Parçalı Fonksiyonların Bileşkesi
Sırasıyla \( m \) ve \( n \) parçadan oluşan \( f \) ve \( g \) parçalı fonksiyonları için \( g \circ f \) bileşkesinde en fazla \( mn \) farklı parça kombinasyonu oluşur. Her kombinasyon için geçerli \( x \) değerleri belirlenir ve tanım kümesi boş olan kombinasyonlar elenir. Bu aşamada bileşke fonksiyonların tanım kümesini bulma bölümünde kullandığımız iki koşul kullanılır.
Parçalı fonksiyonların bileşkesinin nasıl bulunabileceğini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( f(x) = \begin{cases} x + 4 & -3 \le x \lt -1 \\ -x + 3 & -1 \le x \le 5 \end{cases} \)
\( g(x) = \begin{cases} -2x + 1 & -2 \le x \lt 0 \\ x - 1 & 0 \le x \le 3 \end{cases} \)
\( g \circ f \) bileşke fonksiyonunu bulalım.
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( g(x) \) fonksiyon kuralında \( x \) gördüğümüz yerlere \( f(x) \) yazalım.
\( g(f(x)) = \begin{cases} -2f(x) + 1 & -2 \le f(x) \lt 0 \\ f(x) - 1 & 0 \le f(x) \le 3 \end{cases} \)
\( f(x) \) de parçalı bir fonksiyon olduğu için \( g(f(x)) \) tanımındaki her parça birden fazla \( f(x) \) parçasına karşılık gelebilir. Bu yüzden bu iki parçanın her birini iki \( f(x) \) parçasına bölelim, her parça için bileşke fonksiyonu bulalım ve parçanın geçerli bir tanım kümesine sahip olup olmadığını kontrol edelim.
Kontrol edeceğimiz her parçadaki \( x \) değerleri o parçadaki \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinin, \( f(x) \) değerleri de o parçadaki \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olmalıdır.
| \( f(x) \) | \( g(f(x)) \) | \( f \) Parçasının \( x \) Koşulu | \( g \) Parçası için \( f(x) \) Koşulu | Geçerli \( x \) Aralığı |
|---|---|---|---|---|
|
\( x + 4 \) |
\( -2f(x) + 1 \) \( = -2(x + 4) + 1 \) \( = -2x - 7 \) |
\( \textcolor{red}{-3 \le x \lt -1} \) |
\( -2 \le f(x) \lt 0 \) \( -2 \le x + 4 \lt 0 \) \( \textcolor{red}{-6 \le x \lt -4} \) |
\( \textcolor{red}{\emptyset} \) |
|
\( x + 4 \) |
\( f(x) - 1 \) \( = (x + 4) - 1 \) \( = x + 3 \) |
\( \textcolor{red}{-3 \le x \lt -1} \) |
\( 0 \le f(x) \le 3 \) \( 0 \le x + 4 \le 3 \) \( \textcolor{red}{-4 \le x \le -1} \) |
\( \textcolor{red}{-3 \le x \lt -1} \) |
|
\( -x + 3 \) |
\( -2f(x) + 1 \) \( = -2(-x + 3) + 1 \) \( = 2x - 5 \) |
\( \textcolor{red}{-1 \le x \le 5} \) |
\( -2 \le f(x) \lt 0 \) \( -2 \le -x + 3 \lt 0 \) \( \textcolor{red}{3 \lt x \le 5} \) |
\( \textcolor{red}{3 \lt x \le 5} \) |
|
\( -x + 3 \) |
\( f(x) - 1 \) \( = (-x + 3) - 1 \) \( = -x + 2 \) |
\( \textcolor{red}{-1 \le x \le 5} \) |
\( 0 \le f(x) \le 3 \) \( 0 \le -x + 3 \le 3 \) \( \textcolor{red}{0 \le x \le 3} \) |
\( \textcolor{red}{0 \le x \le 3} \) |
Oluşan dört parçadan birincisinin tanım kümesi boş küme olduğundan bu parçayı eleyebiliriz. Kalan üç parçadan oluşan bileşke fonksiyonu aşağıdaki gibi olur.
\( g(f(x)) = \begin{cases} x + 3 & -3 \le x \lt -1 \\ -x + 2 & 0 \le x \le 3 \\ 2x - 5 & 3 \lt x \le 5 \end{cases} \)
Dikkat edilirse bileşke fonksiyonu \( [-1, 0) \) aralığında tanımlı değildir, çünkü bu aralıkta \( f(x) \) değerleri \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinin dışında kalır.
Bulduğumuz bileşke fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.
\( f(x) = \begin{cases} 3x + 1 & x \ge 2 \\ -x^2 + 2x + 7 & x \lt 2 \end{cases} \)
olduğuna göre, \( g(x) = -3f(x + 2) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonuna uygulanan dönüşümlerden \( x \longmapsto x + 2 \) yatay öteleme dönüşümü, parçalı fonksiyonun aralık koşullarını da değiştirir. Dışarıdaki \( -3 \) katsayısı ise yalnızca fonksiyonun çıktı değerlerini etkilediğinden aralık koşullarını değiştirmez.
\( f \) fonksiyonunun aralık koşullarında \( x \) yerine \( x + 2 \) yazalım.
\( x + 2 \ge 2 \Longrightarrow x \ge 0 \)
\( x + 2 \lt 2 \Longrightarrow x \lt 0 \)
Buna göre \( x \ge 0 \) olduğunda \( x + 2 \ge 2 \) olacağından \( f \)'nin birinci parçası kullanılır. \( x \lt 0 \) olduğunda ise \( x + 2 \lt 2 \) olacağından ikinci parça kullanılır.
\( f \) fonksiyonunun iki parçasını sırasıyla \( f_1 \) ve \( f_2 \) ile gösterelim.
\( f(x) = \begin{cases} f_1(x) & x \ge 2 \\ f_2(x) & x \lt 2 \end{cases} \)
Her yeni aralıkta, \( x + 2 \) ifadesinin \( f \)'nin hangi parçasına düştüğünü belirleyerek ilgili parçanın kuralını uygulayalım.
\( g(x) = \begin{cases} -3f_1(x + 2) & x \ge 0 \\ -3f_2(x + 2) & x \lt 0 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} -3[3(x + 2) + 1] & x \ge 0 \\ -3[-(x + 2)^2 + 2(x + 2) + 7] & x \lt 0 \end{cases} \)
İfadeleri sadeleştirdiğimizde \( g \) parçalı fonksiyonu aşağıdaki gibi bulunur.
\( = \begin{cases} -9x - 21 & x \ge 0 \\ 3x^2 + 6x - 21 & x \lt 0 \end{cases} \)