Yansıma

Yansıma, bir fonksiyonun grafiğinin bir nokta, eksen ya da doğruya göre eşit uzaklıktaki ayna görüntüsüdür.

Eksenlere ve Orijine Göre Yansıma

Fonksiyonun çıktısı \( -1 \) ile çarpıldığında grafiğin \( x \) eksenine göre yansıması oluşur. Bunun sebebi, fonksiyonun bu değişiklik sonucunda aynı \( x \) değeri için ters işaretli \( y \) değeri üretmesidir.

Fonksiyonun girdisi \( -1 \) ile çarpıldığında grafiğin \( y \) eksenine göre yansıması oluşur. Bunun sebebi, fonksiyonun bu değişiklik sonucunda aynı \( y \) değerini ters işaretli \( x \) değeri ile üretmesidir.

Fonksiyonun hem çıktısı hem de girdisi \( -1 \) ile çarpıldığında grafiğin orijine göre yansıması oluşur. Bunun sebebi, fonksiyonun bu değişiklik sonucunda ters işaretli \( x \) değeri ile ters işaretli \( y \) değeri üretmesidir.

Bu üç dönüşümün grafikleri aşağıdaki şekilde verilmiştir.

Eksenlere ve orijine göre yansıma
Eksenlere ve orijine göre yansıma

Açıortay Doğrularına Göre Simetri

Fonksiyon denkleminde \( x \) değişkenleri \( y \) ile, \( y \) değişkenleri de \( x \) ile yer değiştirirse grafiğin \( y = x \) doğrusuna göre yansıması oluşur.

Fonksiyon denkleminde \( x \) değişkenleri \( -y \) ile, \( y \) değişkenleri de \( -x \) ile yer değiştirirse grafiğin \( y = -x \) doğrusuna göre yansıması oluşur.

Bu iki dönüşümün grafikleri aşağıdaki şekilde verilmiştir.

Açıortay doğrularına göre yansıma
Açıortay doğrularına göre yansıma

Aşağıda verilen fonksiyonlara 2. sütunda uygulanan dikey dönüşüm sonucunda grafiğin \( x \) eksenine göre, 3. sütunda uygulanan yatay dönüşüm sonucunda da \( y \) eksenine göre yansıması oluşur.

Fonksiyon Dikey Dönüşüm Yatay Dönüşüm
\( f(x) = x + 1 \) \( -f(x) = -(x + 1) \) \( f(-x) = -x + 1 \)
\( f(x) = x^2 \) \( -f(x) = -x^2 \) \( f(-x) = (-x)^2 = x^2 \)
\( f(x) = \sqrt[3]{x} \) \( -f(x) = -\sqrt[3]{x} \) \( f(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} \)
\( f(x) = \sin{x} \) \( -f(x) = -\sin{x} \) \( f(-x) = \sin(-x) = -\sin{x} \)
\( f(x) = 2^x \) \( -f(x) = -2^x \) \( f(-x) = 2^{-x} = (\frac{1}{2})^x \)
\( f(x) = \log{x} \) \( -f(x) = -\log{x} \) \( f(-x) = \log(-x) \)
\( f(x) = \abs{x} \) \( -f(x) = -\abs{x} \) \( f(-x) = \abs{-x} = \abs{x} \)
SORU 1 :

\( f(x) = -x^2 - 6 \) fonksiyonuna sırayla aşağıdaki dönüşümler uygulanıyor.

  • 3 birim sağa öteleme
  • 2 birim aşağı öteleme
  • \( y \) eksenine göre yansıma
  • \( x \) eksenine göre yansıma

Buna göre elde edilen fonksiyonun en küçük değeri kaç olur?

Fonksiyonu 3 birim sağa ötelemek için fonksiyonun girdisinden 3 çıkarılır.

\( f(x) \longmapsto f(x - 3) \)

\( f(x - 3) = -(x - 3)^2 - 6 \)

Fonksiyonun 2 birim aşağı ötelemek için fonksiyonun çıktısından 2 çıkarılır.

\( f(x - 3) \longmapsto f(x - 3) - 2 \)

\( f(x - 3) - 2 = -(x - 3)^2 - 6 - 2 \)

\( = -(x - 3)^2 - 8 \)

Fonksiyonun \( y \) eksenine göre yansımasını almak için fonksiyonun girdisinde \( x \) yerine \( -x \) yazılır.

\( f(x - 3) - 2 \longmapsto f(-x - 3) - 2 \)

\( f(-x - 3) - 2 = -(-x - 3)^2 - 8 \)

Fonksiyonun \( x \) eksenine göre yansımasını almak için fonksiyonun çıktısı \( -1 \) ile çarpılır.

