Öteleme
Öteleme, bir fonksiyonun grafiğinin belirli bir yönde yer değiştirmesidir. Öteleme sonucunda grafiğin şekli değişmez, sadece koordinat düzlemindeki konumu değişir.
Düşey Öteleme
\( k \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( f(x) \longrightarrow f(x) + k \)
\( f(x) \longrightarrow f(x) - k \)
Bir fonksiyonun çıktısına \( k \) birim eklendiğinde grafik \( k \) birim yukarı ötelenir. Bunun sebebi, her \( x \) değeri için fonksiyonun \( y \) değerinin \( k \) birim artmasıdır.
Bir fonksiyonun çıktısından \( k \) birim çıkarıldığında grafik \( k \) birim aşağı ötelenir. Bunun sebebi, her \( x \) değeri için fonksiyonun \( y \) değerinin \( k \) birim azalmasıdır.
Yatay Öteleme
\( c \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( f(x) \longrightarrow f(x + c) \)
\( f(x) \longrightarrow f(x - c) \)
Bir fonksiyonun girdisine \( c \) birim eklendiğinde grafik \( c \) birim sola ötelenir. Bunun sebebi, aynı \( y \) değerine ulaşmak için gereken \( x \) değerlerinin \( c \) birim azalmasıdır.
Bir fonksiyonun girdisinden \( c \) birim çıkarıldığında grafik \( c \) birim sağa ötelenir. Bunun sebebi, aynı \( y \) değerine ulaşmak için gereken \( x \) değerlerinin \( c \) birim artmasıdır.
Aşağıdaki örnekte \( f(x) = x^2 \) fonksiyonuna uygulanan düşey ve yatay öteleme dönüşümlerinin fonksiyon değerlerine olan etkisi görülebilir.
| \( x \) | \( f(x) = x^2 \) | \( f(x) + 2 \) | \( f(x + 2) \) |
|---|---|---|---|
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 2 \) | \( 4 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 3 \) | \( 9 \) |
| \( 2 \) | \( 4 \) | \( 6 \) | \( 16 \) |
| \( 3 \) | \( 9 \) | \( 11 \) | \( 25 \) |
| \( 4 \) | \( 16 \) | \( 18 \) | \( 36 \) |
| \( 5 \) | \( 25 \) | \( 27 \) | \( 49 \) |
| \( 6 \) | \( 36 \) | \( 38 \) | \( 64 \) |
Bu tablodan aşağıdaki iki çıkarım yapılabilir.
- Düşey öteleme dönüşümü sonucunda her \( x \) değeri için fonksiyonun \( y \) değeri 2 birim artar. Bunun sonucunda grafik 2 birim yukarı ötelenir.
- Yatay öteleme dönüşümü sonucunda (renkli kodlamalarda görülebileceği gibi) aynı \( y \) değerine karşılık gelen \( x \) değerleri 2 birim azalır. Bunun sonucunda grafik 2 birim sola ötelenir.
Örnek olarak, aşağıdaki fonksiyonların her birine 2. sütundaki düşey öteleme uygulandığında grafik üzerindeki noktalar 3 birim yukarı ötelenir, 3. sütundaki yatay öteleme uygulandığında ise noktalar 3 birim sola ötelenir.
| Fonksiyon | Düşey Öteleme | Yatay Öteleme |
|---|---|---|
| \( f(x) = 2x \) | \( f(x) + 3 = 2x + 3 \) | \( f(x + 3) = 2(x + 3) \) |
| \( f(x) = x^2 \) | \( f(x) + 3 = x^2 + 3 \) | \( f(x + 3) = (x + 3)^2 \) |
| \( f(x) = \sqrt{x} \) | \( f(x) + 3 = \sqrt{x} + 3 \) | \( f(x + 3) = \sqrt{x + 3} \) |
| \( f(x) = \sin{x} \) | \( f(x) + 3 = \sin(x) + 3 \) | \( f(x + 3) = \sin(x + 3) \) |
| \( f(x) = 2^x \) | \( f(x) + 3 = 2^x + 3 \) | \( f(x + 3) = 2^{x + 3} \) |
| \( f(x) = \log{x} \) | \( f(x) + 3 = \log(x) + 3 \) | \( f(x + 3) = \log(x + 3) \) |
| \( f(x) = \abs{x} \) | \( f(x) + 3 = \abs{x} + 3 \) | \( f(x + 3) = \abs{x + 3} \) |
\( f(x) = (x + 4)^2 \) fonksiyonu \( a \) birim sağa \( b \) birim yukarı ötelendiğinde \( g(x) = (x - 4)^2 + 4 \) fonksiyonu elde edildiğine göre, \( a + b \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonuna dönüşümleri adım adım uygulayarak \( g(x) \) fonksiyonunu bulalım.
