Tek ve Çift Fonksiyonlar
Fonksiyonlar gösterdikleri bazı simetri özelliklerine göre tek ya da çift fonksiyon olarak adlandırılırlar.
Çift Fonksiyon
Cebirsel Tanım
Bir \( f \) fonksiyonunun tüm tanım kümesinde \( f(-x) = f(x) \) ise bu fonksiyon bir çift fonksiyondur.
Tanım kümesi orijine göre simetrik olan bir \( f \) fonksiyonunda her \( x \) için,
\( f(-x) = f(x) \) koşulu sağlanıyorsa,
\( f \) bir çift fonksiyondur.
\( f(x) = x^4 - 2x^2 + 2 \)
\( f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 2 = x^4 - 2x^2 + 2 \)
\( f(-x) = f(x) \) olduğu için \( f \) bir çift fonksiyondur.
\( g(x) = \abs{x} - 2 \)
\( g(-x) = \abs{-x} - 2 = \abs{x} - 2 \)
\( g(-x) = g(x) \) olduğu için \( g \) bir çift fonksiyondur.
Çift fonksiyonlar için yukarıdaki eşitlik aşağıdaki şekilde de yazılabilir.
\( f(x) - f(-x) = 0 \)
Grafik Yorumu
Yukarıdaki tanıma göre, bir çift fonksiyonda her \( a \) için \( x = a \) ve \( x = -a \) değerlerinde fonksiyon değerleri birbirine eşittir, bu da grafiğin \( y \) eksenine göre simetrik olması anlamına gelir. Buna göre, bir çift fonksiyonun grafiğinde \( (a, b) \) noktası bulunuyorsa \( (-a, b) \) noktası da bulunur.
Aşağıdaki fonksiyonlar birer çift fonksiyondur, dolayısıyla hem yukarıdaki çift fonksiyon tanımını sağlarlar hem de grafikleri \( y \) eksenine göre simetriktir.
| Fonksiyon | Örnek |
|---|---|
| Sabit fonksiyon | \( f(x) = 3 \) |
| Çift dereceli kuvvet fonksiyonu | \( f(x) = 3x^4 \) |
| Sadece çift dereceli terimlerden oluşan polinom fonksiyonu (sabit terim dahil) | \( f(x) = 2x^8 - x^4 + 3x^2 - 1 \) |
| Tek ve çift fonksiyonların mutlak değeri | \( f(x) = \abs{x^3} \) |
| Kosinüs fonksiyonu | \( f(x) = \cos{x} \) |
| Sekant fonksiyonu | \( f(x) = \sec{x} \) |
| Sonlu sayıda çift fonksiyonun toplamı/farkı | \( f(x) = x^6 + 3x^2 - 2\cos{x} - 4\abs{x^3} + 5 \) |
Tek Fonksiyon
Cebirsel Tanım
Bir \( f \) fonksiyonunun tüm tanım kümesinde \( f(-x) = -f(x) \) ise bu fonksiyon bir tek fonksiyondur.
Tanım kümesi orijine göre simetrik olan bir \( f \) fonksiyonunda her \( x \) için,
\( f(-x) = -f(x) \) koşulu sağlanıyorsa,
\( f \) bir tek fonksiyondur.
\( f(x) = 3x^3 + x \)
\( f(-x) = 3(-x)^3 + (-x) = -3x^3 - x = -(3x^3 + x) \)
\( f(-x) = -f(x) \) olduğu için \( f \) bir tek fonksiyondur.
\( g(x) = x + \sin{x} \)
\( g(-x) = (-x) + \sin(-x) = -x - \sin{x} = -(x + \sin{x}) \)
\( g(-x) = -g(x) \) olduğu için \( g \) bir tek fonksiyondur.
Tek fonksiyonlar için yukarıdaki eşitlik aşağıdaki şekilde de yazılabilir.
\( f(x) + f(-x) = 0 \)
Grafik Yorumu
Yukarıdaki tanıma göre, bir tek fonksiyonda her \( a \) için \( x = a \) ve \( x = -a \) değerlerinde fonksiyon değerleri birbirinin ters işaretlisidir, bu da grafiğin orijine göre simetrik olması anlamına gelir. Buna göre, bir tek fonksiyonun grafiğinde \( (a, b) \) noktası bulunuyorsa \( (-a, -b) \) noktası da bulunur.
Bir fonksiyonun tek fonksiyon olma koşulunu sağlaması için \( f(0) \) sıfır ya da tanımsız olmalıdır. Buna göre bir tek fonksiyonun grafiği ya orijinden geçer ya da \( x = 0 \) için tanımsızdır.