\( f(-x - 3) - 2 \longmapsto -(f(-x - 3) - 2) \)

\( -(f(-x - 3) - 2) = -(-(-x - 3)^2 - 8) \)

\( -f(-x - 3) + 2 = (-x - 3)^2 + 8 \)

\( = x^2 + 6x + 17 \)

Bir parabol olan fonksiyon en küçük değerini tepe noktasında alır.

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2} = -3 \)

\( k = f(-3) \)

\( = (-3)^2 + 6(-3) + 17 = 8 \) bulunur.

SORU 2 :

\( f(x) = 2x - 7 \) fonksiyonunun orijine göre yansıması önce 5 birim sola, sonra 7 birim yukarı öteleniyor.

Elde edilen fonksiyonun denklemini bulunuz.

Bir fonksiyonun orijine göre yansımasını almak için girdisi ve çıktısı \( -1 \) ile çarpılır.

\( f(x) \longmapsto -f(-x) \)

\( -f(-x) = -(2(-x) - 7) \)

\( = 2x + 7 \)

Fonksiyonu 5 birim sola ötelemek için \( x \) yerine \( x + 5 \) yazılır.

\( -f(-x) \longmapsto -f(-(x + 5)) \)

\( -f(-(x + 5)) = 2(x + 5) + 7 = 2x + 17 \)

Fonksiyonu 7 birim yukarı ötelemek için fonksiyonun çıktısına 7 eklenir.

\( -f(-(x + 5)) \longmapsto -f(-(x + 5)) + 7 \)

\( -f(-(x + 5)) + 7 = 2x + 17 + 7 = 2x + 24 \)

SORU 3 :
Soru

Analitik düzlemde verilen \( ABC \) dik üçgeni önce 3 birim sağa, sonra 2 birim aşağı ötelendikten sonra \( y = x \) doğrusuna göre yansıması alınıyor.

Yeni üçgenin köşe koordinatlarının ordinatları toplamı kaçtır?

\( ABC \) üçgenine uygulanan tüm dönüşümler üçgenin köşelerine aynı şekilde yansır.

Dönüşüm 1: 3 birim sağa öteleme

Üçgen 3 birim sağa ötelendiğinde üçgenin köşelerinin koordinatları aşağıdaki gibi olur.

\( A(2, 1) \longmapsto (5, 1) \)

\( B(6, 1) \longmapsto (9, 1) \)

\( C(2, 4) \longmapsto (5, 4) \)

Dönüşüm 2: 2 birim aşağı öteleme

Üçgen 2 birim aşağı ötelendiğinde üçgenin köşelerinin koordinatları aşağıdaki gibi olur.

\( (5, 1) \longmapsto (5, -1) \)

\( (9, 1) \longmapsto (9, -1) \)

\( (5, 4) \longmapsto (5, 2) \)

Dönüşüm 3: \( y = x \) doğrusuna göre yansıma

Bir noktanın \( y = x \) doğrusuna göre yansıması alındığında \( x \) ve \( y \) değerleri aralarında yer değiştirir.

\( (5, -1) \longmapsto (-1, 5) \)

\( (9, -1) \longmapsto (-1, 9) \)

\( (5, 2) \longmapsto (2, 5) \)

Buna göre oluşan üçgenin köşe koordinatlarının ordinatları toplamı \( 5 + 9 + 5 = 19 \) olarak bulunur.

SORU 4 :

\( f(x) = x^3 + n \) fonksiyonunun önce \( x \) eksenine göre yansıması alınıyor, sonra 4 birim yukarı ve 3 birim sağa öteleniyor.

Son durumda \( A(-3, 215) \) noktası grafiğin üzerinde olduğuna göre \( n \) kaçtır?

Bir fonksiyonun grafiğinin \( x \) eksenine göre yansımasını almak için fonksiyonun çıktısı -1 ile çarpılır.

\( f(x) \longmapsto -f(x) \)

\( -f(x) = -(x^3 + n) = -x^3 - n \)

Bir fonksiyonun grafiğini 4 birim yukarı ötelemek için çıktısına 4 eklenir.

\( -f(x) \longmapsto -f(x) + 4 \)

\( -f(x) + 4 = -x^3 - n + 4 \)

Bir fonksiyonun grafiğini 3 birim sağa ötelemek için girdisinden 3 çıkarılır.

\( -f(x) + 4 \longmapsto -f(x - 3) + 4 \)

\( -f(x - 3) + 4 = -(x - 3)^3 - n + 4 \)

\( A(-3, 215) \) noktası bu fonksiyonun grafiği üzerinde olduğuna göre bu denklemi sağlamalıdır.

\( -(-3 - 3)^3 - n + 4 = 215 \)

\( 216 - n + 4 = 215 \)

\( n = 5 \) bulunur.

SORU 5 :

\( f(x) = 3^x - 5 \) fonksiyonu veriliyor.

Buna göre aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri tüm tanım aralığında artandır?

