Dönüşümlerde İşlem Sırası
Bir fonksiyon ifadesi birden fazla düşey veya birden fazla yatay dönüşüm içerdiğinde, dönüşümlerin uygulanma sırası önem taşır. Aynı dönüşümler aynı parametrelerle farklı bir sırada uygulanırsa, verilen ifadeden farklı bir fonksiyon ve dolayısıyla farklı bir grafik elde edilebilir. Örneğin aşağıdaki fonksiyona aynı iki düşey dönüşüm farklı sıralarda uygulandığında iki farklı fonksiyon elde edilir.
\( f(x) = x^2 \) olmak üzere,
Önce düşey genişleme, sonra düşey öteleme:
\( f(x) \longrightarrow 2f(x) \longrightarrow 2f(x) + 3 \)
\( x^2 \longrightarrow 2x^2 \longrightarrow \textcolor{red}{2x^2 + 3} \)
Önce düşey öteleme, sonra düşey genişleme:
\( f(x) \longrightarrow f(x) + 3 \longrightarrow 2(f(x) + 3) \)
\( x^2 \longrightarrow x^2 + 3 \longrightarrow 2(x^2 + 3) = \textcolor{red}{2x^2 + 6} \)
Standart Dönüşüm Sırası
Bu bölümde öncelikle birden fazla dönüşüm içeren fonksiyon ifadeleri için izlenmesi önerilen uygulama sırasını inceleyeceğiz. Bunun için verilen ifade aşağıdaki genel dönüşüm formuna getirilmelidir.
Dönüşümler bir fonksiyon ifadesine standart dönüşüm sırası takip edilerek aşağıdaki şekilde uygulanır.
- İfade öncelikle yukarıda verilen \( -a \cdot f(-b(x + c)) + k \) formuna getirilir.
- Düşey ve yatay dönüşümler birbirinden bağımsızdır, dolayısıyla hangisine ait dönüşümlerin önce uygulandığının bir önemi yoktur.
- Düşey dönüşümlerde önce daralma/genişleme ve yansıma uygulanır (kendi aralarında herhangi bir sırada), daha sonra öteleme uygulanır.
- Benzer şekilde, yatay dönüşümlerde önce daralma/genişleme ve yansıma uygulanır (kendi aralarında herhangi bir sırada), daha sonra öteleme uygulanır.
Bu yaklaşımın birinci adımına göre, aşağıda birinci sütundaki formda verilen ifadeler ikinci sütundaki forma getirilmelidir.
| Verilen Form | Genel Dönüşüm Formu |
|---|---|
| \( f(2x - 6) \) | \( f(2(x - 3)) \) |
| \( f(-x + 1) \) | \( f(-(x - 1)) \) |
| \( 4(f(x) - 2) \) | \( 4f(x) - 8 \) |
| \( -(f(x) + 5) \) | \( -f(x) - 5 \) |
\( f(x) = (x - 2)^2 + 2 \) olmak üzere,
\( g(x) = 3(f(-2x - 2) - 1) \) fonksiyonunun grafiğini elde etmek için \( f \) fonksiyonuna hangi dönüşümlerin hangi sırada uygulanması gerektiğini bulalım ve bu dönüşümleri uygularak \( g \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Verilen \( g \) fonksiyon tanımını genel dönüşüm formuna getirelim.
\( g(x) = 3f(-2(x + 1)) - 3 \)
Düşey ve yatay dönüşümlerden hangilerinin önce uygulandığının bir önemi yoktur.
| Dönüşüm | Elde Edilen Fonksiyon | Etiket |
|---|---|---|
|
Yatay \( \frac{1}{2} \) kat daralma \( F(x) \longrightarrow F(2x) \) |
\( f(2x) \) |
\( 1 \) |
|
Yatay (\( y \) eksenine göre) yansıma \( F(x) \longrightarrow F(-x) \) |
\( f(-2x) \) |
\( 2 \) |
|
Yatay 1 birim sola öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x + 1) \) |
\( f(-2(x + 1)) \) |
\( 3 \) |
|
Düşey 3 kat genişleme \( F(x) \longrightarrow 3F(x) \) |
\( 3f(-2(x + 1)) \) |
\( 4 \) |
|
Düşey 3 birim aşağı öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x) - 3 \) |
\( 3f(-2(x + 1)) - 3 \) |
\( g(x) \) |
Son adımda elde ettiğimiz ifade \( g(x) \) fonksiyonuna eşittir.