Aşağıdaki tabloda \( F \) her adımda bir önceki adımda elde edilen fonksiyonu temsil etmektedir.
| Dönüşüm | Elde Edilen Fonksiyon |
|---|---|
|
Yatay \( a \) birim sağa öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x - a) \) |
\( f(x - a) = (x - a + 4)^2 \) |
|
Düşey \( b \) birim yukarı öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x) + b \) |
\( f(x - a) + b = (x - a + 4)^2 + b \) |
Son adımda elde ettiğimiz ifade \( g(x) \) fonksiyonuna eşittir.
\( g(x) = (x - a + 4)^2 + b \)
\( = (x - 4)^2 + 4 \)
\( a = 8, \quad b = 4 \)
\( a + b = 12 \) bulunur.
\( f(x) = 9x^2 + 15x - b \) parabolü \( a \) birim sola ötelendiğinde \( g(x) = 9x^2 - 21x + 22 \) parabolü elde ediliyor.
Buna göre \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonunu \( a \) birim sola ötelemek için \( f(x) \longrightarrow f(x + a) \) dönüşümü uygulayalım.
\( f(x + a) = 9(x + a)^2 + 15(x + a) - b \)
\( = 9x^2 + 18ax + 9a^2 + 15x + 15a - b \)
\( = 9x^2 + (18a + 15)x + 9a^2 + 15a - b \)
Elde ettiğimiz ifade \( g(x) \) fonksiyonuna eşittir.
İki fonksiyonu eşitleyelim.
\( 9x^2 + (18a + 15)x + 9a^2 + 15a - b = 9x^2 - 21x + 22 \)
İki polinomun eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
\( x \)'li terimlerin katsayılarını birbirine eşitleyelim.
\( 18a + 15 = -21 \)
\( a = -2 \)
Sabit terimleri birbirine eşitleyelim.
\( 9a^2 + 15a - b = 22 \)
\( 9(-2)^2 + 15(-2) - b = 22 \)
\( b = -16 \)
\( a + b = -2 + (-16) = -18 \) bulunur.
\( f(x) = x^2 - 5x + 11 \) fonksiyonunun grafiği 3 birim sağa ve 5 birim aşağı ötelendiğinde elde edilen \( g(x) \) fonksiyonunun \( x \) eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonuna dönüşümleri adım adım uygulayarak \( g(x) \) fonksiyonunu bulalım.
Aşağıdaki tabloda \( F \) her adımda bir önceki adımda elde edilen fonksiyonu temsil etmektedir.
| Dönüşüm | Elde Edilen Fonksiyon |
|---|---|
|
Yatay \( 3 \) birim sağa öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x - 3) \) |
\( f(x - 3) = (x - 3)^2 - 5(x - 3) + 11 \) |
|
Düşey \( 5 \) birim aşağı öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x) - 5 \) |
\( f(x - a) - 5 = (x - 3)^2 - 5(x - 3) + 11 - 5 \) \( = (x - 3)^2 - 5(x - 3) + 6 \) |
Son adımda elde ettiğimiz ifade \( g(x) \) fonksiyonuna eşittir.
\( g(x) = (x - 3)^2 - 5(x - 3) + 6 \)
\( = x^2 - 6x + 9 - 5x + 15 + 6 \)
\( = x^2 - 11x + 30 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( = (x - 5)(x - 6) \)
Fonksiyon \( x \) eksenini ifadeyi sıfır yapan \( x = 5 \) ve \( x = 6 \) apsis değerli noktalarda keser.
\( 5 + 6 = 11 \) olarak bulunur.
\( f(x) = 3x^2 + 12x + 9 \) fonksiyonunun grafiği \( a \) birim yukarı ve 4 birim sola ötelenerek \( g(x) \) fonksiyonu elde ediliyor.
\( g(x) \) fonksiyonu \( A(-2, 57) \) noktasından geçtiğine göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonuna dönüşümleri adım adım uygulayarak \( g(x) \) fonksiyonunu bulalım.
