Parçalı Fonksiyonların Limiti

Tanımı verilen parçalı fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.

Fonksiyonunun kritik noktası fonksiyonun tanımının değiştiği $$ noktasıdır.

Fonksiyonun bir kritik noktasında limitinin tanımlı olması için, bu noktanın her iki tarafında tanımlı olan fonksiyonların bu noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.

$$ noktasındaki soldan limit:

$$ noktasındaki sağdan limit:

Soldan ve sağdan limitler tanımlı ve birbirine eşit oldukları için, fonksiyonun $$ noktasında limiti tanımlıdır ve değeri $$'dur.

Dikkat edilirse, fonksiyonun $$ noktası için de $$ olmak üzere bir tanımı vardır. Bir noktadaki limit değeri fonksiyonun o noktadaki değil o nokta civarındaki değeri ile ilgili olduğu için, parçalı fonksiyonun bu noktadaki tanımını dikkate almamıza gerek yoktur.

Tanımı verilen parçalı fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.

Fonksiyonunun kritik noktaları fonksiyonun tanımının değiştiği $$ ve $$ noktalarıdır.

Fonksiyonun bir kritik noktasında limitinin tanımlı olması için, bu noktanın her iki tarafında tanımlı olan fonksiyonların bu noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.

$$ noktasındaki soldan limit:

$$ noktasındaki sağdan limit:

Soldan ve sağdan limitler tanımlı ve birbirine eşit oldukları için, fonksiyonun $$ noktasında limiti tanımlıdır ve değeri $$'tür.

Fonksiyonun $$ noktasındaki limitini benzer şekilde bulalım.

$$ noktasındaki soldan limit:

$$ noktasındaki sağdan limit:

Soldan ve sağdan limitler tanımlı ancak birbirinden farklı oldukları için, fonksiyonun $$ noktasında limiti tanımsızdır.

$$: Tanımsız

Fonksiyonun bir kritik nokta olan $$ noktasında limiti tanımlı olduğuna göre, bu noktada soldan ve sağdan limitler tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.

$$ noktasındaki soldan limit:

$$ noktasındaki sağdan limit:

Soldan ve sağdan limit değerlerini birbirine eşitleyelim.

$$ bulunur.

I. öncül:

$$ noktası parçalı fonksiyonun kritik noktası olduğu için bu noktadaki limit için soldan ve sağdan limitlere bakılır.

Bu noktaya soldan yaklaşırken fonksiyonun 1. tanımı geçerlidir.

Bu noktaya sağdan yaklaşırken fonksiyonun 3. tanımı geçerlidir.

Soldan ve sağdan limit değerleri tanımlı ve birbirine eşit olduğu için bu noktada iki taraflı limit de tanımlıdır ve bu iki limit değerine eşittir.

I. öncül doğrudur.

II. öncül:

$$ noktası parçalı fonksiyonun bir kritik noktası olmadığı için ilgili aralıkta geçerli olan fonksiyon tanımı için limite bakılır.

$$ olduğu için bu noktada fonksiyonun 1. tanımı geçerlidir.

II. öncül doğrudur.

III. öncül:

$$ noktası parçalı fonksiyonun bir kritik noktası olmadığı için ilgili aralıkta geçerli olan fonksiyon tanımı için limite bakılır.

$$ olduğu için bu noktada fonksiyonun 3. tanımı geçerlidir.

III. öncül yanlıştır.

Buna göre I. ve II. öncüller doğrudur.

$$ noktası parçalı fonksiyonun kritik noktasıdır.

Fonksiyonun bir kritik noktasında limitinin tanımlı olması için, bu noktanın her iki tarafında tanımlı olan fonksiyonların bu noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.

$$ noktasındaki soldan limit:

Bu noktaya soldan yaklaşırken fonksiyonun 1. tanımı geçerlidir.

$$ noktasındaki sağdan limit:

Bu noktaya sağdan yaklaşırken fonksiyonun 2. tanımı geçerlidir.

Soldan ve sağdan limit değerlerini eşitleyelim.

$$ değişkenleri sadeleştiği için $$ her reel sayı değerini alabilir, bir diğer ifadeyle $$ olduğu sürece $$ hangi değeri alırsa alsın fonksiyonun $$ noktasında limiti tanımlı olur.

$$ ve $$ noktaları parçalı fonksiyonun kritik noktalarıdır.

$$ noktasındaki soldan limit:

Bu noktaya soldan yaklaşırken fonksiyonun 1. tanımı geçerlidir.

$$ noktasındaki soldan limit:

Bu noktaya soldan yaklaşırken fonksiyonun 2. tanımı geçerlidir.

$$ noktasındaki limit:

Bu nokta bir kritik nokta değildir ve bu noktanın bulunduğu aralıkta fonksiyonun 3. tanımı geçerlidir.

Bulduğumuz limit değerlerini toplayalım.

$$ bulunur.

$$ noktası parçalı fonksiyonun kritik noktasıdır.

Fonksiyonun kritik noktasında limiti tanımlı olduğuna göre, bu noktada soldan ve sağdan limitler tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.

$$ noktasındaki soldan limit:

Bu noktaya soldan yaklaşırken fonksiyonun 1. tanımı geçerlidir.

Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

$$ noktasındaki sağdan limit:

Bu noktaya sağdan yaklaşırken fonksiyonun 3. tanımı geçerlidir.

Soldan ve sağdan limit değerlerini birbirine eştleyelim.

$$ değerini bulalım.

Bu noktada fonksiyonun 1. tanımı geçerlidir.

$$ bulunur.

Verilen parçalı fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.

Fonksiyon bu aralıkta -3, 2, 4 olmak üzere üç farklı değer alır, dolayısıyla herhangi bir noktadaki limit değeri de bu üç değerden biri olabilir.

Verilen eşitsizlik için üç farklı durum vardır, bu durumları tek tek kontrol edelim.

Durum 1: $$

Fonksiyonun sağdan limitinin 4 olduğu $$ olmak üzere iki nokta vardır.

Bu durumda fonksiyonun soldan limitinin 4'ten küçük olduğu $$ olmak üzere dört nokta vardır.

Bu durum için $$ farklı $$ sıralı ikilisi yazılabilir.

Durum 2: $$

Fonksiyonun sağdan limitinin 2 olduğu $$ olmak üzere iki nokta vardır.

Bu durumda fonksiyonun soldan limitinin 2'den küçük olduğu $$ olmak üzere iki nokta vardır.

Bu durum için $$ farklı $$ sıralı ikilisi yazılabilir.

Durum 3: $$

Fonksiyonun sağdan limitinin -3 olduğu $$ olmak üzere iki nokta vardır.

Fonksiyonun soldan limitinin -3'ten küçük olduğu nokta yoktur, dolayısıyla bu durum için bir $$ sıralı ikilisi yazılamaz.

Buna göre soruda verilen koşulu sağlayan $$ farklı $$ sıralı ikilisi yazılabilir.