\( f \) fonksiyonunun (kırmızı), her adımda elde edilen fonksiyonların (kesikli mavi) ve \( g \) fonksiyonunun (yeşil) grafikleri aşağıda verilmiştir.
Alternatif Dönüşüm Sıraları
Verilen bir fonksiyon ifadesine yukarıda paylaştığımız standart sıradan farklı bir dönüşüm dizisiyle de ulaşılabilir. Uygulanan dönüşümlerin sırası değişirken aynı nihai ifade elde edildiği sürece sonuç değişmez.
İfadeyi genel dönüşüm formuna getirelim.
\( g(x) = 2f(3x - 6) + 8 \) fonksiyonunun grafiğini elde etmek için \( f \) fonksiyonuna hangi dönüşümlerin hangi sırada uygulanması gerektiğini standart dönüşüm sırasına ek olarak alternatif bir sırada bulalım.
Standart Dönüşüm Sırası:
İfadeyi genel dönüşüm formuna getirelim.
\( g(x) = 2f(3(x - 2)) + 8 \)
| No | Dönüşüm | Elde Edilen Fonksiyon |
|---|---|---|
\( 1 \) |
Yatay \( \frac{1}{3} \) kat daralma \( F(x) \longrightarrow F(3x) \) |
\( f(3x) \) |
\( 2 \) |
Yatay 2 birim sağa öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x - 2) \) |
\( f(3(x - 2)) \) |
\( 3 \) |
Düşey 2 kat genişleme \( F(x) \longrightarrow 2F(x) \) |
\( 2f(3(x - 2)) \) |
\( 4 \) |
Düşey 8 birim yukarı öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x) + 8 \) |
\( 2f(3(x - 2)) + 8 \) |
Alternatif Dönüşüm Sırası:
Standart dönüşüm sırasından farklı olarak, yatay ve düşey dönüşümlerde önce öteleme, sonra genişleme/daralma dönüşümlerini uygulayalım.
| No | Dönüşüm | Elde Edilen Fonksiyon |
|---|---|---|
\( 1 \) |
Yatay 6 birim sağa öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x - 6) \) |
\( f(x - 6) \) |
\( 2 \) |
Yatay \( \frac{1}{3} \) kat daralma \( F(x) \longrightarrow F(3x) \) |
\( f(3x - 6) = f(3(x - 2)) \) |
\( 3 \) |
Düşey 4 birim yukarı öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x) + 4 \) |
\( f(3(x - 2)) + 4 \) |
\( 4 \) |
Düşey 2 kat genişleme \( F(x) \longrightarrow 2F(x) \) |
\( 2(f(3(x - 2)) + 4) = 2f(3(x - 2)) + 8 \) |
Alternatif dönüşüm sırasında, yatay ötelemenin 2 birim yerine 6 birim, düşey ötelemenin de 8 birim yerine 4 birim olarak değiştiğine dikkat edilmelidir.
\( y = f(x) \) fonksiyonu üzerindeki \( A(m, -11) \) noktası, \( 2f(x - 5) + 4 \) dönüşümü sonrasında \( B(4, n) \) noktasına öteleniyor.
Buna göre \( \abs{m - n} \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonuna dönüşümleri adım adım uygulayarak verilen fonksiyonu bulalım.
