Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Bir fonksiyonun artan veya azalan olması, \( x \) arttıkça fonksiyon değerlerinin hangi yönde değiştiğini ifade eder.
Artan Fonksiyon
Bir fonksiyonda belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri artıyorsa ya da sabit kalıyorsa (yani azalmıyorsa) fonksiyon bu aralıkta artan ya da azalmayan bir fonksiyondur. Fonksiyon değerleri bu aralıkta artabilir ya da sabit kalabilir, ancak azalamaz.
\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
Her \( x_1, x_2 \in (a, b) \subseteq A \) için,
\( x_1 \lt x_2 \) iken \( f(x_1) \le f(x_2) \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında artan (azalmayan) bir fonksiyondur.
Bir fonksiyonda belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri de artıyorsa fonksiyon bu aralıkta kesin artan bir fonksiyondur. Fonksiyon değerleri bu aralıkta azalamaz ya da sabit kalamaz.
\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
Her \( x_1, x_2 \in (a, b) \subseteq A \) için,
\( x_1 \lt x_2 \) iken \( f(x_1) \lt f(x_2) \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında kesin artan bir fonksiyondur.
Azalan Fonksiyon
Bir fonksiyonda belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri azalıyorsa ya da sabit kalıyorsa (yani artmıyorsa) fonksiyon bu aralıkta azalan ya da artmayan bir fonksiyondur. Fonksiyon değerleri bu aralıkta azalabilir ya da sabit kalabilir, ancak artamaz.
\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
Her \( x_1, x_2 \in (a, b) \subseteq A \) için,
\( x_1 \lt x_2 \) iken \( f(x_1) \ge f(x_2) \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında azalan (artmayan) bir fonksiyondur.
Bir fonksiyonda belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri de sürekli azalıyorsa fonksiyon bu aralıkta kesin azalan bir fonksiyondur. Fonksiyon değerleri bu aralıkta artamaz ya da sabit kalamaz.
\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
Her \( x_1, x_2 \in (a, b) \subseteq A \) için,
\( x_1 \lt x_2 \) iken \( f(x_1) \gt f(x_2) \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında kesin azalan bir fonksiyondur.
Yukarıdaki koşullar sağlandığı sürece, bir fonksiyonun bir noktada süreksiz veya türevsiz olması artan ya da azalan olmasına engel değildir. Örneğin aşağıdaki fonksiyon \( x = c \) noktasında süreksiz, \( x = d \) noktasında türevsiz olsa da \( (a, b) \) aralığında artandır.
Aşağıda grafiği verilen \( f(x) = x^3 \) fonksiyonunun \( x = 0 \) noktasındaki teğeti yatay, yani eğimi sıfır olsa da, fonksiyon tüm tanım kümesinde (aşağıda ispatını verdiğimiz üzere) kesin artandır.
Fonksiyon grafiği üzerinde apsis değerleri \( a \) ve \( b \) olan ve \( a \gt b \) koşulunu sağlayan iki nokta seçelim.
Her durumda \( a^3 - b^3 \gt 0 \) olduğunu gösterebilirsek bu fonksiyonun tüm tanım aralığında kesin artan olduğunu göstermiş oluruz.
Küp farkı özdeşliğini yazalım.
\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
\( a \gt b \) olduğu için her durumda \( a - b \gt 0 \) olur.
İkinci çarpanı aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( a^2 + ab + b^2 = \dfrac{1}{2}((a + b)^2 + a^2 + b^2) \)
Eşitliğin sağ tarafı üç kare ifadesinin toplamından oluştuğu için her zaman pozitif olur.
Buna göre \( a^3 - b^3 \) ifadesi iki pozitif sayının çarpımı şeklinde yazılabilir, dolayısıyla her zaman pozitiftir.
\( a^3 - b^3 = \underbrace{(a - b)}_{(+)}\underbrace{(a^2 + ab + b^2)}_{(+)} \)
\( a^3 - b^3 \gt 0 \)
Monoton Fonksiyon
Yukarıda verdiğimiz terimler bir fonksiyonun tüm tanım kümesinde olduğu gibi belirli bir aralıktaki davranışını tanımlamak için de kullanılabilir. Buna göre bir fonksiyon belirli bir aralıkta artan, diğer bir aralıkta azalan, üçüncü bir aralıkta sabit olabilir.
