Limitte Belirsizlik
İki fonksiyondan oluşan bir ifadede fonksiyonların limitleri ayrı ayrı \( 0 \), \( 1 \) ya da \( \pm\infty \) olarak bulunuyorsa ve tüm ifadenin limiti için aşağıdaki 7 sonuçtan biri elde ediliyorsa bir belirsizlik durumu söz konusudur.
\( \dfrac{0}{0}, \quad \dfrac{\infty}{\infty} \)
\( \infty - \infty, \quad 0 \cdot \infty \)
\( \infty^0, \quad 0^0, \quad 1^\infty \)
Belirsizlik durumları fonksiyonun o noktada limitinin olmadığı anlamına gelmeyebilir. Bir belirsizlik durumunu ortadan kaldırmak ve fonksiyonun o noktada bir limiti varsa bu limit değerini bulmak için kullanılabilecek yöntemleri önümüzdeki bölümlerde inceleyeceğiz.
Bir Örnek Üzerinden Belirsizlik
Belirsizlik kavramını basit bir \( \frac{0}{0} \) belirsizliği üzerinden anlatmaya çalışalım. \( \lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{x} \) limitinde pay ve paydadaki ifadeler ayrı ayrı sıfıra yaklaşmaktadır. Her iki limit değeri \( x = 0 \) noktasında sıfır iken belirsizlik bu iki ifadenin oranı için oluşmaktadır.
\( \lim\limits_{x \to 0} {x} = 0 \) olduğu için,
\( \lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{x} \) limitinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Pay ve paydadaki birim fonksiyonun ve \( \frac{x}{x} \) ifadesinin grafikleri aşağıda verilmiştir. Matematiksel olarak \( \frac{0}{0} \) belirsizliği elde etmiş olsak da, \( \frac{x}{x} \) ifadesinin grafiğinin 1 değerine yaklaştığını, dolayısıyla limitin 1 olduğu görebiliriz.
Bu örnekte gördüğümüz gibi, bir belirsizlik durumu ile karşılaşmamız limitin sıfır ya da sonsuz olduğu ya da limitin var olmadığı şeklinde yorumlanmamalıdır. Belirsizlikler tanımsızlıktan farklı olarak belirli yöntemler uygulanarak giderilebilir ve eğer ifadenin limiti varsa belirsizlik giderildikten sonra limit değeri bulunabilir.
Belirsizlik Durumları
\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının oluşturduğu farklı belirsizlik durumları aşağıdaki gibidir. Bu durumların her birinin detaylarını ve her birini giderme yöntemlerini önümüzdeki bölümlerde inceleyeceğiz.
| Belirsizlik | İfade | Koşullar | Örnek |
|---|---|---|---|
| \( \dfrac{0}{0} \) | \( \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \) |
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = 0 \) \( \lim\limits_{x \to a} {g(x)} = 0 \) |
\( \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} \) |
| \( \dfrac{\infty}{\infty} \) | \( \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \) |
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = \pm\infty \) \( \lim\limits_{x \to a} {g(x)} = \pm\infty \) |
\( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{3x - 2}{x + 1} \) |
| \( \infty - \infty \) | \( \lim\limits_{x \to a} [f(x) - g(x)] \) |
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = \pm\infty \) \( \lim\limits_{x \to a} {g(x)} = \pm\infty \) |
\( \lim\limits_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2 - 1}) \) |
| \( 0 \cdot \infty \) | \( \lim\limits_{x \to a} [f(x)g(x)] \) |
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = 0 \) \( \lim\limits_{x \to a} {g(x)} = \pm\infty \) |
\( \lim\limits_{x \to -\infty} (xe^x) \) |
| \( \infty^0 \) | \( \lim\limits_{x \to a} {f(x)^{g(x)}} \) |
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = \pm\infty \) \( \lim\limits_{x \to a} {g(x)} = 0 \) |
\( \lim\limits_{x \to \infty} {x^{\frac{1}{x}}} \) |
| \( 0^0 \) | \( \lim\limits_{x \to a} {f(x)^{g(x)}} \) |
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = 0 \) \( \lim\limits_{x \to a} {g(x)} = 0 \) |
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {x^{\sin{x}}} \) |
| \( 1^\infty \) | \( \lim\limits_{x \to a} f(x)^{g(x)} \) |
\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = 1 \) \( \lim\limits_{x \to a} g(x) = \pm\infty \) |
\( \lim\limits_{x \to 1^+} x^{\frac{1}{x - 1}} \) |
Bu belirsizliklerde geçen \( 0 \) ve \( 1 \) sayıları sabit fonksiyonları değil, limiti \( 0 \) ya da \( 1 \) olan fonksiyonları ifade eder. Buna göre aşağıdaki limit ifadeleri birer belirsizlik ifade etmez.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {x^0} = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {0^x} = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} {1^x} = 1 \)
Belirsiz Olmayan Durumlar
\( c \in \mathbb{R} - \{ 0 \} \) olmak üzere, aşağıda listelenen durumlar birer belirsizlik olmayıp limit değerleri belirtildiği şekildedir.
Limit Değeri Sıfır
Aşağıdaki ifadelerin limiti belirsiz değil sıfırdır.
| Durum | Örnek |
|---|---|
| \( \dfrac{0}{\infty}, \quad \dfrac{c}{\infty} \) | \( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} = 0 \) |
| \( \infty^{-\infty} \) | \( \lim\limits_{x \to \infty} {x^{-x}} = 0 \) |
| \( c^\infty\ (0 \lt c \lt 1) \) | \( \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{1}{2} \right)^x = 0 \) |
| \( c^{-\infty}\ (c \gt 1) \) | \( \lim\limits_{x \to \infty} {2^{-x}} = 0 \) |
Sonsuz Limit
Aşağıdaki ifadelerin limiti belirsiz değil sonsuzdur.
| Durum | Örnek |
|---|---|
| \( c + \infty, \quad \infty + \infty \) | \( \lim\limits_{x \to \infty} (x^2 + 2x) = \infty \) |
| \( c \cdot \infty, \quad \infty \cdot \infty \) | \( \lim\limits_{x \to \infty} (3x) = \infty \) |
| \( \infty^c (c \gt 0), \quad \infty^\infty \) | \( \lim\limits_{x \to \infty} {x^x} = \infty \) |
| \( c^\infty\ (c \gt 1) \) | \( \lim\limits_{x \to \infty} {2^x} = \infty \) |
| \( c^{-\infty}\ (0 \lt c \lt 1) \) | \( \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-x} = \infty \) |