Aşağıdaki tabloda \( F \) her adımda bir önceki adımda elde edilen fonksiyonu temsil etmektedir.
| Dönüşüm | Elde Edilen Fonksiyon/Nokta |
|---|---|
|
Yatay \( 5 \) birim sağa öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x - 5) \) |
\( f(x - 5) \) \( A(m, -11) \longrightarrow A_1(m + 5, -11) \) |
|
Düşey \( 2 \) kat genişleme \( F(x) \longrightarrow 2F(x) \) |
\( 2f(x - 5) \) \( A_1(m + 5, -11) \longrightarrow A_2(m + 5, -22) \) |
|
Düşey \( 4 \) birim yukarı öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x) + 4 \) |
\( 2f(x - 5) + 4 \) \( A_2(m + 5, -22) \longrightarrow A_3(m + 5, -18) \) |
Son adımda elde ettiğimiz nokta \( B \) noktasıdır.
\( A_3(m + 5, -18) = B(4, n) \)
\( m + 5 = 4 \Longrightarrow m = -1 \)
\( n = -18 \)
\( \abs{-1 - (-18)} = 17 \) bulunur.
3. dereceden bir polinom fonksiyonu olan \( f(x) \) fonksiyonunun büküm noktası \( (1, -3) \) noktasıdır.
Buna göre \( -(f(-x + 2) + 3) \) fonksiyonunun büküm noktasının koordinatları nedir?
Çözümü GösterÖteleme ve yansıma dönüşümleri, bir büküm noktasını dönüştürülmüş grafiğin karşılık gelen büküm noktasına taşır. Bu nedenle verilen büküm noktasının koordinatlarına dönüşümleri sırayla uygulayabiliriz.
\( -(f(-x + 2) + 3) \) ifadesini standart dönüşüm formuna getirelim.
\( -(f(-x + 2) + 3) = -f(-(x - 2)) - 3 \)
\( f(x) \) fonksiyonuna dönüşümleri adım adım uygulayarak verilen fonksiyonu bulalım.
Aşağıdaki tabloda \( F \) her adımda bir önceki adımda elde edilen fonksiyonu temsil etmektedir.
| Dönüşüm | Elde Edilen Fonksiyon/Nokta |
|---|---|
|
Yatay (\( y \) eksenine göre) yansıma \( F(x) \longrightarrow F(-x) \) |
\( f(-x) \) \( (1, -3) \longrightarrow (-1, -3) \) |
|
Yatay \( 2 \) birim sağa öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x - 2) \) |
\( f(-(x - 2)) \) \( (-1, -3) \longrightarrow (1, -3) \) |
|
Düşey (\( x \) eksenine göre) yansıma \( F(x) \longrightarrow -F(x) \) |
\( -f(-(x - 2)) \) \( (1, -3) \longrightarrow (1, 3) \) |
|
Düşey 3 birim aşağı öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x) - 3 \) |
\( -f(-(x - 2)) - 3 \) \( (1, 3) \longrightarrow (1, 0) \) |
Son adımda elde ettiğimiz nokta ötelenmiş büküm noktasıdır.
Buna göre büküm noktasının koordinatları \( (1, 0) \) olur.
\( f(x) = x^2 \) parabolünden \( g(x) = -3x^2 + 24x - 42 \) parabolünü elde etmek için uygulanması gereken dönüşümleri ve uygulama sırasını bulunuz.
Çözümü Göster\( g(x) \) parabolünü tam kareye tamamlayarak genel dönüşüm formuna getirelim.
\( g(x) = -3(x^2 - 8x + 14) \)
\( = -3(x^2 - 8x + 16 - 2) \)
\( = -3(x - 4)^2 + 6 \)
\( f(x) \) fonksiyonuna dönüşümleri adım adım uygulayarak \( g(x) \) fonksiyonunu bulalım.
