Sıkıştırma Teoremi

Eşitsizliğin taraflarının $$ 3'e giderken limitini alalım.

Limitini bulmak istediğimiz ifadenin iki ayrı fonksiyonun arasında kaldığını görüyoruz. Bu iki fonksiyonun $$ 3'e giderken limit değerlerine baktığımızda, her iki fonksiyonun 5 değerine yaklaştığını görebiliriz.

Sıkıştırma teoremine göre, verilen ifadenin limitinin de bu iki fonksiyonun limit değerlerinin arasında kalacağını, dolayısıyla 5'e eşit olacağını söyleyebiliriz.

Dikkat edilirse soruda $$ fonksiyonunun tanımı verilmemiş, sadece grafiğinin tüm reel sayılarda $$ ve $$ grafikleri ile sınırlı olduğu bilgisi verilmiştir.

Eşitsizliğin taraflarının $$ 1'e giderken limitini alalım.

$$ ve $$ fonksiyonlarının $$ noktasındaki limit değerlerini bulalım.

Her iki fonksiyonun da sürekli olduğunu bildiğimiz için doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.

$$ ve $$ fonksiyonlarının bu noktadaki limit değerlerinin eşit olduğunu görüyoruz, bu yüzden sıkıştırma teoremine göre tüm reel sayılarda bu iki fonksiyonun arasında kalan $$ fonksiyonunun bu noktadaki limiti 2 olmak zorundadır.

Verilen eşitsizliği mutlak değerden kurtaralım.

Eşitsizliğin taraflarının $$ sıfıra giderken limitini alalım.

Limitini bulmak istediğimiz ifadenin iki ayrı fonksiyonun arasında kaldığını görüyoruz. Bu iki fonksiyonun $$ sıfıra giderken limit değerlerine baktığımızda, her iki fonksiyonun 3 değerine yaklaştığını görebiliriz.

Sıkıştırma teoremine göre, verilen fonksiyonun limitinin de bu iki fonksiyonun limit değerlerinin arasında kalacağını, dolayısıyla 3'e eşit olacağını söyleyebiliriz.

$$ bulunur.

Kosinüs fonksiyonunun değer aralığını yazalım.

Eşitsizliğin taraflarını $$ ile çarpalım.

$$ pozitif bir sayı olduğu için eşitsizliğin yönü değişmez.

Eşitsizliğin taraflarının $$ sıfıra giderken limitini alalım.

Limitini bulmak istediğimiz ifadenin iki ayrı fonksiyonun arasında kaldığını görüyoruz. Bu iki fonksiyonun $$ sıfıra giderken limit değerlerine baktığımızda, her iki fonksiyonun sıfıra yaklaştığını görebiliriz.

Sıkıştırma teoremine göre, verilen ifadenin limitinin de bu iki fonksiyonun limit değerlerinin arasında kalacağını, dolayısıyla sıfıra eşit olacağını söyleyebiliriz.

Sinüs fonksiyonunun değer aralığını yazalım.

Eşitsizliğin taraflarını $$'e bölelim.

$$ tüm reel sayılarda pozitif olduğu için eşitsizliğin yönü değişmez.

Eşitsizliğin taraflarının $$ pozitif sonsuza giderken limitini alalım.

Limitini bulmak istediğimiz ifadenin iki ayrı fonksiyonun arasında kaldığını görüyoruz. Bu iki fonksiyonun $$ pozitif sonsuza giderken limit değerlerine baktığımızda, her iki fonksiyonun sıfıra yaklaştığını görebiliriz.

Sıkıştırma teoremine göre, verilen fonksiyonun limitinin de bu iki fonksiyonun limit değerlerinin arasında kalacağını, dolayısıyla sıfıra eşit olacağını söyleyebiliriz.

$$ bulunur.

Aşağıda göstereceğimiz üzere, payın ve paydanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi iki limitin bölümü şeklinde yazabiliriz.

Paydaki limit ifadesinin değerini sıkıştırma teoremi ile bulalım.

Sinüs fonksiyonunun değer aralığını yazalım.

Eşitsizliğin taraflarını $$ ile çarpalım.

Eşitsizliğin taraflarına 5 ekleyelim.

Eşitsizliğin taraflarının $$ pozitif sonsuza giderken limitini alalım.

Limitini bulmak istediğimiz ifadenin iki ayrı fonksiyonun arasında kaldığını görüyoruz. Bu iki fonksiyonun $$ pozitif sonsuza giderken limit değerlerine baktığımızda, her iki fonksiyonun 5 değerine yaklaştığını görebiliriz.

Sıkıştırma teoremine göre, paydaki ifadenin limitinin de bu iki fonksiyonun limit değerlerinin arasında kalacağını, dolayısıyla 5'e eşit olacağını söyleyebiliriz.

Paydadaki limit ifadesinin değerini bulalım.

$$ iken $$ olur.

Tüm ifadenin değerini bulalım.

$$ bulunur.

Limit ifadesini düzenleyelim.

Aşağıda göstereceğimiz üzere, iki çarpanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi iki limitin çarpımı şeklinde yazabiliriz.

Birinci çarpan için ispatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.

İkinci çarpan için sıkıştırma teoremini kullanalım.

Sinüs fonksiyonunun değer aralığını yazalım.

Eşitsizliğin taraflarını $$ ile çarpalım.

Eşitsizliğin taraflarının $$ sıfıra giderken limitini alalım.

Limitini bulmak istediğimiz ifadenin iki ayrı fonksiyonun arasında kaldığını görüyoruz. Bu iki fonksiyonun $$ sıfıra giderken limit değerlerine baktığımızda, her iki fonksiyonun sıfıra yaklaştığını görebiliriz.

Sıkıştırma teoremine göre, verilen ifadenin limitinin de bu iki fonksiyonun limit değerlerinin arasında kalacağını, dolayısıyla sıfıra eşit olacağını söyleyebiliriz.

$$ bulunur.