Sonsuz Limit
Bir \( f \) fonksiyonunda \( x \) değişkeni bir \( a \) değerine soldan gitgide yaklaştıkça \( f(x) \) değeri pozitif (ya da negatif) yönde sınırsız büyüyorsa \( f(x) \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasındaki soldan limitinin pozitif (ya da negatif) sonsuz olduğunu söyleriz.
\( \lim_{x \to a^-} f(x) = +\infty \)
\( \lim_{x \to a^-} f(x) = -\infty \)
Bir \( f \) fonksiyonunda \( x \) değişkeni bir \( a \) değerine sağdan gitgide yaklaştıkça \( f(x) \) değeri pozitif (ya da negatif) yönde sınırsız büyüyorsa \( f(x) \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasındaki sağdan limitinin pozitif (ya da negatif) sonsuz olduğunu söyleriz.
\( \lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty \)
\( \lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty \)
Aşağıdaki şekilde bir fonksiyonun iki noktasındaki pozitif ve negatif sonsuza giden tek taraflı limitleri gösterilmiştir.
Bir \( f \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasındaki soldan ve sağdan limitlerinin ikisi de pozitif (ya da negatif) sonsuz ise bu noktadaki iki taraflı limitinin pozitif (ya da negatif) sonsuz olduğunu söyleriz.
\( \lim_{x \to a^-} f(x) = +\infty \) ve \( \lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty \) ise,
\( \lim_{x \to a} f(x) = +\infty \)
\( \lim_{x \to a^-} f(x) = -\infty \) ve \( \lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty \) ise,
\( \lim_{x \to a} f(x) = -\infty \)
Yukarıdaki iki grafikte görebileceğimiz gibi, bir dikey asimptotun her iki tarafında limit aynı ya da farklı yönlerde sonsuza gidebilir.
ÖNEMLİ NOT: Limit konusunun başında yaptığımız tanıma göre, bir fonksiyon bir noktada ancak belirli bir reel sayı değerine yaklaşıyorsa o noktada limiti tanımlıdır. Bir noktadaki limit için pozitif ya da negatif sonsuz ifadesi kullanmamız o noktada limitin tanımlı olduğu anlamına gelmez. Limit değeri olarak kullandığımız "sonsuz" ifadesi sadece tanımsızlığa ek olarak fonksiyonun bu noktadaki davranışı ile ilgili ek bir bilgidir ve fonksiyonun bu noktadaki limitini yine tanımsız olarak kabul etmemiz gerekir.
Dikey Asimptot
Bir \( f \) fonksiyonunda \( x \) değişkeni bir \( a \) değerine soldan ya da sağdan yaklaştıkça \( f \) fonksiyonu pozitif ya da negatif yönde sınırsız büyüyorsa \( x = a \) doğrusuna \( f \) fonksiyonunun bir dikey asimptotu denir.
Dikey asimptotlar fonksiyon grafiğinin bir parçası olmayıp fonksiyonun asimptot civarındaki davranışının daha kolay anlaşılmasını sağlar.
Dikey asimptotların oluşabileceği durumlardan bazıları şunlardır:
- \( f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} \) şeklindeki rasyonel fonksiyonlarda payı sıfır yapmadan paydayı sıfır yapan \( x \) değerlerinde birer dikey asimptot oluşur.
- Tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant trigonometrik fonksiyonlarının tanımsız oldukları \( x \) değerlerinde birer dikey asimptot oluşur.
- \( f(x) = \log_a(bx + c) \) şeklindeki logaritma fonksiyonlarının parantez içini sıfır yapan \( x \) değerlerinde birer dikey asimptot oluşur.
Aşağıdaki grafikteki fonksiyon \( x = 2 \) noktasına soldan yaklaşırken negatif yönde, sağdan yaklaşırken pozitif yönde sınırsız büyümektedir. \( x = 2 \) doğrusu her iki limit için de dikey asimptot olmaktadır.
Aşağıdaki tek taraflı limitleri hesaplayınız.
(a) \( \lim\limits_{x \to 8^+} {\dfrac{6}{8 - x}} \)
(b) \( \lim\limits_{x \to 3^-} {\dfrac{4}{x^2 - 9}} \)
(c) \( \lim\limits_{x \to -7^-} {\dfrac{2x}{x + 7}} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 8^+} {\dfrac{6}{8 - x}} \)
\( x \to 8^+ \) iken \( 8 - x \to 0^- \) olur.
\( = \dfrac{6}{0^-} = -\infty \)
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 3^-} {\dfrac{4}{x^2 - 9}} \)
\( x \to 3^- \) iken \( x^2 - 9 \to 0^- \) olur.
\( = \dfrac{4}{0^-} = -\infty \)
(c) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to -7^-} {\dfrac{2x}{x + 7}} \)
\( x \to -7^- \) iken \( x + 7 \to 0^- \) olur.
\( = \dfrac{2(-7)}{0^-} \)
\( = \dfrac{-14}{0^-} = \infty \)
Aşağıdaki tek taraflı limitleri hesaplayınız.
(a) \( \lim\limits_{x \to 1^+} {\dfrac{x - 2}{x^2 - 1}} \)
(b) \( \lim\limits_{x \to 6^-} {\dfrac{1 - 3x}{x - 6}} \)
(c) \( \lim\limits_{x \to -2^-} {\dfrac{5x + 1}{x^2 - 4}} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {\dfrac{x - 2}{x^2 - 1}} \)
\( x \to 1^+ \) iken \( x^2 - 1 \to 0^+ \) olur.
\( = \dfrac{1 - 2}{0^+} \)
\( = \dfrac{-1}{0^+} = -\infty \)
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 6^-} {\dfrac{1 - 3x}{x - 6}} \)
\( x \to 6^- \) iken \( x - 6 \to 0^- \) olur.