Aşağıdaki tabloda \( F \) her adımda bir önceki adımda elde edilen fonksiyonu temsil etmektedir.
| Dönüşüm | Elde Edilen Fonksiyon |
|---|---|
|
Yatay \( 4 \) birim sağa öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x - 4) \) |
\( f(x - 4) = (x - 4)^2 \) |
|
Düşey \( 3 \) kat genişleme \( F(x) \longrightarrow 3F(x) \) |
\( 3f(x - 4) = 3(x - 4)^2 \) |
|
Düşey (\( x \) eksenine göre) yansıma \( F(x) \longrightarrow -F(x) \) |
\( -3f(x - 4) = -3(x - 4)^2 \) |
|
Düşey 6 birim yukarı öteleme \( F(x) \longrightarrow F(x) + 6 \) |
\( -3f(x - 4) + 6 = -3(x - 4)^2 + 6 \) |
Son adımda elde ettiğimiz ifade \( g(x) \) fonksiyonuna eşittir.
Yukarıda \( f(x) = m\sin{x} + n \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre \( mn \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( \sin{x} \) grafiğine gerekli dönüşümleri uygulayarak \( f \) fonksiyonunu elde etmeye çalışalım.
\( \sin{x} \) fonksiyonunun genliği (fonksiyonun merkez çizgisi ile fonksiyonun en üst veya alt noktası arasındaki mesafe) 1 birimdir. Verilen grafiğin genliği ise \( \frac{4 - (-2)}{2} = 3 \) birimdir.
Fonksiyonun düşey daralmasını ve genişlemesini \( \sin{x} \)'in önündeki katsayı belirler. Bu mesafenin 3 birim olması için fonksiyonun çıktısı 3 ile çarpılmalı, yani fonksiyon \( 3\sin{x} \) şeklinde olmalıdır.
\( 3\sin{x} \) grafiği \( (0, 0) \) noktasından geçer. \( f \) fonksiyonu \( (0, 1) \) noktasından geçtiği için \( 3\sin{x} \) fonksiyonu 1 birim yukarı ötelenmiş olmalıdır.
Buna göre verilen grafik \( f(x) = 3\sin{x} + 1 \) fonksiyonuna ait olmalıdır.
\( mn = 3 \cdot 1 = 3 \) bulunur.
Verilen grafik \( y = f(x + 1) \) fonksiyonuna ait olduğuna göre, \( f(2x + 7) \) fonksiyonunun kökler toplamı kaçtır?
Çözümü GösterGrafiği verilen \( f(x + 1) \) fonksiyonu \( x \) eksenini \( \{ -6, -4, -2, 6 \} \) noktalarında keser.
\( y = f(x + 1) \) fonksiyonuna iki dönüşüm uygulayarak \( f(2x + 7) \) fonksiyonunu elde edebiliriz.
1. dönüşüm: Yatay daralma
\( x \longrightarrow 2x \)
\( f(x + 1) \longrightarrow f(2x + 1) \)
Bu dönüşüm sonucunda fonksiyonun grafiği üzerindeki tüm noktaların \( y \) eksenine uzaklığı yarıya iner ve grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktalar \( \{ -3, -2, -1, 3 \} \) olur.
2. dönüşüm: 3 birim sola öteleme
\( x \longrightarrow x + 3 \)
\( f(2x + 1) \longrightarrow f(2(x + 3) + 1) = f(2x + 7) \)
Bu dönüşüm sonucunda fonksiyonun \( x \) eksenini kestiği noktalar 3 birim sola ötelenir ve grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktalar \( \{ -6, -5, -4, 0 \} \) olur.
Buna göre \( f(2x + 7) \) fonksiyonunun kökler toplamı \( (-6) + (-5) + (-4) + 0 = -15 \) olur.
Yukarıda \( f(x) = (x - 1)(x - 4) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin eksenleri kestiği üç noktadan en fazla biri \( f(x) \) ile ortaktır?
