Yansıma
Yansıma, bir fonksiyonun grafiğindeki her noktanın belirli bir doğruya göre simetrik konuma taşınmasıyla elde edilen dönüşümdür. Bu bölümde \( x \) ve \( y \) eksenlerine göre yansımaları ele alacağız.
Düşey Yansıma
\( f(x) \longrightarrow -f(x) \)
Fonksiyonun çıktısı \( -1 \) ile çarpıldığında grafik üzerindeki her noktanın \( x \) eksenine göre yansıması alınır. Bunun sebebi, her \( x \) değeri için \( y \) değerinin işaret değiştirerek \( -y \) değerine dönüşmesidir.
\( y = 0 \) değeri \( -1 \) ile çarpıldığında yine \( 0 \) olduğundan, \( x \) ekseni üzerindeki noktalar (grafiğin kökleri) yerinde kalır ve bu dönüşümden etkilenmez.
Yatay Yansıma
\( f(x) \longrightarrow f(-x) \)
Fonksiyonun girdisi \( -1 \) ile çarpıldığında grafik üzerindeki her noktanın \( y \) eksenine göre yansıması alınır. Bunun sebebi, aynı \( y \) değerine ulaşmak için gereken \( x \) değerinin işaret değiştirerek \( -x \) değerine dönüşmesidir.
\( x = 0 \) değeri \( -1 \) ile çarpıldığında yine \( 0 \) olduğundan, \( y \) ekseni üzerindeki noktalar yerinde kalır ve bu dönüşümden etkilenmez.
Örnek olarak, aşağıdaki fonksiyonların her birine 2. sütundaki düşey yansıma uygulandığında grafik üzerindeki noktaların \( x \) eksenine göre, 3. sütundaki yatay yansıma uygulandığında ise noktaların \( y \) eksenine göre yansımaları alınır.
| Fonksiyon | Düşey Yansıma | Yatay Yansıma |
|---|---|---|
| \( f(x) = x + 1 \) | \( -f(x) = -(x + 1) \) | \( f(-x) = -x + 1 \) |
| \( f(x) = x^2 \) | \( -f(x) = -x^2 \) | \( f(-x) = (-x)^2 = x^2 \) |
| \( f(x) = \sqrt[3]{x} \) | \( -f(x) = -\sqrt[3]{x} \) | \( f(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} \) |
| \( f(x) = \sin{x} \) | \( -f(x) = -\sin{x} \) | \( f(-x) = \sin(-x) = -\sin{x} \) |
| \( f(x) = 2^x \) | \( -f(x) = -2^x \) | \( f(-x) = 2^{-x} \) |
| \( f(x) = \log{x} \) | \( -f(x) = -\log{x} \) | \( f(-x) = \log(-x), \quad x \lt 0 \) |
| \( f(x) = \abs{x} \) | \( -f(x) = -\abs{x} \) | \( f(-x) = \abs{-x} = \abs{x} \) |
\( f(x) = 2 - e^{3x + 4} \) fonksiyonu önce 3 birim sağa öteleniyor, daha sonra \( x \) eksenine göre yansıması alınıp 5 birim yukarı öteleniyor.
Bu dönüşümler sonucunda elde edilen \( g(x) \) fonksiyonunun denklemi nedir?
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonuna dönüşümleri adım adım uygulayarak \( g(x) \) fonksiyonunu bulalım.
Aşağıdaki tabloda \( F \) her adımda bir önceki adımda elde edilen fonksiyonu temsil etmektedir.
| Dönüşüm | Elde Edilen Fonksiyon |
|---|---|
|
Yatay \( 3 \) birim sağa öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x - 3) \) |
\( f(x - 3) = 2 - e^{3(x - 3) + 4} \) |
|
Düşey (\( x \) eksenine göre) yansıma \( F(x) \longrightarrow -F(x) \) |
\( -f(x - 3) = -(2 - e^{3x - 5}) \) \( = e^{3x - 5} - 2 \) |
|
Düşey \( 5 \) birim yukarı öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x) + 5 \) |
\( -f(x - 3) + 5 = e^{3x - 5} - 2 + 5 \) \( = e^{3x - 5} + 3 \) |
Son adımda elde ettiğimiz ifade \( g(x) \) fonksiyonuna eşittir.
\( g(x) = e^{3x - 5} + 3 \)
\( f(x) = -x^2 - 6 \) fonksiyonuna sırayla aşağıdaki dönüşümler uygulanıyor.
- 3 birim sağa öteleme
- 2 birim aşağı öteleme
- \( y \) eksenine göre yansıma
- \( x \) eksenine göre yansıma
Buna göre elde edilen \( g(x) \) fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonuna dönüşümleri adım adım uygulayarak \( g(x) \) fonksiyonunu bulalım.