\( = \dfrac{1 - 3(6)}{0^-} \)
\( = \dfrac{-17}{0^-} = \infty \)
(c) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to -2^-} {\dfrac{5x + 1}{x^2 - 4}} \)
\( x \to -2^- \) iken \( x^2 - 4 \to 0^+ \) olur.
\( = \dfrac{5(-2) + 1}{0^+} \)
\( = \dfrac{-9}{0^+} = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 1^-} \dfrac{5}{x - 1} \) ve \( \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{5}{x - 1} \) tek yönlü limitlerinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterSoldan limit ifadesini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 1^-} \dfrac{5}{x - 1} \)
\( x \to 1^- \) iken \( x - 1 \to 0^- \) olur.
\( = \dfrac{5}{0^-} = -\infty \)
Sağdan limit ifadesini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{5}{x - 1} \)
\( x \to 1^+ \) iken \( x - 1 \to 0^+ \) olur.
\( = \dfrac{5}{0^+} = +\infty \)
Fonksiyonun grafiği aşağıdaki şekildeki gibidir.
Aşağıdaki tek taraflı limitleri hesaplayınız.
(a) \( \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{7}{x^2}} \)
(b) \( \lim\limits_{x \to 4^-} {\dfrac{12}{x - 4}} \)
(c) \( \lim\limits_{x \to -1^-} {\dfrac{2x^2 + 1}{x + 1}} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{7}{x^2}} \)
\( x \to 0^+ \) iken \( x^2 \to 0^+ \) olur.
\( = \dfrac{7}{0^+} = \infty \)
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 4^-} {\dfrac{12}{x - 4}} \)
\( x \to 4^- \) iken \( x - 4 \to 0^- \) olur.
\( = \dfrac{12}{0^-} = -\infty \)
(c) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to -1^-} {\dfrac{2x^2 + 1}{x + 1}} \)
\( x \to -1^- \) iken \( x + 1 \to 0^- \) olur.
\( = \dfrac{2(-1)^2 + 1}{0^-} \)
\( = \dfrac{3}{0^-} = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 5^-} \dfrac{1}{x^2 - 2x - 15} \) ve \( \lim\limits_{x \to 5^+} \dfrac{1}{x^2 - 2x - 15} \) tek yönlü limitlerinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterPaydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 - 2x - 15 = (x + 3)(x - 5) \)
Soldan limit ifadesini hesaplayalım.
\( \lim\limits_{x \to 5^-} \dfrac{1}{(x + 3)(x - 5)} \)
\( = \dfrac{1}{(5^- + 3)(5^- - 5)} \)
\( = \dfrac{1}{0^-} = -\infty \)
Sağdan limit ifadesini hesaplayalım.
\( \lim\limits_{x \to 5^+} \dfrac{1}{(x + 3)(x - 5)} \)
\( = \dfrac{1}{(5^+ + 3)(5^+ - 5)} \)
\( = \dfrac{1}{0^+} = +\infty \)
\( \lim\limits_{x \to e^-} \dfrac{2x^2}{\ln{x} - 1} \) ve \( \lim\limits_{x \to e^+} \dfrac{2x^2}{\ln{x} - 1} \) tek yönlü limitlerinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterSoldan limit ifadesini hesaplayalım.
\( \lim\limits_{x \to e^-} (2x^2) = 2e^2 \)
\( x \to e^- \) iken \( \ln{x} - 1 \to 0^- \) olur.
\( \lim\limits_{x \to e^-} \dfrac{2x^2}{\ln{x} - 1} = \dfrac{2e^2}{0^-} \)
\( = -\infty \)
Sağdan limit ifadesini hesaplayalım.
\( \lim\limits_{x \to e^+} (2x^2) = 2e^2 \)
\( x \to e^+ \) iken \( \ln{x} - 1 \to 0^+ \) olur.
\( \lim\limits_{x \to e^+} \dfrac{2x^2}{\ln{x} - 1} = \dfrac{2e^2}{0^+} \)
\( = +\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{3x - 2}{e^x - 1} \) ve \( \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{3x - 2}{e^x - 1} \) tek yönlü limitlerinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterSoldan limit ifadesini hesaplayalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^-} (3x - 2) = 3(0) - 2 = -2 \)
\( x \to 0^- \) iken \( e^x - 1 \to 0^- \) olur.
\( \lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{3x - 2}{e^x - 1} = \dfrac{-2}{0^-} \)
\( = +\infty \)
Sağdan limit ifadesini hesaplayalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} (3x - 2) = 3(0) - 2 = -2 \)
\( x \to 0^+ \) iken \( e^x - 1 \to 0^+ \) olur.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{3x - 2}{e^x - 1} = \dfrac{-2}{0^+} \)
\( = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{\sqrt{x - 3}}{x^2 - 9} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{\sqrt{x - 3}}{x^2 - 9} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 3^+} \sqrt{x - 3} = \sqrt{3 - 3} = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to 3^+} (x^2 - 9) = 3^2 - 9 = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için çarpanlara ayırma ve sadeleştirme yöntemini kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{\sqrt{x - 3}}{x^2 - 9} = \lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{\sqrt{x - 3}}{(x - 3)(x + 3)} \)
\( = \lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{\sqrt{x - 3}}{(\sqrt{x - 3})^2(x + 3)} \)
\( = \lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{1}{\sqrt{x - 3}(x + 3)} \)
Elde ettiğimiz ifade belirsizlik içermemektedir.
\( x \to 3^+ \) iken \( \sqrt{x - 3} \to 0^+ \) olur.
\( = \dfrac{1}{\sqrt{0^+} \cdot 6} = +\infty \) bulunur.