Daralma/genişleme, bir fonksiyonun grafiğindeki her noktanın ilgili eksene olan uzaklığının sabit bir çarpanla ölçeklenmesidir.
\( a \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( f(x) \longrightarrow a \cdot f(x) \)
Bir fonksiyonun çıktısı \( a \) ile çarpıldığında grafik üzerindeki her noktanın \( x \) eksenine uzaklığı \( a \) çarpanı ile ölçeklenir. \( a \gt 1 \) ise bu uzaklık artar (düşey genişleme), \( 0 \lt a \lt 1 \) ise azalır (düşey daralma). Bunun sebebi, her \( x \) değeri için \( y \) değerinin \( a \) ile çarpılmasıdır.
\( y = 0 \) değeri \( a \) ile çarpıldığında yine \( 0 \) olduğundan, \( x \) ekseni üzerindeki noktalar (grafiğin kökleri) yerinde kalır ve bu dönüşümden etkilenmez.
\( -a \cdot f(x) \) ifadesi iki farklı dönüşümün bileşkesi olarak düşünülebilir. Pozitif \( a \) çarpanı için düşey daralma/genişleme dönüşümü uygulanırken \( -1 \) çarpanı için bir sonraki bölümde ele alınacak düşey yansıma dönüşümü uygulanır.
\( b \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( f(x) \longrightarrow f(bx) \)
Bir fonksiyonun girdisi \( b \) ile çarpıldığında grafik üzerindeki her noktanın \( y \) eksenine uzaklığı \( \frac{1}{b} \) çarpanı ile ölçeklenir. \( b \gt 1 \) ise bu uzaklık azalır (yatay daralma), \( 0 \lt b \lt 1 \) ise artar (yatay genişleme). Bunun sebebi, aynı \( y \) değerine ulaşmak için gereken \( x \) değerinin \( b \)'ye bölünmesidir.
\( x = 0 \) değeri \( b \) ile çarpıldığında yine \( 0 \) olduğundan, \( y \) ekseni üzerindeki noktalar yerinde kalır ve bu dönüşümden etkilenmez.
\( f(-bx) \) ifadesi iki farklı dönüşümün bileşkesi olarak düşünülebilir. Pozitif \( b \) çarpanı için yatay daralma/genişleme dönüşümü uygulanırken \( -1 \) çarpanı için bir sonraki bölümde ele alınacak yatay yansıma dönüşümü uygulanır.
Aşağıdaki örnekte \( f(x) = x^2 \) fonksiyonuna uygulanan düşey genişleme ve yatay daralma dönüşümlerinin fonksiyon değerlerine olan etkisi görülebilir.
| \( x \) | \( f(x) = x^2 \) | \( 2f(x) \) | \( f(2x) \) |
|---|---|---|---|
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 2 \) | \( 4 \) |
| \( 2 \) | \( 4 \) | \( 8 \) | \( 16 \) |
| \( 3 \) | \( 9 \) | \( 18 \) | \( 36 \) |
| \( 4 \) | \( 16 \) | \( 32 \) | \( 64 \) |
| \( 5 \) | \( 25 \) | \( 50 \) | \( 100 \) |
| \( 6 \) | \( 36 \) | \( 72 \) | \( 144 \) |
| \( 7 \) | \( 49 \) | \( 98 \) | \( 196 \) |
| \( 8 \) | \( 64 \) | \( 128 \) | \( 256 \) |
Bu tablodan aşağıdaki iki çıkarım yapılabilir.
Örnek olarak, aşağıdaki fonksiyonların her birine 2. sütundaki düşey genişleme uygulandığında grafik üzerindeki noktaların \( x \) eksenine uzaklığı 3 katına çıkar, 3. sütundaki yatay daralma uygulandığında ise noktaların \( y \) eksenine uzaklığı üçte birine iner.
| Fonksiyon | Düşey Genişleme | Yatay Daralma |
|---|---|---|
| \( f(x) = x + 1 \) | \( 3f(x) = 3(x + 1) \) | \( f(3x) = 3x + 1 \) |
| \( f(x) = x^2 \) | \( 3f(x) = 3x^2 \) | \( f(3x) = (3x)^2 \) |
| \( f(x) = \sqrt{x} \) | \( 3f(x) = 3\sqrt{x} \) | \( f(3x) = \sqrt{3x} \) |
| \( f(x) = \sin{x} \) | \( 3f(x) = 3\sin{x} \) | \( f(3x) = \sin(3x) \) |
| \( f(x) = 2^x \) | \( 3f(x) = 3 \cdot 2^x \) | \( f(3x) = 2^{3x} \) |
| \( f(x) = \log{x} \) | \( 3f(x) = 3\log{x} \) | \( f(3x) = \log(3x) \) |
| \( f(x) = \abs{x} \) | \( 3f(x) = 3\abs{x} \) | \( f(3x) = \abs{3x} \) |