Bir fonksiyon tüm tanım kümesinde artan veya azalan ise bu fonksiyona monoton fonksiyon denir. Fonksiyon tüm tanım kümesinde artan ise monoton artan, azalan ise monoton azalan olarak adlandırılır. Benzer şekilde, fonksiyon tüm tanım kümesinde kesin artan ise kesin monoton artan, kesin azalan ise kesin monoton azalan olarak adlandırılır.
Kesin monoton fonksiyonlar herhangi iki \( x \) değerinin görüntüsü aynı olamayacağı için aynı zamanda birebir fonksiyonlardır.
Temel Fonksiyonlarda Artan/Azalan Aralıklar
Temel bazı fonksiyonların artan/azalan oldukları aralıklar aşağıda verilmiştir.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Doğrusal Fonksiyon \( m \gt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = mx + c \) Tüm reel sayılarda artan |
|
Doğrusal Fonksiyon \( m \lt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = mx + c \) Tüm reel sayılarda azalan |
|
Parabol \( a \gt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^2 + bx + c \) \( (-\infty, r) \) aralığında azalan \( (r, \infty) \) aralığında artan |
|
Parabol \( a \lt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^2 + bx + c \) \( (-\infty, r) \) aralığında artan \( (r, \infty) \) aralığında azalan |
|
3. Dereceden Polinom Fonksiyonu \( a \gt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^3 \) Tüm reel sayılarda artan |
|
3. Dereceden Polinom Fonksiyonu \( a \lt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^3 \) Tüm reel sayılarda azalan |
|
Sinüs Fonksiyonu \( f(x) = \sin{x} \) Bir tam periyot içinde: \( (0, \frac{\pi}{2}) \) aralığında artan \( (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \) aralığında azalan \( (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \) aralığında artan |
|
Kosinüs Fonksiyonu \( f(x) = \cos{x} \) Bir tam periyot içinde: \( (0, \pi) \) aralığında azalan \( (\pi, 2\pi) \) aralığında artan |
|
Tanjant Fonksiyonu \( f(x) = \tan{x} \) Bir tam periyot içinde: \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) aralığında artan |
|
Kotanjant Fonksiyonu \( f(x) = \cot{x} \) Bir tam periyot içinde: \( (0, \pi) \) aralığında azalan |
|
Üstel Fonksiyon \( a \gt 1 \) olmak üzere, \( f(x) = a^x \) Tüm reel sayılarda artan |
|
Üstel Fonksiyon \( 0 \lt a \lt 1 \) olmak üzere, \( f(x) = a^x \) Tüm reel sayılarda azalan |
|
Logaritma Fonksiyonu \( a \gt 1 \) olmak üzere, \( f(x) = \log_a{x} \) Pozitif reel sayılarda artan |
|
Logaritma Fonksiyonu \( 0 \lt a \lt 1 \) olmak üzere, \( f(x) = \log_a{x} \) Pozitif reel sayılarda azalan |
Artan ve Azalan Fonksiyonlar Arası İşlemler
Artan ve azalan fonksiyonlar arasındaki işlemler sonucunda oluşan fonksiyonların artan ya da azalan olma durumları aşağıdaki gibidir.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları \( (a, b) \) aralığında artan fonksiyonlar olmak üzere,
- \( f + g \) fonksiyonu da aynı aralıkta artan fonksiyondur.
- \( -f \) fonksiyonu aynı aralıkta azalan fonksiyondur.
- Belirtilen aralıkta \( f(x) \gt 0 \) olmak üzere, \( \frac{1}{f} \) fonksiyonu aynı aralıkta azalan fonksiyondur.
- Belirtilen aralıkta \( f(x) \gt 0 \) ve \( g(x) \gt 0 \) olmak koşuluyla, \( f \cdot g \) fonksiyonu aynı aralıkta artan fonksiyondur.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının azalan olması durumunda yukarıdaki işlem sonuçları artan yerine azalan, azalan yerine artan olur.
\( f − g \) ve \( \frac{f}{g} \) fonksiyonları için yalnızca \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının artan veya azalan olması, sonucun monotonluğunu belirlemek için genellikle yeterli değildir.
\( f(x) = (k - 4)x + 5 \) fonksiyonunun kesin azalan olması için \( k \)'nın alabileceği en büyük tam sayı değer kaçtır?
Çözümü GösterDoğrusal bir fonksiyonun kesin azalan olması için doğrunun eğimi negatif olmalıdır.
Doğrunun açık denkleminde \( x \) katsayısı eğimi verir.
\( k - 4 \lt 0 \)
\( k \lt 4 \)
\( k \)'nın alabileceği en büyük tam sayı değer 3 olarak bulunur.
\( f \) kesin azalan bir fonksiyondur.