Aşağıdaki fonksiyonlar birer tek fonksiyondur, dolayısıyla hem yukarıdaki tek fonksiyon tanımını sağlarlar hem de grafikleri orijine göre simetriktir.
| Fonksiyon | Örnek |
|---|---|
| Tek dereceli kuvvet fonksiyonu | \( f(x) = 2x^3 \) |
| Sadece tek dereceli terimlerden oluşan polinom fonksiyonu | \( f(x) = 2x^7 + 3x^5 - 7x^3 - x \) |
| Sinüs fonksiyonu | \( f(x) = \sin{x} \) |
| Tanjant fonksiyonu | \( f(x) = \tan{x} \) |
| Kotanjant fonksiyonu | \( f(x) = \cot{x} \) |
| Kosekant fonksiyonu | \( f(x) = \csc{x} \) |
| Sonlu sayıda tek fonksiyonun toplamı/farkı | \( f(x) = x^5 + 3x - 2\sin{x} \) |
Fonksiyonların Tek/Çift Olma Durumu
Bir fonksiyon yukarıda verilen koşulları sağlama durumuna göre tek, çift ya da ne tek ne de çift olabilir. Hem tek hem de çift olma koşullarını sağlayan fonksiyon sadece sıfır fonksiyonudur (\( f(x) = 0 \)).
Fonksiyonlarla İşlemlerin Tek/Çift Olma Durumu
Bu bölümde tek ya da çift olduğu bilinen fonksiyonlar arasındaki işlemlerin sonucunun tek/çift olma durumunu inceleyeceğiz.
Toplama ve Çıkarma
Tek ve çift fonksiyonların toplam ve farklarının tek/çift olma durumları aşağıdaki gibidir.
| \( f \) | \( g \) | \( f + g \) \( f - g \) |
Örnek |
|---|---|---|---|
| Çift | Çift | Çift | \( x^6 + x^2 \) |
| Çift | Tek | İkisi de değil | \( x^4 + x^3 \) |
| Tek | Çift | İkisi de değil | \( \sin{x} + x^2 \) |
| Tek | Tek | Tek | \( x^3 + \sqrt[3]{x} \) |
Çarpma ve Bölme
Tek ve çift fonksiyonların çarpım ve (\( g(x) \ne 0 \) olmak üzere) bölümlerinin tek/çift olma durumları aşağıdaki gibidir.
| \( f \) | \( g \) | \( f \cdot g \) \( f \div g \) |
Örnek |
|---|---|---|---|
| Çift | Çift | Çift | \( x^6 \cdot x^2 = x^8 \) |
| Çift | Tek | Tek | \( \abs{x} \cdot x^3 \) |
| Tek | Çift | Tek | \( \cot{x} \cdot \cos{x} \) |
| Tek | Tek | Çift | \( x \cdot \sqrt[3]{x} \) |
Tek veya çift bir fonksiyonun girdisinin ya da çıktısının sıfırdan farklı sabit bir sayı ile çarpılması fonksiyonun tek/çift olma özelliğini değiştirmez. Bir diğer ifadeyle, \( f(x) \) tek (ya da çift) ise \( f(bx) \) ve \( af(x) \) fonksiyonları da tek (ya da çift) olur. Bu dönüşümler grafiğin ölçeğini ve/veya yönünü değiştirir, ancak tek fonksiyonlarda orijine, çift fonksiyonlarda ise \( y \) eksenine göre simetri korunur.
\( f(x) = x^2 + 5 \) çift fonksiyon olduğu için aşağıdaki iki fonksiyon da birer çift fonksiyondur.
\( f(2x) = (2x)^2 + 5 \)
\( 2f(x) = 2(x^2 + 5) \)
Tam Sayı Kuvvetler
Tek ve çift fonksiyonların pozitif tam sayı kuvvetlerinin tek/çift olma durumları aşağıdaki gibidir (\( n \in \mathbb{Z}^+\)). Özetle, çift bir fonksiyonun her pozitif tam sayı kuvveti çifttir. Tek bir fonksiyonun çift kuvvetleri çift, tek kuvvetleri tektir.
| \( f \) | \( n \) | \( f^{n} \) | Örnek |
|---|---|---|---|
| Çift Fonksiyon | Çift Sayı | Çift Fonksiyon | \( (x^2)^4 = x^8 \) |
| Çift Fonksiyon | Tek Sayı | Çift Fonksiyon | \( \abs{x}^3 \) |
| Tek Fonksiyon | Çift Sayı | Çift Fonksiyon | \( (x^3)^4 = x^{12} \) |
| Tek Fonksiyon | Tek Sayı | Tek Fonksiyon | \( (x^3)^5 = x^{15} \) |
Bileşke Fonksiyon
Tek ve çift fonksiyonların bileşkelerinin tek/çift olma durumları aşağıdaki gibidir. Özetle, \( f \circ g \) bileşkesinin tek olabilmesi için hem \( f \) hem \( g \) tek olmalıdır, diğer üç durumda bileşke çifttir.
| \( f \) | \( g \) | \( f \circ g \) | Örnek |
|---|---|---|---|
| Çift | Çift | Çift | \( f[g(x)] = \abs{x^4 - 2x^2 - 5} \) |
| Çift | Tek | Çift | \( f[g(x)] = \cos(\sin{x}) \) |
| Tek | Çift | Çift | \( f[g(x)] = \sin(x^2) \) |
| Tek | Tek | Tek | \( f[g(x)] = \sqrt[3]{x^5 - x^3 + 2x} \) |
Bir Fonksiyonun Tek ve Çift Bileşenleri
Reel sayılarda tanımlı her fonksiyon, bir çift fonksiyon ile bir tek fonksiyonun toplamı şeklinde yazılabilir. Toplamları \( f \) fonksiyonunu veren çift \( g \) fonksiyonu ile tek \( h \) fonksiyonu aşağıdaki formüllerle bulunabilir.
\( f \) reel sayılarda tanımlı olmak üzere,
\( f(x) = g(x) + h(x) \)
\( g(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2} \)
\( h(x) = \dfrac{f(x) - f(-x)}{2} \)
\( f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 4x^2 - x + 7 \)
\( f(-x) = 3x^4 + 2x^3 + 4x^2 + x + 7 \)
\( g(x) = \dfrac{6x^4 + 8x^2 + 14}{2} \)
\( = 3x^4 + 4x^2 + 7 \)
\( h(x) = \dfrac{-4x^3 - 2x}{2} \)
\( = -2x^3 - x \)
\( g \) çift, \( h \) tek fonksiyondur ve toplamları \( f \) fonksiyonuna eşittir.
İSPATI GÖSTER
Önce \( g \) ve \( h \) fonksiyonlarının toplamının \( f \) fonksiyonuna eşit olduğunu gösterelim.
\( g(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2} \)
\( h(x) = \dfrac{f(x) - f(-x)}{2} \)
\( g(x) + h(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2} + \dfrac{f(x) - f(-x)}{2} \)
\( = \dfrac{f(x) + f(-x) + f(x) - f(-x)}{2} \)
\( = \dfrac{2f(x)}{2} = f(x) \)
Şimdi her \( f \) fonksiyonu için \( g \) fonksiyonunun bir çift fonksiyon olduğunu gösterelim.
\( g(-x) = \dfrac{f(-x) + f(-(-x))}{2} \)
\( = \dfrac{f(-x) + f(x)}{2} \)
\( = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2} \)
\( = g(x) \)
Buna göre \( g \) fonksiyonu bir çift fonksiyondur.
Şimdi her \( f \) fonksiyonu için \( h \) fonksiyonunun bir tek fonksiyon olduğunu gösterelim.
\( h(-x) = \dfrac{f(-x) - f(-(-x))}{2} \)
\( = \dfrac{f(-x) - f(x)}{2} \)
\( = -\dfrac{f(x) - f(-x)}{2} \)
\( = -h(x) \)
Buna göre \( h \) fonksiyonu bir tek fonksiyondur.
Bu ayrışma tektir, yani \( f = g + h \) olacak şekilde bir çift \( g \) ve bir tek \( h \) fonksiyonu yalnızca bir şekilde belirlenebilir.
\( f \) fonksiyonu çift ise \( h \) fonksiyonu, tek ise \( g \) fonksiyonu sıfır fonksiyonudur.
\( f(x) = e^x \) fonksiyonunu tek ve çift bileşenlerine ayıralım.
\( f(x) = e^x \)
\( f(-x) = e^{-x} \)
\( g(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \)
\( h(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} \)
\( g \) fonksiyonunun çift, \( h \) fonksiyonunun tek oldukları \( x \) yerine \( -x \) yazılarak gösterilebilir.
\( f(x) = (a - 3)x^4 + a^2x^3 + (b + 2)x^2 - b^2x \) tek fonksiyon olduğuna göre, \( f(a + b) \) kaçtır?
Çözümü GösterTek polinom fonksiyonları sadece tek dereceli terimler içerebilir, dolayısıyla \( x^4 \) ve \( x^2 \)'li terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır.
\( a - 3 = 0 \Longrightarrow a = 3 \)
\( b + 2 = 0 \Longrightarrow b = -2 \)
Fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = 9x^3 - 4x \)
\( f(a + b) = f(3 + (-2)) = f(1) \)
\( = 9(1)^3 - 4(1) = 5 \) bulunur.
\( f(x) = ax^4 + (b - 4)x^3 + 2x^2 - (a + b)x + 4 \) çift fonksiyon olduğuna göre, \( ab \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterÇift polinom fonksiyonları sadece çift dereceli terimler (ve çift dereceli bir terim olan sabit terim) içerebilir, dolayısıyla \( x^3 \) ve \( x \)'li terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır.
\( b - 4 = 0 \Longrightarrow b = 4 \)
\( a + b = 0 \Longrightarrow a = -4 \)
\( ab = -4 \cdot 4 = -16 \) bulunur.
\( f \) tek, \( g \) çift fonksiyondur.
\( f(-1) = 4, \quad g(-1) = -3 \)
\( h(x) = \dfrac{3f(x) + 2g(x)}{4f(x)} \) olduğuna göre, \( h(1) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( h \) fonksiyonunda \( x = 1 \) yazalım.
\( h(1) = \dfrac{3f(1) + 2g(1)}{4f(1)} \)
\( f \) tek fonksiyon olduğu için \( f(1) = -f(-1) = -4 \) olur.
\( g \) çift fonksiyon olduğu için \( g(1) = g(-1) = -3 \) olur.
\( h(1) = \dfrac{3(-4) + 2(-3)}{4(-4)} \)
\( = \dfrac{-12 - 6}{-16} = \dfrac{9}{8}\) bulunur.
Tüm reel sayılarda tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri çift fonksiyondur?
I. \( f(x) = x^4 - 2x \)
II. \( g(x) = -2x^3 + 3 \)
III. \( h(x) = -9 \)
IV. \( k(x) = (x - 4)^2 \)
Çözümü GösterSadece tek dereceli terimler içeren bir polinom fonksiyonu tektir, sadece çift dereceli terimler içeren bir polinom fonksiyonu çifttir, hem tek hem çift dereceli terimler içeren bir polinom fonksiyonu ne tektir ne de çifttir.
Sabit terim, \( x \) değişkeninin üssü sıfır olarak kabul edilebileceği için çift dereceli bir terimdir.
I. öncül:
\( f(x) = x^4 - 2x \)
Yukarıdaki tanıma göre \( f \) ne tektir ne de çifttir.
II. öncül:
\( g(x) = -2x^3 + 3 \)
Yukarıdaki tanıma göre \( g \) ne tektir ne de çifttir.
III. öncül:
\( h(x) = -9 \)
Yukarıdaki tanıma göre \( h \) çifttir.
IV. öncül:
\( k(x) = (x - 4)^2 \)
İfadenin açılımını yazalım.
\( = x^2 - 8x + 16 \)
Yukarıdaki tanıma göre \( k \) ne tektir ne de çifttir.
Buna göre sadece III. öncüldeki fonksiyon çifttir.
\( f \) fonksiyonu orijine göre simetriktir.
\( 2f(x) + 6x = 3x^3 + f(-x) \) olduğuna göre, \( f(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonu orijine göre simetrik ise tek fonksiyondur.
\( f(-x) = -f(x) \)
Verilen eşitlikte \( f(-x) \) yerine \( -f(x) \) yazalım.
\( 2f(x) + 6x = 3x^3 - f(x) \)
\( 3f(x) = 3x^3 - 6x \)
\( f(x) = x^3 - 2x \)
\( f(2) = 2^3 - 2(2) = 4 \) bulunur.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının grafikleri sırasıyla orijin ve \( y \) eksenine göre simetriktir.
\( f(-6) = 4 \) ve \( g(2) = 6 \) olduğuna göre, \( (f \circ g)(-2) \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonu orijine göre simetrik olduğuna göre tek fonksiyondur.
\( f(-x) = -f(x) \)
\( f(6) = -f(-6) = -4 \)
\( g \) fonksiyonu \( y \) eksenine göre simetrik olduğuna göre çift fonksiyondur.
\( g(-x) = g(x) \)
\( g(-2) = g(2) = 6 \)
Buna göre verilen işlemin sonucunu bulalım.
\( (f \circ g)(-2) = f(g(-2)) \)
\( = f(6) = -4 \) bulunur.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri çift fonksiyondur?
(a) \( f(x) = \abs{x} - 3 \)
(b) \( g(x) = \abs{x - 3} \)
(c) \( h(x) = x^2 - \abs{x} \)
Çözümü Göster\( \abs{x} \) fonksiyonu, grafiği \( y \) eksenine göre simetrik olduğu için çifttir.
I. öncül:
\( f(x) = \abs{x} - 3 \)
\( f \) fonksiyonu bir çift fonksiyonun 3 birim aşağıya ötelenmiş halidir, dolayısıyla fonksiyonun \( y \) eksenine göre simetrisi bozulmaz.
Buna göre \( f \) fonksiyonu çifttir.
II. öncül:
\( g(x) = \abs{x - 3} \)
\( g \) fonksiyonu bir çift fonksiyonun 3 birim sağa ötelenmiş halidir, dolayısıyla fonksiyonun \( y \) eksenine göre simetrisi bozulur.
Buna göre \( g \) fonksiyonu ne tek ne de çifttir.
III. öncül:
\( h(x) = x^2 - \abs{x} \)
İki çift fonksiyonun toplamı/farkı çifttir.
Buna göre \( h \) fonksiyonu çifttir.
Buna göre I. ve III. öncüllerdeki fonksiyonlar çifttir.
\( f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \)
\( g(x) = f(x + k) \) olmak üzere,
\( g(x) \) bir çift fonksiyon olduğuna göre, \( g(k) \) kaçtır?
Çözümü GösterBu soruyu iki yöntemle çözebiliriz.
1. yöntem:
\( g(x) = f(x + k) \)
\( = 2(x + k)^2 - 4(x + k) + 5 \)
\( = 2x^2 + 4kx + 2k^2 - 4x - 4k + 5 \)
\( = 2x^2 + (4k - 4)x + 2k^2 - 4k + 5 \)
Çift polinom fonksiyonları sadece çift dereceli terimler ve sabit terim içerebilir.
Buna göre \( x \)'li terimin katsayısı sıfır olmalıdır.
\( 4k - 4 = 0 \Longrightarrow k = 1 \)
\( g(x) = 2x^2 + 3 \)
\( g(k) = g(1) = 2(1)^2 + 3 = 5 \) bulunur.
2. yöntem:
Çift fonksiyonların grafikleri \( y \) eksenine göre simetriktir, dolayısıyla bir parabolün ötelenmiş hali olduğu için yine bir parabol olan \( g \) fonksiyonunun tepe noktası \( y \) ekseni üzerinde olmalıdır.
\( f \) fonksiyonunun tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2(2)} = 1 \)
\( g \) fonksiyonunun tepe noktasının \( y \) ekseni üzerinde olması için \( f \) fonksiyonu 1 birim sola ötelenmelidir, bu da \( f(x + 1) \) fonksiyonudur.
\( k = 1 \)
Fonksiyonlarda \( x = 1 \) yazalım.
\( g(1) = f(2) = 2(2)^2 - 4(2) + 5 = 5 \) bulunur.
\( f(x) \ne 0 \) olmak üzere,
\( f \) çift fonksiyon olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri tek fonksiyondur?
I. \( 2x + f(x) \)
II. \( 3x^2 - 2f(x) \)
III. \( 4xf(x) \)
IV. \( f(x^5) \)
Çözümü GösterI. öncül:
\( 2x + f(x) \)
\( 2x \) tek fonksiyondur. Bir tek fonksiyon ile çift fonksiyonun toplamı/farkı ne tek ne de çift olur.
II. öncül:
\( 3x^2 - 2f(x) \)
\( 3x^2 \) çift fonksiyondur. İki çift fonksiyonun toplamı/farkı çift olur.
III. öncül:
\( 4xf(x) \)
\( x \) tek fonksiyondur. Bir tek fonksiyon ile çift fonksiyonun çarpımı tek olur.
IV. öncül:
\( f(x^5) \)
\( x^5 \) tek fonksiyondur. Çift fonksiyonun tek fonksiyon ile bileşkesi çift olur.
Buna göre sadece III. öncüldeki fonksiyon tektir.
\( f(x) \ne 0 \) ve \( g(x) \ne 0 \) olmak üzere,
\( f \) çift ve \( g \) tek fonksiyon olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri çift fonksiyondur?
I. \( f(x^2)g(x^5) \)
II. \( f(x) + g(x^4) \)
III. \( x^{99}f(x)g(x^3) \)
IV. \( f(x^3) + g^2(x) \)
Çözümü GösterI. öncül:
\( f(x^2)g(x^5) \)
\( f(x^2) \): Çift fonksiyonun çift fonksiyonla bileşkesi çifttir.
\( g(x^5) \): Tek fonksiyonun tek fonksiyonla bileşkesi tektir.
Çift ve tek iki fonksiyonun çarpımı tektir.
II. öncül:
\( f(x) + g(x^4) \)
\( g(x^4) \): Tek fonksiyonun çift fonksiyonla bileşkesi çifttir.
İki çift fonksiyonun toplamı çifttir.
III. öncül:
\( x^{99}f(x)g(x^3) \)
\( g(x^3) \): Tek fonksiyonun tek fonksiyonla bileşkesi tektir.
Buna göre 1. çarpan tek, 2. çarpan çift, 3. çarpan tektir.
Tek, çift ve tek üç fonksiyonun çarpımı çifttir.
IV. öncül:
\( f(x^3) + g^2(x) \)
\( f(x^3) \): Çift fonksiyonun tek fonksiyonla bileşkesi çifttir.
\( g^2(x) \): Tek fonksiyonun çift sayı kuvveti çifttir.
İki çift fonksiyonun toplamı çifttir.
Buna göre II., III. ve IV. öncüllerdeki fonksiyonlar çifttir.
\( f(x) = \ln{\dfrac{e - x}{e + x}} \) fonksiyonunun tek/çift olma durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( f(-x) \) fonksiyonunu bulalım.
\( f(-x) = \ln{\dfrac{e - (-x)}{e + (-x)}} \)
\( = \ln{\dfrac{e + x}{e - x}} \)
\( = \ln \left( \dfrac{e - x}{e + x} \right)^{-1} \)
\( = -\ln{\dfrac{e - x}{e + x}} = -f(x) \)
\( f(-x) = -f(x) \) olduğu için \( f \) fonksiyonu tektir.
\( f \) reel sayılarda tanımlı bir fonksiyondur.
\( g(x) = \dfrac{1}{4}f(x) + \dfrac{1}{4}f(-x) \)
\( h(x) = \dfrac{1}{4}f(x) - \dfrac{1}{4}f(-x) \)
olduğuna göre, \( g(x) \) ve \( h(x) \) fonksiyonlarının tek/çift olma durumlarını inceleyiniz.
Çözümü Göster\( g(-x) \) fonksiyonunu bulalım.
\( g(-x) = \dfrac{1}{4}f(-x) + \dfrac{1}{4}f(-(-x)) \)
\( = \dfrac{1}{4}f(-x) + \dfrac{1}{4}f(x) = g(x) \)
\( g(-x) = g(x) \) olduğu için \( g \) çift fonksiyondur.
\( h(-x) \) fonksiyonunu bulalım.
\( h(-x) = \dfrac{1}{4}f(-x) - \dfrac{1}{4}f(-(-x)) \)
\( = \dfrac{1}{4}f(-x) - \dfrac{1}{4}f(x) = -h(x) \)
\( h(-x) = -h(x) \) olduğu için \( h \) tek fonksiyondur.
\( f(x) = \sqrt{2x^2 - x + 7} - \sqrt{2x^2 + x + 7} \) fonksiyonunun tek/çift fonksiyon olma durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( f(-x) \) fonksiyonunu bulalım.
\( f(-x) = \sqrt{2(-x)^2 - (-x) + 7} - \sqrt{2(-x)^2 + (-x) + 7} \)
\( = \sqrt{2x^2 + x + 7} - \sqrt{2x^2 - x + 7} \)
\( = -(\sqrt{2x^2 - x + 7} - \sqrt{2x^2 + x + 7}) \)
\( = -f(x) \)
\( f(-x) = -f(x) \) olduğu için \( f \) tek fonksiyondur.
\( f(x) = x^{11} - ax^5 + bx - 2 \) fonksiyonu veriliyor.
\( f(8) = 21 \) olduğuna göre, \( f(-8) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonunun sabit terim dışındaki terimlerinin derecesi tektir.
Bu sabit terimi içermeyen aşağıdaki şekilde bir \( g \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( g(x) = f(x) + 2 = x^{11} - ax^5 + bx \)
\( g \) fonksiyonu sadece tek dereceli terimlerden oluştuğu için tektir.
\( g(8) = f(8) + 2 = 21 + 2 = 23 \)
\( g \) tek fonksiyon olduğu için \( g(-8) = -g(8) = -23 \) olur.
\( g(-8) = f(-8) + 2 = -23 \)
\( f(-8) = -25 \) bulunur.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri çifttir?
I. \( f(x) = \sin{x} + \tan{x} \)
II. \( g(x) = \cot^2(-x) + \sec{x} \)
III. \( h(x) = \sin^3{x} + \cos^2(-x) \)
IV. \( k(x) = \cos^3{x} + \csc^4{x} + 3 \)
Çözümü GösterTrigonometrik fonksiyonlardan kosinüs ve sekant çift, diğerleri tektir.
Herhangi bir \( f(x) \) fonksiyonu için, \( f(-x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( y \) eksenine göre simetriğidir ve tek/çift olma/olmama durumu \( f(x) \) fonksiyonu ile aynıdır.
Öncülleri sırayla inceleyelim.
I. öncül:
\( f(x) = \sin{x} + \tan{x} \)
Sinüs ve tanjant fonksiyonları tektir.
İki tek fonksiyonun toplamı tektir.
II. öncül:
\( g(x) = \cot^2(-x) + \sec{x} \)
Kotanjant fonksiyonu tektir, iki tek fonksiyonun çarpımı çift olduğu için karesi çifttir.
Sekant fonksiyonu çifttir.
İki çift fonksiyonun toplamı çifttir.
III. öncül:
\( h(x) = \sin^3{x} + \cos^2(-x) \)
Sinüs fonksiyonu tektir, tek fonksiyonun üçüncü kuvveti de tektir.
Kosinüs fonksiyonu çifttir, iki çift fonksiyonun çarpımı çift olduğu için karesi de çifttir.
Bir tek fonksiyon ile çift fonksiyonun toplamı ne tek ne de çifttir.
IV. öncül:
\( k(x) = \cos^3{x} + \csc^4{x} + 3 \)
Kosinüs fonksiyonu çifttir, çift fonksiyonun üçüncü kuvveti de çifttir.
Kosekant fonksiyonu tektir, tek fonksiyonun dördüncü kuvveti çifttir.
Sabit terim çifttir.
Çift fonksiyonların toplamı çifttir.
Buna göre II. ve IV. öncüllerdeki fonksiyonlar çifttir.
\( f(x) \) sabit ve periyodik olmayan bir çift fonksiyondur.
Buna göre, aşağıdakilerden hangileri çifttir?
I. \( 2f(x) \)
II. \( -f(x) \)
III. \( f(x) + 2 \)
IV. \( f(2x) \)
V. \( f(-x) \)
VI. \( f(x + 2) \)
VII. \( f^2(x) \)
Çözümü GösterÇift fonksiyonlar \( y \) eksenine göre simetriktir.
I. öncül:
\( 2f(x) \) fonksiyonunda tüm noktaların \( x \) eksenine uzaklığı 2 katına çıkar. Bu dönüşüm sonucunda \( y \) eksenine göre simetrik noktaların fonksiyon değerleri yine eşit olur ve grafiğin \( y \) eksenine göre simetrisi bozulmaz.
I. öncüldeki fonksiyon çifttir.
II. öncül:
\( -f(x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \) eksenine göre yansımasıdır. Bu dönüşüm sonucunda grafiğin \( y \) eksenine göre simetrisi bozulmaz.
II. öncüldeki fonksiyon çifttir.
III. öncül:
\( f(x) + 2 \) fonksiyonunda tüm noktalar 2 birim yukarı ötelenir. Bu dönüşüm sonucunda grafiğin \( y \) eksenine göre simetrisi bozulmaz.
III. öncüldeki fonksiyon çifttir.
IV. öncül:
\( f(2x) \) fonksiyonunda tüm noktaların \( y \) eksenine uzaklığı yarıya iner. Bu dönüşüm sonucunda grafiğin \( y \) eksenine göre simetrisi bozulmaz.
IV. öncüldeki fonksiyon çifttir.
V. öncül:
\( f(-x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( y \) eksenine göre yansımasıdır. Bu dönüşüm sonucunda grafiğin \( y \) eksenine göre simetrisi bozulmaz.
V. öncüldeki fonksiyon çifttir.
VI. öncül:
\( f(x + 2) \) fonksiyonunda tüm noktalar 2 birim sola ötelenir. Bu dönüşüm sonucunda grafiğin \( y \) eksenine göre simetrisi bozulur.