Aşağıdaki tabloda \( F \) her adımda bir önceki adımda elde edilen fonksiyonu temsil etmektedir.
| Dönüşüm | Elde Edilen Fonksiyon |
|---|---|
|
Yatay \( 3 \) birim sağa öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x - 3) \) |
\( f(x - 3) = -(x - 3)^2 - 6 \) |
|
Düşey \( 2 \) birim aşağı öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x) - 2 \) |
\( f(x - 3) - 2 = -(x - 3)^2 - 6 - 2 \) \( = -(x - 3)^2 - 8 \) |
|
Yatay (\( y \) eksenine göre) yansıma \( F(x) \longrightarrow F(-x) \) |
\( f(-x - 3) - 2 = -(-x - 3)^2 - 8 \) |
|
Düşey (\( x \) eksenine göre) yansıma \( F(x) \longrightarrow -F(x) \) |
\( -(f(-x - 3) - 2) = -(-(-x - 3)^2 - 8) \) \( -f(-x - 3) + 2 = (-x - 3)^2 + 8 \) \( = (x + 3)^2 + 8 \) |
Son adımda elde ettiğimiz ifade \( g(x) \) fonksiyonuna eşittir.
\( g(x) = (x + 3)^2 + 8 \)
\( g(x) \) fonksiyonu başkatsayısı pozitif olan bir parabol için en küçük değerini tepe noktasında alır.
\( (x - r)^2 + k \) formundaki parabolün tepe noktasının koordinatları \( T(r, k) \) olur.
Buna göre elde edilen fonksiyonun en küçük değeri 8 olur.
Bir kağıda önce \( f(x) = x^2 - 2x - 8 \) parabolü, daha sonra \( f(x - 4) \) ve \( f(-2x) \) parabolleri çiziliyor.
Son çizilen iki parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalar arasındaki en büyük uzaklık kaç birimdir?
Çözümü GösterFonksiyonu çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = (x + 2)(x - 4) \)
Buna göre \( f \) fonksiyonu \( x \) eksenini \( x = -2 \) ve \( x = 4 \) noktalarında keser.
\( f(x - 4) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun 4 birim sağa ötelenmesi ile elde edilir, dolayısıyla fonksiyonun \( x \) eksenini kestiği noktaların apsis değerleri 4 birim artar.
Buna göre \( f(x - 4) \) fonksiyonu \( x \) eksenini \( x = 2 \) ve \( x = 8 \) noktalarında keser.
\( f(2x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonu üzerindeki tüm noktaların apsis değerlerinin \( \frac{1}{2} \) ile çarpılması ile elde edilir.
Buna göre \( f(2x) \) fonksiyonu \( x \) eksenini \( x = -1 \) ve \( x = 2 \) noktalarında keser.
\( f(-2x) \) fonksiyonu \( f(2x) \) fonksiyonunun \( y \) eksenine göre yansımasının alınması ile elde edilir, dolayısıyla fonksiyonun \( x \) eksenini kestiği noktaların apsis değerlerinin ters işaretlileri alınır.
Buna göre \( f(-2x) \) fonksiyonu \( x \) eksenini \( x = 1 \) ve \( x = -2 \) noktalarında keser.
\( f(x - 4) \) fonksiyonunun \( x \) eksenini kestiği \( x = 2 \) ve \( x = 8 \) noktaları ile \( f(-2x) \) fonksiyonunun \( x \) eksenini kestiği \( x = 1 \) ve \( x = -2 \) noktaları arasındaki en büyük uzaklık \( \abs{8 - (-2)} = 10 \) birim olur.
Sorudaki üç fonksiyonun grafikleri aşağıda verilmiştir.
\( f(x) = 3^x - 5 \) olduğuna göre, aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri tüm tanım aralığında artandır?
I. \( -f(x) \)
II. \( f(-x) \)
III. \( -f(-x) \)
Çözümü GösterTabanı 1'den büyük olan üstel fonksiyonlar tüm reel sayılarda artandır. Fonksiyon 5 birim aşağı ötelendiğinde yine artan olur.
I. öncül: \( -f(x) \)
\( -f(x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \) eksenine göre yansımasıdır, dolayısıyla artan fonksiyon azalan fonksiyona dönüşür.
II. öncül: \( f(-x) \)
\( f(-x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( y \) eksenine göre yansımasıdır, dolayısıyla artan fonksiyon azalan fonksiyona dönüşür.
III. öncül: \( -f(-x) \)
\( -f(-x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun hem \( x \) hem de \( y \) eksenine göre yansımasıdır, dolayısıyla artan fonksiyon yine artan olur.
Buna göre sadece III. önermedeki fonksiyon artandır.