(a) \( -2f(x) \)
(b) \( f\left( \dfrac{1}{4}x \right) \)
(c) \( \abs{f(4x)} \)
(d) \( -2f(x + 3) \)
(e) \( -f(2x + 2) \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( -2f(x) \)
\( f \) fonksiyonunun çıktısı 2 ile çarpıldığında grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktalar değişmez ve \( x \in \{1, 4\} \) olarak kalır, \( y \) eksenini kestiği noktanın \( x \) eksenine uzaklığı 2 katına çıkar (\( y = 8 \)).
Elde edilen fonksiyonun çıktısı -1 ile çarpıldığında grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktalar değişmez ve \( x \in \{1, 4\} \) olarak kalır, \( y \) eksenini kestiği nokta \( y = -8 \) olur.
Buna göre oluşan fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibi olur. Grafiğin eksenleri kestiği noktalardan ikisi \( f(x) \) ile aynı olur.
(b) seçeneği:
\( f\left( \dfrac{1}{4}x \right) \)
\( f \) fonksiyonunun girdisi 4'e bölününce grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktaların \( y \) eksenine uzaklığı 4 katına çıkar (\( x \in \{4, 16\} \)), \( y \) eksenini kestiği nokta değişmez ve \( y = 4 \) olarak kalır.
Buna göre oluşan fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibi olur. Grafiğin eksenleri kestiği noktalardan ikisi \( f(x) \) ile aynı olur.
(c) seçeneği:
\( \abs{f(4x)} \)
\( f \) fonksiyonunun girdisi 4 ile çarpıldığında grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktaların \( y \) eksenine uzaklığı dörtte birine iner (\( x \in \{\frac{1}{4}, 1\} \)), \( y \) eksenini kestiği nokta değişmez ve \( y = 4 \) olarak kalır.
Elde edilen fonksiyonun çıktısının mutlak değeri alındığında grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktalar değişmez, \( y \) eksenini kestiği nokta da pozitif tarafta olduğu için değişmez ve \( y = 4 \) olarak kalır.
Buna göre oluşan fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibi olur. Grafiğin eksenleri kestiği noktalardan ikisi \( f(x) \) ile aynı olur.
(d) seçeneği:
\( -2f(x + 3) \)
\( f \) fonksiyonunun girdisine 3 eklendiğinde grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktalar 3 birim sola ötelenir ve \( x \in \{-2, 1\} \) olur.
Elde edilen fonksiyonun çıktısı -2 ile çarpıldığında grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktalar değişmez.
Elde edilen fonksiyonun \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) koyalım.
\( -2f(0 + 3) = -2f(3) \)
\( = -2(3 - 1)(3 - 4) = 4 \)
Elde edilen fonksiyon \( y \) eksenini \( y = 4 \) noktasında keser.
Buna göre oluşan fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibi olur. Grafiğin eksenleri kestiği noktalardan ikisi \( f(x) \) ile aynı olur.
(e) seçeneği:
\( -f(2x + 2) = -f(2(x + 1)) \)
\( f \) fonksiyonunun girdisi 2 ile çarpıldığında grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktaların \( y \) eksenine uzaklığı yarıya iner (\( x \in \{\frac{1}{2}, 2\} \)), \( y \) eksenini kestiği nokta değişmez ve \( y = 4 \) olarak kalır.
Elde edilen fonksiyonun girdisine 1 eklendiğinde grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktalar 1 birim sola ötelenir ve \( x \in \{-\frac{1}{2}, 1\} \) olur.
Elde edilen fonksiyonun çıktısı -1 ile çarpıldığında grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktalar değişmez.
Elde edilen fonksiyonun \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) koyalım.
\( -f(2(0 + 1)) = -f(2) \)
\( = -(2 - 1)(2 - 4) = 2 \)
Elde edilen fonksiyon \( y \) eksenini \( y = 2 \) noktasında keser.
Buna göre oluşan fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibi olur. Grafiğin eksenleri kestiği noktalardan sadece biri \( f(x) \) ile aynı olur.
Buna göre doğru cevap (e) seçeneğidir.