Aşağıdaki tabloda \( F \) her adımda bir önceki adımda elde edilen fonksiyonu temsil etmektedir.
| Dönüşüm | Elde Edilen Fonksiyon |
|---|---|
|
Düşey \( a \) birim yukarı öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x) + a \) |
\( f(x) + a = 3x^2 + 12x + 9 + a \) |
|
Yatay \( 4 \) birim sola öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x + 4) \) |
\( f(x + 4) + a = 3(x + 4)^2 + 12(x + 4) + 9 + a \) |
Son adımda elde ettiğimiz ifade \( g(x) \) fonksiyonuna eşittir.
\( g(x) = 3(x + 4)^2 + 12(x + 4) + 9 + a \)
\( A \) noktası \( g(x) \) grafiği üzerinde olduğuna göre koordinatları fonksiyonu sağlar.
\( g(-2) = 3(-2 + 4)^2 + 12(-2 + 4) + 9 + a = 57 \)
\( 12 + 24 + 9 + a = 57 \)
\( a = 12 \) bulunur.
Yukarıda \( y = f(x) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre \( g(x) = f(x - 2) + f(x + 2) \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterGrafiği verilen fonksiyonun tanım kümesi \( [3, 9) \) aralığıdır.
\( f(x - 2) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun 2 birim sağa ötelenmiş halidir, dolayısıyla tanım kümesi \( [5, 11) \) aralığıdır.
\( f(x + 2) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun 2 birim sola ötelenmiş halidir, dolayısıyla tanım kümesi \( [1, 7) \) aralığıdır.
İki fonksiyonun toplamından oluşan fonksiyonun tanım kümesi, iki fonksiyonda da ortak olan \( x \) değerlerinin oluşturduğu kesişim kümesidir.
Buna göre \( g(x) \) fonksiyonunun tanım kümesi \( [1, 7) \cap [5, 11) = [5, 7) \) aralığıdır.
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
Orijinden geçen \( f(x) = (x - a)^2 - b \) parabolüne aşağıdaki dönüşümler uygulanarak dört parabol çiziliyor.
- \( f(x) \longrightarrow f(x + 2a) + 3b \)
- \( f(x) \longrightarrow f(x + 2a) - b \)
- \( f(x) \longrightarrow f(x - a) - b \)
- \( f(x) \longrightarrow f(x - a) + 3b \)
Bu parabollerin tepe noktalarını köşe kabul eden dikdörtgenin alanı 324 olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterDenklemi \( f(x) = (x - a)^2 - b \) şeklinde verilen bir parabolün tepe noktası \( T(a, -b) \) olur.
Buna göre \( f(x) \) parabolünün grafiği aşağıdaki gibi olur.
Soruda verilen düşey ve yatay öteleme dönüşümleri fonksiyonun tüm noktalarına aynı şekilde uygulanır.
Buna göre fonksiyona \( f(x) \longrightarrow f(x) + 3b \) dönüşümü uygulandığında tepe noktası \( 3b \) birim yukarı, \( f(x) \longrightarrow f(x) - b \) dönüşümü uygulandığında \( b \) birim aşağı ötelenir.
Benzer şekilde fonksiyona \( f(x) \longrightarrow f(x + 2a) \) dönüşümü uygulandığında tepe noktası \( 2a \) birim sola, \( f(x) \longrightarrow f(x - a) \) dönüşümü uygulandığında \( a \) birim sağa ötelenir.
Parabolün tepe noktasına bu dönüşümleri uyguladığımızda yukarıdaki şekildeki dikdörtgenin köşe noktalarını elde ederiz. Bu noktalar dönüşümler sonucunda elde edilen parabollerin tepe noktalarıdır.
Bu dikdörtgenin genişliği \( 3a \) birim, yüksekliği \( 4b \) birimdir.
Dikdörtgenin alanı 324 olarak verilmiştir.
\( 3a \cdot 4b = 324 \)
\( a \cdot b = 27 \)
\( f \) parabolü orijinden geçtiği için \( (0, 0) \) noktası parabol denklemini sağlar.
\( f(0) = (0 - a)^2 - b = 0 \)
\( a^2 = b \)
\( b \) değerini bulduğumuz eşitlikte yerine koyalım.
\( a \cdot b = a \cdot a^2 = 27 \)
Buna göre \( a = 3 \) bulunur.