Sürekli ve Süreksiz Fonksiyonlar
Sezgisel olarak, bir fonksiyonun grafiği \( x = a \) noktası civarında herhangi bir kopukluk olmadan ve kalem kaldırmadan çizilebiliyorsa fonksiyon bu noktada süreklidir, grafikte bir kopukluk varsa süreksizdir. Bu açıklama ileriki bölümlerde detaylı inceleyeceğimiz süreklilik kavramının kesin matematiksel tanımı olmasa da şu aşamada yeterlidir.
Bir fonksiyon belirli bir \( (a, b) \) aralığındaki tüm noktalarda sürekli ise fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
Kavramı pekiştirmek adına aşağıda sürekli ve süreksiz fonksiyon grafiklerine birkaç örnek vereceğiz.
Sürekli Noktalar
Aşağıda \( x = a \) noktasında sürekli iki fonksiyon örneği verilmiştir.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Grafikte \( x = a \) noktasında hiçbir kopukluk olmadığı için grafik "kalem" testini geçer, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreklidir. |
|
Fonksiyon parçalı tanımlanmış olsa da, grafikte \( x = a \) noktasında hiçbir kopukluk olmadığı için grafik "kalem" testini geçer, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreklidir. |
Süreksiz Noktalar
Aşağıda farklı süreksizlik durumlarına örnekler verilmiştir.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Fonksiyon \( x = a \) noktasında tanımsız olduğu için grafikte bu noktada bir boşluk bulunur ve grafik "kalem" testini geçemez, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreksizdir. |
|
Fonksiyon her ne kadar \( a \) noktasında tanımlı olsa da grafikte bu noktada boşluk bulunduğu için grafik "kalem" testini geçemez, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreksizdir. |
|
Grafikte \( x = a \) noktasında bir sıçrama bulunduğu için grafik "kalem" testini geçemez, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreksizdir. |
|
Fonksiyon her ne kadar \( x = a \) noktasında tanımlı olsa da grafikte bu noktada bir sıçrama bulunduğu için grafik "kalem" testini geçemez, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreksizdir. |
|
Grafikte \( x = a \) noktasında bir düşey asimptot bulunduğu için grafik "kalem" testini geçemez, dolayısıyla fonksiyon bu noktada süreksizdir. |
Temel Fonksiyonların Sürekliliği
Daha önce incelediğimiz aşağıdaki temel fonksiyonların tümü tanım kümelerinin her noktasında süreklidir. Bu fonksiyonların grafiklerindeki kopukluklar (örneğin tanjant grafiğinde \( x = \frac{\pi}{2} \) noktasında oluşan düşey asimptot) fonksiyonun tanım kümesinin dışında kaldığı için fonksiyonun sürekliliğini bozmaz.
Bu fonksiyonlar ve sürekli oldukları en geniş tanım kümeleri aşağıdaki gibidir.
| Fonksiyon | Denklem | En Geniş Tanım Kümesi |
|---|---|---|
| Sabit fonksiyon | \( f(x) = c \) | Tüm reel sayılar |
| Doğrusal fonksiyon | \( f(x) = mx + c \) | Tüm reel sayılar |
| Kuvvet fonksiyonu(\( n \in \mathbb{Z^+} \)) | \( f(x) = x^n \) | Tüm reel sayılar |
| Köklü fonksiyon (çift dereceli)(\( n \in \mathbb{Z^+} \)) | \( f(x) = \sqrt[2n]{x} \) | \( [0, \infty) \) |
| Köklü fonksiyon (tek dereceli)(\( n \in \mathbb{Z^+} \)) | \( f(x) = \sqrt[2n + 1]{x} \) | Tüm reel sayılar |
| Mutlak değer fonksiyonu | \( f(x) = \abs{x} \) | Tüm reel sayılar |
| Polinom fonksiyonu | \( f(x) = a_nx^n + \ldots + a_0 \) | Tüm reel sayılar |
| Rasyonel fonksiyon | \( f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)} \) | Paydayı sıfır yapan noktalar hariç tüm reel sayılar |
| Üstel fonksiyon(\( a \gt 0, a \ne 1 \)) | \( f(x) = a^x \) | Tüm reel sayılar |
| Logaritma fonksiyonu(\( a \gt 0, a \ne 1 \)) | \( f(x) = \log_a{x} \) | \( (0, \infty) \) |
| Sinüs fonksiyonu | \( f(x) = \sin{x} \) | Tüm reel sayılar |
| Kosinüs fonksiyonu | \( f(x) = \cos{x} \) | Tüm reel sayılar |
| Tanjant fonksiyonu | \( f(x) = \tan{x} \) | \( \{ \ldots, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots \} \) hariç tüm reel sayılar |
| Kotanjant fonksiyonu | \( f(x) = \cot{x} \) | \( \{ \ldots, 0, \pi, 2\pi, \ldots \} \) hariç tüm reel sayılar |
| Sekant fonksiyonu | \( f(x) = \sec{x} \) | \( \{ \ldots, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots \} \) hariç tüm reel sayılar |
| Kosekant fonksiyonu | \( f(x) = \csc{x} \) | \( \{ \ldots, 0, \pi, 2\pi, \ldots \} \) hariç tüm reel sayılar |
| Ters sinüs fonksiyonu | \( f(x) = \arcsin{x} \) | \( [-1, 1] \) |
| Ters kosinüs fonksiyonu | \( f(x) = \arccos{x} \) | \( [-1, 1] \) |
| Ters tanjant fonksiyonu | \( f(x) = \arctan{x} \) | Tüm reel sayılar |
| Ters kotanjant fonksiyonu | \( f(x) = \arccot{x} \) | Tüm reel sayılar |
| Ters sekant fonksiyonu | \( f(x) = \arcsec{x} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) |
| Ters kosekant fonksiyonu | \( f(x) = \arccsc{x} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) |
Yukarıdaki grafiğe göre \( f \) fonksiyonu verilen aralıkta kaç noktada süreksizdir?
Çözümü GösterYaptığımız sezgisel süreklilik tanımına göre, bir fonksiyonun grafiği belirli bir noktadan geçerken herhangi bir kopukluk olmadan ve kalem kaldırmadan çizilebiliyorsa fonksiyon bu noktada süreklidir, grafikte bir kopukluk varsa süreksizdir.
Bu tanıma göre, fonksiyon \( x = -6 \), \( x = -3 \) ve \( x = 3 \) noktaları olmak üzere üç noktada süreksizdir.