I. \( -f(x) \)

II. \( f(-x) \)

III. \( -f(-x) \)

Tabanın 1'den büyük olduğu üstel fonksiyonlar tüm reel sayılarda artandır. Fonksiyonun çıktısından 5 çıkarıldığında tüm noktalar 5 birim aşağı öteleneceği için fonksiyon yine artan olur.

I. öncül: \( -f(x) \)

\( -f(x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \) eksenine göre simetriğidir, dolayısıyla artan fonksiyon azalan fonksiyona dönüşür.

II. öncül: \( f(-x) \)

\( f(-x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( y \) eksenine göre simetriğidir, dolayısıyla artan fonksiyon azalan fonksiyona dönüşür.

III. öncül: \( -f(-x) \)

\( -f(-x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun hem \( x \) hem de \( y \) eksenine göre simetriğidir, dolayısıyla artan fonksiyon yine artan olur.

Buna göre sadece III. önermedeki fonksiyon artandır.

SORU 6 :

\( f(x) = \cos{x} \) grafiğinin ilk önce \( x = \pi \) doğrusuna göre, daha sonra \( y = 8 \) doğrusuna göre yansıması alınıyor.

Bu dönüşümler sonucunda elde edilen fonksiyonun denklemi nedir?

\( y = f(x) \) fonksiyonunun \( x = a \) doğrusuna göre yansıması alındığında fonksiyona aşağıdaki dönüşüm uygulanır.

\( f(x) \longmapsto f(2a - x) \)

\( y = f(x) \) fonksiyonunun \( y = a \) doğrusuna göre yansıması alındığında fonksiyona aşağıdaki dönüşüm uygulanır.

\( f(x) \longmapsto 2a - f(x) \)

Bu bilgiler doğrultusunda sorudaki dönüşümleri verilen fonksiyona uygulayalım.

\( f(x) = \cos{x} \) fonksiyonunun \( x = \pi \) doğrusuna göre yansıması alınıyor.

\( \cos{x} \longmapsto \cos(2\pi - x) \)

\( \cos(2\pi - x) = \cos{x} \)

\( \cos{x} \) fonksiyonunun \( y = 8 \) doğrusuna göre yansıması alınıyor.

\( \cos{x} \longmapsto 16 - \cos{x} \)

Buna göre uygulanan dönüşümler sonucunda aşağıdaki fonksiyon elde edilir.

\( g(x) = 16 - \cos{x} \)

SORU 7 :

\( \sin{x} \) fonksiyonunun önce \( y = 2 \) doğrusuna göre yansıması alınıyor, daha sonra \( \frac{\pi}{3} \) birim sola öteleniyor.

Bu dönüşümler sonucunda elde edilen fonksiyonun denklemi nedir?

Bir \( f(x) \) fonksiyonunun \( y = a \) doğrusuna göre yansıması alındığında \( 2a - f(x) \) fonksiyonu elde edilir.

\( \sin{x} \) fonksiyonunun \( y = 2 \) doğrusuna göre yansımasını alalım.

\( \sin{x} \longmapsto 4 - \sin{x} \)

Bir \( f(x) \) fonksiyonu \( k \) birim sola ötelendiğinde \( f(x + k) \) fonksiyonu elde edilir.

\( 4 - \sin{x} \) fonksiyonunu \( \frac{\pi}{3} \) birim sola öteleyelim.

\( 4 - \sin{x} \longmapsto 4 - \sin(x + \frac{\pi}{3}) \)

SORU 8 :

\( f(x) = x(x - 6)(x + 3)(x - 9) \) fonksiyonu veriliyor.

\( f(x) \) eğrisinin \( x = 3 \) doğrusuna göre simetrik olduğunu gösteriniz.

\( f(x) \) eğrisi \( x = a \) doğrusuna göre simetrik ise aşağıdaki eşitlik sağlanır.

\( f(x) = f(2a - x) \)

\( f(x) \) eğrisi \( x = 3 \) doğrusuna göre simetrik ise aşağıdaki eşitlik sağlanır.

\( f(x) = f(6 - x) \)

\( f(6 - x) \) ifadesini bulmak için \( x \) yerine \( 6 - x \) yazalım.

\( f(6 - x) = (6 - x)((6 - x) - 6)((6 - x) + 3)((6 - x) - 9) \)

\( = (6 - x)(-x)(9 - x)(-3 - x) \)

4 çarpanı da \( -1 \) ile çarpalım.

\( = (x - 6)(x)(x - 9)(3 + x) \)

\( = x(x - 6)(x + 3)(x - 9) \)

Bulduğumuz ifade \( f(x) \)'e eşit olduğu için \( f(x) \) eğrisi \( x = 3 \) doğrusuna göre simetriktir.

« Önceki
Daralma/Genişleme
Sonraki »
Mutlak Değer

Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır