 3 \)
Eşitsizliğin taraflarından 5 çıkaralım.
\( -8 \le 3\sin(x - \pi) - 5 \le -2 \)
Elde ettiğimiz ifade \( f \) fonksiyonuna eşittir.
\( -8 \le f(x) \le -2 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R}) = [-8, -2] \)
Yatay öteleme, daralma/genişleme ve yansıma dönüşümleri, fonksiyonun grafiğinde yatay yönde (\( x \) ekseni boyunca) konum veya biçim değişiklikleri oluşturduğu için fonksiyonun görüntü kümesini değiştirmez.
Monotonluk Özelliklerinden Yararlanma
Bir fonksiyonun bir aralık olan tanım kümesi içinde sürekli ve monoton (artan ya da azalan) olduğu biliniyorsa görüntü kümesi bu aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerleri ya da limitler kullanılarak bulunabilir.
\( f: [-2, 3] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = 2x^3 - 7 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
\( x^3 \) fonksiyonu tüm reel sayılarda artan olduğu için \( f \) fonksiyonu da artandır.
Buna göre \( f \) fonksiyonu tanım kümesi içindeki en küçük değerini \( x = -2 \) noktasında, en büyük değerini de \( x = 3 \) noktasında alır.
\( f(-2) = 2(-2)^3 - 7 = -23 \)
\( f(3) = 2(3)^3 - 7 = 47 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([-2, 3]) = [-23, 47] \)
Tanım aralığının bir ucu aralığa dahil değilse ya da sonsuz ise bu uçtaki davranışı belirlemek için limit kullanılır.
\( f: [-3, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = 2^{-x} - 1 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
\( 2^{-x} \) fonksiyonu tüm reel sayılarda azalan olduğu için \( f \) fonksiyonu da azalandır.
Buna göre \( f \) fonksiyonu tanım kümesi içindeki en büyük değerini \( x = -3 \) noktasında alır, \( x \) sonsuza giderken ise alt sınır değerine yaklaşır.
\( f(-3) = 2^{-(-3)} - 1 = 7 \)
\( x \to \infty \) iken \( 2^{-x} \to 0 \) ve \( 2^{-x} - 1 \to -1 \) olur.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([-3, \infty)) = (-1, 7] \)
Bir fonksiyonun görüntü kümesini bulmak için kullanılabilecek diğer bazı yöntemler aşağıdaki gibidir.
- Parçalı fonksiyonlar: Parçalı fonksiyonlarda her parçanın tanımlı olduğu aralık dikkate alınarak ayrı ayrı görüntü kümesi bulunur. Bulunan görüntü kümelerinin birleşimi fonksiyonun görüntü kümesini verir.
- Fonksiyon grafiği: Bir fonksiyonun grafiğinin \( y \) eksenine izdüşümü fonksiyonun görüntü kümesini verir.
- Türevlenebilir fonksiyonlar: Türevlenebilir fonksiyonlarda fonksiyonun artan-azalan olduğu aralıklar ile yerel ve mutlak ekstremumları belirlenerek görüntü kümesi bulunabilir.
\( f: [1, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = (x - 3)^2 + 2 \) fonksiyonunun grafiğini çizerek görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü GösterParabolün başkatsayısı pozitif olduğu için kolları yukarı yönlüdür.
\( f(x) = (x - r)^2 + k \) formundaki bir parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) noktasıdır.
Buna göre verilen parabolün tepe noktası \( T(3, 2) \) olur.
\( x = 1 \) noktasındaki fonksiyon değerini bulalım.
\( f(1) = (1 - 3)^2 + 2 = 6 \)
Buna göre parabolün \( x \in [1, \infty) \) aralığındaki grafiği aşağıdaki gibidir.
Grafikte görülebileceği üzere, parabolün en küçük değeri tepe noktasındaki \( y = 2 \) değeridir, ayrıca parabol \( x \) sonsuza giderken pozitif sonsuza gider.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([1, \infty)) = [2, \infty) \)
\( f: [2, 8] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 4x + 3 \) fonksiyonunun grafiğini çizerek görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü GösterParabolün başkatsayısı negatif olduğu için kolları aşağı yönlüdür.
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{4}{2(-\frac{1}{2})} = 4 \)
\( k = f(4) \)
\( = -\dfrac{1}{2}(4)^2 + 4(4) + 3 = 11 \)
Buna göre verilen parabolün tepe noktası \( T(4, 11) \) olur.
Fonksiyonun tanım kümesinin uç noktalarındaki değerini bulalım.
\( f(2) = -\dfrac{1}{2}(2)^2 + 4(2) + 3 = 9 \)
\( f(8) = -\dfrac{1}{2}(8)^2 + 4(8) + 3 = 3 \)
Buna göre parabolün \( x \in [2, 8] \) aralığındaki grafiği aşağıdaki gibidir.
Grafikte görülebileceği üzere, parabolün en küçük değeri \( B \) noktasındaki \( y = 3 \) değeri, en büyük değeri tepe noktasındaki \( y = 11 \) değeridir.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([2, 8]) = [3, 11] \)
\( f(x) = 3^{2 - x} + 5 \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki görüntü kümesi nedir?
Çözümü GösterFonksiyonu tanımsız yapan bir ifade olmadığı için fonksiyonun en geniş tanım kümesi tüm reel sayılardır.
Fonksiyonu düzenleyelim.
\( f(x) = 3^2 \cdot 3^{-x} + 5 \)
\( = 9 \cdot 3^{-x} + 5 \)
\( 3^{-x} \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( (0, \infty) \) aralığıdır.
\( 0 \lt 3^{-x} \lt \infty \)
Eşitsizliğin taraflarını 9 ile çarpalım.
\( 0 \lt 9 \cdot 3^{-x} \lt \infty \)
Eşitsizliğin taraflarına 5 ekleyelim.
\( 5 \lt 9 \cdot 3^{-x} + 5 \lt \infty \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R}) = (5, \infty) \)
\( f(x) = -3\sqrt{4 - x^2} - 7 \) reel değerli fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki görüntü kümesi nedir?
Çözümü GösterFonksiyonun en geniş tanım kümesini bulalım.
Karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.
\( 4 - x^2 \ge 0 \)
\( (2 - x)(2 + x) \ge 0 \)
\( x \in [-2, 2] \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.
Tanım kümesi: \( x \in [-2, 2] \)
\( x \) tanım aralığını yazalım.
\( -2 \le x \le 2 \)
Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım.
\( 0 \le x^2 \le 4 \)
Eşitsizliğin taraflarını \( -1 \) ile çarpalım.
\( -4 \le -x^2 \le 0 \)
Eşitsizliğin taraflarına 4 ekleyelim.
\( 0 \le 4 - x^2 \le 4 \)
Eşitsizliğin taraflarının karekökünü alalım.
\( 0 \le \sqrt{4 - x^2} \le 2 \)
Eşitsizliğin taraflarını \( -3 \) ile çarpalım.
\( -6 \le -3\sqrt{4 - x^2} \le 0 \)
Eşitsizliğin taraflarından 7 çıkaralım.
\( -13 \le -3\sqrt{4 - x^2} - 7 \le -7 \)
Elde ettiğimiz ifade \( f \) fonksiyonuna eşittir.
\( -13 \le f(x) \le -7 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R}) = [-13, -7] \)
Yukarıdaki \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğine göre aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( y = -f(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-3 , \infty) \) aralığıdır.
II. \( y = 2f(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( (-\infty, 6] \) aralığıdır.
III. \( y = f^2(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( [9, \infty) \) aralığıdır.
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( (- \infty, 3] \) aralığıdır.
I. öncül:
\( y = -f(x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \) eksenine göre simetriğidir ve görüntü kümesi \( [-3 , \infty) \) aralığıdır.
Bu öncül doğrudur.
II. öncül:
\( 2f(x) \) fonksiyonunda grafik üzerindeki tüm noktalar \( x \) ekseninden iki kat uzaklaşır ve görüntü kümesi \( (-\infty, 6] \) olur.
Bu öncül doğrudur.
