Konu tekrarı için: Parçalı Fonksiyonlar
Tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı tanımlara sahip fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir. Bir parçalı fonksiyonun farklı tanımlarının geçerli olduğu bu aralıkların alt ve üst sınır noktalarına kritik nokta denir.
Bir parçalı fonksiyonun kritik bir noktasında limitinin tanımlı olması için, limit tanımı gereği bu noktanın her iki tarafında tanımlı olan fonksiyonların bu noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır. Tek taraflı limitlerden en az biri tanımlı değilse ya da bu limit değerleri birbirine eşit değilse parçalı fonksiyonun bu noktada limiti tanımlı değildir.
parçalı fonksiyonunun
fonksiyonunun bu noktadaki iki taraflı limiti de tanımlı ve
Aksi takdirde fonksiyonun bu noktadaki limiti tanımsızdır.
Parçalı fonksiyonların kritik noktalardaki limitini birkaç örnekle detaylandıralım.
fonksiyonunun
Fonksiyonun
Bu noktadaki soldan limit için
Bu noktadaki sağdan limit için
Soldan ve sağdan limitler tanımlı ve birbirine eşit oldukları için bu noktada limit tanımlıdır ve soldan/sağdan limit değerine eşittir.
Aşağıdaki fonksiyon grafiğinde bu noktada soldan ve sağdan limitlerin tanımlı ve birbirine eşit oldukları görülebilir.
fonksiyonunun
Fonksiyonun
Bu noktadaki soldan limit için
Bu noktadaki sağdan limit için
Soldan ve sağdan limitler tanımlı olsa da birbirine eşit olmadıkları için bu noktada limit tanımsızdır.
Aşağıdaki fonksiyon grafiğinde bu noktada soldan ve sağdan limitlerin tanımlı oldukları, ama birbirine eşit olmadıkları görülebilir.
Bir parçalı fonksiyonun kritik olmayan bir noktasındaki limiti, fonksiyonun ilgili aralıktaki tanımının bu noktadaki limitine eşittir.
fonksiyonunun
Fonksiyon bu aralıkta doğrusal olduğu için süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini bulabiliriz.
Aşağıdaki fonksiyon grafiğinde bu noktadaki soldan ve sağdan limitlerin fonksiyon değerine eşit olduğu görülebilir.
Kritik bir noktadaki tek taraflı limit değerini bulmak için noktanın incelenen tarafında tanımlı olan fonksiyonun tek taraflı limitini hesaplamamız yeterlidir.
Bu noktadaki soldan limit için
Bu noktadaki sağdan limit için
Buna göre soldan ve sağdan limitlerin toplamı aşağıdaki gibi bulunur.
Soruda iki taraflı limit değeri istenmediği için soldan ve sağdan limitlerin eşitliğine bakmamıza gerek yoktur. Bu noktada iki taraflı limit tanımlı olmasa da tek taraflı limitler tanımlıdır.
parçalı fonksiyonunun kritik noktalarındaki limit değerlerini bulun.
Çözümü GösterTanımı verilen parçalı fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.
Fonksiyonunun kritik noktası fonksiyonun tanımının değiştiği
Fonksiyonun bir kritik noktasında limitinin tanımlı olması için, bu noktanın her iki tarafında tanımlı olan fonksiyonların bu noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.
Soldan ve sağdan limitler tanımlı ve birbirine eşit oldukları için, fonksiyonun
Dikkat edilirse, fonksiyonun
parçalı fonksiyonunun kritik noktalarındaki limit değerlerini bulun.
Çözümü GösterTanımı verilen parçalı fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.
Fonksiyonunun kritik noktaları fonksiyonun tanımının değiştiği
Fonksiyonun bir kritik noktasında limitinin tanımlı olması için, bu noktanın her iki tarafında tanımlı olan fonksiyonların bu noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.
Soldan ve sağdan limitler tanımlı ve birbirine eşit oldukları için, fonksiyonun
Fonksiyonun
Soldan ve sağdan limitler tanımlı ancak birbirinden farklı oldukları için, fonksiyonun
parçalı fonksiyonunun
Fonksiyonun bir kritik nokta olan
Soldan ve sağdan limit değerlerini birbirine eşitleyelim.
parçalı fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I.
II.
III.
I. öncül:
Bu noktaya soldan yaklaşırken fonksiyonun 1. tanımı geçerlidir.
Bu noktaya sağdan yaklaşırken fonksiyonun 3. tanımı geçerlidir.
Soldan ve sağdan limit değerleri tanımlı ve birbirine eşit olduğu için bu noktada iki taraflı limit de tanımlıdır ve bu iki limit değerine eşittir.
I. öncül doğrudur.
II. öncül:
II. öncül doğrudur.
III. öncül:
III. öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve II. öncüller doğrudur.
fonksiyonunun
Fonksiyonun bir kritik noktasında limitinin tanımlı olması için, bu noktanın her iki tarafında tanımlı olan fonksiyonların bu noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.
Bu noktaya soldan yaklaşırken fonksiyonun 1. tanımı geçerlidir.
Bu noktaya sağdan yaklaşırken fonksiyonun 2. tanımı geçerlidir.
Soldan ve sağdan limit değerlerini eşitleyelim.
Yukarıdaki parçalı fonksiyon tanımına göre aşağıdaki ifadenin değeri kaçtır?
Bu noktaya soldan yaklaşırken fonksiyonun 1. tanımı geçerlidir.
Bu noktaya soldan yaklaşırken fonksiyonun 2. tanımı geçerlidir.
Bu nokta bir kritik nokta değildir ve bu noktanın bulunduğu aralıkta fonksiyonun 3. tanımı geçerlidir.
Bulduğumuz limit değerlerini toplayalım.
parçalı fonksiyonunun
Fonksiyonun kritik noktasında limiti tanımlı olduğuna göre, bu noktada soldan ve sağdan limitler tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.
Bu noktaya soldan yaklaşırken fonksiyonun 1. tanımı geçerlidir.
Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
Bu noktaya sağdan yaklaşırken fonksiyonun 3. tanımı geçerlidir.
Soldan ve sağdan limit değerlerini birbirine eştleyelim.
Bu noktada fonksiyonun 1. tanımı geçerlidir.
eşitsizliğini sağlayan kaç
Verilen parçalı fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.
Fonksiyon bu aralıkta -3, 2, 4 olmak üzere üç farklı değer alır, dolayısıyla herhangi bir noktadaki limit değeri de bu üç değerden biri olabilir.
Verilen eşitsizlik için üç farklı durum vardır, bu durumları tek tek kontrol edelim.
Durum 1:
Fonksiyonun sağdan limitinin 4 olduğu
Bu durumda fonksiyonun soldan limitinin 4'ten küçük olduğu
Bu durum için
Durum 2:
Fonksiyonun sağdan limitinin 2 olduğu
Bu durumda fonksiyonun soldan limitinin 2'den küçük olduğu
Bu durum için
Durum 3:
Fonksiyonun sağdan limitinin -3 olduğu
Fonksiyonun soldan limitinin -3'ten küçük olduğu nokta yoktur, dolayısıyla bu durum için bir
Buna göre soruda verilen koşulu sağlayan