Fonksiyonların Dönüşümü
Pek çok fonksiyon, bilinen temel fonksiyonların tanımlarında yapılan bir dizi basit değişiklikle elde edilebilir. Bu yeni fonksiyonların grafiklerini sıfırdan çizmek yerine, bilinen fonksiyonun grafiğine bu değişiklikler uygulanarak yeni fonksiyonun grafiği hızlıca elde edilebilir. Fonksiyonların tanımlarında yapılan bu tür değişikliklere fonksiyon dönüşümleri adı verilir. Bu bölümde farklı dönüşüm tiplerini ve grafikler üzerindeki etkilerini inceleyeceğiz.
Bir hatırlatma olarak, bir fonksiyonda \( x \) değerleri fonksiyonun tanım kümesini ve girdi değerlerini, \( f(x) \) değerleri de fonksiyonun görüntü kümesini ve çıktı değerlerini temsil eder.
Bu bölümde iki tip dönüşümü inceleyeceğiz.
Düşey Dönüşümler
Düşey (çıktıya uygulanan) dönüşümler \( f(x) \) ifadesinin dışına uygulanır. Bunun sonucunda aynı \( x \) değeri için \( y \) değeri değişir ve grafikte düşey yönde (\( y \) ekseni boyunca) konum veya biçim değişiklikleri oluşur.
Bir fonksiyona aşağıdaki şekildeki işlemler kullanılarak öteleme, daralma/genişleme, yansıma ve mutlak değer olmak üzere dört düşey dönüşüm uygulanabilir. Bu dönüşümleri önümüzdeki bölümlerde ayrı başlıklar halinde inceleyeceğiz.
Yatay Dönüşümler
Yatay (girdiye uygulanan) dönüşümler \( f(x) \) ifadesinde parantez içine uygulanır. Bunun sonucunda aynı \( y \) değerine karşılık gelen \( x \) değerleri değişir ve grafikte yatay yönde (\( x \) ekseni boyunca) konum veya biçim değişiklikleri oluşur.
Bir fonksiyona aşağıdaki şekildeki işlemler kullanılarak öteleme, daralma/genişleme, yansıma ve mutlak değer olmak üzere dört yatay dönüşüm uygulanabilir. Bu dönüşümleri önümüzdeki bölümlerde ayrı başlıklar halinde inceleyeceğiz.
Düşey ve yatay dönüşümler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
| Dönüşüm Tipi | Düşey Dönüşüm | Yatay Dönüşüm |
|---|---|---|
| Ötemele | \( f(x) + k \) | \( f(x + c) \) |
| Daralma/Genişleme | \( a \cdot f(x) \) | \( f(bx) \) |
| Yansıma | \( -f(x) \) | \( f(-x) \) |
| Mutlak Değer | \( \abs{f(x)} \) | \( f(\abs{x}) \) |
Örnek olarak, farklı \( f(x) \) fonksiyonlarına \( g(x) = -3f(2(x + 1)) - 4 \) dönüşümü uygulandığında oluşan yeni fonksiyonlar aşağıdaki gibidir.
| Fonksiyon | Dönüşüm |
|---|---|
| \( f(x) = x \) | \( g(x) = -3(2(x + 1)) - 4 \) |
| \( f(x) = x^2 \) | \( g(x) = -3(2(x + 1))^2 - 4 \) |
| \( f(x) = \sqrt{x} \) | \( g(x) = -3\sqrt{2(x + 1)} - 4 \) |
| \( f(x) = \sin{x} \) | \( g(x) = -3\sin(2(x + 1)) - 4 \) |
| \( f(x) = 2^x \) | \( g(x) = -3 \cdot 2^{2(x + 1)} - 4 \) |
| \( f(x) = \log{x} \) | \( g(x) = -3\log(2(x + 1)) - 4 \) |
| \( f(x) = \abs{x} \) | \( g(x) = -3\abs{2(x + 1)} - 4 \) |
\( f(x) = \dfrac{1}{x} \) fonksiyonu veriliyor.
\( g(x) = \dfrac{1}{2x - 8} - 3 \) fonksiyonunu \( f \) fonksiyonu cinsinden yazınız.
Çözümü Göster\( g(x) \) ifadesini dönüşümlerin daha kolay görülebileceği şekilde düzenleyelim.
\( g(x) = \dfrac{1}{2(x - 4)} - 3 \)
\( f(x) \) fonksiyonuna dönüşümleri adım adım uygulayarak \( g(x) \) fonksiyonunu bulalım.
Aşağıdaki tabloda \( F \) her adımda bir önceki adımda elde edilen fonksiyonu temsil etmektedir.
| Dönüşüm | Elde Edilen Fonksiyon |
|---|---|
| \( F(x) \longrightarrow F(2x) \) | \( f(2x) = \dfrac{1}{2x} \) |
| \( F(x) \longrightarrow F(x - 4) \) | \( f(2(x - 4)) = \dfrac{1}{2(x - 4)} \) |
| \( F(x) \longrightarrow F(x) - 3 \) | \( f(2(x - 4)) - 3 = \dfrac{1}{2x - 8} - 3 \) |
Son adımda elde ettiğimiz ifade \( g(x) \) fonksiyonuna eşittir.
\( g(x) = f(2(x - 4)) - 3 \)
\( f(x) = 2^x \) fonksiyonu veriliyor.
\( g(x) = -(2^{-3x + 6} - 2) \) fonksiyonunu \( f \) fonksiyonu cinsinden yazınız.
Çözümü Göster\( g(x) \) ifadesini dönüşümlerin daha kolay görülebileceği şekilde düzenleyelim.
\( g(x) = -2^{-3x + 6} + 4 \)
\( = -2^{-3(x - 2)} + 4 \)
\( f(x) \) fonksiyonuna dönüşümleri adım adım uygulayarak \( g(x) \) fonksiyonunu bulalım.
Aşağıdaki tabloda \( F \) her adımda bir önceki adımda elde edilen fonksiyonu temsil etmektedir.
| Dönüşüm | Elde Edilen Fonksiyon |
|---|---|
| \( F(x) \longrightarrow F(3x) \) | \( f(3x) = 2^{3x} \) |
| \( F(x) \longrightarrow F(-x) \) | \( f(-3x) = 2^{-3x} \) |
| \( F(x) \longrightarrow F(x - 2) \) | \( f(-3(x - 2)) = 2^{-3(x - 2)} \) |
| \( F(x) \longrightarrow -F(x) \) | \( -f(-3(x - 2)) = -2^{-3(x - 2)} \) |
| \( F(x) \longrightarrow F(x) + 4 \) | \( -f(-3(x - 2)) + 4 = -2^{-3(x - 2)} + 4 \) |
Son adımda elde ettiğimiz ifade \( g(x) \) fonksiyonuna eşittir.
\( g(x) = -f(-3(x - 2)) + 4 \)