\( f(a + 2) = 4, f(a - 3) = 8, f(2a - 8) = 6 \)
olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği kaç farklı tam sayı değer vardır?
Çözümü GösterBir fonksiyonun bir aralıkta kesin azalan olabilmesi için fonksiyon değerleri bu aralıkta artamaz ya da sabit kalamaz.
\( f \) kesin azalan bir fonksiyon ve \( 8 \gt 6 \gt 4 \) olduğuna göre, verilen noktaların apsisleri arasındaki ilişki aşağıdaki gibi olmalıdır.
\( a - 3 \lt 2a - 8 \lt a + 2 \)
Eşitsizliğin taraflarından \( a \) çıkaralım.
\( -3 \lt a - 8 \lt 2 \)
Eşitsizliğin taraflarına 8 ekleyelim.
\( 5 \lt a \lt 10 \)
\( a \)'nın bu aralıkta alabileceği 4 tam sayı değeri vardır.
Aşağıdaki fonksiyonların artan oldukları en geniş aralıklar sırasıyla \( A, B, C \) olsun. Buna göre bu aralıklar arasındaki kapsama ilişkisi nedir?
I. \( f(x) = x^2 - 4x \)
II. \( g(x) = x^3 \)
III. \( h(x) = \sqrt{x} \)
Çözümü GösterI. öncül:
\( f(x) = x^2 - 4x \)
\( f \) parabolünün tepe noktasının apsisi \( x = 2 \)'dir.
Parabolün başkatsayısı pozitif olduğu için artan olduğu en geniş aralık \( [2, \infty) \) olur.
II. öncül:
\( g(x) = x^3 \)
\( x^3 \) fonksiyonu tüm reel sayılarda artandır.
III. öncül:
\( h(x) = \sqrt{x} \)
Karekök fonksiyonu tanımlı olduğu en geniş aralık olan \( [0, \infty) \) aralığında artandır.
Buna göre üç fonksiyonun artan oldukları en geniş aralıklar arasındaki kapsama ilişkisi aşağıdaki gibidir.
\( A \subset C \subset B \)
\( f(x) = (k^2 - 1)x^2 - 2kx + k + 4 \) fonksiyonu tüm reel sayılarda artan olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü Gösterİkinci dereceden polinomların (parabol) tepe noktasının iki tarafında artan/azalan olma durumları birbirinden farklıdır, dolayısıyla bir parabol tüm reel sayılarda artan ya da azalan olamaz.
Buna göre \( x^2 \)'li terimin katsayısı sıfır olmalıdır.
\( k^2 - 1 = 0 \)
\( k = \pm 1 \)
\( k = 1 \) için fonksiyon tanımını yazalım.
\( f(x) = -2x + 5 \)
Bu doğrusal fonksiyonun eğimi negatif olduğu için grafiği tüm reel sayılarda azalandır.
\( k = -1 \) için fonksiyon tanımını yazalım.
\( f(x) = 2x + 3 \)
Bu doğrusal fonksiyonun eğimi pozitif olduğu için grafiği tüm reel sayılarda artandır.
\( k = -1 \) olarak bulunur.
\( f \) kesin artan ve \( g \) kesin azalan fonksiyonlar olmak üzere,
\( f(2) = b + f(-1) \)
\( g(0) = g(3) - a \)
olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( f(a) \lt f(b) \)
II. \( g(a) \gt g(b) \)
III. \( f(g(a)) \gt f(g(b)) \)
Çözümü Göster\( f \) kesin artan olduğu için \( f(-1) \lt f(2) \) olur, dolayısıyla \( b \) pozitiftir.
\( g \) kesin azalan olduğu için \( g(0) \gt g(3) \) olur, dolayısıyla \( a \) negatiftir.
Bu bilgileri kullanarak verilen öncülleri inceleyelim.
I. öncül:
\( f(a) \lt f(b) \)
\( a \lt b \) ve \( f \) kesin artan olduğu için bu öncül doğrudur.
II. öncül:
\( g(a) \gt g(b) \)
\( a \lt b \) ve \( g \) kesin azalan olduğu için bu öncül doğrudur.
III. öncül:
\( f(g(a)) \gt f(g(b)) \)
\( g(a) \gt g(b) \) ve \( f \) kesin artan olduğu için bu öncül doğrudur.
Buna göre üç öncül de doğrudur.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangilerinde \( x \)'in her 1 birim artışında \( f(x) \) değeri %20 azalır?
