Mutlak Değer
Mutlak değer dönüşümünde, fonksiyonun çıktısının ya da girdisinin mutlak değeri alınır.
Düşey Mutlak Değer Dönüşümü
\( f(x) \longrightarrow \abs{f(x)} \)
Bir fonksiyonun çıktısının mutlak değeri alındığında \( x \) ekseninin altında kalan (\( y \lt 0 \) olan) kısmının \( x \) eksenine göre yansıması alınır, \( x \) ekseni üzerinde ve üstünde kalan kısmı ise değişmez. Bunun sebebi, negatif \( y \) değerlerinin işaret değiştirerek pozitife dönüşmesi, sıfır ve pozitif \( y \) değerlerinin ise aynı kalmasıdır.
\( y = 0 \) değerinin mutlak değeri yine \( 0 \) olduğundan, \( x \) ekseni üzerindeki noktalar (grafiğin kökleri) yerinde kalır ve bu dönüşümden etkilenmez.
Yatay Mutlak Değer Dönüşümü
\( f(x) \longrightarrow f(\abs{x}) \)
Fonksiyonun girdisinin mutlak değeri alındığında grafiğin \( y \) ekseninin sağında kalan (\( x \ge 0 \) olan) kısmı değişmez, bu kısmın \( y \) eksenine göre yansıması grafiğin sol tarafını oluşturur. Bunun sebebi, negatif \( x \) değerlerinin mutlak değer alınmasıyla pozitif \( x \) değerlerine dönüşmesi ve bu pozitif girdilere karşılık gelen fonksiyon değerlerinin kullanılmasıdır.
\( x = 0 \) değerinin mutlak değeri yine \( 0 \) olduğundan, \( y \) ekseni üzerindeki noktalar yerinde kalır ve bu dönüşümden etkilenmez.
Örnek olarak, aşağıdaki fonksiyonların her birine 2. sütundaki düşey mutlak değer ve 3. sütundaki yatay mutlak değer dönüşümleri uygulandığında grafiklerde yukarıda detaylandırılan değişimler olur.
| Fonksiyon | Düşey Dönüşüm | Yatay Dönüşüm |
|---|---|---|
| \( f(x) = x + 1 \) | \( \abs{f(x)} = \abs{x + 1} \) | \( f(\abs{x}) = \abs{x} + 1 \) |
| \( f(x) = x^2 \) | \( \abs{f(x)} = \abs{x^2} \) | \( f(\abs{x}) = \abs{x}^2 \) |
| \( f(x) = \sqrt[3]{x} \) | \( \abs{f(x)} = \abs{\sqrt[3]{x}} \) | \( f(\abs{x}) = \sqrt[3]{\abs{x}} \) |
| \( f(x) = \sin{x} \) | \( \abs{f(x)} = \abs{\sin{x}} \) | \( f(\abs{x}) = \sin{\abs{x}} \) |
| \( f(x) = 2^x \) | \( \abs{f(x)} = \abs{2^x} \) | \( f(\abs{x}) = 2^{\abs{x}} \) |
| \( f(x) = \log{x} \) | \( \abs{f(x)} = \abs{\log{x}} \) | \( f(\abs{x}) = \log{\abs{x}} \) |
Yukarıda \( y = f(x - 6) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre \( y = \abs{f(x + 3)} \) fonksiyonu \( y \) eksenini hangi noktada keser?
Çözümü GösterGrafiği verilen \( y = f(x - 6) \) fonksiyonunun denklemini yazalım.
\( \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{8} = 1 \)
\( y = f(x - 6) = -\dfrac{8}{3}x + 8 \)
\( f(x + 3) \) fonksiyonunu elde etmek için \( f(x - 6) \longrightarrow f(x - 6 + 9) \) dönüşümü uygulayalım.
\( y = f(x + 3) = -\dfrac{8}{3}(x + 9) + 8 \)
\( = -\dfrac{8}{3}x - 16 \)
Fonksiyonun mutlak değerini alalım.
\( y = \abs{f(x + 3)} = \abs{-\dfrac{8}{3}x - 16} \)
Bu fonksiyonun \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) yazalım.
\( y = \abs{-\dfrac{8}{3}(0) - 16} \)
Buna göre \( y = \abs{f(x + 3)} \) fonksiyonu \( y \) eksenini \( (0, 16) \) noktasında keser.
\( f(x) = \log{\abs{x}} + 3 \) fonksiyonunun grafiği \( y = x \) doğrusu ile kaç noktada kesişir?
Çözümü GösterÖnce \( \log{x} \) fonksiyonuna iki dönüşüm uygulayarak sorudaki fonksiyonu elde edelim.
Fonksiyonun girdisinin mutlak değeri alındığında grafiğin \( y \) ekseninin sağında kalan kısmı değişmez, bu kısmın \( y \) eksenine göre yansıması grafiğin sol tarafını oluşturur.
\( f(x) \longrightarrow f(\abs{x}) \)
\( f(\abs{x}) = \log{\abs{x}} \)
Bir fonksiyonun çıktısına 3 birim eklendiğinde grafiği 3 birim yukarı ötelenir.
\( f(\abs{x}) \longrightarrow f(\abs{x}) + 3 \)
\( f(\abs{x}) + 3 = \log{\abs{x}} + 3 \)
Aşağıda bu iki dönüşüm sonucunda oluşan fonksiyonun ve \( y = x \) doğrusunun grafikleri verilmiştir.
\( y = x \) doğrusunun fonksiyonun \( y \) ekseninin solunda kalan kısmını tek noktada kestiğinden emin olabiliriz, \( y \) ekseninin sağında kalan kısmını kesip kesmediğinden ya da kesiyorsa kaç noktada kestiğinden emin olmak için ya bir programla grafiğini çizmeliyiz ya da iki denklemi ortak çözmeliyiz.
Alternatif olarak \( y = x \) doğrusunun fonksiyonun \( y \) ekseninin sağında kalan kısmını 2 noktada kestiğini daha pratik bir yöntemle bulabiliriz.
Verilen logaritma fonksiyonunda \( y = 0 \) verip \( x \) değerini ve \( x = 1 \) ve \( x = 10 \) verip \( y \) değerlerini hesapladığımızda fonksiyonun aşağıdaki noktalardan geçtiğini buluruz.
\( (10^{-3}, 0), (1, 3), (10, 4) \)
Bu noktalardan birinci ve üçüncüsünün ordinat değerleri apsis değerlerinden küçük olduğu için \( y = x \) doğrusunun altında kalır, ikinci noktanın ise ordinat değeri daha büyük olduğu için \( y = x \) doğrusunun üstünde kalır.
Buna göre fonksiyon grafiğinin doğrunun altındayken doğruyu kesip üstüne geçtiği, sonra tekrar kesip altına indiği sonucuna varabiliriz.
Buna göre verilen fonksiyon ve doğru 3 noktada kesişirler.