III. öncül:
\( f^2(x) \) fonksiyonunda ordinat değeri 0 ya da pozitif olan noktaların ordinat değerlerinin karesi alınır ve bu noktaların görüntü kümesi \( [0, 9] \) olur. Ordinat değeri negatif olan noktalar ise eksenin pozitif tarafına taşınır ve bu noktaların görüntü kümesi \( [0, \infty] \) olur. Sonuç olarak fonksiyonun görüntü kümesi \( [0, \infty] \) olur.
Bu öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve II öncüller doğrudur.
\( f(x) = \begin{cases} 2\sin{x} + 3 & 0 \le x \le \pi \\ -2\cos{x} & \pi \lt x \le 2\pi \end{cases} \)
parçalı fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
Çözümü GösterVerilen parçalı fonksiyonun iki aralığı için görüntü kümesini ayrı ayrı bulalım.
Aralık 1:
\( 0 \le x \le \pi \)
Sinüs fonksiyonu bu aralıkta \( [0, 1] \) aralığında değer alır.
\( 0 \le \sin{x} \le 1 \)
\( 0 \le 2\sin{x} \le 2 \)
\( 3 \le 2\sin{x} + 3 \le 5 \)
Aralık 2:
\( \pi \lt x \le 2\pi \)
Kosinüs fonksiyonu bu aralıkta \( (-1, 1] \) aralığında değer alır.
\( -1 \lt \cos{x} \le 1 \)
\( -2 \le -2\cos{x} \lt 2 \)
Bulduğumuz iki aralığın birleşim kümesi \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini verir.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([0, 2\pi]) = [-2, 2) \cup [3, 5] \)
\( f(x) = 3 + 2^{2x - x^2} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki görüntü kümesi nedir?
Çözümü GösterÜstel fonksiyonu tanımsız yapan bir değer olmadığı için fonksiyonun en geniş tanım kümesi tüm reel sayılardır.
Tanım kümesi: \( x \in \mathbb{R} \)
\( 2^{2x - x^2} \) ifadesi tabanı 1'den büyük olan, dolayısıyla artan bir üstel fonksiyondur. Buna göre fonksiyon en küçük değerini üssünün en küçük değerinde, en büyük değerini de üssünün en büyük değerinde alır.
Üsteki \( 2x - x^2 \) ifadesi bir paraboldür ve başkatsayısı negatif olduğu için en küçük değeri \( -\infty \) olur, en büyük değerini de tepe noktasında alır.
Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,
\( a = -1, \quad b = 2, \quad c = 0 \)
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2(-1)} = 1 \)
Buna göre \( x = 1 \) noktasında \( 2x - x^2 \) parabolü, dolayısıyla \( 2^{2x - x^2} \) ifadesi ve \( f(x) \) fonksiyonu en büyük değerini alır.
\( f(1) = 3 + 2^{2 \cdot 1 - 1^2} = 5 \)
Fonksiyonun en küçük değerini bulalım.
\( 2x - x^2 \to -\infty \) iken \( 2^{2x - x^2} \to 0 \) olur, ama 0 değerini almaz. \( f(x) \) de bu durumda sabit terim olan 3'e yaklaşır, ama 3 değerini almaz.
Görüntü kümesi: \( f(\mathbb{R}) = (3, 5] \)
\( f: (-2, 4] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{4x + 1}{2} \) fonksiyonunun görüntü kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyonu düzenleyelim.
\( f(x) = 2x + \dfrac{1}{2} \)
Fonksiyon bir doğru olduğu için tanım kümesinin sınır değerlerini fonksiyonda yerine koyarak görüntü kümesinin sınır değerlerini bulabiliriz.
\( \dfrac{4(-2) + 1}{2} = -\dfrac{7}{2} \)
\( \dfrac{4(4) + 1}{2} = \dfrac{17}{2} \)
Görüntü kümesi: \( (-\frac{7}{2}, \frac{17}{2}] \)
Fonksiyon sürekli olduğu için bu aralıktaki her reel sayı değeri alır.
Buna göre görüntü kümesindeki tam sayı değerler aşağıdaki gibidir.
\( \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} \)
Bu sayıların toplamı \( 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30 \) olur.