I. \( f(x) = -(0,8)x \)
II. \( f(x) = -(0,2)^x \)
III. \( f(x) = (0,8)^x \)
IV. \( f(x) = x^{0,8} \)
Çözümü GösterBir fonksiyonun değeri \( x \)'in her 1 birim artışında %20 azalıyorsa \( \frac{f(a + 1)}{f(a)} \) oranı her \( a \) için \( 1- \frac{20}{100} = 0,8 \) olmalıdır.
Tüm seçenekler için bu oranı bulalım.
I. öncül:
\( f(x) = -(0,8)x \)
\( \dfrac{f(a + 1)}{f(a)} = \dfrac{-(0,8)(a + 1)}{-(0,8)a} \)
\( = \dfrac{a + 1}{a} \)
\( a \)'nın her 1 birim artışında \( f(a) \) farklı oranlarda değişir.
II. öncül:
\( f(x) = -(0,2)^x \)
\( \dfrac{f(a + 1)}{f(a)} = \dfrac{-(0,2)^{a+1}}{-(0,2)^a} \)
\( = \dfrac{(0,2)^a \cdot 0,2}{(0,2)^a} \)
\( = 0,2 \)
III. öncül:
\( f(x) = (0,8)^x \)
\( \dfrac{f(a + 1)}{f(a)} = \dfrac{(0,8)^{a+1}}{(0,8)^a} \)
\( = \dfrac{(0,8)^a \cdot 0,8}{(0,8)^a} \)
\( = 0,8 \)
IV. öncül:
\( f(x) = x^{0,8} \)
\( \dfrac{f(a + 1)}{f(a)} = \dfrac{(a + 1)^{0,8}}{a^{0,8}} \)
\( = \left( \dfrac{a + 1}{a} \right)^{0,8} \)
\( a \)'nın her 1 birim artışında \( f(a) \) farklı oranlarda değişir.
Buna göre sadece III. öncüldeki fonksiyonun değeri \( x \)'in her 1 birim artışında %20 azalır.
\( f(x) = 3^x - 5 \) olduğuna göre, aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri tüm tanım aralığında artandır?
I. \( -f(x) \)
II. \( f(-x) \)
III. \( -f(-x) \)
Çözümü GösterTabanı 1'den büyük olan üstel fonksiyonlar tüm reel sayılarda artandır. Fonksiyon 5 birim aşağı ötelendiğinde yine artan olur.
I. öncül: \( -f(x) \)
\( -f(x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \) eksenine göre yansımasıdır, dolayısıyla artan fonksiyon azalan fonksiyona dönüşür.
II. öncül: \( f(-x) \)
\( f(-x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( y \) eksenine göre yansımasıdır, dolayısıyla artan fonksiyon azalan fonksiyona dönüşür.
III. öncül: \( -f(-x) \)
\( -f(-x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun hem \( x \) hem de \( y \) eksenine göre yansımasıdır, dolayısıyla artan fonksiyon yine artan olur.
Buna göre sadece III. önermedeki fonksiyon artandır.
\( n, m, t \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
Pozitif reel sayılarda tanımlı monoton \( f, g, h \) fonksiyonlarıyla ilgili aşağıdaki önermeler veriliyor.
\( p: f(x) = n^x \) fonksiyonu azalandır.
\( q: g(x) = \log_t{x} \) fonksiyonu azalandır.
\( r: h(x) = mx + n \) fonksiyonu artandır.
\( (p \lor r)' \Rightarrow q' \equiv 0 \) olduğuna göre, \( n, m, t \) sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayın.
Çözümü Göster\( (p \lor r)' \Rightarrow q' \) bileşik önermesi yalnız birinci önerme doğru, ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur.
\( (p \lor r)' \equiv 1, \quad q' \equiv 0 \)
\( p \lor r \equiv 0 \)
\( p \equiv 0, \quad r \equiv 0 \)
\( q \equiv 1 \)
Buna göre \( p \) ve \( r \) önermeleri yanlış, \( q \) önermesi doğrudur.
\( p \) önermesi yanlış olduğuna göre, monoton \( f \) fonksiyonu azalan değildir, dolayısıyla artandır ve \( n \gt 1 \) olmalıdır.
\( q \) önermesi doğru olduğuna göre, monoton \( g \) fonksiyonu azalandır, dolayısıyla \( 0 \lt t \lt 1 \) olmalıdır.
\( r \) önermesi yanlış olduğuna göre, monoton \( h \) fonksiyonu artan değildir, dolayısıyla azalandır ve \( m \lt 0 \) olmalıdır.
Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.
\( m \lt t \lt n \)