VI. öncüldeki fonksiyon çift değildir.
VII. öncül:
\( f^2(x) \) fonksiyonunda tüm \( y \) değerlerinin karesi alınır, ancak \( y \) eksenine göre simetrik noktaların fonksiyon değerleri yine eşit olur ve grafiğin \( y \) eksenine göre simetrisi bozulmaz.
VII. öncüldeki fonksiyon çifttir.
Buna göre VI. öncül dışındaki öncüller çifttir.
\( f \) reel sayılarda tanımlı bir fonksiyondur.
\( f(x) = \ln(\sqrt{x^2 + 1} + x) \) fonksiyonunun tek/çift olma durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( f(-x) \) fonksiyonunu bulalım.
\( f(-x) = \ln(\sqrt{(-x)^2 + 1} + (-x)) \)
\( = \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x) \)
Logaritma içindeki ifadeyi eşleniği ile çarpıp bölelim.
\( = \ln{\dfrac{(\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x}} \)
\( = \ln{\dfrac{(\sqrt{x^2 + 1})^2 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x}} \)
\( = \ln{\dfrac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x}} \)
\( = \ln{\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}} \)
\( = \ln(\sqrt{x^2 + 1} + x)^{-1} \)
\( = -\ln(\sqrt{x^2 + 1} + x) = -f(x) \)
\( f(-x) = -f(x) \) olduğu için \( f \) fonksiyonu tektir.
\( f \) reel sayılarda tanımlı bir fonksiyondur.
\( f(x) = \dfrac{e^{\sin{x}} + 1}{e^{\sin{x}} - 1} \) fonksiyonunun tek/çift olma durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster\( f(-x) \) fonksiyonunu bulalım.
\( f(-x) = \dfrac{e^{\sin(-x)} + 1}{e^{\sin(-x)} - 1} \)
\( \sin(-x) = -\sin{x} \)
\( = \dfrac{e^{-\sin{x}} + 1}{e^{-\sin{x}} - 1} \)
Payı ve paydayı \( e^{\sin{x}} \) ile genişletelim.
\( = \dfrac{(e^{-\sin{x}} + 1)\ e^{\sin{x}}}{(e^{-\sin{x}} - 1)\ e^{\sin{x}}} \)
\( = \dfrac{e^{-\sin{x}}\ e^{\sin{x}} + e^{\sin{x}}}{e^{-\sin{x}}\ e^{\sin{x}} - e^{\sin{x}}} \)
\( = \dfrac{e^{-\sin{x} + \sin{x}} + e^{\sin{x}}}{e^{-\sin{x} + \sin{x}} - e^{\sin{x}}} \)
\( = \dfrac{e^0 + e^{\sin{x}}}{e^0 - e^{\sin{x}}} = \dfrac{1 + e^{\sin{x}}}{1 - e^{\sin{x}}} \)
\( = -\dfrac{e^{\sin{x}} + 1}{e^{\sin{x}} - 1} = -f(x)\)
\( f(-x) = -f(x) \) olduğu için \( f \) fonksiyonu tektir.
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = 9x^4 + ax^2 + b \) fonksiyonunun \( r \lt s \lt t \) olmak üzere üç farklı reel kökü vardır.
Buna göre \( r + s + t \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) polinom fonksiyonu \( x \)'in sadece çift kuvvetlerini içerdiği için bir çift fonksiyondur.
\( f \) çift fonksiyon olduğuna göre, her \( x \) için \( f(x) = f(-x) \) eşitliği sağlanır, bir diğer ifadeyle fonksiyon grafiği \( y \) eksenine göre simetriktir.
Buna göre \( x = a \) fonksiyonunun bir kökü ise \( x = -a \) da kökü olur.
4. dereceden reel katsayılı bir polinom fonksiyonunun 3 farklı reel kökü varsa karmaşık kökü olamaz (karmaşık kökler birbirinin eşleniği şeklinde ikili olarak bulunurlar).
Buna göre üç farklı kökten biri çift katlı kök olmak zorundadır.
Hem fonksiyonun üç farklı kökü olabilmesi hem de köklerin \( f(x) = f(-x) \) eşitliğini sağlaması için, iki kök birbirinin ters işaretlisi, çift katlı üçüncü kök de sıfır olmalıdır.
Örnek: \( x \in \{ -5, 0, 5 \} \)
Buna göre \( r + s + t \) toplamı sıfır olur.